Problemas de optimización
Valores críticos y extremos de una función
Cuando la primera derivada de una función es cero o no existe en algún
valor de su dominio, se dice que este es un valor critico. Este valor
puede indicar la existencia de un mínimo, máximo o un punto de inflexión, pero no necesariamente la asegura, aunque con la ayuda de la
segunda derivada se puede asegurar la existencia del punto de inflexión. Por
otro lado, para estudiar de una manera mas rigurosa los mínimos o máximos,
también denominados extremos de una función, se presentan las
siguientes definiciones:
Una función $f$ tiene un máximo global en un número $c$ si $f(c)\geq
f(x)$ para todo $x$ de su dominio. Por otro lado, tiene un mínimo global
en $c$ si $f(c)\leq f(x)$ para todo $x$ de su dominio.
Por ejemplo: Hallar los extremos de la función $f(x)=x^{2}$
Hallando los valores críticos:
\[f'(x)=2x\]
\[2x=0\]
\[x=0\]
La derivada tiene dominio en todos los números reales, por lo que se tiene
el único valor crítico $x=0$. Luego, evaluando todos los números posibles
del dominio por izquierda y por derecha de dicho valor crítico sobre la
función y comparando los valores que se obtengan como menciona la
definición, se puede decir que en $x=0$ hay un extremo mínimo global. Por
otro lado, también se puede usar el criterio de la primera derivada como un medio más sencillo para realizar la comparación ya que este se
relaciona con esta definición del extremo global.
|
| \[\mathit{f(x)=x^{2}}\] |
Una función $f$ tiene un máximo local en un número $c$ si
$f(c)\geq f(x)$ para todo $x$ dentro un intervalo abierto que contiene a
$c$. Por otro lado, tiene un mínimo local en $c$ si $f(c)\leq f(x)$ para todo $x$ dentro de dicho intervalo.
Por ejemplo: hallar los extremos de la función $f(x)=\sin x+\cos x+x$
en $I:(0,\pi )$
Hallando el valor crítico:
\[f'(x)=\cos x-\sin x+1\]
\[\cos x-\sin x+1=0\]
\[\sin x(\sin x-1)=0\]
\[x:\left \{ \pi (2n-1) , \frac{\pi }{2}(4n-3)\right \}\]
En el intervalo dado, solo se contiene el valor $x=\frac{\pi }{2}$ y la
derivada existe en todos los valores de "x", por lo que ese es el único
valor critico. Luego, se evalúa un número contenido en el intervalo sobre la función por izquierda y por
derecha del valor crítico y se comparan los resultados para determinar el
extremo. Por otro lado, se puede aplicar de igual manera el criterio de la
primera derivada cuidando que la comparación se deba realizar dentro del
intervalo. Así, se puede decir que la curva tiene un máximo local
en $x=\frac{\pi }{2}$.
|
| \[\mathit{f(x)=\sin x+\cos x+x}\] |
Por otro lado, si se toma un intervalo cerrado, se puede asegurar la
existencia de un máximo o mínimo global en algún extremo de dicho intervalo,
pero no se puede decir que existe un máximo o mínimo local. Mientras que en
los valores críticos que se encuentren dentro, puede que existan extremos
locales y/o globales. Por ejemplo, hallar los extremos de la función dada
por $f(t)=\sin t$ en $I:\left [ \frac{5\pi }{6},\frac{11\pi }{6} \right
]$
Hallando los valores críticos
\[f'(t)=\cos t\]
\[\cos t=0\]
\[t=\frac{\pi }{2}(2n-1)\]
Dentro del intervalo dado solo se contiene el valor $t=\frac{3\pi }{2}$ y
la derivada existe en todos los valores de "t", por lo que ese es el único
valor crítico. Sin embargo, no asegura que exista un máximo o un mínimo, por
lo que evaluando los extremos del intervalo y comparando como mencionan las
definiciones se tiene:
\[f\left ( \frac{5\pi }{6} \right )=\frac{1}{2}\]
\[f\left ( \frac{11\pi }{6} \right )=-\frac{1}{2}\]
\[f\left ( \frac{3\pi }{2} \right )=-1\]
\[f\left ( \frac{5\pi }{6} \right )> f\left ( \frac{11\pi }{6}
\right )> f\left ( \frac{3\pi }{2} \right )\]
Entonces, se puede decir que $f\left ( \frac{3\pi }{2} \right )=-1$ es un
extremo mínimo tanto local como global, $f\left ( \frac{5\pi }{6} \right )=\frac{1}{2}$ está en un extremo del
intervalo, entonces es un máximo global. Por último, $f\left ( \frac{11\pi }{6} \right )=-\frac{1}{2}$ se encuentra en el otro
extremo del intervalo pero no es máximo global ni local. Cabe mencionar que, luego de encontrar los extremos globales, si existen
mas extremos dentro el intervalo, estos últimos solo se los consideran como
locales.
Note que en este caso, fue necesario utilizar las definiciones enunciadas
en lugar del criterio de la primera derivada.
Determinar los máximos y mínimos de una función tiene muchas
aplicaciones en la resolución de problemas de optimización, en los cuales se nos pide la mejor manera de resolver alguna situación,
como por ejemplo:
Problema 1: Un granjero planea cercar un pastizal rectangular adyacente
a un río. El pastizal debe contener 245000 $m^{2}$ para proporcionar
suficiente pastura para el rebaño. ¿Qué dimensiones requeriría la mínima
cantidad de cercado si no es necesario vallar a lo largo del río?
Conviene realizar un esquema que ayude a plantear el problema
Se desea la mínima cantidad de cercado por lo que se desea optimizar
perímetro.
\[P=x+2y\]
Note que se tienen dos variables, pero es posible encontrar una
relación entre ellas de manera que la función a optimizar dependa de
solo una. Si se escoge al ancho $x$ como la variable independiente,
entonces se halla una expresión para el largo $y$ usando el área
conocida de manera que también dependa del ancho.
\[xy=245000\]
\[y=\frac{245000}{x}\]
Luego
\[P(x)=x+\frac{490000}{x}, x>0\]
Note que se agregó la condición $x>0$ para indicar que el lado de la
cerca debe ser un valor positivo y que la función deducida no está
definida en $x=0$. Luego, hallando los valores críticos
\[P'(x)=1-\frac{490000}{x^{2}}\]
\[1-\frac{490000}{x^{2}}=0\]
\[x=\pm 700\]
Usando el criterio de la primera derivada para determinar los máximos y
mínimos se puede concluir que en $x=-700$ se tiene un máximo y en
$x=700$ se tiene un mínimo. Tomando en cuenta la condición agregada, no
es necesario analizar los valores negativos, y cuidando que en el
resultado positivo debe existir un mínimo, entonces se puede proceder a
hallar el lado $y$.
\[y=\frac{245000}{700}=350\]
Así, las dimensiones para obtener la mínima cantidad de cercado que
ocupe el área pedida es 700x350 (m).
Problema 2: Una ventana Normanda se construye juntando un semicírculo a
la parte superior de una ventana rectangular. Encuentre las dimensiones
de este tipo de ventana donde pueda ingresar la mayor cantidad de luz
posible si se desea que tenga un perímetro de 16 pies en total.
Se requiere que entre la mayor cantidad de luz posible, por lo que se
desea optimizar el área. Note que esta resulta de la suma del área de un
rectángulo y la de un semicírculo.
\[A=xy+\frac{\pi }{2}\left ( \frac{x}{2} \right )^{2}\]
Escogiendo el lado $y$ como la variable independiente y usando el
dato del perímetro se tiene
\[x+2y+\pi \left ( \frac{x}{2} \right )=16\]
\[x=\frac{32-4y}{2+\pi}\]
\[A(y)=\left ( \frac{32-4y}{2+\pi} \right )y+\frac{\pi}{8}\left (
\frac{32-4y}{2+\pi}\right )^{2}\]
\[A(y)=\left ( \frac{2}{(2+\pi)^{2}} \right )[8-y][y(4+\pi)+8\pi],
y>0\]
En este caso la función si se define en $y=0$, pero para resolver la
situación, suponemos que debe existir una medida para construir la
ventana. Luego, hallando los valores críticos
\[A'(y)=\left ( \frac{2}{(2+\pi)^{2}} \right )\left \{
-[y(4+\pi)+8\pi]+[8-y][4+\pi] \right \}\]
\[-[y(4+\pi)+8\pi]+[8-y][4+\pi]=0\]
\[y=\frac{16}{4+\pi }\]
Aplicando el criterio de la primera derivada, se tiene que en el valor
encontrado hay un máximo. Entonces, hallando el valor del lado $x$ se
tiene que:
\[x=\frac{32}{4+\pi}\]
Así, se tiene que las dimensiones pedidas son aproximadamente 4.48 pies
de ancho y diámetro, y 2.24 pies del largo rectangular.
Problema 3: En una fábrica de cajas se pretende diseñar un paquete de
largo y perímetro de 108 pulgadas (ver figura). Determine las
dimensiones que debe tener el paquete que pueda contener la mayor
cantidad de carga posible.
|
| La marca roja señala el largo y perímetro deseado |
Se desea que la caja contenga la mayor carga posible, por lo que se
desea maximizar el volumen.
\[V=yx^{2}\]
Escogiendo a $x$ como la variable independiente y sabiendo que el largo
con el perímetro suman 108 se tiene:
\[4x+y=108\]
\[y=108-4x\]
\[V(x)=(108-4x)x^{2}=108x^{2}-4x^{3}, x>0\]
Hallando los valores críticos
\[V'(x)=216x-12x^{2}\]
\[12x(18-x)=0\]
\[x:\left \{ 0,18 \right \}\]
Por el criterio de la primera derivada se tiene que en $x=18$ hay un
máximo. Entonces, hallando el valor de la longitud $y$:
\[y=108-4(18)=36\]
Así se tiene que las dimensiones del paquete que puede contener la
máxima carga es de 18x18x36 pulgadas.
En general, en la mayoría de este tipo de problemas las condiciones
agregadas forman un dominio de la forma $(0,\infty)$, siendo este un
intervalo abierto y se puede usar el criterio de la primera derivada sin
problemas. Sin embargo, pueden existir casos en los que se tenga el
dominio de la forma $[0,\infty)$ y al ser un intervalo con un extremo
cerrado, es necesario usar la definición del extremo local o
global.
Problema 3: Entre -1ºC y 4ºC la densidad $\rho$ (en $g/cm^{3}$) de un
cierto liquido se expresa aproximadamente por $\rho
(T)=3T^{4}-16T^{3}+18T^{2}$. Encuentre las temperaturas a la cual el liquido tiene sus densidades
mínima y máxima.
Hallando los valores críticos:
\[\rho' (T)=12T^{3}-48T^{2}+36T\]
\[12T^{3}-48T^{2}+36T=0\]
\[12T(T-1)(T-3)=0\]
\[T:\left \{ 0,1,3 \right \}\]
Se tienen 3 valores críticos dentro del intervalo $T:[-1,4]$ y como la
derivada tiene como dominio a todos los números reales, entonces el
intervalo contiene a todos los valores críticos de la función. Luego,
aplicando las definiciones de los extremos local y global
\[\rho (-1)=37\]
\[\rho (0)=0\]
\[\rho (1)=5\]
\[\rho (3)=-27\]
\[\rho (4)=32\]
\[\rho (3)<\rho (0)<\rho (1)< \rho (4)<\rho (-1)\]
Se tiene que $\rho (3)=-27$ es un extremo mínimo tanto local como global y $\rho (-1)=37$ es un extremo máximo global, por lo que el liquido presenta su máxima
densidad con una temperatura de -1ºC y su mínima densidad
con una temperatura de 3ºC.
Ejercicios:
a) Encuentre los extremos para las siguientes funciones
1) $f(x)=\frac{1}{2}x^{2}+x^{3}$ en $I:(-1,1)$
2) $f(x)=x\ln x$
3) $f(x)=\frac{e^{x}+e^{-x}}{2}$ en $I:[-1,1]$
4) $f(x)=\frac{1}{x^{2}+2x-2}$
b) Resuelve los siguientes problemas de optimización
1) En una máquina cortadora de cartón se requiere programar la
longitud de corte en forma de cuadrado para las cuatro esquinas de una
lámina rectangular de dimensiones 80x50 (cm) con el objetivo de armar
una caja sin tapa ¿Cuánto debe ser dicha longitud para que el volumen
de la caja sea máxima?
2) Se va a fabricar una lata de refresco que contenga 250 (ml) de
líquido. Halle las dimensiones que minimizarán el costo del metal para
fabricar la lata.
3) Dos postes verticales, uno de 3.6 metros de altura y el otro de
8.5 metros de altura, están a 9.1 metros de distancia. Se aseguran por
medio de un cable extendido desde el extremo superior de un poste
hasta una estaca sobre el piso y a continuación al extremo del otro
poste (ver figura) ¿Donde debe colocarse la estaca para que se use la
menor cantidad de cable?
4) Un herrero precisa fabricar marcos metálicos para retratos, uno
debe ser cuadrado y el otro circular, pero solo dispone de una barra
de 8 (m) ¿Qué cantidad de barra se puede usar para el marco cuadrado y
para el marco circular a fin de abarcar la máxima área total?
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