Introducción a las integrales dobles
Volúmen bajo una superficie
De manera similar al cálculo del
área bajo una curva, el volumen bajo una superficie se puede obtener con una suma de "n"
prismas rectangulares con base de lados $\Delta x,\Delta y$ y altura $f(x^{*},y^{*})$ donde $(x^{*},y^{*})$ es un punto cualquiera de la base de dicho prisma.
Si tomamos una región rectangular "D" como muestra la figura anterior y la dividimos en "m" pedazos a lo largo y en "n" pedazos a lo ancho,
el área de la base de un prisma en la posición (i,j) dentro de dicha
región será:
\[\Delta A=\frac{\Delta x \Delta y}{mn}\]
de manera que el volumen de dicho prisma será $V_{ij}=f(x^{*}_{ij},y^{*}_{ij})\Delta A$.
Luego, la aproximación del volumen de la región bajo la superficie "f"
será la suma de los volúmenes de los "mxn" prismas que se contengan en
dicha región
\[V\approx
V_{11}+V_{12}+...+V_{1n}+V_{21}+V_{22}+...+V_{2n}+...+V_{m1}+V_{m2}+...+V_{mn}\]
\[V\approx \sum_{j=1}^{n}(V_{1j}+V_{2j}+...+V_{mj})\]
\[V\approx \sum_{j=1}^{n}\sum_{i=1}^{m}V_{ij}\]
y reemplazando en $V_{ij}$:
\[V\approx \sum_{j=1}^{n}\sum_{i=1}^{m}f(x^{*}_{ij},y^{*}_{ij})\Delta
A\]
No obstante, para hallar el valor exacto del volumen hacemos a los prismas
infinitamente pequeños, de modo que la expresión anterior se convierte
en
\[V=\lim_{(m,n)\to (\infty,\infty)
}\sum_{j=1}^{n}\sum_{i=1}^{m}f(x^{*}_{i},y^{*}_{i})\Delta A\]
Esta es la suma doble de Riemann, de manera que es posible expresarla como:
\[V=\iint_{D}f(x,y)dA\]
así entonces se define la integral doble sobre un rectángulo
D.
Cabe mencionar que si "f" toma valores tanto positivos como negativos, la
integral doble se interpreta como una diferencia de volúmenes, pero si $f(x,y)\geq 0$,
se interpreta como el volumen bajo la superficie
Integrales iteradas
Si bien es difícil evaluar integrales definidas directamente de la definición, la
evaluación de integrales dobles lo es aún más. No obstante, para
encontrar un método práctico, podemos partir del cálculo del área de una región encerrada por dos curvas:
Usando el teorema fundamental del cálculo es posible
reescribir la diferencia de las funciones "g" y "h" como integrales
definidas de una variable como sigue:
\[g_{2}(x)-g_{1}(x)=y\left.\begin{matrix} \\
\\\end{matrix}\right|_{g_{1}(x)}^{g_{2}(x)}=\int_{g_{1}(x)}^{g_{2}(x)}dy\]
\[h_{2}(y)-h_{1}(y)=x\left.\begin{matrix} \\
\\\end{matrix}\right|_{h_{1}(y)}^{h_{2}(y)}=\int_{h_{1}(y)}^{h_{2}(y)}dx\]
Luego, combinando con las fórmulas del cálculo del área R, obtenemos las
denominadas integrales iteradas:
\[R=\int_{a}^{b}\int_{g_{1}(x)}^{g_{2}(x)}dy\, dx\]
\[R=\int_{c}^{d}\int_{h_{1}(y)}^{h_{2}(y)}dx\, dy\]
Ahora si decimos que $f(x,y)=1$, estas integrales se pueden interpretar como el volumen bajo el plano
"z=1" y encima de la región "R". Expandiendo esta idea a una superficie $z=f(x,y)$ continua y definida en el rectángulo $R=[a,b]\times[c,d]$, la evaluación de la integral doble será:
\[\int_{a}^{b}\int_{c}^{d} f(x,y) dy\, dx=\int_{a}^{b}\left [
\int_{c}^{d} f(x,y) dy \right ] dx \]
\[\int_{c}^{d}\int_{a}^{b} f(x,y) dx\, dy=\int_{c}^{d}\left [
\int_{a}^{b} f(x,y) dx \right ] dy\]
dando a entender que se integra primero respecto a la variable cuya
diferencial se encuentra dentro los corchetes y después respecto a
la restante.
Debido a la idea en la que partimos para introducir el concepto de
las integrales iteradas, estas pueden ser utilizadas como un método
alternativo para calcular el área de una región limitada por dos
curvas.
Ejemplo 1: Por medio de integrales dobles, calcule el área encerrada
por las curvas $f(x)=4x-x^{2}$ y $g(x)=3x$
|
| Los puntos de intersección entre las curvas son P1(0,0) y P2(1,3) |
Nótese que la región formada varía en "y" desde "g" hasta "f", y en "x"
desde 0 hasta 1, de modo que se tiene
\[A=\int_{0}^{1}\int_{g(x)}^{f(x)}dy\, dx\]
\[\int_{0}^{1}\int_{3x}^{4x-x^{2}}dy\,
dx=\int_{0}^{1}y\left.\begin{matrix} \\
\\\end{matrix}\right|_{3x}^{4x-x^{2}}\, dx=\int_{0}^{1}(x-x^{2})dx\]
\[A=\int_{0}^{1}(x-x^{2})dx=\left ( \frac{x^{2}}{2}-\frac{x^{3}}{3}
\right )\left.\begin{matrix} \\
\\\end{matrix}\right|_{0}^{1}=\frac{1}{6}\]
Ejemplo 2: Halle el volumen del sólido que se encuentra bajo
el paraboloide elíptico $\frac{x^{2}}{4}+\frac{y^{2}}{9}+z=1$
y arriba del rectángulo $R=[-1,1]\times [-2,2]$.
Despejando "z" y reconociendo los límites de integración se tiene
\[V=\iint_{R} \left ( 1-\frac{x^{2}}{4}-\frac{y^{2}}{9} \right )dA\]
\[V=\int_{-1}^{1} \int_{-2}^{2} \left ( 1-\frac{x^{2}}{4}-\frac{y^{2}}{9}
\right )dy\, dx\]
Integrando respecto a "y":
\[V=\int_{-1}^{1} \left ( y-\frac{x^{2}y}{4}-\frac{y^{3}}{27} \right
)\left.\begin{matrix} \\ \\\end{matrix}\right|_{-2}^{2} dx=\int_{-1}^{1}
\left ( -x^{2}+\frac{92}{27} \right ) dx\]
Integrando respecto a "x":
\[V=\frac{92}{27}x-\frac{x^{3}}{3}\left.\begin{matrix} \\
\\\end{matrix}\right|_{-1}^{1}=\frac{166}{27}\]
Note la similitud con la derivación parcial, pues se integró parcialmente
con respecto a $y$
y luego con respecto a $x$.
Teorema de Fubini
Calulemos el volumen bajo la superficie $f(x,y)=x^{2}y$ en el rectángulo $R=[1,2]\times [3,4]$
Primero evaluemos la integral iterada:
\[V=\int_{1}^{2}\int_{3}^{4}x^{2}y\, dy\,
dx=\int_{1}^{2}\frac{(xy)^{2}}{2}\left.\begin{matrix} \\
\\\end{matrix}\right|_{3}^{4}dx=\int_{1}^{2}\frac{7}{2}x^{2}dx\]
\[V=\frac{7}{2}\left ( \frac{x^{3}}{3} \right )\left.\begin{matrix} \\
\\\end{matrix}\right|_{1}^{2}=\frac{7}{2}\left ( \frac{7}{3} \right
)=\frac{49}{6}\]
Ahora veamos que pasa si cambiamos el orden de las integrales:
\[V=\int_{3}^{4}\int_{1}^{2}x^{2}y\, dx\,
dy=\int_{3}^{4}\frac{yx^{3}}{3}\left.\begin{matrix} \\
\\\end{matrix}\right|_{1}^{2}dy=\int_{3}^{4}\frac{7}{3}ydy\]
\[V=\frac{7}{3}\left ( \frac{y^{2}}{2} \right )\left.\begin{matrix}
\\ \\\end{matrix}\right|_{3}^{4}=\frac{7}{3}\left ( \frac{7}{2} \right
)=\frac{49}{6}\]
Nótese que se obtuvo la misma respuesta.
En general, el orden de integración no importa, (esto es similar al
teorema de Clairaut
sobre la igualdad de las derivadas parciales mixtas) y para probarlo de una forma intuitiva observemos el siguiente gráfico
En ambos casos, el volumen se dará por la suma infinita de los volúmenes
de las rebanadas "c". Dichos volúmenes también pueden calcularse como un
prisma, donde la base es "A" y la altura es el pequeño espesor extendido
sobre el eje "x" en la figura (a) y sobre el eje "y" en la figura
(b): $V_{i}=A_{i}h$.
Note que el área "A" se encuentra bajo una curva resultante de la
intersección de la superficie "f" con el plano $x=x_{i}^{*}$ en el caso de la figura (a) y con el plano $y=y_{i}^{*}$ en el caso de la figura (b), por lo tanto:
\[A(y)=\int_{c}^{d}f(x_{i}^{*},y)dy\]
\[A(x)=\int_{a}^{b}f(x,y_{i}^{*})dx\]
el espesor o altura para la región A(y) es $\Delta x$
y para la región A(x) es $\Delta y$, de modo que
\[V_{a}=A(y)\Delta x\]
\[V_{b}=A(x)\Delta y\]
La suma de todos los volumenes correspondientes a cada región será la
aproximación del volumen bajo la superficie "f", y si dicha suma tiende a
infinito, será el volumen exacto:
\[V=\lim_{n \to \infty }\sum_{k=1}^{n}A(y)\Delta x=\lim_{n \to \infty
}\sum_{k=1}^{n}A(x)\Delta y\]
concluyendo que:
\[\iint_{R}f(x,y)dA=\int_{a}^{b}\int_{c}^{d}f(x,y)dy\,
dx=\int_{c}^{d}\int_{a}^{b}f(x,y)dx\, dy\]
Esta es la tesis del teorema de Fubini, el cual asegura que esta
igualdad es cierta si suponemos que $f$ está acotada en un rectángulo "R", es discontinua sólo en un número finito
de curvas suaves, y existen las integrales iteradas.
Este teorema es de mucha utilidad para la evaluación de integrales
como:
\[\int_{0}^{1}\int_{0}^{1}ye^{yx}dy\, dx\]
Si integramos respecto a "y" será necesario aplicar el método de
integración por partes o usar la técnica de tabulación. No obstante, si
aplicamos el teorema de Fubini se tiene
\[\int_{0}^{1}\int_{0}^{1}ye^{yx}dx\,
dy=\int_{0}^{1}e^{xy}\left.\begin{matrix} \\
\\\end{matrix}\right|_{0}^{1}dy=\int_{0}^{1}(e^{y}-1)dy\]
\[I=e^{y}-y\left.\begin{matrix} \\
\\\end{matrix}\right|_{0}^{1}=e-2\]
Note que se obtuvo una integral más sencilla que la original.
Así entonces, cuando evaluamos integrales dobles, el teorema de Fubini
permite escoger un orden de integración que pueda facilitar las operaciones
a realizar.
Ejemplo práctico: Hallar el volumen del sólido encerrado por
el paraboloide $z=1+(x-1)^{2}+4y^{2}$, los planos $x=3,\, y=2$
y los planos coordenados.
Los planos dados conforman las paredes del sólido formado, cuyas
intersecciones con los ejes "x" e "y", formarán el rectángulo $R=[0,3]\times [0,2]$. Así entonces el volumen estará dado por
\[V=\iint_{R}[1+(x-1)^{2}+4y^{2}]dA\]
Por último, evaluando la integral iterada se tiene
\[V=\int_{0}^{3}\int_{0}^{2}[1+(x-1)^{2}+4y^{2}]dy\,
dx=2\int_{0}^{3}\left [ (x-1)^{2}+\frac{19}{3} \right ]dx\]
\[V=2\left [ \frac{(x-1)^{3}}{3}+\frac{19}{3}x \right
]\left.\begin{matrix} \\
\\\end{matrix}\right|_{0}^{3}=2(3+19)=44\]
Linealidad de las integrales dobles
Consideremos un espacio vectorial $V=\left\{F/f(t) \mathbb{R} \to \mathbb{R} \right\}$, demostremos que $T:V\to V$
tal que $T(f)=\int f(t)\, dt$,
es una transformación lineal.
Mediante la definición de integral, se analiza la primera
propiedad mediante las funciones "g" y "h" como sigue:
\[\int[g(t)+h(t)]\, dt=\lim_{n \to
\infty}\sum_{i=1}^{n}[g(t_{i})+h(t_{i})]\Delta t_{i}=\lim_{n \to
\infty}\sum_{i=1}^{n}[g(t_{i})\Delta t_{i}+h(t_{i})\Delta
t_{i}]\]
\[I=\lim_{n \to \infty}\sum_{i=1}^{n}g(t_{i})\Delta t_{i}+\lim_{n
\to \infty}\sum_{i=1}^{n}h(t_{i})\Delta t_{i}=\int g(t)\, dt+\int
h(t)\, dt\]
Debido a las propiedades de la sumatoria y de los limites, la
primera propiedad se cumple. Luego, analizando la segunda
propiedad se tiene:
\[\int cg(t)\, dt=\lim_{n \to
\infty}\sum_{i=1}^{n}cg(t_{i})\Delta t_{i}=c\lim_{n \to
\infty}\sum_{i=1}^{n}g(t_{i})\Delta t_{i}=c\int g(t)\, dt\]
demostrando así que una integral simple es una transformación lineal.
Evidentemente, este hecho se puede extender a las integrales
dobles debido a que tienen el mismo comportamiento. Por tanto, sean $f$ y $g$
continuas en una región "R" cerrada y acotada en el plano y sea $c$
una constante, entonces:
- $\iint_{R}cf(x,y)\, dA=c\iint_{R}f(x,y)\, dA$
- $\iint_{R}[f(x,y)\pm g(x,y)]\, dA=\iint_{R}f(x,y)\, dA\pm \iint_{R} g(x,y)\, dA$
Ejercicios:
a) Evalúe las siguientes integrales dobles
1) $\iint_{R}\, dA,\:
R=[1,2]\times [0,1]$
2) $\iint_{R}(x+y)\,
dA,\: R=[0,2]\times [1,2]$
3)
$\iint_{R}(x^{2}+y^{2})\, dA,\: R=[2,4]\times [1,2]$
4) $\int_{0}^{\pi /2}\int_{0}^{2}\rho ^{2}\cos \theta d\rho \,
d\theta$
b) Calcule el volumen de los sólidos limitados por las siguientes superficies
1) $z=x^{2},\, x=2,\, y=4$ y los planos coordenados
2) $z=x\sqrt{x^{2}+y},\,
x=1,\, y=1$ y los planos coordenados
3) El sólido bajo el plano z=1 y sobre la región limitada por las
curvas: $x=0,\, y=e^{x},\, y-10=0$
4) $z=9-y^{2},\, x=2$
y el primer octante
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