Sucesiones y series III

 Series de potencias

Si $x$ es una variable real, entonces una serie de la forma:

\[\sum_{n=0}^{\infty}a_{n}x^{n}=a_{0}+a_{1}x+a_{2}x^{2}+...+a_{n}x^{n}+...\]

se la denomina serie de potencias, la cual forma una función que toma las características de una función polinómica. El dominio se restringe para todos los valores de "x" para los cuales la serie converge y para determinarlo, el criterio del cociente resulta ser el más útil para el análisis. Por ejemplo, hallar los valores de "x" para los cuales la serie $\sum_{n=1}^{\infty }\frac{x^{n}}{n}$ converge.

Mediante el criterio se tiene

\[\lim_{n\rightarrow \infty }\left | \frac{\frac{x^{n+1}}{n+1}}{\frac{x^{n}}{n}} \right |=\lim_{n\rightarrow \infty }\left | \frac{xn}{n+1} \right |=\lim_{n\rightarrow \infty }\left | x \right |\frac{n}{n+1}\]

Como $n$ es un número natural, el valor absoluto se elimina. Luego, levantando la indeterminación se tiene

\[\lim_{n\rightarrow \infty }\left | x \right |\frac{n}{n+1}=\lim_{n\rightarrow \infty }\left | x \right |\frac{1}{1+\frac{1}{n}}=\left | x \right |\]

Según el criterio se tiene que la serie converge para $\left | x \right |< 1$ o $-1< x < 1$. Por otro lado, no resulta muy útil el análisis en los extremos pese a que la serie podría converger. Por ejemplo, en $x=1$ se tiene la serie armónica la cuál se concluyó que diverge, y en $x=-1$ se tiene una serie armónica alternada, la cuál se procede a analizar su convergencia expandiendo la suma como sigue:

\[\sum_{k=1}^{\infty }\frac{(-1)^{k}}{k}=-1+\frac{1}{2}-\frac{1}{3}+\frac{1}{4}-...\]

Si se grafican algunos términos de la sucesión $\frac{1}{n}$ y los de la serie alterna se tiene

Es notable que la sucesión es monótona decreciente y positiva, y la serie alterna es oscilante. Asimismo, observe que la oscilación va reduciendo de tal manera que los términos se acercan a un número por arriba y por abajo, por lo que se puede intuir que la serie converge.

Entonces, para la serie de potencias dada, si tomamos $x=1$ diverge pero si tomamos $x=-1$ converge. Esto resulta conflictivo en la aplicación de las series de potencias, por lo que se justifica que no es conveniente usar los extremos del intervalo obtenido. Cabe mencionar que si "x" es mayor a 1 la serie diverge de acuerdo con el criterio del cociente.

Ahora analicemos la convergencia de la serie $\sum_{n=1}^{\infty }\frac{(x-3)^{n}}{n}$

Aplicando el criterio del cociente se tiene:

\[\lim_{n\rightarrow \infty }\left | \frac{\frac{(x-3)^{n+1}}{n+1}}{\frac{(x-3)^{n}}{n}} \right |=\lim_{n\rightarrow \infty }\left | \frac{n(x-3)}{n+1} \right |=\lim_{n\rightarrow \infty }\left |x-3 \right |\frac{1}{1+\frac{1}{n}}\]

De manera que la serie converge en

\[\left | x-3 \right |< 1\rightarrow 2< x< 4\]

Note que la serie converge entorno a $x=3$ en un radio de $R=1$, de esta manera podemos generalizar a una serie de potencias como:

\[\sum_{n=0}^{\infty}a_{n}(x-c)^{n}=a_{0}+a_{1}(x-c)+a_{2}(x-c)^{2}+...+a_{n}(x-c)^{n}+...\]

Denominándola como serie de potencias en torno a $c$.

Existen una gran cantidad de casos de series de potencias donde se distinguen 3 situaciones de convergencia. La primera se mostró en el ejemplo anterior el cuál concluye que:

Puede existir un número positivo $R$ tal que la serie converge si $\left | x-c \right |< R$ y diverge si $\left | x-c \right |> R$. Dicha $R$ se la conoce como radio de convergencia

Los restantes 2 situaciones se mostrarán en los siguientes ejemplos:

• Analizar la convergencia de la serie entorno a $x=0$: $\sum_{n=0}^{\infty }n!x^{n}$

Mediante el criterio se tiene

\[\lim_{n\rightarrow \infty }\left | \frac{(n+1)!x^{n+1}}{n!x^{n}} \right |=\lim_{n\rightarrow \infty }\left | \frac{(n+1)n!x}{n!} \right |=\lim_{n\rightarrow \infty }\left |x\right |(n+1)=\infty\]

Entonces, se dice que la serie diverge para $\left | x \right |> 0$, pero converge en $x=0$ ya que se eliminan los términos con $n$ permitiendo que el limite exista y sea 0.

Así se dice que:

La serie puede converger solo cuando $x=c$

• Analizar la convergencia de la serie $\sum_{n=0}^{\infty }\frac{(-1)^{n}x^{2n}}{2^{2n}(n!)^{2}}$

Mediante el criterio se tiene

\[\lim_{n\rightarrow \infty }\left |\frac{\frac{x^{2(n+1)}}{2^{2(n+1)}[(n+1)!]^{2}} }{\frac{x^{2n}}{2^{2n}(n!)^{2}} } \right |=\lim_{n\rightarrow \infty }\left |{\frac{x^{2}(n!)^{2}}{2^{2}[(n+1)n!]^{2}} } \right |=\lim_{n\rightarrow \infty }\left |{\frac{x^{2}}{2^{2}(n+1)^{2}} } \right |=0\]

Así el criterio menciona que la serie converge para cualquier valor de $x$ ya que siempre se cumple que $\lim_{n\rightarrow \infty }\left |\frac{a_{n+1}}{a_{n}} \right |< 1$.

De esta manera se dice que:

La serie puede converger para toda $x$ 

Derivación e integración de series de potencias

Una función definida por una serie de potencias se comporta como un polinomio. Es continua en su intervalo de convergencia, y tanto su derivada como su antiderivada se pueden determinar mediante la derivación y la integración de cada término de la serie. Por tanto:

Si la función $S(x)=\sum_{n=0}^{\infty }a_{n}(x-c)^{n}$ tiene un radio de convergencia $R> 0$, entonces en el intervalo $c-R< x< c+R$ la función es derivable. Por otro lado, la derivada y la antiderivada se expresan como sigue:

1. $S'(x)=\sum_{n=1}^{\infty }na_{n}(x-c)^{n-1}$
2. $\int S(x)\, dx=C+\sum_{n=1}^{\infty }a_{n}\left [ \frac{(x-c)^{n+1}}{n+1} \right ]$

Si se aplica el criterio del cociente en estas últimas dos series se observará que ambas comparten el mismo radio de convergencia que el de la serie original. Por tanto, también convergen en $c-R< x< c+R$, recuerde que en los extremos no es posible llegar a una conclusión ya que la integral o la derivada pueden variar en su convergencia respecto a la serie original.

Hasta ahora se analizó la convergencia de las series de potencias, una vez se sepa que una serie converge esta tiene suma. Sin embargo, no en todos los casos es posible calcularla de forma sencilla. Una de las estrategias que pueden ayudar a determinar la suma es la derivación e integración a razón de convertirla en una serie conocida como la serie geométrica. Por ejemplo, hallar la suma de la serie $\sum_{n=0}^{\infty }(n+1)x^{n}$ y para qué valores de $x$ es válida

Para saber donde la serie es válida se analiza la convergencia como sigue:

\[\lim_{n\rightarrow \infty }\left | \frac{[(n+1)+1]x^{n+1}}{(n+1)x^{n}} \right |=\lim_{n\rightarrow \infty }\left | \frac{(n+2)x}{n+1} \right |=\lim_{n\rightarrow \infty }\left | x \right |\frac{1+\frac{2}{n}}{1+\frac{1}{n}}=\left | x \right |\]

Entonces la serie es válida en

\[\left | x \right |< 1\]

Luego, para eliminar el factor $n+1$ se puede integrar como sigue:

\[SI(x)=\int \sum_{n=0}^{\infty }(n+1)x^{n}\, dx=C+\sum_{n=0}^{\infty }\frac{(n+1)x^{n+1}}{n+1}=C+\sum_{n=0}^{\infty }x^{n+1}\]

Para que solamente quede $n$ en el exponente se puede cambiar el índice de la sumatoria como sigue:

\[SI(x)=C+\sum_{n=0+1}^{\infty }x^{n+1-1}=C+\sum_{n=1}^{\infty }x^{n}\]

Así, el primer término de la serie es "x" y la razón es la misma, por lo que la suma de la serie de la integral es

\[SI(x)=C+\frac{x}{1-x}\]

De este modo, derivando se obtiene la suma de la serie original:

\[\frac{\mathrm{d} }{\mathrm{d} x}[SI(x)]=S(x)=\frac{(1-x)-x(-1)}{(1-x)^{2}}=\frac{1}{(1-x)^{2}}\]

Así entonces, se puede decir que

$S(x)=\sum_{n=0}^{\infty }(n+1)x^{n}=\frac{1}{(1-x)^{2}}$ válida en $-1<x<1$

Ejemplo 2: Hallar la suma y el dominio de convergencia de la serie $\sum_{n=0}^{\infty }\frac{(-1)^{n}x^{n+1}}{n+1}$

Analizando la convergencia

\[\lim_{n\rightarrow \infty }\left | \frac{\frac{x^{n+2}}{n+2}}{\frac{x^{n+1}}{n+1}} \right |=\lim_{n\rightarrow \infty }\left | \frac{x(n+1)}{n+2} \right |=\left | x \right |\]

La serie converge en

\[\left | x \right |< 1\]

Luego, para formar la serie geométrica se deriva como sigue:

\[S'(x)=\frac{\mathrm{d} }{\mathrm{d} x}\left [\sum_{n=0}^{\infty }\frac{(-1)^{n}x^{n+1}}{n+1} \right ]=\sum_{n=0}^{\infty }\frac{(n+1)(-1)^{n}x^{n}}{n+1}=\sum_{n=0}^{\infty }(-1)^{n}x^{n}\]

Note que se tiene la serie geométrica alternada, cuya suma se puede deducir de la siguiente forma

\[S'(x)=\sum_{n=0}^{\infty }(-x)^{n},\, a=1,\, r=-x\]

\[S'(x)=\frac{1}{1-(-x)}=\frac{1}{1+x}\]

De este modo, integrando se obtiene la suma de la serie original:

\[S(x)=\int \frac{1}{1+x}\, dx=\ln \left | 1+x \right |+C\]

Sin embargo, es necesario hallar el valor de $C$ y para determinarlo se puede dar cualquier valor a $x$ de manera que el cálculo sea fácilmente realizable. Si $x=0$ la serie es 0, por lo que

\[S(0)=0\]

\[\ln \left | 1+0 \right |+C=0\]

\[C=0\]

Por tanto la suma de la serie es:

$\sum_{n=0}^{\infty }\frac{(-1)^{n}x^{n+1}}{n+1}=\ln \left | x+1 \right |$ válida en $-1<x<1$

Recuerde que es necesario colocar el dominio de convergencia una vez encontrada la suma.

Operaciones con series de potencias

Dado que las series heredan muchas propiedades de los polinomios, estos se pueden sumar, restar, multiplicar o dividiir de la misma forma.

Sean $f(x)=\sum_{n=0}^{\infty }a_{n}x^{n}$ y $g(x)=\sum_{n=0}^{\infty }b_{n}x^{n}$ con dominios de convergencia $Rf$ y $Rg$ respectivamente:

1. $f(x)\pm g(x)=\sum_{n=0}^{\infty}(a_{n}\pm b_{n})x^{n}$ donde $R(f+g)=Rf\cap Rg$
2. $f(kx)=\sum_{n=0}^{\infty }a_{n}(kx)^{n}$
3. $x^{k}f(x)=x^{k}\sum_{n=0}^{\infty }a_{n}x^{n}=\sum_{n=0}^{\infty }a_{n}(x)^{n+k}$ donde $k\epsilon \mathbb{Z}$
4. $f(x)g(x)=\left (\sum_{n=0}^{\infty}a_{n} x^{n} \right )\left (\sum_{n=0}^{\infty}b_{n} x^{n} \right )=\sum_{n=0}^{\infty}c_{n} x^{n}$ donde $R(fg)=Rf\cap Rg$
5. $\frac{f(x)}{g(x)}=\frac{\sum_{n=0}^{\infty}a_{n} x^{n}}{\sum_{n=0}^{\infty}b_{n} x^{n}}=\sum_{n=0}^{\infty}c_{n} x^{n}$ donde $R(f/g)=Rf\cap Rg$

Ejemplo: Hallar el dominio de convergencia y la suma de la serie $\sum_{n=2}^{\infty }\frac{x^{n}}{n-1}$

Hallando el dominio de convergencia:

\[\lim_{n\rightarrow \infty }\left | \frac{\frac{x^{n+1}}{n}}{\frac{x^{n}}{n-1}} \right |=\lim_{n\rightarrow \infty }\left | \frac{x(n-1)}{n} \right |=\left | x \right |< 1\]

Entonces la serie converge en $-1<x<1$. Luego, a simple vista si se deriva o integra no es posible obtener la serie geométrica, por lo que buscando una forma de aplicar la operación 3 se tiene

\[\sum_{n=2}^{\infty }\frac{x^{n+1-1}}{n-1}=\sum_{n=2}^{\infty }\frac{x^{n-1}x}{n-1}=x\underset{S(x)}{{\underbrace{\sum_{n=2}^{\infty }\frac{x^{n-1}}{n-1}}}}\]

Ahora es posible derivar la serie resultante como sigue:

\[S'(x)=\frac{\mathrm{d} }{\mathrm{d} x}\left (\sum_{n=2}^{\infty }\frac{x^{n-1}}{n-1} \right )=\sum_{n=2}^{\infty }x^{n-2}\]

Gracias a la operación 3 ya no es necesario cambiar el índice de la sumatoria como se realizó en el ejemplo 1 del subtitulo anterior, de manera que

\[S'(x)=\sum_{n=2}^{\infty }x^{n}x^{-2}=\frac{1}{x^{2}}\sum_{n=2}^{\infty }x^{n}=\frac{1}{x^{2}}\left ( \frac{x^{2}}{1-x} \right )\]

\[S'(x)=\frac{1}{1-x}\]

Luego

\[S(x)=\int \frac{1}{1-x}\, dx=-\ln \left | 1-x \right |+C\]

Suponiendo que $x=0$ se tiene $S(0)=0$, por tanto

\[-\ln \left | 1-0 \right |+C=0\]

\[C=0\]

Entonces:

$\sum_{n=2}^{\infty }\frac{x^{n}}{n-1}=xS(x)=-x\ln \left | 1-x \right |=x\ln \left | \frac{1}{1-x} \right |$ válida en $-1< x< 1$

El resto de operaciones de las series de potencias son muy útiles en situaciones donde una función debe ser expresada como una serie.

Ejercicios:

Hallar la suma y el dominio de convergencia de las siguientes series

1) $\sum_{n=0}^{\infty }\frac{(x-1)^{n}}{2^{n+1}}$

2) $\sum_{n=0}^{\infty }\frac{(-1)^{n}3^{n+1}x^{n}}{4^{n+1}}$

3) $\sum_{n=1}^{\infty }nx^{n-1}$

4) $\sum_{n=1}^{\infty }n(-1)^{n}x^{n-1}$

5) $\sum_{n=0}^{\infty }(-1)^{n}(2x)^{2n}$

6) $\sum_{n=0}^{\infty }x^{n}[1+(-1)^{n}]$, reescriba la serie

7) $\sum_{n=0}^{\infty }\frac{2x^{2n+1}}{2n+1}$

8) $\ln 5-\sum_{n=1}^{\infty }\frac{x^{n}}{n5^{n}}$

9) $-\frac{1}{2}-\sum_{n=1}^{\infty }\frac{(-1)^{n}3x^{n}}{2^{n+1}}$

10) $\sum_{n=3}^{\infty }\frac{(n-2)x^{n}}{2^{n-1}}$