Introducción a las derivadas parciales
Interpretación geométrica de las derivadas parciales
Observe las curvas que resultan de la intersección de los planos $x=a$ y $y=b$
con la superficie $f(x,y)$.
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| Los planos corresponden a las componentes del punto (a,b) y las curvas resultan de evaluar "f" en solo una componente |
Nótese que al "fijar" $x$ o $y$ de $f(x,y)$
se obtienen funciones de una variable cuyas derivadas se pueden
definir como se muestra en la siguiente figura:
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| Para la curva g(y), el punto de tangencia es en y=b, z=f(a,b). Por otro lado, para la curva g(x), es en x=a, z=f(a,b) |
Nótese que la recta tangente a cada curva brinda información del cambio
de "z". Por tanto, analizando las dos figuras anteriores se puede decir
que
\[\frac{\partial }{\partial x}f(a,b)=\lim_{\Delta x \to
0}\frac{f(a+\Delta x,b)-f(a,b)}{\Delta x}\]
\[\frac{\partial }{\partial y}f(a,b)=\lim_{\Delta y \to
0}\frac{f(a,b+\Delta y)-f(a,b)}{\Delta y}\]
Así entonces, las derivadas parciales se definen como la pendiente de las
rectas tangentes a la superficie $f(x,y)$
en el punto $(a, b)$
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| Las rectas se extienden en dirección de los ejes $\textit{x}$ y $\textit{y}$ |
Ejemplo: Halle la ecuación vectorial de las rectas
tangentes a la superficie $f(x,y)=2x^{2}-xy+y^{2}$
en el punto (1,0)
Por definición de derivadas parciales se tiene que:
\[\frac{\partial }{\partial x}f(1,0)=\lim_{\Delta x \to 0}
\frac{[2(1+\Delta x)^{2}-(1+\Delta x)(0)+0^{2}]-2}{\Delta x}\]
\[\frac{\partial }{\partial x}f(1,0)=\lim_{\Delta x \to 0}
\frac{2\Delta x(2+\Delta x)}{\Delta x}=4\]
\[\frac{\partial }{\partial y}f(1,0)=\lim_{\Delta y \to 0}
\frac{[2(1)^{2}-1(0+\Delta y)+(0+\Delta y)^{2}]-2}{\Delta y}\]
\[\frac{\partial }{\partial y}f(1,0)=\lim_{\Delta y \to 0} \frac{\Delta
y(\Delta y-1)}{\Delta y}=-1\]
Por tanto, en la dirección de "x", la pendiente es 4 y en la dirección
"y", la pendinte es -1. Asimismo, como $f(1,0)=2$
las ecuaciones rectangulares de las rectas tangentes correspondientes a
cada dirección serán:
\[z_{y=0}=4x-2,\: z_{x=1}=-y+2 \]
Por último, parametrizando las direcciones, las ecuaciones vectoriales
serán:
\[r_{1}(t)=t\textbf{i}+(4t-2)\textbf{k}\]
\[r_{2}(t)=\textbf{i}+t\textbf{j}+(2-t)\textbf{k}\]
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| Con ayuda de una graficadora se puede corroborar que las rectas r1 y r2 son tangentes a la superficie "f" |
Si para la dirección "x" tomamos cualquier valor así como para la
dirección "y", donde a=1 y b=2 el resultado de cada límite será:
\[\frac{\partial }{\partial x}f(x,b)=\lim_{\Delta x \to 0} \frac{\Delta
x(4x+2\Delta x-b)}{\Delta x}=4x-b=g(x)\]
\[\frac{\partial }{\partial y}f(a,y)=\lim_{\Delta y \to 0} \frac{\Delta
y(-a+2y+\Delta y)}{\Delta y}=2y-a=g(y)\]
Nótese que en el límite para obtener g(x), la variable "y" toma el valor
constante "b". Asimismo, en el límite para obtener la función g(y), la
variable "x" toma el valor constante "a". Ahora si dejamos variar "a" y
"b", las expresiones anteriores se convierten en funciones de dos
variables:
\[\frac{\partial }{\partial x}f(x,y)=4x-y=f_{x}(x,y)\]
\[\frac{\partial }{\partial y}f(x,y)=2y-x=f_{y}(x,y)\]
Por tanto, si este comportamiento se cumple para cualquier función "f" de
dos variables, sus derivadas parciales $f_{x}$ y $f_{y}$ se definen por
\[\frac{\partial f}{\partial x}=f_{x}=\lim_{\Delta x \to
0}\frac{f(x+\Delta x,y)-f(x,y)}{\Delta x}\]
\[\frac{\partial f}{\partial y}=f_{y}=\lim_{\Delta y \to
0}\frac{f(x,y+\Delta y)-f(x,y)}{\Delta y}\]
Evidentemente esta definición es la misma que la derivada de funciones de
una variable.
Así entonces, para calcular derivadas parciales se toma a una de las
variables como constante y se deriva respecto a la otra con las técnicas y
reglas conocidas de derivación.
Ejemplos: Para las siguientes funciones calcule $\frac{\partial f}{\partial x}$ y $\frac{\partial f}{\partial y}$.
- $f(x,y)=\frac{x-y}{x+y}$
Usando la regla del cociente para funciones de una variable,
tenemos
\[\frac{\partial f}{\partial
x}=\frac{(1)(x+y)-(x-y)(1)}{(x+y)^{2}}=\frac{2y}{(x+y)^{2}}\]
\[\frac{\partial f}{\partial
y}=\frac{-(x+y)-(x-y)}{(x+y)^{2}}=-\frac{2x}{(x+y)^{2}}\]
- $f(x,y)=\ln (x+\sqrt{x^{2}+y^{2}})$
Usando la regla de la cadena para funciones de una variable se
tiene
\[ \frac{\partial f}{\partial
x}=\frac{1+\frac{2x}{2\sqrt{x^{2}+y^{2}}}}{x+\sqrt{x^{2}+y^{2}}}=\frac{1}{\sqrt{x^{2}+y^{2}}}\]
\[\frac{\partial f}{\partial
y}=\frac{\frac{2y}{2\sqrt{x^{2}+y^{2}}}}{x+\sqrt{x^{2}+y^{2}}}=\frac{y}{x^{2}+x\sqrt{x^{2}+y^{2}}+y^{2}}\]
- $x^{2}+y^{2}-z^{2}=2x(y+z)$
En este caso para hallar $\frac{\partial z}{\partial x}$, derivamos implícitamente respecto a x, teniendo cuidado de considerar "y"
constante:
\[2x-2z\frac{\partial z}{\partial x}=2(y+z)+2x\frac{\partial
z}{\partial x}\]
Despejando $\frac{\partial z}{\partial x}$, en esta ecuación se tiene
\[\frac{\partial z}{\partial x}=\frac{x-y-z}{x+z}\]
De igual forma la derivación implícita respecto a "y" da
\[2y-2z\frac{\partial z}{\partial y}=2x\left ( 1+\frac{\partial
z}{\partial y} \right )\]
\[\frac{\partial z}{\partial y}=\frac{y-x}{x+z}\]
Derivadas parciales de funciones de 3 o más variables
La definción de derivadas parciales puede extenderse a funciones de
tres o mas variables. Por ejemplo, si $w=f(x, y, z)$ existen 3 derivadas parciales, cada una de las cuales se forma
derivando respecto de una variable manteniendo constantes las otra
dos.
\[\frac{\partial w}{\partial x}=f_{x}=\lim_{\Delta x\to
0}\frac{f(x+\Delta x, y, z) -f(x,y,z)}{\Delta x}\]
\[\frac{\partial w}{\partial y}=f_{y}=\lim_{\Delta y\to
0}\frac{f(x,y+\Delta y, z) -f(x,y,z)}{\Delta y}\]
\[\frac{\partial w}{\partial z}=f_{z}=\lim_{\Delta z\to
0}\frac{f(x,y,z+\Delta z) -f(x,y,z)}{\Delta z}\]
En general, si $u$ es una función de "n" variables, $u=f(x_{1},x_{2},x_{3},...,x_{n})$, su derivada parcial con respecto a la i-ésima "x" es
\[\frac{\partial u}{\partial x_{i}}=f_{x_{i}}=\lim_{\Delta x_{i}\to
0}\frac{f(x_{1},x_{2},...,x_{i}+\Delta x_{i},...,x_{n})
-f(x_{1},x_{2},...x_{i},...x_{n})}{\Delta x_{i}}\]
Ejemplo: Encuentre las derivadas parciales de la
función $u=xe^{-t}\sin \theta$
Derivando respecto a "x" conservando "t" y $\theta$
constantes, tenemos
\[\frac{\partial u}{\partial x}=e^{-t}\sin \theta \]
Análogamente,
\[\frac{\partial u}{\partial t}=-xe^{-t}\sin \theta \]
\[\frac{\partial u}{\partial \theta }=xe^{-t}\cos \theta \]
Derivadas parciales de orden superior
Si $f$
es una función de dos variables, entonces sus derivadas parciales $f_{x}$ y $f_{y}$
son también funciones de dos variables las cuales igualmente se pueden
derivar con respecto a la misma variable o a las restantes $(f_{x})_{x},\, (f_{x})_{y},\, (f_{y})_{x},\, \textrm{y }\,
(f_{y})_{y}$, siendo estas las llamadas segundas derivadas parciales que también
pueden denotarse por:
\[f_{xx}=\frac{\partial }{\partial x}\left ( \frac{\partial f}{\partial
x} \right )=\frac{\partial^{2} f}{\partial x^{2}}\]
\[f_{xy}=\frac{\partial }{\partial y}\left ( \frac{\partial f}{\partial
x} \right )=\frac{\partial^{2} f}{\partial y\partial x}\]
\[f_{yx}=\frac{\partial }{\partial x}\left ( \frac{\partial f}{\partial
y} \right )=\frac{\partial^{2} f}{\partial x\partial y}\]
\[f_{yy}=\frac{\partial }{\partial y}\left ( \frac{\partial f}{\partial
y} \right )=\frac{\partial^{2} f}{\partial y^{2}}\]
Ejemplo: Halle todas las segundas derivadas parciales
para
\[f(x,y)=\sqrt{x^{2}+y^{2}}\]
Las primeras derivadas son
\[\begin{matrix}f_{x}=\frac{x}{\sqrt{x^{2}+y^{2}}} &
f_{y}=\frac{y}{\sqrt{x^{2}+y^{2}}} \\\end{matrix}\]
Por tanto, las segundas derivadas serán
\[\begin{matrix}f_{xx}=\frac{y^{2}}{\sqrt{(x^{2}+y^{2})^{3}}} &
f_{xy}=\frac{\partial }{\partial y}\left (\frac{x}{\sqrt{x^{2}+y^{2}}}
\right )=\frac{-xy}{\sqrt{(x^{2}+y^{2})^{3}}} \\f_{yx}=\frac{\partial
}{\partial x}\left (\frac{y}{\sqrt{x^{2}+y^{2}}} \right
)=\frac{-xy}{\sqrt{(x^{2}+y^{2})^{3}}} &
f_{yy}=\frac{x^{2}}{\sqrt{(x^{2}+y^{2})^{3}}} \\\end{matrix}\]
Note que $f_{xy}=f_{yx}$, lo cual no es coincidencia, pues el siguiente teorema, enunciado por el
matemático francés Alexis Clairaut menciona la condición que
debe cumplir "f" para que sea cierta esta igualdad.
Suponga que $f$ está definida en un disco D que contiene al punto (a,b).
Si las funciones $f_{xy}$ y $f_{yx}$
son continuas en D, entonces
\[f_{xy}(a,b)=f_{yx}(a,b)\]
Demostración:
Sea $\Delta x=x-a$ y como $f_{y}$
es una función de dos variables, se puede aplicar la definición de derivada
parcial respecto a "x" como sigue:
\[f_{yx}(a,b)=\lim_{\Delta x \to 0}\frac{f_{y}(a+\Delta
x,b)-f_{y}(a,b)}{\Delta x}\]
Reescribiendo mediante las notaciones alternativas de la derivada y
considerando el valor de $\Delta x$, tenemos
\[f_{yx}(a,b)=\lim_{\Delta x \to 0}\frac{\partial }{\partial y}\left [
\frac{f(x,y)-f(a,y)}{\Delta x}\right ]_{y=b}\]
Por el
teorema del valor medio de Lagrange, se forma el siguiente gráfico:
|
| "k" es un valor que puede alterar la distancia $\mathit{\Delta x}$ con el fin de encontrar una relación de "c" con $\mathit{\Delta x}$ |
de manera que se cumple que
\[f_{x}(c,y)=\frac{f(x,y)-f(a,y)}{\Delta x}\]
\[f_{x}(a+k\Delta x,y)=\frac{f(x,y)-f(a,y)}{\Delta x}\]
Así entonces, reemplazando esta expresión en $f_{yx}$ se tiene
\[f_{yx}(a,b)=\lim_{\Delta x \to 0}\frac{\partial }{\partial y}\left [
f_{x}(a+k\Delta x,y) \right ]_{y=b}\]
\[f_{yx}(a,b)=\lim_{\Delta x \to 0}f_{xy}(a+k\Delta x,b)\]
El límite se puede aplicar solo si "f" es continua en [a,x] y derivable en
(a,x). Si esto se cumple entonces se puede concluir que
\[f_{yx}(a,b)=f_{xy}(a,b)\]
Demostrando así el teorema de Clairaut, también conocido como
igualdad de las derivadas parciales mixtas.
Ejemplo: Demuestre que se cumple el teorema de Clairaut
para
\[f(x,y)=\cos (x^{2}y)\]
Las primeras derivadas parciales son
\[\begin{matrix}f_{x}=-2xy\sin (x^{2}y) & f_{y}=-x^{2}\sin
(x^{2}y)\end{matrix}\]
de modo que las derivadas mixtas o cruzadas serán:
\[\begin{matrix}f_{xy}=-2x\sin (x^{2}y)-2x^{3}y\cos (x^{2}y) &
f_{yx}=-2x\sin (x^{2}y)-2x^{3}y\cos (x^{2}y)\end{matrix}\]
Así entonces queda demostrado que el teorema de Clairaut se cumple para
"f".
Este teorema puede extenderse para derivadas de orden "n", por ejemplo para
las derivadas cruzadas de tercer orden se cumple que $f_{xyy}=f_{yxy}=f_{yyx}$ donde
\[f_{xyy}=(f_{xy})_{y}=\frac{\partial }{\partial y}\left (
\frac{\partial^2 f}{\partial y \partial x} \right )=\frac{\partial^3
f}{\partial y^2\partial x}\]
Ejemplo práctico: Sea la función $u=e^{xy}+e^{-xy}+\frac{xe^{4y}}{16-x^{2}}$ hallar la expresión abreviada de $\frac{\partial^{2} u}{\partial y^{2}}-x^{2}u$
La primera derivada parcial con respecto a "y" es
\[\frac{\partial u}{\partial
y}=xe^{xy}-xe^{-xy}+\frac{4xe^{4y}}{16-x^{2}}\]
de modo que la segunda derivada con respecto a la misma variable
será:
\[\frac{\partial^{2} u}{\partial
y^{2}}=x^{2}e^{xy}+x^{2}e^{-xy}+\frac{16xe^{4y}}{16-x^{2}}\]
Luego, realizando la operación indicada se tiene
\[\frac{\partial^{2} u}{\partial
y^{2}}-x^{2}u=x^{2}e^{xy}+x^{2}e^{-xy}+\frac{16xe^{4y}}{16-x^{2}}-x^{2}u=...\]
\[...=x^{2}(e^{xy}+e^{-xy})+\frac{16xe^{4y}}{16-x^{2}}-x^{2}\left
(e^{xy}+e^{-xy}+\frac{xe^{4y}}{16-x^{2}} \right )=...\]
\[...=\frac{16xe^{4y}}{16-x^{2}}-\frac{x^{3}e^{4y}}{16-x^{2}}=\frac{xe^{4y}(16-x^{2})}{16-x^{2}}=xe^{4y}\]
Note que la idea es reducir hasta obtener la mínima expresión, de
modo que la operación dada pueda escribirse como:
\[\frac{\partial^{2} u}{\partial y^{2}}-x^{2}u=xe^{4y}\]
Ejercicios:
a) Para las funciones dadas, hallar la expresión reducida de las operaciones pedidas
1) $f(x,y)=\frac{x^{2}}{y}+\frac{y^{2}}{x}$
para $x\frac{\partial
f}{\partial x}+y\frac{\partial f}{\partial y}$
2) $f(x,y)=\frac{y}{x^{2}+y^{2}}$
para $\frac{\partial^2 f}{\partial x^2}+\frac{\partial^2 f}{\partial
y^2}$
3) $e^{x}+e^{y}+e^{z}=4$
demostrar que $e^{z-x}\frac{\partial^2 z}{\partial x^2}+e^{z-y}\frac{\partial^2
z}{\partial y^2}=-1-4e^{-z}$
4) $f(x,y,z)=\frac{1}{\sqrt{x^{2}+y^{2}+z^{2}}}$
para $f_{xx}+f_{yy}+f_{zz}$
b) Para las siguientes funciones, verifique que se cumple el teorema de Clairaut
1) $f(x,y)=x^{5}y^{4}-3x^{2}y^{3}+2x^{2}$
2) $f(x,y)=\ln
\sqrt{x^{2}+y^{2}}$
3) $f(x,y)=\sin^{2} x \cos
y$
4) $f(x,y)=xye^{y}$
c) Hallar la derivada parcial indicada
1) $f(x,y)=x^{2}y^{3}-2x^{4}y;\: f_{xxx}$
2) $f(x,y,z)=x^{5}+x^{4}y^{4}z^{3}+yz^{2};\: f_{xyz}$
3) $f(x,y)=x\sin y;\:
\frac{\partial^3 f}{\partial y^2 \partial x}$
4) $f(x,y,z)=\ln
(x+2y^{2}+3z^{3});\: \frac{\partial^3 f}{\partial x \partial y
\partial z}$
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