Rectas y planos en el espacio
Rectas en el espacio
En el espacio tridimensional "xyz", no es tan sencillo definir la
pendiente de una recta como en el plano "xy". Por otro lado, se sabe que
una recta en dicho plano tiene varias representaciones. Una de ellas es la
ecuación vectorial, el cuál puede ayudar a expresar a una recta en el
espacio, ya que solo es necesario conocer un punto y su
vector director.
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| El vector posición $v(v_{x},v_{y},v_{z})$ es paralelo al vector diferencia $a=\overrightarrow{P-P_{0}}$ |
El vector posición $r$
señala cualquier punto que pertenezca a la recta y el vector $r_{0}$
es un vector que representa un punto conocido de dicha recta. Note que
si se restan los vectores $r$
y $r_{0}$ se tiene un vector que posee la misma dirección y sentido que el
vector $v$
pero con diferente módulo. No obstante, se sabe que para alterar el
módulo de un vector solo se le debe multiplicar por un escalar, por lo
que se puede decir que $tv=r-r_{0}$
donde "t" es un número real. Así entonces, se obtiene
la ecuación vectorial de una recta en el espacio, el cuál es
la misma que representa una recta en el plano, por lo que se podría
inferir que funciona para cualquier dimensión.
\[r=r_{0}+tv\]
Partiendo de esta ecuación, se pueden deducir más expresiones
algebraicas útiles:
Tomando las componentes de los vectores y sumándolas se tiene
\[\left \langle x,y,z \right \rangle=\left \langle x_{0},y_{0},z_{0}
\right \rangle+t\left \langle v_{x},v_{y},v_{z} \right \rangle\]
\[\left \langle x,y,z \right \rangle=\left \langle
x_{0}+tv_{x},y_{0}+tv_{y},z_{0}+tv_{z} \right \rangle\]
de manera que cada componente se expresa como sigue:´
\[x=x_{0}+tv_{x}\: \: \: \: y=y_{0}+tv_{y}\: \: \: \: z=z_{0}+tv_{z}\]
Estas son las
ecuaciones paramétricas de una recta en el espacio.
Despejando el parámetro "t" en cada ecuación se tiene
\[t=\frac{x-x_{0}}{v_{x}}\: \: \: \: t=\frac{y-y_{0}}{v_{y}}\: \: \: \:
t=\frac{z-z_{0}}{v_{z}}\]
Así es posible igualar las tres expresiones como sigue:
\[\frac{x-x_{0}}{v_{x}}=\frac{y-y_{0}}{v_{y}}=\frac{z-z_{0}}{v_{z}}\]
Estas son las ecuaciones simétricas de una recta en el espacio.
Si solo se conocen dos puntos $P_{0}$ y $P_{1}$ por las que debe pasar la recta, se puede observar en la figura
anterior que la resta de los vectores posición correspondientes a cada
punto da un vector paralelo al vector director de la recta. Esta
propiedad permite que cualquier vector formado por la diferencia entre
dos puntos contenidos en la recta sea el vector director:
\[v=\left \langle x_{1}-x_{0},y_{1} -y_{0},z_{1}-z_{0}\right \rangle\]
Ejemplos:
- Hallar la ecuación vectorial y las ecuaciones paramétricas de la recta que pasa por el punto (-2,4,10) y es paralela al vector $\left \langle 3,1,-8\right \rangle$
\[r=\left \langle -2,4,10 \right \rangle+t\left \langle 3,1,-8 \right
\rangle\]
y las ecuaciones paramétricas son
\[x=-2+3t\: \: \: \: y=4+t\: \: \: \: z=10-8t\]
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| Trazado de la recta |
- Hallar las ecuaciones paramétricas y simétricas de la recta que pasa por los puntos A(5,-3,-2) y $B\left ( -\frac{2}{3},\frac{2}{3},1 \right )$
\[v\left \langle -\frac{2}{3}-5,\frac{2}{3}+3,1+2 \right \rangle=v\left
\langle -\frac{17}{3},\frac{11}{3},3\right \rangle\]
Entonces, tomando cualquiera de los puntos dados como $P_{0}$, las ecuaciones paramétricas son
\[x=5-\frac{17}{3}t\: \: \: \: y=-3+\frac{11}{3}t\: \: \: \:
z=-2+3t\]
Luego, usando el mismo punto $P_{0}$
las ecuaciones simétricas son
\[\frac{x-5}{-17/3}=\frac{y+3}{11/3}=\frac{z+2}{3}\]
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| Trazado de la recta |
- Encuentre las ecuaciones simétricas de la recta que pasa por el punto (0,2,-1) y es paralela a la recta dada por $x=1+2t,\, y=3t,\, z=5-7t$
\[\frac{x}{2}=\frac{y-2}{3}=-\frac{z+1}{7}\]
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| Representación gráfica de las rectas |
Planos en el espacio
Representar un plano no es tan sencillo como una recta, pues un
vector paralelo no es suficiente para indicar su dirección. Por otro
lado, si se conoce un vector "apoyado" en dicho plano y se halla un
vector perpendicular a él, ya es posible conocer la dirección del
plano (ver figura)
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| El vector perpendicular a $r-r_{0}$ también se la denomina vector normal "n" |
Entonces para que el vector "n" sea perpendicular al vector
diferencia se debe cumplir que
\[n\cdot (r-r_{0})=0\]
Por tanto, aplicando propiedades del producto escalar, se tiene que
la ecuación vectorial del plano es
\[n\cdot r=n\cdot r_{0}\]
Tomando las componentes de los vectores y operando el producto
escalar se tiene
\[\left \langle a,b,c \right \rangle\cdot \left \langle x,y,z
\right \rangle=\left \langle a,b,c \right \rangle\cdot \left \langle
x_{0},y_{0},z_{0} \right \rangle\]
\[ax+by+cz=ax_{0}+by_{0}+cz_{0}\]
\[a(x-x_{0})+b(y-y_{0})+c(z-z_{0})=0\]
siendo esta la ecuación escalar del plano.
Si se agrupan los términos de la ecuación escalar como sigue:
\[ax+by+cz-ax_{0}-by_{0}-cz_{0}=0\]
se obtiene la
ecuación normal o general del plano, la cuál es la forma más habitual de representación.
\[ax+by+cz+d=0\]
Si no se conoce el vector normal del plano, pero si al menos a tres puntos P, Q y R que
pertenezcan al mismo, se tienen dos vectores diferencia $a=\overrightarrow{PQ}$ y $b=\overrightarrow{PR}$
cuyo vector normal es el producto cruz entre ambos vectores. Siendo
este, el vector normal del plano
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| \[\mathit{n=a\times b}\] |
Ejemplos:
- Hallar la ecuación normal del plano que pasa por el punto (1,-1,1) y tiene vector normal $\left \langle 1,1,-1\right \rangle$
\[(x-1)+(y+1)-(z-1)=0\]
Operando los términos, la ecuación normal del plano es
\[x+y-z+1=0\]
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| Para trazar un plano conviene utilizar los puntos de corte con los ejes para ayudar a crear la perspectiva. |
- Hallar la ecuación normal del plano que pasa por los puntos P(2,3,-2), Q(3,4,2) y R(1,-1,0)
\[\overrightarrow{PQ}=\left \langle 3,4,2 \right \rangle-\left
\langle 2,3,-2 \right \rangle=\left \langle 1,1,4 \right
\rangle\]
\[\overrightarrow{PR}=\left \langle 1,-1,0 \right \rangle-\left
\langle 2,3,-2 \right \rangle=\left \langle -1,-4,2 \right
\rangle\]
de manera que el vector normal del plano es
\[\overrightarrow{PQ}\times \overrightarrow{PR}=\begin{vmatrix}
\mathbf{i} & \textbf{j} & \textbf{k}\\ 1 & 1 &
4\\ -1 & -4 & 2 \end{vmatrix}=\left \langle 18,-6,-3
\right \rangle\]
Luego, tomando cualquiera de los puntos conocidos como $P_{0}$, la ecuación normal del plano se obtiene como sigue:
\[18(x-2)-6(y-3)-3(z+2)=0\]
\[18x-36-6y+18-3z-6=0\]
\[18x-6y-3z-24=0\]
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| Parte del plano que está contenida en el triángulo PQR |
- Hallar la ecuación normal del plano que contiene a las rectas $L1:\frac{1-x}{2}=y=z+1$ y $L2:-\frac{x+1}{2}=y-1=z-2$
Entonces, ordenando las ecuaciones simétricas como sigue:
\[L1:\frac{x-1}{-2}=y=z+1\: \: \: \: \:
L2:\frac{x+1}{-2}=y-1=z-2\]
se tienen los vectores directores
\[v_{1}=\left \langle -2,1,1 \right \rangle\: \: \: \:
v_{2}=\left \langle -2,1,1 \right \rangle\]
Note que ambos vectores son exactamente iguales, por lo que
evidentemente las rectas son paralelas. Por tanto para
obtener el vector normal del plano se puede plantear la
siguiente idea
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| Se toma un vector desde L1 a un punto P de L2, el vector normal será el producto vectorial entre el vector v1 contenido en la recta L1 y el vector diferencia. |
De acuerdo con la ecuación simétrica de las rectas L1 y L2, estas pasan
por el punto Q(1,0,-1) y P(-1,1,2) respectivamente, de manera
que el vector entre L1 y L2 es
\[\overrightarrow{L2-L1}=\left \langle -1,1,2 \right
\rangle-\left \langle 1,0,-1 \right \rangle=\left \langle -2,1,3
\right \rangle\]
Luego, como v1 es paralelo al vector director de la recta L1,
el vector normal es
\[n=v1\times (L2-L1)=\begin{vmatrix} \textbf{i} &
\textbf{j} & \textbf{k}\\ -2 & 1 & 1\\ -2 & 1
& 3 \end{vmatrix}=\left\langle 2,4 \right \rangle\]
Ahora, tanto Q como P pasan por el plano, por lo que tomando
cualquiera de los dos, mediante la ecuación escalar se tiene:
\[2(x-1)+4y=0\]
\[2x+4y-2=0\]
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| Visualización del plano resultante con las rectas paralelas contenidas en él |
Note que el plano es paralelo al eje Z y corta al plano XY en
el punto (2,0,0,) el cuál es cuando $y=0$, y en el punto (0,1/2,0), el cuál es cuando $x=0$.
Posición relativa entre dos rectas y dos planos
Rectas paralelas
Ya se mencionó que dos rectas paralelas tienen vectores directores
de igual dirección. Si esta condición se cumple, no importa si
dichos vectores son de diferente sentido o tamaño.
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| v1 es le vector director de la recta L1 y v2 es el vector director de la recta L2. |
Observe en la figura que el vector v2 es mas grande que el vector
v1 pero tienen la misma dirección por lo que las rectas son
paralelas. Asimismo, si los vectores tuvieran diferente sentido, aun
se cumple la condición de paralelismo. En resumen, dos rectas son
paralelas si sus vectores directores son paralelos y dos vectores
son paralelos si uno es múltiplo escalar del otro:
\[v_{2}=kv_{1}\]
Donde $k$
es un número real.
Rectas secantes
Este término se usa para referirse a la intersección entre rectas.
Para saber si dos rectas se intersecan, conviene utilizar las
ecuaciones paramétricas de manera que estas se puedan igualar. Es
decir, si suponemos una recta L1 con ecuaciones paramétricas x(t),
y(t), z(t) y otra recta L2 con ecuaciones paramétricas x(s), y(s),
z(s) se puede decir que se intersecan si
\[\begin{matrix} x(t)=x(s)\\ y(t)=y(s)\\ z(t)=z(s)
\end{matrix}\]
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| Los valores de "t" y "s" que satisfacen las ecuaciones permiten obtener las componentes del punto P |
Rectas oblicuas
En este caso, se dice que dos rectas son oblicuas si no son
paralelas y no se cortan. En otras palabras, no se encuentran en el
mismo plano.
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| Las rectas no cumplen con la condición de rectas paralelas o de rectas secantes, pero los planos donde se encuentran contenidas son paralelos. |
Planos paralelos
De forma análoga a las rectas paralelas, dos planos son paralelos
si sus vectores normales son paralelos.
Planos secantes
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| Dos planos secantes se intersecan en una recta |
Ejemplos:
- Determine si las rectas $L1:\frac{x}{4}=\frac{y-2}{-1}=z+1$ y $L2:\frac{x-1}{4}=y+2=\frac{z+3}{-3}$ son paralelas, secantes u oblicuas.
Para determinar si las rectas son secantes, se expresan las
ecuaciones paramétricas como sigue:
\[L1:x=4t\: \: \: \: y=2-t\: \: \: \: z=1+t\]
\[L2:x=1+4s\: \: \: \: y=-2+s\: \: \: \: z=-3-3s\]
de manera que se procede a resolver el sistema de ecuaciones
siguiente
\[\left\{\begin{matrix} 4t=1+4s\\ 2-t=-2+s\\ 1+t=-3-3s
\end{matrix}\right.\]
\[\left\{\begin{matrix} t-s=\frac{1}{4}\\ t+s=4\\ t+3s=-4
\end{matrix}\right.\]
\[t=\frac{17}{8}\, ,\, s=-\frac{49}{24}\]
Las soluciones no satisfacen a las tres ecuaciones, por lo que
las rectas no se cortan.
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| Las rectas L1 y L2 son oblicuas |
- Halle las ecuaciones paramétricas de la recta definida por $L:\left\{\begin{matrix} x+y+z=1\\ x+z=0 \end{matrix}\right.$
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| El vector "v" es el vector director de la recta intersección, los vectores "n1" y "n2" son los vectores normales a los planos dados por las ecuaciones 1 y 2 del sistema respectivamente |
Como la recta L se contiene en los planos 1 y 2, su vector
director es perpendicular a los vectores normales de dichos
planos. De esta manera, se tiene que:
\[v=n1\times n2=\begin{vmatrix} \mathbf{i} & \textbf{j}
& \textbf{k}\\ 1 & 1 & 1\\ 1 & 0 & 1
\end{vmatrix}=\left \langle 1,0,-1 \right \rangle\]
Luego, para conocer el punto $P_{0}$
se puede dar un valor arbitrario a cualquiera de las
variables del sistema. Por ejemplo, si $x=0$, por la ecuación 2 del sistema se tiene que $z=0$, y por consiguiente $y=1$.
Por tanto, la recta pasa por $P_{0}=(0,1,0)$,
de manera que sus ecuaciones paramétricas son:
\[x=t\: \: \: \: y=1\: \: \: \: z=-t\]
Ejercicios:
a) Resuelva los siguientes problemas geométricos, grafique cada una de las situaciones
1) Halle las ecuaciones paramétricas de la recta
que pasa por el punto P(-4,5,2) y es perpendicular al
plano dado por
$-x+2y+z=5$
2) Halle las ecuaciones paramétricas de la recta que
pasa por el punto P(2,1,2) y es paralela: (a) al eje
X, (b) al eje Y, (c) al eje Z.
3) Hallar la ecuación normal del plano que pasa por
el punto P(3,2,2) y es perpendicular a la
recta $\frac{x-1}{4}=y+2=\frac{z+3}{-3}$
4) Hallar la ecuación vectorial del plano que
contenga a la recta dada por $L:\left\{\begin{matrix} y+2z=3\\ x-z=1
\end{matrix}\right.$ y que sea perpendicular al plano $x+y-2z=1$
5) Hallar la ecuación normal del plano que pasa por
el punto (4,-2,3) y es paralelo al plano $3x-7z=12$
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