Derivación paramétrica
Recordando el cálculo de rectas tangentes a curvas paramétricas se sabe que la pendiente de dichas rectas en cualquier valor del parámetro "t" se da por:
\[m (t) = \frac {\mathrm {d} y} {\mathrm {d} x} = \frac {dy / dt} {dx / dt}\]
Esta resulta ser la expresión de la primera derivada de una curva paramétrica, la cuál es más conveniente escribirla en notación de Leibnitz ya que es más fácil notar que se puede eliminar $dt$, lo que posibilita hallar la derivada $dy/dx$ sin necesidad de conocer la fórmula explícita $y=f(x)$.
Ejemplo: Calcule la derivada de la curva dada por $x=\cos t$ y $y=2\sin t$
Las derivadas correspondientes son $\frac{dx}{dt}=-\sin t$ y $\frac{dy}{dt}=2\cos t$, de manera que
\[\frac {\mathrm {d} y} {\mathrm {d} x} = \frac {2 \cos t} {- \sin t} = - 2 \cot t\]
Note que ahora la función derivada depende del parámetro "t".
Luego, es posible hallar las derivadas de orden superior como sigue:
\[\frac {\mathrm {d} ^ {2} y} {\mathrm {d} x ^ {2}} = \frac {\mathrm {d}} {\mathrm {d} x} \left (\frac {\mathrm {d} y} {\mathrm {d} x} \right)\]
Como la primera derivada es una función de $t$ se debe derivar respecto a ese parámetro, por lo que aplicando la regla de la cadena en notación de Leibnitz se tiene
\[\frac {\mathrm {d} ^ {2} y} {\mathrm {d} x ^ {2}} = \frac {\mathrm {d}} {\mathrm {d} t} \left [\frac {\mathrm {d} y} {\mathrm {d} x} \right] \frac {\mathrm {d} t} {\mathrm {d} x} = \frac {\frac {\mathrm {d} } {\mathrm {d} t} \left [\frac {\mathrm {d} y} {\mathrm {d} x} \right]} {dx / dt}\]
Este procedimiento puede aplicarse repetidamente obteniendo las derivadas de orden $n$.
\[\frac {\mathrm {d} ^ {n} y} {\mathrm {d} x ^ {n}} = \frac {\frac {\mathrm {d}} {\mathrm {d} t} \left [\frac {\mathrm {d} ^ {n-1} y} {\mathrm {d} x ^ {n-1}} \right]} {dx / dt}\]
Ejemplo: Hallar $\frac{\mathrm{d}^{3} y}{\mathrm{d} x^{3}}$ para la curva dada por $x=t-\ln t$ y $y=t+\ln t$.
La primera derivada es
\[\frac {\mathrm {d} y} {\mathrm {d} x} = \frac {1+ \frac {1} {t}} {1- \frac {1} {t}} = \frac {t + 1} {t-1}\]
La segunda derivada es
\[\frac {\mathrm {d} ^ {2} y} {\mathrm {d} x ^ {2}} = \frac {\frac {\mathrm {d}} {\mathrm {d} t} \left (\frac {t + 1} {t-1} \right)} {1- \frac {1} {t}} = \frac {\frac {t-1- (t + 1)} {(t -1) ^ {2}}} {\frac {t-1} {t}} = - \frac {2t} {(t-1) ^ {3}}\]
Por último la tercera derivada es
\[\frac {\mathrm {d} ^ {3} y} {\mathrm {d} x ^ {3}} = \frac {\frac {\mathrm {d}} {\mathrm {d} t} \left (- \frac {2t} {(t-1) ^ {3}} \right)} {\frac {t-1} {t}} = - \frac {\frac {2 (t-1) ^ {3} -6t (t-1) ^ {2}} {(t-1) ^ {6}}} {\frac {t-1} {t}} = \frac {2t (1 + 2t)} {(t-1) ^ {5}}\]
Cabe mencionar que $\frac{\mathrm{d}^{2}y }{\mathrm{d} x^{2}}\neq \frac{\frac{d^{2}y}{dt^{2}}}{\frac{d^{2}x}{dt^{2}}}$
Rectas tangentes a curvas polares
Para encontrar una recta tangente a una curva polar dada por $r=f(\theta)$, se puede usar la derivada paramétrica convirtiendo la ecuación polar a ecuaciones paramétricas como sigue:
\[x=r\cos \theta \: \: \: \: \: \: \: \: y=r\sin \theta\]
Note que es como transformar de coordenadas rectangulares a polares, por tanto
\[\frac {\mathrm {d} y} {\mathrm {d} x} = \frac {dy / d \theta} {dx / d \theta}\]
Observe que $\theta$ es el parámetro ya que $r=f(\theta)$. Por tanto, aplicando la regla del producto se tiene
\[\frac {\mathrm {d} y} {\mathrm {d} x} = \frac {\frac {\mathrm {d} r} {\mathrm {d} \theta} \sin \theta + r \cos \theta} {\frac {\mathrm {d} r} {\mathrm {d} \theta} \cos \theta -r \sin \theta}\]
También puede escribirse
\[m (\theta) = \frac {\frac {\mathrm {d} r} {\mathrm {d} \theta} \sin \theta + x} {\frac {\mathrm {d} r} {\mathrm {d} \theta} \cos \theta -y}\]
Siendo esta la expresión para hallar la pendiente de la recta tangente a una curva polar en cualquier valor de $\theta$. Cabe mencionar que por definición de pendiente se puede hallar la inclinación de la recta mediante $m=\tan \phi$, donde $\phi$ es el ángulo de inclinación respecto al eje horizontal. Este dato facilita el trazado de la recta en el plano polar sin necesidad de una ecuación.
Ejemplo 1: Encuentre la recta tangente a la curva dada por $r=3\sin \theta$ en $\theta =\frac{\pi }{3}$.
Convirtiendo la ecuación polar a ecuaciones paramétricas se tiene
\[x=(3\sin \theta)\cos \theta \: \: \: \: \: \: \: \: y=(3\sin\theta )\sin \theta\]
La derivada de $r$ es $\frac{\mathrm {d} r}{\mathrm {d} \theta}=3\cos \theta$, por tanto:
\[\frac{\mathrm{d} y}{\mathrm{d} x}=\frac{(3\cos \theta)\sin \theta +(3\sin \theta )\cos \theta }{(3\cos \theta )\cos \theta -(3\sin \theta )\sin \theta }=\frac{2\sin \theta \cos \theta }{\cos (2\theta) }\]
Luego en $\theta =\frac{\pi }{3}$ se tiene que:
\[m \left (\frac {\pi} {3} \right) = \frac {2 \sin \left (\frac {\pi} {3} \right) \cos \left (\frac {\pi } {3} \right)} {\cos \left (\frac {2 \pi} {3} \right)} = \frac {2 \left (\frac {\sqrt {3}} {2} \right ) \left (\frac {1} {2} \right)} {\left (- \frac {1} {2} \right)}\]
\[m \left (\frac {\pi} {3} \right) = - \sqrt {3}\]
Si $r\left ( \frac{\pi }{3} \right )=3\sin \left ( \frac{\pi }{3} \right )=\frac{3\sqrt{3}}{2}$ entonces la recta pasa por el punto $P\left (\frac{3\sqrt{3}}{2},\frac{\pi }{3}\right )$ y conocida la pendiente, la inclinación es $\phi =-\frac{\pi }{3}$. Con estos datos es posible graficar la recta tangente a la curva, la cuál se sabe que es una circunferencia de diámetro 3 que se encuentra por encima del eje polar
Es muy común hallar rectas tangentes verticales en una curva polar. Estas ocurren cuando el denominador de la función $m(\theta)$ es 0, siempre que el numerador sea diferente de 0.
Ejemplo 2: Determine todos los valores de $\theta$ donde la curva dada por $r=1+\cos \theta$ presente rectas verticales y horizontales
Las ecuaciones paramétricas son
\[x=(1+\cos \theta )\cos \theta \: \: \: \: \: \: \: \: y=(1+\cos \theta )\sin \theta\]
La derivada de $r$ es $\frac{\mathrm{d} r}{\mathrm{d} \theta}=-\sin \theta$, por tanto
\[\frac{\mathrm{d} y}{\mathrm{d} x}=\frac{-\sin \theta \sin \theta +(1+\cos \theta )\cos \theta }{-\sin \theta\cos \theta -(1+\cos \theta )\sin \theta }\]
\[m(\theta )=\frac{\cos (2\theta )+\cos \theta }{-2\cos \theta \sin \theta -\sin \theta}\]
Se sabe que una recta tangente horizontal tiene pendiente 0, por lo que se resuelve la siguiente ecuación trigonométrica.
\[\frac{\cos (2\theta )+\cos \theta }{-2\cos \theta \sin \theta -\sin \theta}=0\]
\[2\cos ^ {2} (\theta) + \cos \theta-1 = 0\]
\[\cos \theta = \frac {-1 \pm \sqrt {1-4 (2) (- 1)}} {2 (2)} = \frac {-1 \pm 3} {4}\]
\[\left \{\begin {matrix} \cos \theta = \frac {1} {2} \Rightarrow & \theta_ {1} = \frac {\pi} {3} + 2n \pi, \, \theta _ {2} = \frac {5 \pi} {3} + 2n \pi \\ \cos \theta = -1 \Rightarrow & \theta = \pi (2n-1) \end {matrix} \right.\]
Luego, para las rectas tangentes verticales se resuelve la siguiente ecuación trigonométrica
\[-2\sin \theta \cos \theta -\sin \theta=0\]
\[\sin \theta (2\cos \theta+1)=0\]
\[\left \{\begin {matrix} \sin \theta = 0 \Rightarrow & \theta = n \pi \\ \cos \theta = - \frac {1} {2} \Rightarrow & \theta_ {1} = \frac {2 \pi} {3} + 2n \pi, \, \theta_ {2} = \frac {4 \pi} {3} + 2n \pi \end {matrix} \right.\]
Note que en todos los valores $\theta =\pi(2n-1)$, tanto el denominador como el numerador de $m(\theta)$ son cero, obteniendo 0/0 de manera que no se puede concluir nada respecto a la recta tangente. Por otro lado, para $\theta=n\pi$ ocurre el mismo problema pero solo para algunos valores de $n$. Entonces, probando para $n=1,2,3,4$ se tiene $\theta=\pi, 2\pi, 3\pi,4\pi$ respectivamente. Si se evalúa en $m(\theta)$ se concluye que para cada $\theta= n\pi$ donde "n" es impar se obtiene 0/0 y si "n" es par solo el denominador se hace 0, lo que cumple con la condición de la recta tangente vertical.
Por tanto los valores de $\theta$ en los que la curva presenta recta tangente horizontal son
\[\theta: \left \{\frac {\pi} {3} + 2n \pi, \frac {5 \pi} {3} + 2n \pi \right \}\]
y los valores de $\theta$ en los que la curva presenta rectas tangentes verticales son
\[\theta: \left \{2n \pi, \frac {2 \pi} {3} + 2n \pi, \frac {4 \pi} {3} + 2n \pi \right \}\]
Para comprobar los resultados se graficarán las rectas si $n=0$. Entonces, las rectas horizontales pasan los lo puntos $P_{1}\left ( \frac{3}{2},\frac{\pi }{3} \right )$ y $P_{2}\left ( \frac{3}{2},\frac{5\pi }{3} \right )$, las rectas verticales pasan por los puntos $P_{3}(2,0)$, $P_{4}\left ( \frac{1}{2},\frac{2\pi }{3} \right )$ y $P_{5}\left ( \frac{1}{2},\frac{4\pi }{3} \right )$, por tanto:
Rectas tangentes en el polo
Si $f(a)=0$ y $f'(a)\neq 0$, entonces la recta $\theta=a$ es tangente a la gráfica de $r=f(\theta)$ en el polo.
Este enunciado suena razonable si se lo ilustra gráficamente con una curva ejemplo
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| Curva rosa de 3 pétalos $r=\sin (3\theta)$ cuyas rectas tangentes en el polo se dan por las soluciones a la ecuación $\sin (3\theta)=0$. Asimismo note que la inclinación de los ejes de los pétalos se dan por las soluciones a la ecuación $\sin (3\theta)=1$. |
Note que todas las rectas tangentes en el polo pasan por $x=0$ y $y=0$ en coordenadas rectangulares, también que $r'(\theta)=3\cos (3\theta)\neq 0$ en todos los valores de $\theta$ donde $r(\theta)=0$ de manera que la fórmula de la pendiente se reduce a
\[m (\theta) = \frac {\frac {\mathrm {d} r} {\mathrm {d} \theta} \sin \theta} {\frac {\mathrm {d} r} {\mathrm { d} \theta} \cos \theta} = \tan \theta\]
Esta es la definición de pendiente conocida, lo que demuestra que todas las rectas $\theta=a$ tales que $r(\theta)=0$ son tangentes a la curva en el polo.
Ejemplo: Halle las rectas tangentes en el polo a la curva dada por $r=4\cos (3\theta)$.
En el polo se tiene que
\[r = 4 \cos (3 \theta) = 0\]
\[\cos (3 \theta) = 0\]
\[3 \theta = \frac {\pi} {2} (2n-1)\]
\[\theta = \frac {\pi} {6} (2n-1)\]
De esta manera las rectas tangentes en el polo pasan pos los puntos $P\left [ 0,\frac{\pi }{6}(2n-1) \right ]$ cuyos ángulos de inclinación evidentemente son $\phi =\frac{\pi }{6}(2n-1)$. Luego, para graficar la curva se puede utilizar una tabla de valores.
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| Curva rosa de 3 pétalos cuyo primer pétalo es simétrico respecto al eje polar y cada eje se dan por las soluciones a la ecuación $4\cos (3\theta)=4$ |
Por último, para graficar las rectas tangentes se probarán los valores de $\phi$ donde $n=1$, $n=2$ y $n=3$ obteniendo:
Ejercicios:
a) Para las curvas dadas por ecuaciones paramétricas, hallar $dy/dx$ y $d^{2}y/dx^{2}$ y mediante estos datos determine la pendiente de la recta tangente a la curva y concavidad en el valor de $t$ dado
1) $ x = 4t, \, y = 3t-2 $ en $ t = 3 $
2) $x=t+1, \, y=t^{2}+3t$ en $t=-1$
3) $x=4\cos t, \, y=4\sin t$ en $t=\frac{\pi}{4}$
4) $x=2+\sec t, \, y=1+2\tan t$ en $t=\frac{\pi}{6}$
5) $x=\cos^{3} t, \, y=\sin^{3} t$ en $t=\frac{\pi}{4}$
b) Dadas las gráficas, halle la recta tangente de forma analítica en el punto pedido y grafique:
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