Cálculo en coordenadas polares III

Áreas y longitudes en coordenadas polares

Gráfica de una región polar

Ejemplos:

• Graficar la región dada por $r\geq 1$.

La desigualdad indica que todos los puntos $P(r,\theta)$ se deben ubicar en el exterior de la circunferencia $r=1$ incluyendo los que conforman la misma 

Región externa

• Graficar la región dada por $1\leq r\leq 2$

En este caso, la condición indica que todos los puntos deben ubicarse entre las circunferencias $r=1$ y $r=2$ incluyendo los que las conforman

Región interna de un anillo

• Graficar la región dada por $2< r< 3,\, 5\pi /3\leq \theta \leq 7\pi /3$

Note que ahora se agregan condiciones sobre $\theta$. De esta manera todos los puntos $P(r,\theta)$ deben ubicarse entre las circunferencias $r=2$ y $r=3$, sin los que corresponden a cada circunferencia por lo que el borde se traza con línea punteada, además entre la porción formada entre los rayos $\theta=\frac{5\pi}{3}$ y $\theta=\frac{7\pi}{3}$ 

Trapecio circular

Área de una región polar

En coordenadas polares, la figura cuya área es más sencilla de calcular, es la de un sector circular, por lo que para una curva $r=f(\theta)$ en una región dada por $a\leq \theta \leq b$ se tiene

Cada porción es un sector circular cuya área está dada por $s_{i}=\frac{1}{2}r^{2}(\Delta \theta )$

$\Delta \theta$ es el ángulo que forma cada sector circular, los cuales forman los intervalos $[\theta_{0},\theta{1}],[\theta_{1},\theta_{2}],[\theta_{2},\theta_{3}],..,[\theta_{n-1},\theta_{n}]$ donde $\theta_{0}=a$ y $\theta_{n}=b$. Entonces, sumando todas las áreas, de manera que dicha suma tienda a infinito se tiene

\[A=\frac{1}{2}\lim_{n\rightarrow \infty }\sum_{i=1}^{n}r^{2}\Delta \theta\]

Note que esta es la expresión de la suma de Riemann, por lo que el área de una región polar se da por:

\[A=\frac{1}{2}\int_{a}^{b}r^{2}d\theta=\frac{1}{2}\int_{a}^{b}[f(\theta)]^{2}d\theta\]

Ejemplo: Hallar el área de la región mostrada en la figura

$\mathit{r=\sqrt{\theta}}$

Es evidente que la región se encuentra en el intervalo $[0,2\pi]$, por tanto:

\[A=\frac{1}{2}\int_{0}^{2\pi }(\sqrt{\theta })^{2}d\theta\]

\[A=\frac{1}{2}\int_{0}^{2\pi }\left | \theta \right |d\theta =\frac{1}{2}\left ( \frac{\theta ^{2}}{2} \right ) \left.\begin{matrix} \\ \\ \end{matrix}\right|_{0}^{2\pi }=\pi ^{2}\]

Así como en funciones de coordenadas rectangulares, se pueden presentar regiones limitadas por dos curvas. Sin embargo, es necesario saber el ritmo al que avanza cada curva sobre el intervalo ya que esto afecta al resultado. Entonces, suponiendo que $f(\theta)$ y $g(\theta)$ avanzan al mismo ritmo en un intervalo $[a,b]$, el área de la región encerrada se calcula como sigue:

$A=A_{f}-A_{g}$, donde $A_{f}$ es el área de la región formada por $f(\theta)$ y $A_{g}$ es el área de la región formada por $g(\theta)$

Note que $f(\theta)\geq g(\theta)\geq 0$ en $[a,b]$, por tanto

\[A=\frac{1}{2}\int_{a}^{b}[f(\theta )]^{2}d\theta -\frac{1}{2}\int_{a}^{b}[g(\theta )]^{2}d\theta\]

\[A=\frac{1}{2}\int_{a}^{b}\left \{ [f(\theta )]^{2}-[g(\theta)]^{2} \right \}d\theta\]

Ejemplo 1: Encuentre el área de la región interna a $r=\sin \theta$ y externa a $r=1-\sin \theta$

Primero hallemos los puntos de intersección entre las curvas, pero para evitar complicaciones ya que un punto tiene infinitas representaciones, conviene hallar las que se encuentren en el intervalo $[0,2\pi]$

\[\sin \theta =1-\sin \theta\]

\[\sin \theta =\frac{1}{2}\]

\[\theta _{1}=\frac{\pi }{6},\, \theta _{2}=\frac{5\pi }{6}\]

Graficando las curvas y sombreando la región descrita en el problema, se podrá visualizar la curva de radio mayor dentro de $\left [ \frac{\pi }{6},\frac{5\pi }{6} \right ]$

Entonces:

\[A=\frac{1}{2}\int_{\frac{\pi }{6}}^{\frac{5\pi }{6}}[\sin ^{2}\theta -(1-\sin \theta )^{2}]\, d\theta\]

\[A=\frac{1}{2}\int_{\frac{\pi }{6}}^{\frac{5\pi }{6}}[\sin ^{2}\theta -1+2\sin \theta-\sin^{2} \theta]\, d\theta\]

\[A=\frac{1}{2}\int_{\frac{\pi }{6}}^{\frac{5\pi }{6}}(-1+2\sin \theta)\, d\theta =\frac{1}{2}(-\theta -2\cos \theta )\left.\begin{matrix} \\ \\ \end{matrix}\right|_{\frac{\pi }{6}}^{\frac{5\pi }{6}}\]

\[A=\frac{1}{2}\left [ -\frac{5\pi }{6}-2\cos \left ( \frac{5\pi }{6} \right )+\frac{\pi }{6}+2\cos \left ( \frac{\pi }{6} \right ) \right ]\]

\[A=\sqrt{3}-\frac{\pi }{3}\]

Ejemplo 2: Hallar el área total entre las regiones sombreadas

$\mathit{f(\theta )=4\sin (3\theta ),\: \: g(\theta)=2}$

En este caso es evidente que las regiones son simétricas, por lo que basta hallar el área de una región y triplicarla.

Por simplicidad se hallan los puntos de intersección en el primer cuadrante.

\[4\sin (3\theta )=2\]

\[\sin (3\theta )=\frac{1}{2}\]

\[\theta _{1}=\frac{\pi }{18},\: \theta _{2}=\frac{5\pi }{18}\]

Note que el objetivo es encontrar el área de la región ubicada en el primer cuadrante. Por tanto

\[A_{1}=\frac{1}{2}\int_{\frac{\pi }{18}}^{\frac{5\pi }{18}}[16\sin^{2} (3\theta )-4]\, d\theta\]

\[A_{1}=2\int_{\frac{\pi }{18}}^{\frac{5\pi }{18}}[2-2\cos (6\theta )-1]\, d\theta\]

\[A_{1}=2\left [ \theta -\frac{1}{3}\sin (6\theta ) \right ]\left.\begin{matrix} \\ \\ \end{matrix}\right|_{\frac{\pi }{18}}^{\frac{5\pi}{18}}\]

\[A_{1}=2\left [ \theta -\frac{1}{3}\sin (6\theta ) \right ]\left.\begin{matrix} \\ \\ \end{matrix}\right|_{\frac{\pi }{18}}^{\frac{5\pi}{18}}=2\left [ \frac{4\pi }{18}-\frac{1}{3}\sin \left ( \frac{5\pi }{3} \right ) +\frac{1}{3}\sin \left ( \frac{\pi }{3} \right )\right ]\]

\[A_{1}=2\left [ \frac{4\pi }{18}+\frac{\sqrt{3}}{6}+\frac{\sqrt{3} }{6} \right ]\]

\[A_{1}=2\left ( \frac{2\pi }{9}+\frac{\sqrt{3}}{3} \right )\]

Luego, el área total será:

\[A=3A_{1}= \frac{4\pi}{3}+2\sqrt{3}\]

Ejemplo práctico: Calcular el área de la región interna común a las curvas $f(\theta)=1+\cos \theta$ y $g(\theta)=\sqrt{3} \sin \theta$.

Empezando con calcular los puntos de intersección se tiene

\[1+\cos \theta =\sqrt{3}\sin \theta\]

\[1+2\cos \theta+\cos^{2} \theta =3\sin^{2} \theta\]
\[2\cos^{2} \theta+\cos \theta-1 =0\]

\[\cos \theta =\frac{-1\pm 3}{4}\]

\[\theta= \left \{ \frac{\pi }{3}, \frac{5\pi }{3},\pi \right \}\]

Luego, graficando las curvas

Las curvas se intersecan en el polo cuando $\theta=0$

Note que el valor de $\theta=0$ no se encuentra entre los puntos de intersección calculados, pero gráficamente puede ser apreciado. Esto sucede debido a que las curvas avanzan a diferentes ritmos y desde diferentes posiciones, pues la curva $g$ inicia en 0 y completa una vuelta en $[0,\pi]$ pero la curva $f$ inicia en 2 y completa una vuelta en $[0,2\pi]$. Por tanto, no es posible aplicar la fórmula del área entre dos curvas deducida anteriormente, de manera que se debe analizar los intervalos donde la región se forma.

Región interna dada por $\mathit {r\leq \sqrt{3} \sin \theta ,\: 0\leq \theta \leq \frac{\pi }{3}}$ y $\mathit {r\leq 1+\cos \theta ,\: \frac{\pi }{3}\leq \theta \leq \pi}$

De esta forma se halla el área de ambas regiones para luego sumarlas como sigue:

\[A=\frac{1}{2}\int_{0}^{\frac{\pi }{3}}3\sin^{2} \theta \: d\theta +\frac{1}{2}\int_{\frac{\pi }{3}}^{\pi}(1+\cos \theta )^{2}\: d\theta\]

\[A=\frac{3}{2}\int_{0}^{\frac{\pi }{3}}\frac{1-\cos (2\theta )}{2} \: d\theta +\frac{1}{2}\int_{\frac{\pi }{3}}^{\pi}(1+2\cos \theta +\cos ^{2}\theta )\: d\theta\]

\[A=\frac{3}{4}\left [ \theta -\frac{1}{2}\sin (2\theta ) \right ]\left.\begin{matrix} \\ \\ \end{matrix}\right|_{0}^{\frac{\pi }{3}} +\frac{1}{2}\left [ \frac{3}{2}\theta +2\sin \theta +\frac{1}{4}\sin (2\theta ) \right ]\left.\begin{matrix} \\ \\ \end{matrix}\right|_{\frac{\pi }{3}}^{\pi}\]

\[A=\frac{\pi }{4} -\frac{3\sqrt{3}}{16}+\frac{\pi }{2 }-\frac{9\sqrt{3}}{16}=\frac{3\pi }{4}-\frac{3\sqrt{3}}{4}\]

Entonces el área de la región es $A=\frac{3}{4}(\pi -\sqrt{3})$.

Longitud de arco de una curva polar

Para hallar la expresión algebraica de la longitud de arco de una curva polar $r=f(\theta)$, se puede utilizar la fórmula de la longitud de arco de una curva suave como sigue:

\[x=f(\theta )\cos \theta \: \: \: y=f(\theta )\sin \theta\]

\[\frac{\mathrm{d} x}{\mathrm{d} \theta }=\frac{\mathrm{d} f}{\mathrm{d} \theta }\cos \theta -f(\theta )\sin \theta \: \: \: \: \: \: \frac{\mathrm{d} y}{\mathrm{d} \theta }=\frac{\mathrm{d} f}{\mathrm{d} \theta }\sin \theta +f(\theta )\cos \theta\]

de manera que

\[L=\int_{a}^{b}\sqrt{\left [ \frac{\mathrm{d} f}{\mathrm{d} \theta }\cos \theta -f(\theta )\sin \theta \right ]^{2}+\left [ \frac{\mathrm{d} f}{\mathrm{d} \theta }\sin \theta +f(\theta )\cos \theta \right ]^{2}}\, d\theta\]

Por último, operando algebraicamente y aplicando identidades trigonométricas se tiene

\[L=\int_{a}^{b}\sqrt{\left [ f(\theta ) \right ]^{2}+\left (\frac{\mathrm{d} f}{\mathrm{d} \theta }\right )^{2}}\, d\theta\]

Siendo esta la expresión para hallar la longitud de arco de una curva polar en $a\leq \theta \leq b$

Ejemplo: Encuentre la longitud de arco de la curva dada por $f(\theta )=5^{\theta }$ en $0\leq \theta \leq 2\pi$

La derivada de $f(\theta)$ es 

\[\frac{\mathrm{d} f}{\mathrm{d} \theta }=5^{\theta }\ln 5\]

Luego, aplicando la fórmula de la longitud de arco

\[L=\int_{0}^{2\pi}\sqrt{5^{2\theta }+(5^{\theta }\ln 5)^{2}}\, d\theta =\int_{0}^{2\pi}\sqrt{5^{2\theta }(1+\ln^{2} 5)}\, d\theta\]

\[L=\int_{0}^{2\pi }5^{\theta }\sqrt{1+\ln^{2} 5}\, d\theta\]

\[L=\frac{\sqrt{1+\ln^{2} 5}}{\ln 5}(5^{\theta })\left.\begin{matrix} \\ \\ \end{matrix}\right|_{0}^{2\pi }=\frac{\sqrt{1+\ln^{2} 5}}{\ln 5}(5^{2\pi }-1)\]

Siendo este el valor exacto de la longitud de arco de la curva. Utilizando una herramienta graficadora es posible apreciar el arco.

$\mathit{L=5^{\theta },\: 0\leq \theta \leq 2\pi}$

Ejercicios:

a) Calcular el área de las regiones polares dadas

1) Región cerrada por $r=6\sin \theta$

2) Un pétalo de $r=\sin (2\theta)$

3) Región cerrada por $r=2\sqrt{\cos (2\theta)}$

4) Región interna a $f(\theta) =3\sin \theta$ y externa a $g(\theta)=1+\sin \theta$

5) Región interna limitada por las curvas $r^{2}=2\sin (2\theta)$ y $r=1$

6) Región formada dentro la circunferencia $r=4\sin \theta$ y fuera de la circunferencia $r=2$

b) Calcular la longitud de arco para las curvas polares dadas en el intervalo pedido

1) $r=a$ en $0\leq \theta \leq 2\pi$, suponga que $a$ es un real positivo y distinto de 0

2) $r=1+\cos \theta$ en $0\leq \theta \leq 2\pi$

3) $r=a\cos \theta$ en $-\frac{\pi}{2} \leq \theta \leq \frac{\pi}{2}$, suponga que $a>0$.

4) $r=\theta ^{2}$ en $0\leq \theta \leq 2\pi$