Variable compleja III

Funciones de variable compleja

Definción de una función compleja

Una función compleja se define como una regla que asocia un número complejo $z$, con otro número complejo $f(z)$. De esta forma, se dice que su dominio y rango pertencen al conjunto $\mathbb{C}$.

El comportamiento geométrico de las funciones complejas es muy interesante. Pues, a diferencia de las funciones reales, la única restricción del dominio es la división entre 0. Por ejemplo, la función compleja $f(z)=\frac{z-i}{\sqrt{z+i}}$ presenta una división entre 0 si $z=-i$, por otro lado la raíz cuadrada de números negativos si existe en los complejos, de modo que dicho valor de "z" es la única restricción del dominio.

No en todas las funciones complejas resulta sencillo encontrar los números complejos que restrinjan al domino. Por tanto, en los temas posteriores se verán algunas estrategias que facilitan este análisis.

Representación gráfica de una función compleja

Es evidente que número complejo es bidimensional, por lo que el dominio y el rango de una función compleja también son de dos dimensiones. Por tanto, por teorema de la dimensión, si tomamos solo aquellas funciones complejas que cumplan con las propiedades de una transformación lineal, la dimensión mínima del espacio vectorial de dichas funciones tiene que ser 4. Por tanto, representar una función compleja no es un trabajo sencillo, por lo que resulta común usar dos planos complejos: uno para el dominio y otro para el rango.

Representación gráfica de una función compleja

El plano dominio "z" contiene todos los números complejos de la forma $z=x+iy$ y el plano imagen "w" contiene todos los números complejos de la forma $w=u+iv$. Esta notación brinda mayor comodidad para representar gráfica y algebraicamente a una función compleja, pues la forma $w=f(z)$ puede ser expresada en notación cartesiana como sigue:

\[ f(x+iy)=u(x,y)+iv(x,y)\]

w tiene las componentes "u" y "v", las cuales dependen del valor de "z", y si esta se compone por "x" e "y", entonces es evidente que "u" y "v" dependen de esas componentes.

Ejemplo: Representar gráficamente la función $f(z)=z^{2}$

Representando a "f" en notación cartesiana se tiene

\[f(x+iy)=(x+iy)^{2}=x^{2}-y^{2}+2xyi\]

\[w:\left\{\begin{matrix}u=x^{2}-y^{2}\\v=2xy\end{matrix}\right.\]

Ahora, si se evalúan algunos puntos del plano "z", resultará muy difícil notar el gráfico de "w". Por ende, es mejor utilizar un lugar geométrico para que la transformación que realiza "f" sobre la curva muestre su comportamiento. Por tanto, escogiendo las rectas x=1 e y=1 se tiene que:

\[x=1\rightarrow w:\left\{\begin{matrix}u=1-y^{2}\\v=2y\end{matrix}\right.\rightarrow\left\{\begin{matrix}2u=2-2y^{2}\\\frac{v^{2}}{2}=2y^{2}\end{matrix}\right.\]

\[f(1):v^{2}=4(1-u)\]

\[y=1\rightarrow w:\left\{\begin{matrix}u=x^{2}-1\\v=2x\end{matrix}\right.\rightarrow\left\{\begin{matrix}2u=2x^{2}-2\\\frac{v^{2}}{2}=2x^{2}\end{matrix}\right.\]

\[f(i):v^{2}=4(u+1)\]

Nótese que las ecuaciones de transformación se operaron de manera que queden unicamente funciones de u y v. Así entonces, se obtuvieron ecuaciones parabólicas que resultan sencillas de graficar en el plano "w".

"f" deforma el plano "z" duplicando el argumento y elevando al cuadrado el módulo de los números complejos contenidos en él.

Ejemplo práctico: Graficar la función $f(z)=\frac{1}{z}$

En este caso, usar rectas puede complicar la deducción de las ecuaciones de las curvas imagen para graficarlas en el plano "w". Por ende, conviene utilizar la notación polar para facilitar dicha deducción:

\[f(\theta)=\frac{1}{|z|\textrm{cis}\theta}=\frac{1}{|z|}(\cos\theta-i\sin\theta)\]

\[w:\left\{\begin{matrix}u=\frac{1}{|z|}\cos\theta\\v=-\frac{1}{|z|}\sin\theta\end{matrix}\right.\]

Entonces, escogiendo la circunferencia unitaria como lugar geométrico a transformar se tiene que

\[u=\cos\theta,\,v=-\sin\theta,\:\theta\in[0,2\pi]\]

El módulo de la circunferencia unitaria es 1, por lo que resulta lógico decir que |z|=1. También, se sabe que se define en el intervalo de 0 a $2\pi$, de modo que si se evalúa en "w" se tiene

\[w(0)=\left\{\begin{matrix}u=1\\v=0\end{matrix}\right.,\:w\left(\frac{\pi}{2}\right)=\left\{\begin{matrix}u=0\\v=-1\end{matrix}\right.\]

Estas dos evaluaciones son suficientes para concluir que la curva en el plano "w" es una circunferencia de radio 1 que gira en sentido horario.

"f" no está definida en "z=0", pero invierte los argumentos y mantiene el módulo de los números complejos contenidos en el plano "z"

Limite y continuidad de una función compleja

El limite de una función compleja se define de forma similar que el limite de una función de variable real, reemplazando intervalos por discos:

\[\displaystyle\lim_{z\to z_{0}}f(z)=L\]

Si para todo $\epsilon >0$, existe un número positivo $\delta$ tal que $|f(z)-L|<\epsilon$ para todo "z" en el dominio de "f" tal que $0<|z-z_{0}|<\delta$

Se puede tomar un punto interior arbitrario en el disco abierto del plano dominio para aproximarse a $\mathit{z_{0}}$ a lo largo de cualquier trayectoria siempre y cuando f(z) esté definida (no presente divisiones entre 0) en esa trayectoria

Asimismo, la continuidad de una función compleja se define de forma similar a la continuidad de una función de variable real:

Una función compleja es contínua en un número $z_{0}$ si, y solo si

\[\displaystyle\lim_{z\to z_{0}}f(z)=L(z_{0})\]

En particular, si "f" es continua en todo punto "z" para el cual "f(z)" está definida, entonces "f" es una función continua.

Con estos conceptos es posible dar a entender el comportamiento de algunas de las funciones complejas que se clasificarán en el siguiente apartado. 

Clasificación de las funciones complejas

Así como en funciones de variable real, las funciones complejas se pueden clasificar en: función lineal, funciones de polinomios, funciones racionales y funciones algebraicas. No obstante, las funciones trascendentes, la función potencia y la función raíz resultan ser las más importantes debido a su interesante comportamiento. Pues permiten entender con mayor rigurosidad la naturaleza de los números complejos.

Función exponencial compleja

Sea un número complejo $z=x+iy$, la función exponencial compleja se define como:

\[ f(z)=e^{z}=e^{x+iy}=e^{x}e^{iy}=e^{x}(\cos y+i\sin y)\]

Note que esta definición resulta de la aplicación de la identidad de Euler, y debido a que esta lo relaciona con las funciones trigonométricas seno y coseno, se puede decir que:

\[f(z)=e^{x}[\cos(y+2\pi)+i\sin(y+2\pi)]=e^{x+i(y+2\pi)}\]

concluyendo así que la función exponencial compleja tiene periodo $2\pi i$.

Ahora, para mostrar el comportamiento geométrico de la función exponencial, expresemos "f" en su forma paramétrica sin considerar el periodo por cuestiones de simplicidad.

\[\left\{\begin{matrix}u=e^{x}\cos y\\v=e^{x}\sin y\end{matrix}\right.\]

Utilizando las rectas $x=1$ e $y=\frac{\pi}{4}$ se tiene que:

• Para $x=1$ se forman las ecuaciones parámetricas de una circunferencia de radio "e":

\[\left\{\begin{matrix}u=e\cos y\\v=e\sin y\end{matrix}\right.\]

• Para $y=\frac{\pi}{4}$ se tienen las ecuaciones parámetricas de una recta:

\[\left\{\begin{matrix}u=\frac{\sqrt{2}}{2}e^{x}\\v=\frac{\sqrt{2}}{2}e^{x}\end{matrix}\right.\]

"f" transforma cualquier recta vertical en una circunferencia de radio $\mathit{e^{x}}$ siendo "x" la posición en el eje real de dicha recta. Por otro lado, "f" transforma una recta horizontal en otra recta cuya inclinación es el corte de dicha horizontal con el eje imaginario del plano "z"

Si ahora se puede decir que la función exponencial compleja es periódica y que se comporta como una circunferencia en la parte imaginaria de un complejo "z", veamos que pasa si $z=2\pi ni$, donde "n" es cualquier número entero.

\[e^{2\pi ni}=\cos 2\pi n+i\sin 2\pi n=1\]

Despejando se tiene que $e^{2\pi ni}-1=0$, siendo esta considerada como la ecuación más bella de las matemáticas debido a la relación que tiene una cantidad imaginaría con los números más importantes del cálculo.

Función raíz compleja

Consideremos el complejo

\[w=\sqrt[n]{z}\]

donde "n" es un número natural diferente de 0.

Expresemos "z" en notación exponencial y tomando en cuenta que la función exponencial compleja es periódica, se puede escribir a "w" como sigue

\[w=z^{\frac{1}{n}}=|z|^{\frac{1}{n}}[e^{i\arg (z)}]^{\frac{1}{n}}=\sqrt[n]{|z|}e^{\frac{i}{n}(\theta +2\pi k)}\]

Siendo esta última expresión la función raíz en los complejos.

Esta función permitió a Carl Friedrich Gauss, (un matemático alemán), enunciar y demostrar en su tesis doctoral el teorema fundamental del álgebra, el cual dice:

Todo polinomio de grado N con coeficientes en los reales tiene N raices en los complejos.

Este teorema asegura que una ecuación de grado "n" tiene "n" soluciones en los complejos. Por ejemplo, hallemos las soluciones de la ecuación $x^{2}+1=0$:

Despejando "x" se tiene

\[x=\sqrt{-1}\]

si el argumento de -1 es $\pi$ y n=2, entonces es posible utilizar la función raíz compleja como sigue

\[ f(-1)=\sqrt{|-1|}e^{\frac{i}{2}(\pi+2\pi k)}=e^{\frac{\pi i}{2}(2k+1)}\]

En el trabajo de Gauss, "k" es considerado como un número natural que sigue la sucesión: 0,1,2,3,4,... Pues, siguiendo con el teorema fundamental del álgebra, sí la ecuación es de grado 2, entonces deben existir 2 soluciones y por tanto:

\[k=0\rightarrow x_{1}=e^{\frac{\pi}{2}i}=i\]

\[k=1\rightarrow x_{2}=e^{\frac{3\pi}{2}i}=-i\]

Para explicar la razón por la que "k" debe ser natural y por la que no debe superar los "n=2" elementos de la sucesión plantearemos la siguiente situación. Si se toma "k=2" el resultado vuelve a salir "i", si se toma "k=3" el resultado será "-i", si "k=4" entonces se tiene "i" y así el resultado sigue un ciclo infinito entre "i" y "-i". Ahora, si "k" fuera entero negativo iniciando con "k=-1", el resultado empieza con "-i" y luego será "i" y así sucesivamente. Así entonces, para evitar que los resultados de la función raíz formen un ciclo infinito y asimismo por comodidad de la obtención de las raíces es conveniente que "k" sea natural. Cabe mencionar que, esto solo se hace para obtener todas las raíces del polinomio cumpliendo así con el teorema fundamental del álgebra.

Representación gráfica de la función raíz cuadrada compleja con $\mathit{z=-1}$ 

Es importante notar que la raíz cuadrada de un número complejo siempre tendrá dos valores posibles, uno positivo y otro negativo. Por lo tanto, al aplicar la función inversa, podemos expresar $\sqrt{z^{2}}=\pm z$. Esto es fundamental destacar, ya que difiere con la noción de los números reales, donde $\sqrt{x^{2}}=|x|$. En el contexto de los números complejos, no se hace referencia al valor absoluto de la misma manera.

Función multivaluada

Es complicado representar una gráfica completa de la función raíz compleja. Sin embargo, es posible estudiar su comportamiento con solo un número complejo "z". Observe la figura del punto anterior y note que para "z=-1" la función raiz cuadrada devuelve dos valores. Ahora, si la raíz tuviera índice "n", dicha función dará "n" valores para un solo número del dominio. Este comportamiento es característico de la denominada función multivaluada.

Una función es multivaluada si algún elemento del dominio se asocia con más de un elemento del rango.

Graficar una función multivaluada no es sencillo y mucho menos entenderlo si se utiliza un sistema computacional. No obstante, se pueden graficar "pedazos" de esta para entender su comportamiento geométrico. Cada "pedazo" se denomina determinación de la función compleja, la cual puede ser continua o no y en caso de ser continua, la determinación también se la llama rama.

Ejemplo: Graficar las ramas de la función $f(z)=\sqrt{z}$.

La función dada tiene dos determinaciones, una cuando k=0: $f_{1}(z)=\sqrt{|z|}e^{\frac{\theta i}{2}}$ y otra cuando k=1: $f_{2}(z)=\sqrt{|z|}e^{\frac{i}{2}(\theta +2\pi)}$. Evidentemente estas determinaciones son continuas, por lo que las podemos llamar ramas. Pero, debido a que se pueden escoger infinitos argumentos de "z", por simplicidad conviene cortar la rama de tal forma que siga siendo continua. Por ejemplo, si cortamos la rama en los argumentos que se encuentren en el intervalo $[0,2\pi]$ se tiene que

\[\mathrm{Si}\,k=0\wedge\theta=0\rightarrow f(z_{0})=\sqrt{|z_{0}|}e^{0}=\sqrt{|z_{0}|}\in \mathbb{R}^{+}\]

Si "z" se aproxima a "z0" en sentido horario el argumento de aproximación es 0. Por otro lado, si "z" se aproxima a "z0" en sentido antihorario el argumento de aproximación es $\mathit{2\pi}$

\[\displaystyle\lim_{z\to z_{0}}\sqrt{|z|}e^{\frac{\theta i}{2}}=\sqrt{|z_{0}|}e^{0}=\sqrt{|z_{0}|}\]

\[\displaystyle\lim_{z\to z_{0}}\sqrt{|z|}e^{\frac{\theta i}{2}}=\sqrt{|z_{0}|}e^{\pi i}=-\sqrt{|z_{0}|}\]

Los limites en los extremos del intervalo son diferentes al acercarse a "z0" por dos caminos, por lo que se puede decir que el limite no existe y por tanto el corte hace que la determinación sea discontinua. Para solucionar este problema basta con definir el corte en el intervalo abierto $(0,2\pi)$, ya que si se analiza la continuidad de la determinación, la condición se va a cumplir en cualquier argumento que se encuentre dentro de ese intervalo. Entonces, tomando una circunferencia de radio 4 definida en el intervalo mencionado, la gráfica de la rama cuando "k=0" es.

La rama "f1" hace que cualquier punto dentro del intervalo de corte reduzca el argmuento a la mitad y el módulo en su raíz cuadrada

De forma similar, para graficar la rama cuando "k=1" se analiza la continuidad en los extremos del mismo intervalo:

\[\textrm{Si}\,\theta=0\rightarrow f(z_{0})=\sqrt{|z_{0}|}e^{\pi i}=-\sqrt{|z_{0}|}\]

\[\circlearrowright\displaystyle\lim_{z\to z_{0}}\sqrt{|z|}e^{\frac{i}{2}(\theta+2\pi)}=\sqrt{|z_{0}|}e^{\pi i}=-\sqrt{|z_{0}|}\]

\[\circlearrowleft\displaystyle\lim_{z\to z_{0}}\sqrt{|z|}e^{\frac{i}{2}(\theta+2\pi)}=\sqrt{|z_{0}|}e^{2\pi i}=\sqrt{|z_{0}|}\]

No obstante, si se analiza la continuidad en cualquiera de los argumentos diferentes a 0 y $2\pi$ se puede concluir que el intervalo del corte de ramificación se define en $(0,2\pi)$ y por tanto la gráfica con la misma circunferencia es

La rama "f2" tiene un efecto análogo al de "f1" con la diferencia que se forma la mitad inferior de la circunferencia

Note la similitud de comportamiento con respecto a la curva de la función raíz en los reales:

Los pedazos positivo y negativo de la función raíz cuadrada pueden considerarse ramas de una función multivaluada

Función logarítmica compleja

Aplicando la definición del logaritmo natural de los reales, el logaritmo complejo se puede definir como:

\[ w=\ln z\Leftrightarrow z=e^{w}\]

Básicamente se desea conocer el valor de "w", por lo que si $w=u+iv$ y escribiendo "z" en notación exponencial se tiene:

\[z=|z|e^{i\theta}=e^{u+iv}\]

\[|z|e^{i\theta}=e^{u}e^{iv}\rightarrow\left\{\begin{matrix}|z|=e^{u}\\e^{i\theta}=e^{iv}\end{matrix}\right.\rightarrow\left\{\begin{matrix}\ln|z|=u\\e^{i(\theta-v)}=1=e^{2\pi ni}\end{matrix}\right.\]

Así, se puede decir que $\theta-v=2\pi n$ y despejando "v" se tiene $v=\theta -2\pi n$ de modo que el valor de "w" será

\[w=\ln|z|+i(\theta+2\pi n)\]

De este modo, la función logarítmica compleja se define por

\[f(z)=\log z=\ln|z|+i\arg(z)\]

Es importante notar que en este contexto, el logaritmo complejo se denota simplemente como "log" para evitar una confusión con el logaritmo neperiano de los números reales aplicado en el módulo |z|. Además, a diferencia de los logaritmos en los números reales, el logaritmo complejo no tiene una base específica y es una función multivualada. Esta última se debe a su periodicidad, la cual hereda de la función exponencial.

De manera similar a la función raíz compleja, la función logarítmica se puede dividir en ramas. Sin embargo, a diferencia de la función raíz, donde la cantidad de ramas viene dada por su índice, en el logaritmo las ramas son infinitas. Por tanto, para entender el comportamiento de dichas ramas, es necesario examinar la rama principal, que está determinada por el argumento principal de "z". Sabiendo que este argumento se define en el intervalo $[-\pi,\pi]$, haciendo "n=0" en el periodo se procede a analizar la continuidad en los extremos como sigue:

\[\circlearrowleft\displaystyle\lim_{z\to z_{0}}[\ln|z|+i\theta]=\ln|z_{0}|+i\pi \]

\[\circlearrowright\displaystyle\lim_{z\to z_{0}}[\ln|z|+i\theta]=\ln|z_{0}|-i\pi \]

Como los limites son diferentes, el intervalo debe cambiarse a $(-\pi, \pi)$ para que la determinación cumpla la condición de continuidad. De esta forma se define la rama principal del logaritmo complejo como

\[\log z=\ln|z|+i\theta,\, -\pi<\theta<\pi \wedge z\neq 0\]

La recta horizontal definida en el eje real negativo excluye todos los valores de "z" que hacen a la rama discontinua. Dicha recta puede representarse algebraicamente como:

\[\left\{\begin{matrix}\mathbb{R}e\left\{z\right\}\leq 0\\\mathbb{I}m\left\{z\right\}=0\end{matrix}\right.\]

El módulo de "z" es siempre positivo, por lo que la parte real de la rama principal puede contener cualquier valor de "z". Por otro lado, la parte imaginaria está contenida en el intervalo en el que se define el argumento principal de "z". Así entonces se puede decir que la función rama principal del logaritmo complejo transforma el plano del dominio en una banda horizontal definida en $v\in (-\pi,\pi)$.

De este modo, a partir de la rama principal, es posible trazar cualquier otra que se desee. Por ejemplo, si definimos una rama en el intervalo $0<v<2\pi$ y utilizamos la circunferencia unitaria como curva de transformación, se tiene que:

\[ 0<\theta+2\pi n<2\pi ,\, -\pi<\theta<\pi\]

Si $\theta$ es el argumento principal de cada número complejo "z" del dominio, entonces en $(0,\pi]$ se tiene que "n=0", de modo que la parte imaginaria de "f" es igual al argumento principal de "z". Por otro lado,  en $(-\pi, 0)$ se tiene que hacer "n=1", para que la parte imaginaria de "f" complete el intervalo en el que se ha definido la rama. Es decir, $v=\theta +2\pi$.

La rama del logaritmo deforma una circunferencia en una recta vertical ubicada en $\mathit{u=\ln r}$ siendo "r" el radio de dicha circunferencia

Funciones trigonométricas en los complejos

En el plano complejo, el comportamiento de las funciones trigonométricas es notablemente diferente que el de las funciones de variable real. Pues observe lo siguiente:

\[\left\{\begin{matrix}e^{iz}=\cos z+i\sin z\\e^{-iz}=\cos z-i\sin z\end{matrix}\right.\rightarrow e^{iz}+e^{-iz}=2\cos z\]

\[\cos z=\frac{e^{iz}+e^{-iz}}{2}\]

\[\left\{\begin{matrix}e^{iz}=\cos z+i\sin z\\e^{-iz}=\cos z-i\sin z//(-1)\end{matrix}\right.\rightarrow e^{iz}-e^{-iz}=2i\sin z\]

\[\sin z=\frac{e^{iz}-e^{-iz}}{2i}\]

Las funciones seno y coseno tienen una estrecha relación con la función exponencial, cosa que no sucede en el ámbito de los números reales. Por otro lado, dado que $e^{i(\theta+2n\pi)}$, las funciones seno y coseno aún conservan su periodicidad $f(z+2n\pi)=f(z)$. Asimismo, muchas de las identidades conocidas en los números reales también se cumplen, por ejemplo demostremos la identidad de la suma de dos complejos del coseno.

\[\cos z_{1}\cos z_{2}-\sin z_{1}\sin z_{2}=...\]

\[\small ...=\left(\frac{e^{iz_{1}}+e^{-iz_{1}}}{2}\right)\left(\frac{e^{iz_{2}}+e^{-iz_{2}}}{2}\right)-\left(\frac{e^{iz_{1}}-e^{-iz_{1}}}{2i}\right)\left(\frac{e^{iz_{2}}-e^{-iz_{2}}}{2i}\right)\]

\[...=\frac{(e^{iz_{1}}+e^{-iz_{1}})(e^{iz_{2}}+e^{-iz_{2}})}{4}+\frac{(e^{iz_{1}}-e^{-iz_{1}})(e^{iz_{2}}-e^{-iz_{2}})}{4}\]

\[...=\frac{2e^{iz_{1}+iz_{2}}+2e^{-iz_{1}-iz_{2}}}{4}=\frac{e^{i(z_{1}+z_{2})}+e^{-i(z_{1}+z_{2})}}{2}=\cos(z_{1}+z_{2})\]

Análogamente se pueden demostrar las identidades:

\[\sin(z_{1}+z_{2})=\sin z_{1}\cos z_{2}+\sin z_{2}\cos z_{1}\]

\[\sin(z_{1}-z_{2})=\sin z_{1}\cos z_{2}-\sin z_{2}\cos z_{1}\]

\[\cos(z_{1}-z_{2})=\cos z_{1}\cos z_{2}+\sin z_{1}\sin z_{2}\]

\[\sin^{2} z+\cos^{2} z=1\]

Es interesante que, a pesar del diferente comportamiento de las funciones trigonométricas en los complejos, aún se conserven las identidades trigonométricas conocidas de los números reales. No obstante, para entender su comportamiento geométrico, es necesario dar a conocer las funciones hiperbólicas.

Funciones hiperbólicas

Análogo a las funciones trigonométricas, las hiperbólicas surgen de una hipérbola, donde el ángulo de inclinación $\mathit{\theta}$ del punto F se da por la razon del área de una región "t" formada entre la hipérbola y F respecto al origen con el área del triángulo formado por los semiejes de dicha hipérbola.

El área de la región "t" se obtiene restando el área del triángulo rectángulo formado por las componentes del punto F con el área bajo la hibérbola que va desde "a" hasta "x". Entonces, resolviendo la integral resultante, se tiene que:

\[ S=\frac{xy}{2}-b\int_{a}^{x}\sqrt{\left(\frac{x}{a}\right)^{2}-1}\:dx\]

\[S=\frac{ab}{2}\ln\left(\frac{x}{a}+\frac{y}{b}\right)\]

Si el área del tríangulo ABC se da por "ab/2", el ángulo del punto F se da por la razón entre el área de "t" con la de dicho triángulo.

\[\theta=\frac{\frac{ab}{2}\ln\left(\frac{x}{a}+\frac{y}{b}\right)}{\frac{ab}{2}}=\ln\left(\frac{x}{a}+\frac{y}{b}\right)\]

Despejando y elevando la exponencial tanto positiva como negativa se tiene:

\[e^{\theta}=\frac{x}{a}+\frac{y}{b}\]

\[e^{-\theta}=\frac{1}{\frac{x}{a}+\frac{y}{b}}\]

Ahora, sumando miembro a miembro:

\[e^{\theta}+e^{-\theta}=\frac{x}{a}+\frac{y}{b}+\frac{1}{\frac{x}{a}+\frac{y}{b}}=\frac{\left(\frac{x}{a}+\frac{y}{b}\right)^{2}+1}{\frac{x}{a}+\frac{y}{b}}\]

\[e^{\theta}+e^{-\theta}=\frac{\frac{x^{2}}{a^{2}}+\frac{2xy}{ab}+\frac{y^{2}}{b^{2}}+1}{\frac{x}{a}+\frac{y}{b}}\]

de la ecuación de la hipérbola se tiene que $\frac{x^{2}}{a^{2}}=1+\frac{y^{2}}{b^{2}}$ de modo que reemplazando en la expresion anterior se obtiene

\[e^{\theta}+e^{-\theta}=\frac{\frac{2x^{2}}{a^{2}}+\frac{2xy}{ab}}{\frac{x}{a}+\frac{y}{b}}=\frac{2x}{a}\]

\[\cosh \theta=\frac{e^{\theta}+e^{-\theta}}{2}\]

De forma similar se procede restando miembro a miembro

\[e^{\theta}-e^{-\theta}=\frac{x}{a}+\frac{y}{b}-\frac{1}{\frac{x}{a}+\frac{y}{b}}=\frac{\left(\frac{x}{a}+\frac{y}{b}\right)^{2}-1}{\frac{x}{a}+\frac{y}{b}}\]

\[e^{\theta}-e^{-\theta}=\frac{\frac{x^{2}}{a^{2}}+\frac{2xy}{ab}+\frac{y^{2}}{b^{2}}-1}{\frac{x}{a}+\frac{y}{b}}\]

de la ecuación de la hipérbola se tiene que $\frac{y^{2}}{b^{2}}=\frac{x^{2}}{a^{2}}-1$ de modo que reemplazando en la expresion anterior se obtiene

\[e^{\theta}-e^{-\theta}=\frac{\frac{2y^{2}}{b^{2}}+\frac{2xy}{ab}}{\frac{x}{a}+\frac{y}{b}}=\frac{2y}{b}\]

\[\sinh \theta=\frac{e^{\theta}-e^{-\theta}}{2}\]

Así entonces, se puede decir que las funciones hiperbólicas tienen una estrecha relación con la función exponencial en los números reales.

Estas funciones facilitan el análisis de comportamiento de cualquier hipérbola, ya que permiten obtener cualquier punto que cumpla con su ecuación simplemente conociendo su ángulo de inclinación:

\[\frac{x}{a}=\cosh\theta\:\:\:\:\:\:\frac{y}{b}=\sinh\theta \]

Lo que se traduce en la ecuación paramétrica:

\[\left\{\begin{matrix}x=a\cosh\theta\\y=b\sinh\theta\end{matrix}\right.\]

Cabe mencionar que esta ecuación solo obtiene el lado derecho de la hipérbola de eje vertical. No obstante, para obtener el lado izquierdo, solo es necesario hacer negativo al coseno hiperbólico. Además, si "x" e "y" se reemplazan en la ecuación general de la hipérbola, se obtiene una identidad fundamental:

\[\cosh^{2}\theta-\sinh^{2}\theta=1\]

Ya que la función exponencial compleja concuerda con la función exponencial real, se deduce que en $\mathbb{C}$ las funciones hipérbolicas concuerdan con las de variable real.

\[\sinh z=\frac{e^{z}-e^{-z}}{2}\]

\[\cosh z=\frac{e^{z}+e^{-z}}{2}\]

Note el parecido con la definición de las funciones trigonométricas complejas. Esto permite concluir que, en el conjunto de los números complejos, las funciones hipérbolicas tienen relación con las trigonométricas:

• Para la función seno:

\[\frac{e^{i(iz)}-e^{-i(iz)}}{2i}=\sin(iz)\]

\[\frac{e^{-z}-e^{z}}{2i}=\sin(iz)//(-i)\]

\[\frac{e^{z}-e^{-z}}{2}=-i\sin(iz)=\sinh z\]

• Para la función coseno:

\[\frac{e^{i(iz)}+e^{-i(iz)}}{2}=\cos(iz)\]

\[\frac{e^{-z}+e^{z}}{2}=\cos(iz)=\cosh z\]

Ahora si, con esta breve introducción a las funciones hiperbólicas se puede dar a entender el comportamiento geométrico de las funciones trigonométricas en los números complejos. Por ejemplo, grafiquemos la función $f(z)=\cos z$:

Si "z=x+iy", entonces las ecuaciones de transformación se hallan como sigue:

\[\cos(x+iy)=\cos x\cos iy-\sin x\sin iy\]

\[\cos(z)=\cos x\cosh y-i\sin x\sinh y\]

Escogiendo las rectas $y=\ln 2$ y $x=\frac{\pi}{4}$ como curvas de transformación se tiene que:

• Para $x=\frac{\pi}{4}$:

\[\cos\left(\frac{\pi}{4}+iy\right)=\frac{\sqrt{2}}{2}\cosh y-i\frac{\sqrt{2}}{2}\sinh y\]

\[\left\{\begin{matrix}u=\frac{\sqrt{2}}{2}\cosh y\\v=-\frac{\sqrt{2}}{2}\sinh y\end{matrix}\right.\]

• Para $y=\ln 2$:

\[\cos(x+i\ln 2)=\frac{5}{4}\cos x-i\frac{3}{4}\sin x\]

\[\left\{\begin{matrix}u=\frac{5}{4}\cos x\\v=-\frac{3}{4}\sin x\end{matrix}\right.\]

Evidentemente se obtuvieron las ecuaciones paramétricas de: una hipérbola con semiejes vertical y horizontal de $\frac{\sqrt{2}}{2}$, y una elipse de semieje mayor de 5/4 y semieje menor de 3/4. Por tanto, el gráfico de la función coseno en los complejos es:

La función coseno complejo transforma una recta vertical en una curva hiperbólica que desciende a medida que los puntos de dicha recta ascienden, y también transforma una recta horizontal en una elipse cuya orientación es negativa (sentido horario)

Análogamente para el seno se tiene:

\[\sin(x+iy)=\sin x\cosh y+i\cos x\sinh y\]

\[\left\{\begin{matrix}u=\sin x\cosh y\\v=\cos x\sinh y\end{matrix}\right.\]

Evidentemente estas ecuaciones reflejan el mismo gráfico (una curva hiperbólica y una elipse) con la diferencia de que la elipse tiene orientación positiva (sentido antihorario) y la curva hiperbólica asciende a medida que los puntos de la recta vertical también lo hacen.

Cabe mencionar que, a diferencia de las funciones hiperbólicas reales cuyas gráficas se muestran en la figura inferior, las funciones hiperbólicas complejas son periódicas, cuyo periodo la heredan de la función exponencial compleja ($2\pi i$).

Ahora por ejemplo, si graficamos la función coseno hiperbolico complejo, es preferible utilizar la identidad que lo relaciona con el coseno complejo:

\[ f(z)=\cosh z=\cos(iz)\]

\[ f(x,y)=\cos(ix-y)=\cosh x\cos y+i\sinh x\sin y\]

y si se toman las rectas que se utilizaron para generar el gráfico del coseno complejo intercambiando sus posiciones se tiene que:

• Para $x=\ln 2$:

\[\cosh\left(\ln 2+iy\right)=\frac{5}{4}\cos y+i\frac{3}{4}\sin y\]

\[\left\{\begin{matrix}u=\frac{5}{4}\cos y\\v=\frac{3}{4}\sin y\end{matrix}\right.\]

• Para $y=\frac{\pi}{4}$:

\[\cosh\left(x+i\frac{\pi}{4}\right)=\frac{\sqrt{2}}{2}\cosh x+i\frac{\sqrt{2}}{2}\sinh x\]

\[\left\{\begin{matrix}u=\frac{\sqrt{2}}{2}\cosh x\\v=\frac{\sqrt{2}}{2}\sinh x\end{matrix}\right.\]

de modo que el gráfico del coseno hiperbólico complejo es

Este efecto es el mismo que se mencionó para la función seno complejo, demostrando así geométricamente la relación entre las funciones trigonométricas con las hiperbólicas

Ecuación potencial generalizada

En los números reales, calcular potencias como: $2^{\sqrt{2}}, \pi^{\pi}, e^{-e}$ representaron un reto para entender el comportamiento de la función potencia $f(x)=x^{n}:\, x,n\in \mathbb{R}$. En los números complejos, potencias como $i^{i}$ ponen a pensar acerca del amplio comportamiento de la función $f(z)=z^{c}:\, z,c\in \mathbb{C}$.

Analicemos y hagamos una analogía con la propiedad de los logaritmos neperianos de los números reales $x^{a} =e^{\ln x^{a}}$. Primeramente, resulta sencillo reemplazar los números reales "x" y "a" por los complejos "z" y "c" respectivamente como sigue:

\[z^{c}=e^{\log(z^{c})}\]

Recuerde que el logaritmo natural de los complejos "log" es análogo al logaritmo natural de los números reales "ln". No obstante, no basta con solo reemplazar, es necesario analizar si esta propiedad funciona para cualquier complejo, por lo que aplicando la definción del logaritmo complejo y siguiendo la notación exponencial se tiene

\[e^{[\ln|z^{c}|+i\arg(z^{c})]}=e^{\ln|z^{c}|}e^{i\arg(z^{c})}=c\ln |z| e^{i\arg(z^{c})}\]

Si se sabe que en los números complejos, la multiplicación de los argumentos es la suma de los mismos (teorema de Moivre), entonces se puede decir que

\[\arg(z^{n})=\arg(z\times z\times z...\textrm{n veces})=\arg(z)+\arg(z)+...\textrm{n veces}=n\arg(z)\]

de modo que:

\[e^{\log (z^{c})}=e^{c(\ln |z|+i\arg z )}=c\ln |z|e^{ic\arg z}=z^{c},\, z\neq 0\]

Así entonces, queda demostrada la denominada ecuación potencial generalizada, y puede usarse como un modo de calcular potencias particulares como por ejemplo $i^{i}$.

\[i^{i}=e^{i\log i}=e^{i(\ln|i|+i\arg i)}\]

\[i^{i}=e^{i\left[\ln 1+i\left(\frac{\pi}{2}+2\pi n\right)\right]}=e^{-\frac{\pi}{2}(1+4n)}\]

Debido a que la función logarítmica compleja es multivaluada, se tienen infinitos resultados y note que son únicamente números reales, lo que resulta interesante que surjan a partir de una potencia compleja.

Ejemplo práctico: Determine la parte real, imaginaria, argumento y módulo de

\[w=(-1-i)^{4i}\]

Aplicando la ecuación potencial se tiene

\[(-1-i)^{4i}=e^{4i\log(-1-i)}\]

\[w=e^{4i\left\{\ln|-1-i|+i[\theta +2\pi n]\right\}}\]

Graficar el número complejo -1-i puede ayudar a determinar su argumento principal

Por tanto

\[w=e^{[2i\ln 2-(-3\pi+8\pi n)]}=e^{[\pi(3-8n)+2i\ln 2]}\]

\[w=e^{\pi(3-8n)}e^{2i\ln 2}=e^{\pi(3-8n)}[\cos(2\ln 2)+i\sin(2\ln 2)]\]

De este modo, reconociendo su notación polar, los elemento de "w" son:

\[|w|=e^{\pi(3-8n)}\]

\[\arg w=\ln 4\]

\[\mathbb{R}e\left\{w\right\}=e^{\pi(3-8n)}\cos(\ln 4)\]

\[\mathbb{I}m\left\{w\right\}=e^{\pi(3-8n)}\sin(\ln 4)\]

Resolución de ecuaciones complejas

Con el conocimiento de las funciones complejas más importantes, es posible plantear y resolver diferentes tipos de ecuaciones complejas, entre ellas: ecuaciones exponenciales, ecuaciones trigonométricas, ecuaciones hiperbolicas y ecuaciones potenciales, cuyas soluciones en general son infinitas. A continuación se muestran algunos ejemplos:

Ejemplo 1: Determine todos los números complejos tales que $\sinh z=0$

Por definición del seno hiperbólico complejo se tiene

\[\frac{e^{z}-e^{-z}}{2}=0\]

\[\frac{e^{2z}-1}{e^{z}}=0\]

\[e^{2z}=1\]

Luego, aplicando el logaritmo complejo:

\[\log e^{2z}=\log 1\]

\[2z \log e=\ln 1+i(0+2n\pi)\]

dado que en el ámbito de los números complejos la base del logaritmo es el número de Euler y en los números reales se cumple que $\log e=\log_{e} e=\ln e=1$ se tiene que

\[z=in\pi,\, n\in \mathbb{Z}\]

Ejemplo 2: Encuentre todas las soluciones de $e^{z}=2i$

Aplicando directamente el logaritmo complejo se tiene

\[z=\log(2i)=\ln|2i|+i[\arg(2i)+2\pi n]\]

\[z=\log(2i)=\ln 2+\frac{\pi i}{2}(1+4n),\, n\in \mathbb{Z}\]

Ejemplo práctico: Encuentre todas las soluciones de $\cos 2z -\sin 2z=2i$

Reduciendo el miembro izquierdo elevando al cuadrado y utilizando identidades trigonométricas de los complejos se tiene

\[(\cos 2z-\sin 2z)^{2}=-4\]

\[-2\sin 2z\cos 2z=-5\]

\[\sin 4z=5\]

luego, por definición del seno complejo se tiene

\[\frac{e^{i4z}-e^{-i4z}}{2i}=5\]

\[\left(e^{i4z}\right)^{2}-10ie^{i4z}-1=0\]

Note que se formó una ecuación de segundo grado donde la incógnita es $e^{i4z}$ de manera que

\[e^{i4z}=\frac{10i\pm\sqrt{(-10i)^{2}+4}}{2}\]

\[e^{i4z}=\frac{10i\pm\sqrt{96}i}{2}=(5\pm 2\sqrt{6})i\]

Puede demostrar que la fórmula general de las ecuaciones de segundo grado funciona para cualquier complejo en el ejercicio a.6.

Por último, operando como en el ejemplo anterior se tiene:

\[i4z=\log(5\pm 2\sqrt{6})i\]

\[i4z=\ln|5\pm 2\sqrt{6}|+\frac{\pi i}{2}(1+4n)\]

\[z=\frac{\pi}{8}(1+4n)-\frac{i}{4}\ln|5\pm 2\sqrt{6}|\]

Cabe mencionar que $(5+2\sqrt{6})i$ y $(5-2\sqrt{6})i$ tienen el mismo argumento ya que ambos son números imaginarios positivos. Asimismo, note que el módulo de dichos números resulta ser el valor absoluto del número real que los representa. Ya que después de aplicar el módulo, solo se trabajan con números reales, de modo que se debe obedecer la restricción del logairtmo real (no acepta números negativos).

\[|(5\pm 2\sqrt{6})i|=\sqrt{(5\pm 2\sqrt{6})^{2}}=|5\pm 2\sqrt{6}|\]

Ejercicios:

a) En cada problema lleve a cabo el análisis indicado

1) Si $z=-9+2i$ calcula $\log e^{z}$. ¿Cuándo es $\log e^{z}=z$?

2) Discuta la desigualdad $\log (-5)^{2}\neq 2\log (-5)$

3) Sean "z" y "w" dos complejos distintos de cero, demuestre que $\log \frac{z}{w}=\log z -\log w$. [Sugerencia: primero demuestre que $\left| \frac{z}{w}\right|=\frac{|z|}{|w|}$]

4) Determine todas las ramas de la función $f(z)=z^{3/4}$ y para cada una calcule $f(i)$

5) Calcule el módulo y argumento de todos los valores de $(8-2i)^{1+3i}$

6) Pruebe que $\frac{-b\pm \sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}$ brinda las soluciones de la ecuación $az^{2}+bz+c=0$ con "a", "b" y "c" complejos y $a\neq 0$.

b) Encuentre todas las soluciones a las ecuaciones dadas

1) $(1-i)z^{2}+2z-1=0$

2) $e^{z}=-2$

3) $e^{-(1+i)z}=-3i$

4) $\cos z=0$

5) $\cosh z=0$

6) Representar en el plano complejo las soluciones de $x^{4}+16=0$