Funciones de varias variables IV

Continuidad de funciones multivariables

Limite de funciones de 3 o más variables

Si $f$ está definida en un subconjunto $D$ de $\mathbb{R}^{n}$, entonces $\lim_{X\to a}f(X)=L$ donde $X,\, a$ son n-vectores, significa que para todo número $\varepsilon>0$ existe un número $\delta>0$ que depende de $\varepsilon$, tal que $|f(X)-L|<\varepsilon$ siempre que $X\in D$ y $0<||X-a||<\delta$

Observe que si n=1, entonces "X" y "a" son vectores de una sola componente, de manera que el enunciado se convierte en la definción de límite para funciones de una variable. Para el caso cuando n=2, "X" y "a" son vectores de dos componentes, de manera que el enunciado se convierte en la definición de límite para funciones de dos variables. Si n=3, entonces $X=\left<x,y,z \right>,\: a=\left<a,b,c \right>$ de manera que $||X-a||=\sqrt{(x-a)^{2}+(y-b)^{2}+(z-c)^{2}}$, obteniendo así la deifnición de límite para funciones de tres variables

\[\lim_{(x,y,z) \to (a,b,c)}f(x,y,z)=L\]

Ejemplo: Encuentre el límite si existe, o demuestre que no existe

\[\lim_{(x,y,z) \to (0,0,0)}\frac{xy+yz^{2}+xz^{2}}{x^{2}+y^{2}+z^{4}}\]

Para verificar la no existencia de este tipo de límites indeterminados se puede utilizar directamente el análisis de trayectorias. Pero, a diferencia de los limites para funciones de dos variables, las trayectorias son curvas en el espacio, las cuales se representan por funciones vectoriales. Por ejemplo, si se toma a la recta que pasa por el origen $r(t)=\left<at,bt,ct \right>$ se tiene

\[\lim_{t \to 0}\frac{(at)(bt)+(bt)(ct)^{2}+(at)(ct)^{2}}{(at)^{2}+(bt)^{2}+(ct)^{4}}=\lim_{t \to 0}\frac{t^{2}(ab+bc^{2}t+ac^{2}t)}{t^{2}(a^{2}+b^{2}+c^{4}t^{2})}=\frac{ab}{a^{2}+b^{2}}\]

El límite depende de las componentes del vector director de la recta "r". Por lo que se puede decir que el límite no existe.

Definición de continuidad para funciones de varias variables

Una función $f$ de n variables se denomina continua en un n-vector $a$, si

\[\lim_{X \to a}f(X)=f(a)\]

Así, la función $f$ es contínua en una región $D$ si es contínua en todo punto $a$ de $D$.

Ejemplos: Analizar la continuidad de las siguientes funciones

• $f(x,y)=\frac{1}{x^{2}-y}$

Analizando el dominio se tiene que f no está definida en la parábola $y=x^{2}$. Por tanto, sin necesidad de analizar el límite, se puede decir que f(x,y) es discontinua en todos los puntos que pertenecen a dicha parábola

• $f(x,y,z)=\frac{xyz}{x^{2}+y^{2}-z}$

Analizando el dominio se tiene que f no está definida en el paraboloide elíptico $z=x^{2}+y^{2}$. Por tanto, sin necesidad de analizar el límite, se puede decir que f(x,y,z) es discontínua en dicha superficie 

• $f(x,y)=\begin{cases}\frac{x^{2}y^{3}}{2x^{2}+y^{2}} & \text{ Si } (x,y)\neq (0,0)\\1 & \text{ Si } (x,y)=(0,0) \end{cases}$

Aquí f está definida en (0,0), pero si analizamos el límite se tiene

\[\lim_{(x,y) \to (0,0)}\frac{x^{2}y^{3}}{2x^{2}+y^{2}}\]

\[\lim_{x \to 0}\left (\lim_{y \to 0} \frac{x^{2}y^{3}}{2x^{2}+y^{2}} \right )=0\]

\[\lim_{y \to 0}\left (\lim_{x \to 0} \frac{x^{2}y^{3}}{2x^{2}+y^{2}} \right )=0\]

Si bien los limites iterados no aseguran la existencia del límite, el valor que proponen es distinto al que f se define. Por tanto se puede decir que $\lim_{(x,y)\to (0,0)} f(x,y)\neq f(0,0)$, es decir, f(x,y) es discontínua en el origen de coordenadas.

Con la gráfica de f se puede notar con mayor claridad la discontinuidad en el origen de coordenadas

Ejemplo práctico: Hallar el valor de "k" para que la función f(x,y) sea continua en el origen:

\[f(x,y)=\begin{cases}xe^{\frac{x^{2}-y^{2}}{x^{2}+y^{2}}} & \text{ Si } (x,y)\neq(0,0) \\k & \text{ Si } (x,y)=(0,0) \end{cases}\]

Empezando con la definición de continuidad se tiene que:

\[\lim_{(x,y) \to (0,0)}xe^{\frac{x^{2}-y^{2}}{x^{2}+y^{2}}}=k\]

Por tanto, hallando el límite aplicando directamnete la transformación a coordenadas polares

\[\lim_{(x,y) \to (0,0)}xe^{\frac{x^{2}-y^{2}}{x^{2}+y^{2}}}=\lim_{r \to 0}r\cos \theta e^{\frac{(r\cos \theta )^{2}-(r\sin \theta )^{2}}{r^{2}}}=\lim_{r \to 0} r\cos \theta e^{\cos 2\theta }\]

\[\lim_{r \to 0} r\cos \theta e^{\cos 2\theta }=0\]

Demostrando el límite

\[-1\leq \cos \theta \leq 1\]

\[e^{-1}\leq e^{\cos 2\theta } \theta \leq e\]

\[-e^{-1}\leq \cos \theta e^{\cos 2\theta } \theta \leq e\]

\[\lim_{r \to 0}-re^{-1}\leq \lim_{r \to 0}r\cos \theta e^{\cos 2\theta } \theta \leq \lim_{r \to 0}re\]

\[0 \leq \lim_{r \to 0}r\cos \theta e^{\cos 2\theta } \theta \leq 0\]

de modo que $k=0$

Graficando la función con ayuda de una graficadora, es posible corroborar si la superficie es continua en todo su dominio con el valor hallado

Continuidad de funciones compuestas de dos variables

Si una función "f" de una variable es contínua en un número "b" y una función de dos variables "g" es continua en $(x_{0},y_{0})$ de forma que $\lim_{(x, y) \to (x_{0},y_{0})} g(x,y)=g(x_{0},y_{0})=b$, entonces $\lim_{(x, y) \to (x_{0},y_{0})} (f\circ g)(x,y)=f(b)$. 

Ejemplo: Defina la siguiente función para que sea continua en el origen

\[f(x,y)=\frac{\sin (x^{2}+y^{2})}{x^{2}+y^{2}}\]

Para que "f" sea contínua en (0,0) debe cumplirse que $\lim_{(x,y) \to (0,0)}f(x,y)=f(0,0)$. Ahora si "f" puede descomponerse en las funciones $g(x,y)=x^{2}+y^{2}$ y $h(t)=\frac{\sin t}{t}$, resulta evidente que

\[\lim_{(x, y)  \to (0,0)} (x^{2}+y^{2})=0=g(0,0)\]

de manera que $g(0,0)=b=0$. No obstante, "h" no es contínua en "b" pero su límite si existe y es 1, por lo que puede ser reescrito como

\[h(t)=\begin{cases}\frac{\sin t}{t} & \text{ Si } t\neq 0 \\1 & \text{ Si } t= 0\end{cases}\]

así entonces ya es continua en "b" y de acuerdo con la definción enunciada se puede decir que:

\[\lim_{(x,y) \to (0,0)}\frac{\sin (x^{2}+y^{2})}{x^{2}+y^{2}}=h(0)=1\]

Por tanto, para que la función dada sea continua en el origen se puede definir:

\[f(x,y)=\begin{cases}\frac{\sin (x^{2}+y^{2})}{x^{2}+y^{2}} & \text{ Si } (x,y)\neq (0,0) \\1 & \text{ Si } (x,y)= (0,0)\end{cases}\]

Nótese la similitud con la definición enunciada en continuidad de funciones compuestas, la cuál ayuda en el cálculo de límites para funciones de una variable. Así, esta definición también puede usarse para calcular límites para funciones de dos variables sin necesidad de usar las verificaciones por limites iterados, trayectorias o coordenadas polares. Sin embargo, en efecto dichas funciones deben poder descomponerse en una función de dos variables y en otra de una variable.

Ejercicios:

Analizar la continuidad de las siguientes funciones

1) $f(x,y,z)=\frac{1}{\sqrt{x^{2}+y^{2}+z^{2}}}$

2) $f(x,y,z)=\frac{\sin z}{e^{x}+e^{y}}$

3) $f(x,y)=\begin{cases}\frac{x^{2}+2xy^{2}+y^{2}}{x^{2}+y^{2}} & \text{Si } (x,y)\neq (0,0)\\1 & \text{Si } (x,y)=(0,0) \end{cases}$

4) $f(x,y)=\begin{cases}\frac{4x^{2}y^{2}}{x^{2}+y^{2}} & \text{Si } (x,y)\neq (0,0)\\0 & \text{Si } (x,y)=(0,0) \end{cases}$

5) $f(x,y)=\sqrt{x+y}-\sqrt{x-y}$

6) $f(x,y)=\begin{cases}\frac{\sin xy}{xy} & \text{ Si } xy\neq 0 \\1 & \text{ Si } xy=0 \end{cases}$