Movimiento en el plano
Aplicando las herramientas del cálculo de funciones vectoriales, podemos complementar el estudio del movimiento complejo analizando la trayectoria de un proyectil o de un cuerpo con movimiento circular uniforme.
Movimiento de proyectiles
Considere el movimiento de un cuerpo con trayectoria parabólica como se muestra en la figura
Note que desde el momento que el objeto se lanza se presenta el efecto de caída libre, por lo que se puede decir que:
\[a=-g\mathbf{j}\]
Integrando a razón de hallar la velocidad se tiene
\[v(t)=\int -g\, dt\mathbf{j}\]
\[v(t)=-gt\mathbf{j}+C\]
donde $C$ se da por una condición inicial dada por $v(0)=v_{0}$. El cuál significa que en un tiempo $t=0$ el cuerpo posee una velocidad inicial $v_{0}$. De esta manera, como la velocidad es la derivada de la posición se tiene
\[r'(t)=-gt\mathbf{j}+v_{0}\]
\[r(t)=\int (-gt\mathbf{j}+v_{0})\, dt\]
\[r(t)=-g\frac{t^{2}}{2}\mathbf{j}+v_{0}t+D\]
donde $D$ se da por una condición inicial dada por $r(0)=r_{0}$. El cuál significa que en un tiempo $t=0$ el cuerpo se encuentra en una posición inicial $r_{0}$, de manera que
\[r(t)=-\frac{1}{2}gt^{2}\mathbf{j}+v_{0}t+r_{0}\]
Sin embargo, con estas funciones vectoriales solo describimos el movimiento respecto al eje "y". Para tomar en cuenta el movimiento respecto al eje "x" podemos tomar los componentes del vector de velocidad inicial como sigue
\[\mathbf{v}_{0}=\left \| \mathbf{v}_{0} \right \|\cos \alpha _{0}\mathbf{i}+\left \| \mathbf{v}_{0} \right \|\sin \alpha _{0}\mathbf{j}\]
De esta manera reemplazando en $r(t)$ se tiene
\[r(t)=-\frac{1}{2}gt^{2}\mathbf{j}+(v_{0}\cos \alpha _{0}\mathbf{i}+v_{0}\sin \alpha _{0}\mathbf{j})t+r_{0}\]
\[r(t)=(v_{0}\cos \alpha _{0}+r_{x})t\mathbf{i}+\left [r_{y}+(v_{0}\sin \alpha _{0})t-\frac{1}{2}gt^{2} \right ]\mathbf{j}\]
Note que $\left \| \mathbf{v}_{0} \right \|=v_{0}$ y que la posición inicial presenta componentes $r_{x}$ y $r_{y}$. De esta manera, la función $r(t)$ describe la trayectoria de un proyectil.
Algunos otros parámetros importantes son el alcance y altura máxima. Entonces, observando la figura anterior, se puede notar que el alcance máximo se obtiene cuando $y(t)=0$, de manera que:
\[r_{y}+v_{0}\sin \alpha _{0}t-\frac{1}{2}gt^{2} =0\]
\[t\left (\frac{1}{2}gt-v_{0}\sin \alpha _{0} \right )=r_{y}\]
Para simplificar el cálculo supongamos que el cuerpo se lanza desde una altura inicial $r_{y}=0$, de manera que se obtiene el conjunto solución
\[t:\left \{ 0,\frac{2v_{0}\sin \alpha _{0}}{g} \right \}\]
Reemplazando la segunda solución en $x(t)$ se tiene
\[Xmax=v_{0}\cos \alpha _{0}\left ( \frac{2v_{0}\sin \alpha _{0}}{g} \right )+r_{x}=\frac{2v_{0}^{2}\cos \alpha _{0}\sin \alpha _{0}}{g}+r_{x}\]
\[Xmax=r_{x}+\frac{v_{0}^{2}\sin (2\alpha _{0})}{g}\]
Luego, observando la figura se tiene que la altura máxima se da cuando $v(t)=0$, por lo que
\[v(t)=v_{0}\cos \alpha _{0}\mathbf{i}+\left (v_{0}\sin \alpha _{0}-gt \right )\mathbf{j}=0\]
Como se desea hallar la altura solamente se tomará la componente $v_{y}(t)$ con el fin de hallar el valor de $t$ donde dicha componente sea 0
\[v_{0}\sin \alpha _{0}-gt=0\]
\[t=\frac{v_{0}\sin \alpha _{0}}{g}\]
Reemplazando en $y(t)$ se tiene
\[Ymax=r_{y}+(v_{0}\sin \alpha _{0})\left ( \frac{v_{0}\sin \alpha _{0}}{g} \right )-\frac{1}{2}g\left ( \frac{v_{0}\sin \alpha _{0}}{g} \right )^{2}\]
\[Ymax=r_{y}+(v_{0}^{2}\sin^{2} \alpha _{0})\left ( \frac{1}{g}-\frac{1}{2g} \right )\]
Supongamos que el cuerpo se lanza desde una altura inicial $r_{y}=0$, la altura máxima será
\[Ymax=\frac{v_{0}^{2}\sin^{2} \alpha _{0}}{2g}\]
En la mayoría de problemas de movimiento de proyectiles, la posición inicial $r_{x}$ es 0 por lo que la función posición y el alcance máximo se escriben como sigue:
\[r(t)=v_{0}\cos \alpha _{0}t\mathbf{i}+\left [r_{y}+(v_{0}\sin \alpha _{0})t-\frac{1}{2}gt^{2} \right ]\mathbf{j}\]
\[Xmax=\frac{v_{0}^{2}\sin (2\alpha _{0})}{g}\]
Ejemplo: Un cañón colocado a una cierta altura dispara una bala con una velocidad de 12 (m/s) con una inclinación de 50 grados sobre la horizontal, la bala impacta sobre el suelo 2 segundos después:
- ¿Cuáles son las componentes de la velocidad de la bala en el instante del impacto?
- ¿Desde que altura se disparó?
- ¿Cuál fue el alcance máximo?
\[v=v_{x}\mathbf{i}-v_{y}\mathbf{j}\]
Luego, conocidos la velocidad inicial y el ángulo de disparo, la función de velocidad $v(t)$ será:
\[v(t)=12\cos 50^{\circ}\mathbf{i}+\left (12\sin 50^{\circ}-9.8t \right )\mathbf{j}\]
Note que $v_{x}$ es constante en todo momento por lo que dicha componente será $v_{x}=12\cos 50^{\circ}=7.71\, (m/s)$. Por otro lado $v_{y}$ depende de $t$, pero conocido el tiempo de impacto se tiene que
\[v_{y}=12\sin 50^{\circ}-9.8(2)=-10.41\, (m/s)\]
De esta manera, respondiendo al primer punto se tiene que la velocidad de impacto es
\[v=7.71\mathbf{i}-10.41\mathbf{j}\]
Para responder al segundo punto, se sabe que el impacto ocurre en 2 segundos y que en dicho instante la componente $y(t)$ es 0, por lo que
\[0=h+(12\sin 50^{\circ})(2)-4.9(2)^{2}\]
\[h=4.9(2)^{2}-(12\sin 50^{\circ})(2)=1.21\, (m)\]
Por último, para el alcance máximo se puede utilizar el tiempo de impacto ya que en ese instante la bala alcanza la distancia máxima. Entonces, mediante los datos conocidos, la función de posición es:
\[r(t)=(12\cos 50^{\circ})t\mathbf{i}+\left [h+(12\sin 50^{\circ})t-\frac{1}{2}(9.8)t^{2} \right ]\mathbf{j}\]
De esta manera el alcance máximo es
\[x(2)=(12\cos 50^{\circ})(2)=15.43\, (m)\]
Cabe mencionar que en este caso no es posible aplicar la fórmula directa del alcance máximo, ya que este funciona solamente cuando la altura inicial es 0.
Movimiento circular uniforme
Considere el movimiento de un cuerpo en trayectoria circular como muestra la siguiente figura
\[r(t)=b\cos \theta \mathbf{i}+b\sin \theta \mathbf{j}\]
Si consideramos un movimiento uniforme sobre el ángulo barrido $\theta$ se puede decir que la velocidad con la que una partícula barre dicho ángulo será
\[\omega =\frac{\mathrm{d} \theta }{\mathrm{d} t}\]
Despejando los diferenciales e integrando con las respectivas condiciones se tiene
\[\int_{0}^{t}\omega \, dt=\int_{0}^{\theta }d\theta\]
\[\omega t=\theta\]
Note que en $t=0$ se ha supuesto un ángulo barrido $\theta=0$, esto se realizó para simplificar el cálculo de los parámetros restantes. Luego reemplazando en $r(t)$ se tiene
\[r(t)=b\cos (\omega t) \mathbf{i}+b\sin (\omega t) \mathbf{j}\]
Siendo esta la función posición de una partícula en movimiento circular uniforme donde a $\omega$ se la denomina velocidad angular. Cabe mencionar que si la partícula parte de una posición $\theta_{0}$ en $t=0$ se tiene
\[\theta =\theta _{0}+\omega t\]
En movimiento complejo se analizó el concepto de velocidad lineal, el cual resultó ser
\[v=b\omega\]
Asimismo se dedujo que el vector velocidad es perpendicular al vector posición. Por otro lado si hallamos el vector aceleración, se puede definir lo siguiente
\[a(t)=-b\omega^{2}[\cos (\omega t) \mathbf{i}+\sin (\omega t) \mathbf{j}]\]
La aceleración apunta en sentido contrario a la posición de manera que siempre señala al origen. Esta se denomina vector de aceleración centrípeta. Por tanto, hallando el módulo definimos a la aceleración centrípeta como
\[a_{c}=b\omega^{2}\]
donde $b$ es el radio.
Asimismo, partiendo de la velocidad lineal se puede decir que
\[\omega =\frac{v}{b}\]
de manera que
\[a_{c}=b\left ( \frac{v}{b} \right )^{2}=\frac{v^{2}}{b}\]
Otro parámetro importante es el periodo, el cuál se define como el tiempo que le toma a una partícula en barrer una vuelta, de manera que podemos relacionarla con la velocidad angular como sigue
\[\omega =\frac{\theta }{t}=\frac{1\, vuelta}{T}=\frac{2\pi }{T}\]
Note que un cuerpo da una vuelta completa si barre $2\pi$ radianes. De esta manera se concluye que
\[T=\frac{2\pi }{\omega }\]
Ejemplo: Un satélite terrestre se mueve en una órbita circular de 1000 K(m) sobre la superficie de la tierra. Se sabe que demora 92 minutos en dar una vuelta completa, si el radio medio de la tierra es 6380 K(m), determínese:
- La velocidad angular del satélite
- La velocidad tangencial del satélite
- La magnitud de la aceleración de la gravedad a esa altura
\[R=Rt+Rs=1000+6380=7380\, k(m)\]
Para responder al primer punto, se conoce el periodo, por lo que la velocidad angular será:
\[\omega=\frac{2\pi }{T}=\frac{2\pi }{92}=\frac{\pi }{46}\, (rad/min)\]
Para expresar el resultado de una forma más entendible conviene convertir los segundos a horas
\[\omega =\frac{\pi }{46\, min}\times \frac{60\, min}{1\, hr}=\frac{30\pi }{23}\, (rad/h)\approx 4.1\, (rad/h)\]
Conocida la expresión de la velocidad tangencial o lineal y los datos del radio y la velocidad angular se tiene
\[v=(4.1)(7380)=30258\left ( \frac{km}{h} \right )\times\left ( \frac{1\, h}{3600\,s} \right )\approx 8.4\, (km/s)\]
Note que en este caso resulta más entendible expresar el resultado en kilómetros sobre segundo.
Por último, para responder al tercer punto, como la aceleración de la gravedad apunta al centro de la tierra, la podemos interpretar como la aceleración centrípeta para el satélite de manera que:
\[g=a_{c}=7380(4.1)^{2}=124057.8\, (km/h^{2})\]
Si expresamos esta aceleración en metros sobre segundo se tiene
\[a_{c}=124057.8\left ( \frac{km}{h^{2}} \right )\times \left ( \frac{1\, h}{3600^{2}\, s^{2}} \right )\times \left ( \frac{1000\, m}{km} \right )\approx 9.6\, (m/s^{2})\]
Así se puede entender el efecto de la aceleración de la gravedad en el espacio.
Ejemplo práctico: Hallar las funciones posición, velocidad y aceleración centrípeta de una partícula que se mueve en un círculo como muestra la figura con velocidad angular constante
En los ejercicios anteriores la partícula se movía en sentido antihorario, en este caso el movimiento es en sentido horario por lo que la ecuación del movimiento angular será
\[\theta =-\omega t+\theta _{0}\]
Luego, respecto al sistema de referencia, el círculo se encuentra trasladado "a" unidades a la derecha y "b" unidades hacia arriba, por lo que el vector de traslación será $r_{t}=a\mathbf{i}+b\mathbf{j}$. De esta manera la función de posición es
\[r(t)=R\cos (-\omega t+\theta _{0})\mathbf{i}+R\sin (-\omega t+\theta_{0})\mathbf{j}+r_{t}\]
Es notable que respecto a la partícula la posición inicial es 0 y que tanto "a" como "b" son iguales al radio de manera que
\[r(t)=[R\cos (-\omega t)+R]\mathbf{i}+[R\sin (-\omega t)+R]\mathbf{j}\]
O también
\[r(t)=R\left \{ [1+\cos (\omega t)]\mathbf{i}+[1-\sin (\omega t)]\mathbf{j} \right \}\]
Derivando se halla la función velocidad
\[v(t)=-R\omega [ \sin (\omega t)\mathbf{i}+\cos (\omega t)\mathbf{j}]\]
Por último, volviendo a derivar se tiene la función de aceleración centrípeta
\[a(t)=-R\omega^{2}[ \cos (\omega t)\mathbf{i}-\sin (\omega t)\mathbf{j}]\]
Ejercicios:
Plantea y resuelve los siguientes problemas
1) Una pelotita de goma sale rodando por el borde de una mesa de 1.2 (m) de alto. Si llega al suelo a 90 (cm) de la mesa.
- ¿Cuál es su velocidad al abandonar la mesa?
- Si en el choque contra el piso no existe ninguna pérdida de energía ¿Hasta qué altura rebota la pelota?
2) En pruebas de armamento bélico se desea saber si un misil que se dispara con una velocidad de 20 (m/s) con un ángulo de 53° con respecto al suelo es capaz de impactar directamente a un blanco situado a 36 (m) del punto de lanzamiento. El blanco se encuentra semicubierto por un techo blindado dejando un espacio libre para el impacto con una altura de 3.05 (m) desde el suelo.
3) En el instante $t=0$, dos partículas A y B están girando en el mismo sentido y pasan por un punto P con velocidades angulares constantes de $\pi/2 (rad/s)$ y $\pi/3 (rad/s)$ respectivamente.
- ¿Cuánto tiempo le toman reencontrarse?
- ¿Cuántas vueltas han completado hasta entonces?
4) Una partícula se mueve con velocidad constante en un círculo de 3 (m) de radio y efectúa una revolución en 20 (s) (ver figura). En un instante $t=0$ la partícula se encentra en el origen O de un sistema de referencia, encontrar
- Las funciones de posición, velocidad y aceleración centrípeta para cualquier instante $t$
- El vector de desplazamiento en el intervalo de 5 a 10 segundos
- El vector de velocidad y aceleración instantánea al principio y al final de este intervalo
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