Limite en un punto no definido
Limites que comprenden el infinito
Analicemos el siguiente limite
\[\lim_{x\rightarrow 0}\frac{1}{x}\]
En este caso no es posible aplicar la ley del cociente ya que el limite en el denominador es cero. Por otro lado, usando una
tabla de valores se tiene:
Note que mientras nos acercamos a 0 por la izquierda obtenemos valores
de la función cada vez mas grandes y negativas, mientras que por la
derecha obtenemos valores de la función cada vez mas grandes y
positivas. Entonces, no es posible determinar un valor finito de la
función cada vez que x esté mas cerca de 0, pero se sabe que resultan
números muy grandes cuyo signo varía dependiendo el
limite lateral. Dichos números que no se pueden determinar se las representan por
$+\infty$ o $-\infty$ permitiendo expresar al limite como:
\[\lim_{x\rightarrow 0^{-}}\frac{1}{x}=-\infty\]
\[\lim_{x\rightarrow 0^{+}}\frac{1}{x}=+\infty\]
Por otro lado, también se podría realizar un análisis de tendencia
cuando x toma valores muy grandes. Por ejemplo, tomando solo un punto lo
suficientemente grande tanto positiva como negativa se obtendría:
\[f(1000)=0.001\]
\[f(-1000)=-0.001\]
Puede notar que si x toma valores grandes sin importar el signo, los
valores de f(x) se aproximan a 0, por lo que se puede decir que:
\[\lim_{x\rightarrow \infty }\frac{1}{x}=0\]
Es posible demostrar estos limites en base a la definición de limite para comprobar su validez. Con ayuda de la gráfica de la
función es posible reconocer los parámetros necesarios:
- Para $\lim_{x\rightarrow 0^{-} }\frac{1}{x}=-\infty$, se cumple si
$\forall M> 0\exists \delta > 0/0< 0-x< \delta \Rightarrow
\frac{1}{x}< -M$. Note que este cambio de la definición se da ya
que L no existe pero se puede tomar un valor de referencia M tan
grande como se desee, el cual permite analizar si hay un f(x) para
cualquier x dentro el intervalo acotado por $\delta ^{-}$ que sea
mucho menor al valor negativo de M comprobando así que el limite
tiende a infinito negativo. Entonces, la idea de la demostración es
encontrar una relación entre M y $\delta$.
\[0< -x< \delta\]
El valor de -x debe encontrarse en la segunda desigualdad:
\[\frac{1}{x}< -M\rightarrow \frac{1}{-x}> M\]
Ahora para poder relacionar M con $\delta$ se necesita obtener -1/x
en la primera desigualdad:
\[0< -x< \delta \rightarrow \frac{1}{\delta }<
-\frac{1}{x}\]
Cabe mencionar que x debe ser siempre positiva, entonces para que se
pueda realizar la inversión, este debe contener valores menores que 0
y así se validaría el artificio algebraico para "-x". Luego:
\[M=\frac{1}{\delta }\]
En este caso no fue necesario usar una valor auxiliar, por lo que se
tiene:
\[\delta =\frac{1}{M }\]
Para comprobar podemos tomar el valor M=1000, siendo así $\delta
=0.001$. Entonces escogiendo un x cualquiera menor a 0.001 por la
izquierda de 0 asegurará que f(x) sea mucho menor a -M. Por ejemplo
si x=-0.0001 se tiene:
\[f(-0.0001)=-10000\]
Así entonces queda demostrado el límite.
- Para $\lim_{x\rightarrow 0^{+} }\frac{1}{x}=+\infty$, se cumple
si $\forall M> 0\exists \delta > 0/0< x-0< \delta
\Rightarrow \frac{1}{x}> M$. Análogo al caso anterior, M
permite comprobar si hay un f(x) para cualquier x dentro el
intervalo acotado por $\delta ^{+}$ que sea mucho mayor a M
comprobando así que el limite tiende a infinito positivo.
\[0< x< \delta\]
\[\frac{1}{x}> M\]
\[0< x< \delta \rightarrow \frac{1}{\delta }<
\frac{1}{x}\]
\[M=\frac{1}{\delta }\]
\[\delta =\frac{1}{M }\]
Si M=1000 se tiene $\delta =0.001$. Entonces escogiendo un x cualquiera menor a 0.001 por la
derecha de 0 asegurará que f(x) sea mucho mayor a M. Por ejemplo
si x=0.0001 se tiene:
\[f(0.0001)=10000\]
Así entonces queda demostrado el límite.
- Para $\lim_{x\rightarrow \infty }\frac{1}{x}=0$, se cumple si
$\forall \varepsilon > 0\exists N> 0/x> N\Rightarrow \left |
\frac{1}{x}-0 \right |< \varepsilon$. Como el limite es el mismo cuando x tiende a infinito positivo o
negativo, se utilizará la definición en base a infinito positivo para
que la demostración sea mas comprensible.
\[x> N\]
\[\left | \frac{1}{x} \right |< \varepsilon\]
En este caso la idea de la demostración es encontrar una relación
entre N y $\varepsilon$. Recuerde que este parámetro es el error de
referencia para validar al limite. Por otro lado N es un valor tan
grande como se desee donde se pueda escoger un valor de x aún mayor
que asegure que el error obtenido sea menor al máximo
permisible.
\[\frac{1}{N}> \frac{1}{x}\]
En este caso para poder relacionar los términos deseados se debe
eliminar el valor absoluto. Entonces por definición de valor absoluto
se puede decir que:
\[\frac{1}{x}< \varepsilon ,x> 0\]
Así entonces:
\[\varepsilon =\frac{1}{N}\]
\[N=\frac{1}{\varepsilon }\]
Si $\varepsilon =0.01$ entonces $N=\frac{1}{0.01}=100$. Escogiendo un x cualquiera mayor a 100 se asegura un error menor a
0.01 respecto a L=0. Por ejemplo si x=500 se tiene:
\[f(500)=0.002\]
Así entonces queda demostrando el límite.
Realizando el mismo análisis para una
función exponencial
se puede deducir que:
\[\lim_{x\rightarrow +\infty }e^{x}=+\infty\]
\[\lim_{x\rightarrow -\infty }e^{x}=0\]
La gráfica de la curva ayuda a visualizar los limites en el infinito.
- Para $\lim_{x\rightarrow -\infty }e^{x}=0$, se cumple si $\forall
\varepsilon > 0\exists N< 0/x< N\Rightarrow \left | e^{x}-0
\right |< \varepsilon$.
\[x< N\]
\[e^{x}< e^{N}\]
Para eliminar el valor absoluto, se puede notar mediante la gráfica
que la función exponencial es siempre positiva, entonces:
\[\left | e^{x} \right |< \varepsilon \rightarrow e^{x}<
\varepsilon\]
Así entonces:
\[\varepsilon =e^{N}\]
\[N=\ln \varepsilon\]
Si $\varepsilon =0.0001$ entonces $n\approx -9.2103$. Escogiendo un x cualquiera menor a -9.2103 como x=-10 se
tiene:
\[f(-10)\approx 4.54\times 10^{-5}\]
Así entonces queda demostrando el límite.
Valores indeterminados
Ejemplo 1: Hallar el siguiente limite
\[\lim_{x\rightarrow 2}\frac{x^{2}+x-6}{x-2}\]
Como el limite en el denominador es 0, no es posible aplicar la
ley del cociente de limites y tampoco se puede decir
que el limite es infinito ya que si se evalúan los
limites laterales utilizando una tabla de valores se
obtiene:
Note que en ambos lados del punto x=2, los valores de f(x) se
aproximan a 5. Entonces se puede decir que el limite existe y de
alguna manera si es posible calcularlo. Sin embargo, si esta se intenta aplicar la sustitución directa como alternativa a alguna ley de los limites, se obtiene un valor igual a 0/0. Para intentar
calcularlo, se puede partir de la siguiente expresión, la cuál es
correcta debido a que se cumple la multiplicación:
\[\frac{0}{0}=x\rightarrow 0=0\times x\]
Es posible tomar cualquier valor para x ya que siempre se cumple
el producto:
\[\frac{0}{0}=1,\frac{0}{0}=\sqrt{2},\frac{0}{0}=1000\]
Sin embargo esto sugiere que:
\[1=\sqrt{2}=1000\]
Esta conclusión no es lógica ya que los valores son distintos.
Entonces, no existe un valor "x" que cumpla el valor que se desea
calcular por lo que se dice que la expresión
0/0 es un valor indeterminado.
Entonces, para resolver una indeterminación de este tipo
se debe reducir a f con la idea de eliminar el punto no definido.
Por otro lado, no significa que la función se encuentre definida
en dicho punto luego de la simplificación, sino que lo
"transformamos" a una función equivalente cuyo limite si sea
calculable por sustitución directa.
\[\lim_{x\rightarrow 2}\frac{x^{2}+x-6}{x-2}=\lim_{x\rightarrow
2}\frac{(x-2)(x+3)}{x-2}\]
\[...=\lim_{x\rightarrow 2}(x+3)=5\]
Entonces:
\[\lim_{x\rightarrow 2}\frac{x^{2}+x-6}{x-2}=5\]
Graficando la función f se tiene:
Note que la gráfica es la misma que le corresponde a la función
simplificada salvo en x=2 ya que f no se define en dicho
punto.
Ejemplo 2: Calcular:
\[\lim_{x\rightarrow \infty }\frac{3x+5}{x-4}\]
Las leyes de los limites restringe a los limites infinitos ya que no
son valores definidos. Por otro lado si se aplica la sustitución directa se obtendría:
\[\frac{\infty }{\infty }\]
Sin embargo, como no se conoce con certeza los valores del numerador y el
denominador, esta expresión se la considera como otra forma indeterminada.
Entonces para resolver el limite se utiliza un artificio algebraico
como dividir tanto el numerador como el denominador entre x:
\[\lim_{x\rightarrow \infty
}\frac{3+\frac{5}{x}}{1-\frac{4}{x}}=3\]
Note que se hizo la división con el objetivo de obtener la forma del
limite de 1/x ya que se dedujo que en el infinito su valor es 0. Cabe
mencionar que si el polinomio del numerador es de grado distinto al del
denominador, se divide entre el x que sea de mayor grado para lograr el mismo efecto.
Otro caso particular de valores indefinidos se puede presentar en el
siguiente limite:
\[\lim_{x\rightarrow -\infty }(\sqrt{x^{2}+x}-\sqrt{x^{2}+2x})\]
Como no es posible aplicar la ley de la diferencia de límites se podría utilizar sustitución directa obteniendo $\infty -\infty$ y como se mencionó
anteriormente, no es posible conocer el valor que representa el infinito,
puede que se tenga la diferencia entre dos valores distintos o bien iguales.
Por lo tanto, este valor también es una forma indeterminada. Entonces
utilizando racionalización debido a las raíces se tiene:
\[\lim_{x\rightarrow -\infty
}(\sqrt{x^{2}+x}-\sqrt{x^{2}+2x})\frac{\sqrt{x^{2}+x}+\sqrt{x^{2}+2x}}{\sqrt{x^{2}+x}+\sqrt{x^{2}+2x}}\]
\[\lim_{x\rightarrow -\infty
}\frac{-x}{\sqrt{x^{2}+x}+\sqrt{x^{2}+2x}}\]
Note que ahora resultó la indeterminación del ejemplo anterior, entonces
reconociendo que el máximo grado es 1, se tiene que:
\[\lim_{x\rightarrow -\infty
}\frac{-\frac{x}{x}}{\frac{\sqrt{x^{2}+x}}{x}+\frac{\sqrt{x^{2}+2x}}{x}}\]
Para que x pueda contenerse en la raíz se puede usar la expresión
$\sqrt{x^{2}}$. Sin embargo, x tiende a infinito negativo y como una
función raíz acepta solo valores positivos se puede cambiar la expresión a $-\sqrt{x^{2}}$. Entonces se tiene
\[\lim_{x\rightarrow -\infty
}\frac{-1}{\frac{\sqrt{x^{2}+x}}{-\sqrt{x^{2}}}+\frac{\sqrt{x^{2}+2x}}{-\sqrt{x^{2}}}}\]
\[\lim_{x\rightarrow -\infty
}\frac{1}{\sqrt{1+\frac{1}{x}}+\sqrt{1+\frac{2}{x}}}=\frac{1}{2}\]
Así entonces:
\[\lim_{x\rightarrow -\infty
}(\sqrt{x^{2}+x}-\sqrt{x^{2}+2x})=\frac{1}{2}\]
 |
| Con ayuda de una graficadora se puede corroborar la respuesta visualmente |
Ejemplo práctico: Evaluar el límite:
\[\lim_{x\rightarrow -\infty }\left (x+\frac{x^{2}}{\sqrt{x^{2}-1}}\right )\]
En este caso resulta evidente que el límite es indeterminado, por lo que operando la suma de fracciones se tiene:
\[\lim_{x\rightarrow -\infty }\left ( \frac{x\sqrt{x^{2}-1}+x^{2}}{\sqrt{x^{2}-1}} \right )\]
Nótese las raices tanto en el numerador como en el denominador, por lo que racionalizando ambos términos tenemos
\[\lim_{x\rightarrow -\infty }\left ( \frac{x\sqrt{x^{2}-1}+x^{2}}{\sqrt{x^{2}-1}} \right )\left ( \frac{\sqrt{x^{2}-1}}{\sqrt{x^{2}-1}} \right )\left ( \frac{x\sqrt{x^{2}-1}-x^{2}}{x\sqrt{x^{2}-1}-x^{2}} \right )\]
\[\lim_{x\rightarrow -\infty } \frac{[x^{2}(x^{2}-1)-x^{4}]\sqrt{x^{2}-1}}{(x^{2}-1)(x\sqrt{x^{2}-1}-x^{2})}=\lim_{x\rightarrow -\infty } \frac{x[x(x^{2}-1)-x^{3}]\sqrt{x^{2}-1}}{x(x^{2}-1)(\sqrt{x^{2}-1}-x)}\]
\[\lim_{x\rightarrow -\infty } \frac{x^{3}-x-x^{3}}{\sqrt{x^{2}-1}(\sqrt{x^{2}-1}-x)} =\lim_{x\rightarrow -\infty }\frac{-x}{x^{2}-1-x\sqrt{x^{2}-1}}\]
Así entonces, ya es posible dividir entre el elemento de mayor potencia, el cuál evidentemenete es $x^{2}$.
\[\lim_{x\rightarrow -\infty }\frac{-\frac{1}{x}}{1-\frac{1}{x^{2}}-\frac{\sqrt{x^{2}-1}}{x}}=\lim_{x\rightarrow -\infty }\frac{-\frac{1}{x}}{1-\frac{1}{x^{2}}+\sqrt{1-\frac{1}{x}}}=0\]
Como el límite tiende a menos infinito, se aplica la mísma lógica utilizada en el ejemplo anterior para introducir "x" a la raíz cuadrada.
 |
| Si no se hubiera considerado $-\sqrt{x^{2}}$, el límite tendería a infinito, pues se confundiría con $x\to \infty$ |
Cálculo de limites de funciones vectoriales
Conocida la definición del limite de una función vectorial, es posible utilizar todos los análisis vistos en funciones reales de una
variable real para el cálculo de limites de una función vectorial. Por
ejemplo, hallar el limite:
\[\lim_{t\rightarrow \infty }\left \langle
e^{-t},\frac{1}{t},\frac{t}{t^{2}+1} \right \rangle\]
Para $\lim_{t\rightarrow \infty }f(t)$:
\[\lim_{t\rightarrow \infty }e^{-t}=0\]
Para $\lim_{t\rightarrow \infty }g(t)$:
\[\lim_{t\rightarrow \infty }\frac{1}{t}=0\]
Para $\lim_{t\rightarrow \infty }h(t)$:
\[\lim_{t\rightarrow \infty }\frac{t}{t^{2}+1}=\lim_{t\rightarrow \infty
}\frac{\frac{1}{t}}{1+\frac{1}{t^{2}}}\]
\[\lim_{t\rightarrow \infty }\frac{t}{t^{2}+1}=0\]
Entonces:
\[\lim_{t\rightarrow \infty }\left \langle
e^{-t},\frac{1}{t},\frac{t}{t^{2}+1} \right \rangle=\left \langle 0,0,0
\right \rangle\]
Si bien las leyes de los limites es posible aplicar en cada función
componente, ¿Es posible aplicar las mismas leyes en las
operaciones de funciones vectoriales?
Sean las funciones:
\[u(t)=\left \langle f(t),g(t),h(t) \right \rangle\]
\[v(t)=\left \langle m(t),n(t),p(t) \right \rangle\]
Se demuestran las propiedades siguientes.
- Suma de funciones vectoriales
\[\lim_{t\rightarrow a }[u(t)+ v(t)]=\lim_{t\rightarrow a}u(t)+
\lim_{t\rightarrow a}v(t)\]
\[\lim_{t\to a}[\left< f(t),g(t),h(t) \right> +\left < m(t),n(t),p(t) \right >]=\left < \lim_{t\to a}f(t),\lim_{\to a}g(t),\lim_{t\to a}h(t) \right >+\left < \lim_{t\to a}m(t),\lim_{t\to a}n(t),\lim_{t\to a}p(t) \right >\]
\[\lim_{t\rightarrow a}\left \langle f(t)+m(t),g(t)+n(t),h(t)+p(t) \right \rangle=\left \langle \lim_{t\rightarrow a}f(t)+\lim_{t\rightarrow
a}m(t),\lim_{t\rightarrow a}g(t)+\lim_{t\rightarrow
a}n(t),\lim_{t\rightarrow a}h(t)+\lim_{t\rightarrow a}p(t) \right
\rangle\]
\[\left \langle\lim_{t\rightarrow a}[f(t)+m(t)],\lim_{t\rightarrow
a}[g(t)+n(t)],\lim_{t\rightarrow a}[h(t)+p(t)]\right \rangle=\left \langle
\lim_{t\rightarrow a}[f(t)+m(t)],\lim_{t\rightarrow
a}[g(t)+n(t)],\lim_{t\rightarrow a}[h(t)+p(t)] \right \rangle\]
Se obtuvo en ambos miembros una suma de limites en cada función componente
y ya demostrado esta ley en las funciones reales queda entonces demostrado
la propiedad de la suma de funciones vectoriales. Lo mismo se aplicaría para
la diferencia.
- Producto por un escalar
\[\lim_{t\rightarrow a }cu(t)=c\lim_{x\rightarrow a}u(t)\]
\[\lim_{t\rightarrow a}[c\left \langle f(t),g(t),h(t) \right
\rangle]=c\lim_{t\rightarrow a}\left \langle f(t),g(t),h(t) \right
\rangle\]
\[\lim_{t\rightarrow a}\left \langle cf(t),cg(t),ch(t) \right
\rangle=c\left \langle \lim_{t\rightarrow a}f(t),\lim_{t\rightarrow
a}g(t),\lim_{t\rightarrow a}h(t) \right \rangle\]
\[\left \langle \lim_{t\rightarrow a}cf(t),\lim_{t\rightarrow
a}cg(t),\lim_{t\rightarrow a}ch(t) \right \rangle=\left \langle
c\lim_{t\rightarrow a}f(t),c\lim_{t\rightarrow a}g(t),c\lim_{t\rightarrow
a}h(t) \right \rangle\]
La igualdad se cumple ya que se tiene la
ley múltiplo constante en cada función componente, el cual fue demostrado en funciones
reales.
- Producto punto y producto cruz de funciones vectoriales
\[\lim_{t\rightarrow a }[u(t)\cdot v(t)]=\lim_{t\rightarrow a}u(t)\cdot
\lim_{t\rightarrow a}v(t)\]
\[\lim_{t\rightarrow a}[\left \langle f(t),g(t),h(t) \right \rangle\cdot
\left \langle m(t),n(t),p(t) \right \rangle]=\left \langle
\lim_{t\rightarrow a}f(t),\lim_{t\rightarrow a}g(t),\lim_{t\rightarrow
a}h(t) \right \rangle\cdot \left \langle \lim_{t\rightarrow
a}m(t),\lim_{t\rightarrow a}n(t),\lim_{t\rightarrow a}p(t) \right
\rangle\]
\[\small \small \lim_{t\rightarrow a}[f(g)m(t)+g(t)n(t)+h(t)p(t)]
=\lim_{t\rightarrow a}f(t)\lim_{t\rightarrow a}m(t)+\lim_{t\rightarrow
a}g(t)\lim_{t\rightarrow a}n(t)+\lim_{t\rightarrow a}h(t)\lim_{t\rightarrow
a}p(t)\]
\[\small \lim_{t\rightarrow a}f(t)m(t)+\lim_{t\rightarrow
a}g(t)n(t)+\lim_{t\rightarrow a}h(t)p(t) =\lim_{t\rightarrow
a}f(t)m(t)+\lim_{t\rightarrow a}g(t)n(t)+\lim_{t\rightarrow
a}h(t)p(t)\]
Note que fue posible aplicar la
ley de la suma
y la
ley del producto ya que se tienen solamente funciones reales como resultado del
producto punto.
\[\lim_{t\rightarrow a }[u(t)\times v(t)]=\lim_{t\rightarrow a}u(t)\times
\lim_{t\rightarrow a}v(t)\]
\[\lim_{t\rightarrow a}[\left \langle f(t),g(t),h(t) \right
\rangle\times \left \langle m(t),n(t),p(t) \right \rangle]=\left \langle
\lim_{t\rightarrow a}f(t),\lim_{t\rightarrow a}g(t),\lim_{t\rightarrow
a}h(t) \right \rangle\times \left \langle \lim_{t\rightarrow
a}m(t),\lim_{t\rightarrow a}n(t),\lim_{t\rightarrow a}p(t) \right
\rangle\]
Realizando el producto cruz para ambos miembros de la igualdad se llega a
la misma expresión dada por:
\[\left \langle \lim_{t\rightarrow a}(g(t)p(t)-h(t)n(t)),\lim_{t\rightarrow
a}(h(t)m(t)-f(t)p(t)),\lim_{t\rightarrow a}(f(t)n(t)-g(t)m(t)) \right
\rangle\]
En el segundo miembro de la igualdad se aplican las
leyes de suma y producto de limites para obtener la expresión final.
Así entonces queda demostrado la propiedad del limite del producto cruz de
funciones vectoriales.
Cada una de estas propiedades son muy utilizadas en análisis vectorial de
curvas paramétricas.
Ejemplo: Sean las funciones $r(t)=t\textbf{i}+t^{2}\textbf{j}$ y
$u(t)=(2+t)\textbf{i}+8t\textbf{j}$ calcular:
a) $\lim_{t\rightarrow 0}[r(t)+r(-1)]$
b) $\lim_{t\rightarrow 2}[r(t)\cdot u(t)]$
c) $\lim_{t\rightarrow 1}[r(t)\times u(t)]$
Para el inciso (a):
\[\lim_{t\rightarrow
0}[t\textbf{i}+t^{2}\textbf{j}+(-\textbf{i}+\textbf{j})]\]
\[\lim_{t\rightarrow
0}[(t-1)\textbf{i}+(t^{2}+1)\textbf{j}]=-\mathbf{i}+\textbf{j}\]
Para el inciso (b):
\[\lim_{t\rightarrow 2}[(t\textbf{i}+t^{2}\textbf{j})\cdot
((2+t)\textbf{i}+8t\textbf{j})]=\lim_{t\rightarrow
2}[t\textbf{i}+t^{2}\textbf{j}]\cdot \lim_{t\rightarrow
2}[(2+t)\textbf{i}+8t\textbf{j}]\]
\[\lim_{t\rightarrow 2}[(t\textbf{i}+t^{2}\textbf{j})\cdot
((2+t)\textbf{i}+8t\textbf{j})]=
(2\textbf{i}+4\textbf{j})\cdot(4\textbf{i}+16\textbf{j})=8+64\]
\[\lim_{t\rightarrow 2}[(t\textbf{i}+t^{2}\textbf{j})\cdot
((2+t)\textbf{i}+8t\textbf{j})]=72\]
Para el inciso (c):
\[\lim_{t\rightarrow 1}[(t\textbf{i}+t^{2}\textbf{j})\times
((2+t)\textbf{i}+8t\textbf{j})]=(\textbf{i}+\textbf{j})\times
(3\textbf{i}+8\textbf{j})\]
\[\begin{vmatrix} 1 &1 \\ 3 &8
\end{vmatrix}=(8-3)\textbf{k}\]
\[\lim_{t\rightarrow 1}[(t\textbf{i}+t^{2}\textbf{j})\times
((2+t)\textbf{i}+8t\textbf{j})]=5\textbf{k}\]
Ejercicios:
a) Hallar los limites si existen
1) $\lim_{x\rightarrow \frac{2}{5}}\frac{30x^{2}-47x+14}{2-5x}$
2) $\lim_{x\rightarrow 2^{+}}\frac{x^{3}-8}{\left | x-2 \right |}$
3) $\lim_{x\rightarrow \infty }\frac{\sqrt{3x^{2}-1}}{2-x}$
4) $\lim_{x\rightarrow -\infty }\left ( \frac{x^{2}-4}{x-1}
-\frac{x^{2}+2x}{x+5}\right )$
5) $\lim_{x\rightarrow 1^{-}}\frac{x^{2}+1}{x-1}$
6) $\lim_{t\rightarrow 2}\left \langle
\frac{t-2}{t^{2}-4},\frac{2t-4}{2-t},t+2 \right \rangle$
7) $\lim_{t\rightarrow -1}\left \langle \frac{\ln
(t+2)}{1-t},\sqrt{1-t},\sin^{-1}t \right \rangle$
8) $\lim_{t\rightarrow \infty }\left \langle
\frac{1}{e^{(t+1)}},\frac{t^{2}}{t+1},-\frac{1}{t} \right \rangle$
b) Dados u y v, realizar lo que indica el enunciado
1) $u(t)=2t^{2}\mathbf{i}-t^{5}\mathbf{j}$, $v(t)=4t\mathbf{i}+\frac{7}{t^2}\mathbf{j}$. Graficar $u(t)\cdot v(t)$
2) $u(t)=e^{-t}\mathbf{i}+e^{-2t}\mathbf{j}$, $v(t)=-e^{-t}\mathbf{i}-2e^{-2t}\mathbf{j}$. Graficar la curva
paramétrica dada por $u(t)\times v(t)$
3) Sean los vectores u, v y r mostrados en la figura, deducir la
expresión para r de manera que el punto asociado a ella siempre forme un
segmento de recta con el punto asociado a u.
4) Sea la función
$u(t)=(t-4)\mathbf{i}+\frac{t}{2}\mathbf{j}-(3+2t)\mathbf{k}$, expresarla
como una suma de dos vectores de manera que el parámetro "t" sea múltiplo escalar de uno de ellos.
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