Representación de una función real y vectorial
Maneras de representar una función:
Existen varias formas de representar una función: Verbalmente, algebraicamente, por medio de gráficas o numéricamente y
cada una de estas maneras tienen un propósito en común, el cual es describir
su comportamiento.
- Representación algebraica:
Esta representación describe la relación entre la variable independiente y
dependiente mediante una fórmula explicita, por ejemplo:
(1) $x(t)=vt$
(2) $V(r)=\frac{4\pi }{3}r^{3}$
(3) $r(t)=\left \langle vt,-\frac{1}{2}gt^{2} \right \rangle$
Otra forma particular para representar algebraicamente la tercera
función es:
\[r(t)=vt\mathbf{i}-\frac{1}{2}gt^{2}\mathbf{j}\]
Esta expresión, como para cualquier otra función vectorial, se denomina
ecuación vectorial.
-Representación verbal y numérica:
La representación verbal es útil para plantear
modelos matemáticos que se ajusten a una situación real y va de la
mano de su representación numérica para una mejor interpretación. Por
ejemplo, podemos describir verbalmente las funciones anteriores de la
siguiente manera:
La primera función señala que la distancia que recorre un cuerpo en
movimiento rectilíneo uniforme depende del tiempo. La segunda señala que el
volumen de una esfera depende del radio y la tercera señala que la
trayectoria de una bala de cañón en el plano XY con tiro horizontal depende
del tiempo.
Podemos pasar a una representación numérica mediante una
tabla de valores para comprender el comportamiento de alguna de estas
funciones bajo ciertas condiciones. Por ejemplo, para la primera función,
si la velocidad del móvil es de 2 m/s y se desea saber su posición cada
5 segundos en un intervalo de tiempo de [0,30], reemplazando cada
valor de "t" en x(t) se tiene:
Asimismo podemos interpretar los resultados en base al análisis que
deseemos realizar. Por ejemplo, ¿Cuánta distancia recorre el móvil a los
25 segundos de su partida?, aquí se pide el valor de x(25), y por medio de
la tabla se tiene que el móvil recorre 50 metros.
-Representación gráfica:
Ésta representación permite visualizar el comportamiento de una
función y la manera de obtenerlo depende del tipo de función. Para funciones
reales de una variable real, se obtiene ubicando puntos coordenados en el
plano XY donde la variable independiente comprende el eje de las abscisas "x" y la
dependiente el eje de las ordenadas "y·". Por ejemplo si quisiéramos representar la función:
\[f(x)=x^{3}\]
Primero se debe estudiar el dominio para elegir el intervalo donde se pueda graficar y luego usar su
representación numérica. En este caso, es claro que no existen restricciones por lo que el
dominio de la función será:
\[D=\mathbb{R}\]
Entonces se puede escoger cualquier intervalo de valores, si se elije a
[-2,2] con pasos de 1, se tiene:
La complicación en este tipo de representación radica en encontrar la
escala en la que sea sencillo representar los puntos y los pasos dentro del
intervalo elegido en los que la función sea sencilla de evaluar.
Ahora si quisiéramos representar gráficamente una función vectorial
como:
\[r(t)=\left \langle t,t^{2} \right \rangle\]
Se debe ubicar los vectores resultantes en el plano, donde es
común nombrar al eje de abscisas como "i" y al de ordenadas como
"j". Las cabezas de los vectores formarán la curva deseada cuya dirección se
da por como aumenta el parámetro "t" en el orden de como se obtiene los
vectores, la figura siguiente muestra este proceso:
Note que la flecha sobre la curva apunta del primer vector, (obtenido por
el primer valor de "t"), al segundo, (obtenido por el segundo valor de "t")
y así hasta el último vector, (obtenido por el último valor de "t").
Cabe mencionar que una función vectorial también puede contener 3
componentes, dando como resultado una gráfica en 3 dimensiones. Por ejemplo
graficaremos la función:
\[r(t)=\left \langle \cos t,\sin t,2-\sin t\right \rangle\]
Esta claro que el dominio es para todos los reales y al tratarse de
funciones trigonométricas conviene usar el intervalo $[0,2\pi]$ para menores complicaciones al momento de graficar. Por tanto, evaluando en cada $t=\pi/4$ se tiene la siguiente tabla de valores:
Para graficar a mano, conviene aproximar los puntos a sus valores decimales, de manera que sea más sencillo representar los vectores en el espacio. La curva final se forma uniendo las cabezas de los vectores.
Así entonces se representa gráficamente una función vectorial de tres componentes. Sin embargo, graficarlas a mano es un trabajo mas laborioso que trazar funciones vectoriales de dos componentes, por
lo que resulta más conveniente el uso de alguna herramienta graficadora.
Función creciente y decreciente
Sea un intervalo I de n elementos donde $x_{k}<
x_{k+1}$, de manera que I pertenece al dominio de una función
entonces:
- Se dice que la función es creciente en I si $f(x_{k})<f(
x_{k+1})$
- Se dice que la función es decreciente en I si $f(x_{k})> f( x_{k+1})$
- Se dice que la función es decreciente en I si $f(x_{k})> f( x_{k+1})$
Por ejemplo, para la siguiente representación de una función:
Se puede notar que 1 es mayor a la mitad de raíz de 2, así ya se
tiene la idea de que valor es menor o mayor al que le sigue. Para lo
valores negativos, recuerde que mientras un número es más negativo,
este es cada vez menor. Entonces, se tiene para todos los valores de
la tabla que:
\[f\left ( -\frac{\pi }{2} \right )> f\left (- \frac{\pi }{4}
\right )< f(0)< f\left ( \frac{\pi }{4} \right )< f\left
( \frac{\pi }{2} \right )<f\left ( \frac{3\pi }{4} \right )>
f\left ( \pi \right )\]
Por lo tanto, la función es decreciente en $I1:\left [ -\frac{\pi
}{2},-\frac{\pi }{4} \right ]\cup \left [ \frac{3\pi }{4},\pi
\right ]$ y es creciente en $I2:\left [ -\frac{\pi }{4},\frac{3\pi
}{4} \right ]$. Sin embargo, pueden existir puntos en donde la
variación no puede ser muy clara usando la definición utilizada,
por lo que se requieren de otras técnicas para saber donde una
función crece y decrece.
Ejercicios:
a) Para las siguientes funciones, determine el intervalo donde se aparente presentar crecimiento y/o decrecimiento a partir de uno dado usando los pasos indicados.
1) $f(x)=x^{4}-3x^{3}+1,I:\left [ -1,3 \right ],Paso=1$
2) $f(x)=\frac{x}{x-3},I:\left ( 3,9 \right ],Paso=1$
3) $f(x)=-\sqrt{x},I:\left [ 0,36 \right ],Paso=(x_{k})^{2}$
4) $f(x)=\log (10x),I:\left ( 0,100000 \right ],Paso=(10)^{k-1}$
b) Represente gráficamente las siguientes funciones de forma manual:
1) $f(x)=x^{2}-2x+1$
2) $f(x)=\frac{1}{x^{2}-1}$
3) $f(x)=\sqrt{3-2x}$
4) $f(x)=-6x+1$
5) $r(t)=\left \langle 5t,2-t \right \rangle$
6) $r(t)=\left \langle \frac{1}{t},-t \right \rangle$
7) $r(t)=\left \langle \sin (t),\cos (t) \right \rangle$
8) $r(t)=\left \langle t,-\frac{t}{2},2t \right \rangle$
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