Superficies en el espacio
La esfera
Análogo a la circunferencia, la esfera es el lugar geométrico donde la
distancia de un punto C(h,k,l) a todos los los puntos P(x,y,z) es
"r"
\[r=\sqrt{(x-h) ^{2}+(y-k)^{2}+(z-l)^{2}}\]
Así se puede definir a la ecuación de una esfera como
\[(x-h) ^{2}+(y-k)^{2}+(z-l)^{2}=r^{2}\]
En particular, si el centro es el origen, la ecuación de la esfera es
\[x^{2}+y^{2}+z^{2}=r^{2}\]
Ejemplo: Hallar la ecuación de la esfera con centro en C(-3,2,4)
y es tangente al plano YZ
Realizando un boceto del problema se puede observar lo
siguiente
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| El radio es igual a la distancia entre el centro de la esfera al plano |
El vector normal del plano YZ es $n\left \langle 1,0,0 \right \rangle$, de manera que el radio es
\[r=\frac{\left | (1)(-3) \right |}{1}=3\]
Por tanto, la ecuación de la esfera tangente al plano XY es
\[(x+3)^{2}+(y-2)^{2}+(z-4)^{2}=3^{2}\]
Utilizando una herramienta graficadora se puede corroborar la
respuesta visualmente
Cilindros
|
| Cilindro circular recto |
Sea C una curva en un plano y sea "L" una recta no paralela a ese
plano. Al conjunto de todas las rectas paralelas a "L" que cortan
a C se llama cilindro, Dicha curva C se le llama
curva generadora o directriz del cilindro y a las
rectas paralelas se les llama rectas generatrices
Esta definición da a entender que la curva C no necesariamente
es una circunferencia. Por ejemplo, tracemos la gráfica de las
siguientes superficies
- $z=4-x^{2}$
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| Cilindro parabólico |
La ecuación se cumple para cualquier valor de "y", por lo que
resulta razonable extender la superficie a lo largo de dicho
eje.
- $y^{2}+4z^{2}=4$
\[\frac{y^{2}}{2^{2}}+z^{2}=1\]
Esta es la ecuación de una elipse con eje mayor a=2 extendido
en el eje y, eje menor b=1 extendido en el eje z y con centro en
el origen. Asimismo, la ecuación es independiente de "x", de
manera que las rectas generatrices se extienden a lo largo de
dicho eje como sigue:
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| Cilindro elíptico |
- $x^{2}+y^{2}=1$
Esta es la ecuación de la circunferencia unitaria "apoyada" en
el plano XY. Asimismo, es independiente de "z", por lo que las
rectas generatrices se extienden a lo largo de dicho eje como
sigue:
|
| Cilindro circular |
Superficies cuadráticas
Estas superficies son la contraparte tridimensional de las
secciones cónicas conocidas.
La elipsoide
La ecuación de la elipse en el plano XY se extiende a los
planos XZ y YZ.
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| $\mathit{\frac{(x-h)^{2}}{a^{2}}+\frac{(y-k)^{2}}{b^{2}}+\frac{(z-h)^{2}}{c^{2}}=1}$ |
Note que se forma una familia de elipses cuando x, y o z
toma cualquier valor constante. Además, si a=b=c, la ecuación de la elipsoide pasa a ser la de una
esfera.
Ejemplo: Graficar la elipsoide dada por $4x^{2}+y^{2}+z^{2}-24x-8y+4z+55=0$
Los elementos necesarios para graficar la superficie son más
notables en la ecuación estándar, por lo que reordenando y
completando los cuadrados se tiene:
\[x^{2}-6x+\frac{1}{4}y^{2}-2y+\frac{1}{4}z^{2}+z=-\frac{55}{4}\]
\[x^{2}-6x+3^{2}+\frac{1}{4}y^{2}-2y+\frac{1}{4}z^{2}+z=-\frac{55}{4}+3^{2}\]
\[4(x-3)^{2}+y^{2}-8y+z^{2}+4z=-19\]
\[4(x-3)^{2}+(y-4)^{2}+z^{2}+4z=-3\]
\[4(x-3)^{2}+(y-4)^{2}+(z+2)^{2}=1\]
\[\frac{(x-3)^{2}}{1/4}+(y-4)^{2}+(z+2)^{2}=1\]
De esta manera, el centro es el punto C(3,4,-2) y los
semiejes son a=1/2, b=c=1. No obstante, para facilitar el
trazado de la superficie, conviene graficar las elipses
apoyadas en los planos: XY para z=-2, YZ para x=3 y XZ para
y=4 como sigue:
Incluso, para que el trazado a mano sea más preciso, se
calculan la longitud del lado recto y del semieje focal de
cada una de las elipses como sigue:
Elipse XY:
\[Lr=\frac{2\left (\frac{1}{2} \right
)^{2}}{1}=\frac{1}{2}\]
\[d=\sqrt{1^{2}-\left ( \frac{1}{2} \right
)^{2}}=\frac{\sqrt{3}}{2}\approx 0.87\]
La elipse del plano YZ es una circunferencia de radio
R=1 y la elipse XZ comparte los mismos elementos de la
elipse XY.
Entonces, el gráfico detallado con estos elementos
es
El paraboloide
Este tipo de superficie tiene dos formas diferentes: el
paraboloide elíptico y el
paraboloide hiperbólico
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Paraboloide elíptico: $\mathit{\frac{z}{c}=\frac{x^{2}}{a^{2}}+\frac{y^{2}}{b^{2}}}$ Paraboloide hiperbólico: $\mathit{\frac{z}{c}=\frac{x^{2}}{a^{2}}-\frac{y^{2}}{b^{2}}}$ |
El paraboloide elíptico describe una familia de elipses que
se extiende a lo largo del eje indicado por la variable
elevada a la primera potencia. Por otro lado, el paraboloide
hiperbólico describe una familia de hipérbolas que se
extienden a lo largo de dicho eje. No obstante, cuando uno
de los términos del segundo miembro de cualquiera de las
ecuaciones es cero, se describe a una familia de
parábolas.
Ejemplo: Graficar el paraboloide dado por $4x^{2}-y^{2}+4z=0$
Reordenando se tiene
\[z=\frac{y^{2}}{4}-x^{2}\]
Para facilitar el trazado, conviene graficar la
hipérbola apoyada en el plano XY cuando $z=1$. Por tanto, si el centro es el origen, la longitud del
lado recto es
\[Lr=\frac{2( 1)^{2}}{2}=1\]
y la distancia del semieje focal es
\[d=\sqrt{1^{2}+2^{2}}=\sqrt{5}\approx 2.24\]
sombreando la región extendida a lo largo del eje z, se
tiene:
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| La parábola que se forma en x=0 sirve como guía para sombrear la superficie |
El cono
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| \[\mathit{\frac{z^{2}}{c^{2}}=\frac{x^{2}}{a^{2}}+\frac{y^{2}}{b^{2}}}\] |
Ejemplo: Graficar el cono dado por $y^{2}=x^{2}+2z^{2}$
La hiperboloide de una hoja describe una familia de
elipses que se extiende a lo largo del eje indicado por la
variable del término negativo. Por otro lado, la
hiperboloide de dos hojas describe una familia de elipses
que se extiende a lo largo del eje indicado por la
variable del término positivo. No obstante, ambas
superficies forman hipérbolas que se describen con dos de
los términos de la ecuación cuyos signos sean
contrarios.
Si $y=\pm
2$
se tienen las elipses dadas por $\frac{x^{2}}{4}+\frac{z^{2}}{2}=1$. Luego, en $x=0$
se tiene
\[y^{2}=2z^{2}\]
\[\sqrt{y^{2}}=\sqrt{2z^{2}}\]
\[\left | y \right |=\sqrt{2}\left | z \right |\]
\[\pm y=\pm \sqrt{2}z\]
de manera que se forma el par de rectas
$y=\sqrt{2}z$ y
$y=-\sqrt{2}z$.
En $z=0$
se tiene
\[y^{2}=x^{2}\]
\[\pm y=\pm x\]
de manera que se forma el par de rectas $y=x$ y $y=-x$. Así, es posible trazar el cono como muestra la
siguiente figura:
La hiperboloide
Así como el paraboloide, este tipo de superficie
tiene dos formas diferentes: la hiperboloide de una hoja y la hiperboloide de dos hojas
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Hiperboloide de una hoja: $\mathit{\frac{x^{2}}{a^{2}}+\frac{y^{2}}{b^{2}}-\frac{z^{2}}{c^{2}}=1}$ Hiperboloide de dos hojas: $\mathit{-\frac{x^{2}}{a^{2}}-\frac{y^{2}}{b^{2}}+\frac{z^{2}}{c^{2}}=1}$ |
Ejemplo: Graficar las hiperboloides $H1: x^{2}-y^{2}+z^{2}=1$ y $H2:-x^{2}+y^{2}-z^{2}=1$
Para H1, la familia de elipses se extiende a lo largo
del eje Y, por lo que dicha variable puede tomar
cualquier valor constante. Si $y=k$, se tiene la familia de circunferencias dada
por $x^{2}+z^{2}=1+k^{2}$
(ver figura). Las hipérbolas $x^{2}-y^{2}=1$
y $z^{2}-y^{2}=1$
las cuales se dan cuando $z=0$ y $x=0$
respectivamente, son más sencillas de graficar, de
manera que facilitan el trazado de los perfiles de la
superficie.
Para H2, la familia de elipses se extiende a lo largo
del eje Y. Entonces, si $y=k$ se tiene la familia de circunferencias dada
por $x^{2}+z^{2}=k^{2}-1$. Sin embargo, "k" no puede ser 1, -1 o 0, ya que la
ecuación presenta soluciones como raíz de un número
negativo o solamente en el origen de coordenadas. En
general, la superficie no se define en $\left | y \right |<1$. Luego, si $z=0$ se tiene la hipérbola $y^{2}-x^{2}=1$ y si $x=0$ se tiene la hipérbola $y^{2}-z^{2}=1$. Por tanto, la gráfica de la hiperboloide de dos hojas
es:
Ejercicios:
a) Resuelva los siguientes problemas geométricos.
1) Hallar los valores de "a" para los cuales el
plano $x+y+z=a$,
sea tangente a la esfera $x^{2}+y^{2}+z^{2}=12$
2) Halle la ecuación estándar de la esfera cuyos
extremos de unos de sus diámetros se encuentran en
A(2,0,0) y B(0,6,0). (El punto medio de un
segmento de recta en el plano es análogo en el
espacio).
3) Hallar la ecuación de la esfera con centro en
C(-3,2,4) y que es tangente al plano $2x+4y-3z=8$
b) Reconozca y grafique las siguientes superficies
1) $z=\sin y$
2) $xy=1$
3) $y^{2}+z^{2}=9$
4) $x^{2}+\frac{y^{2}}{4}+z^{2}=1$
5) $x^{2}-y+z^{2}=0$
6) $z^{2}=x^{2}+\frac{y^{2}}{4}$
7) $z^{2}=3x^{2}+4y^{2}-12$
4) $x^{2}+\frac{y^{2}}{4}+z^{2}=1$
5) $x^{2}-y+z^{2}=0$
6) $z^{2}=x^{2}+\frac{y^{2}}{4}$
7) $z^{2}=3x^{2}+4y^{2}-12$
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