Curvas en el espacio
Sean f, g y h funciones continuas de valor real en un intervalo I. Entonces, el conjunto C de los puntos del espacio, (x,y,z), donde
\[x=f(t)\: \: \: \: y=g(t)\: \: \: \: z=h(t)\]
y "t" varía en el intervalo I, se denomina curva en el espacio. Si consideramos la función vectorial $r(t)=\left \langle f(t),g(t),h(t) \right \rangle$, entonces $r(t)$ es el vector de posición del punto $P(f(t),g(t),h(t))$ en C. Así, cualquier función vectorial continua "r" define una curva C, en el espacio. Estas herramientas matemáticas permiten realizar análisis geométricos como intersección entre superficies o trazar curvas contenidas en ellas. Por ejemplo, trazar la curva contenida en el cilindro $x^{2}+z^{2}=2$
Conocida la definición de un cilindro, se puede decir que $y=t$, de manera que la circunferencia del plano XZ se puede parametrizar como una curva en dos dimensiones como sigue:
\[x=\sqrt{2} \cos t\: \: \: \: z=\sqrt{2} \sin t\]
de esta forma, la función vectorial que describe a la curva es
\[r(t)=\left \langle \sqrt{2}\cos t,t,\sqrt{2}\sin t \right \rangle\]
Esta curva se denomina hélice, la cuál resulta más sencillo de trazar usando el cilindro en el que se contiene que utilizar una tabla de valores.
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| La curva avanza dando giros en sentido horario |
Recuerde que es necesario indicar el sentido de la curva si se expresa por una función vectorial.
Ejemplo 2: Trazar la curva dada por:
\[r(t)=t^{2}\textbf{i}+t^{4}\textbf{j}+t^{6}\textbf{k}\]
Note que cada componente crece muy rápido mientras "t" avanza, por lo que usar una tabla de valores para graficar la curva puede ser un trabajo tedioso. Por tanto, se procede a hallar la superficie que se relaciona con la curva eliminando el parámetro "t" como sigue
Las ecuaciones paramétricas son:
\[x=t^{2}\: \: \: \: y=t^{4}\: \: \: \: z=t^{6}\]
Como $x=t^{2}$, el resto de las ecuaciones se puede reescribir como $y=(t^{2})^{2}=x^{2}$ y $z=(t^{2})^{3}=x^{3}$. Note que se encontraron dos cilindros (un cilindro parabólico y un cilindro cúbico). Esto significa que la curva se encuentra en ambas superficies. Es decir, la curva se forma por la intersección entre ambos cilindros.
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| Como $\mathit{x=t^{2}}$ la curva se define solo en los valores positivos de "x", por lo que solamente se traza la porción de la curva intersección donde x sea positiva. |
Ejemplo 3: Encuentre una función vectorial que describa la curva intersección entre las superficies $z=4x^{2}+y^{2}$ y $y=x^{2}$
Para evitar obtener una curva discontinua conviene parametrizar la variable "x", de manera que $x=t\: \: \: \: y=t^{2}\: \: \: \: z=4t^{2}+t^{4}$. Luego, expresando la ecuación vectorial asociada, se tiene que la curva intersección entre las superficies se da por
\[r(t)=t\textbf{i}+t^{2}\textbf{j}+(4t^{2}+t^{4})\textbf{k}\]
Introduciendo las ecuaciones de las superficies y de la función vectorial en una herramienta graficadora, se puede corroborar la respuesta visualmente.
Recta tangente a una curva en el espacio
Se sabe que para representar una recta en el espacio solo se necesitan un vector director y un punto. Si el vector director es tangente a una curva y se conoce el punto de tangencia, es posible obtener la ecuación de la recta tangente a dicha curva.
Ejemplo: Encuentre las ecuaciones paramétricas de la recta tangente a la curva C dada por $r(t)=\sin (\pi t)\textbf{i}+\sqrt{t}\textbf{j}+\cos (\pi t)\textbf{k}$ en el punto T(0,1,-1)
El punto T se da cuando t=1, por lo que se procede a hallar el vector tangente a la curva para dicho valor de "t".
\[r'(t)=\pi \cos (\pi t)\textbf{i}+\frac{1}{2\sqrt{t}}\textbf{j}-\pi \sin (\pi t)\textbf{k}\]
\[r'(1)=v=-\pi\textbf{i}+\frac{1}{2}\textbf{j}\]
siendo este el vector director de la recta y conocido el punto de tangencia se tienen las ecuaciones paramétricas:
\[x=-\pi t\: \: \: \: y=1+\frac{1}{2}t\: \: \: \: z=-1\]
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| Ilustración de la hélice C y la recta tangente L en el punto T, "u" es el vector director L el cual indica la dirección de la curva y de la misma recta |
Plano normal y osculatriz a una curva
El plano determinado por los vectores normal y binormal N y B en un punto P de una curva C se denomina plano normal de C en P. Este plano esta formado por todas las rectas ortogonales a la curva en dicho punto. El plano determinado por los vectores tangente y normal T y N se denomina plano osculatriz de C en P. Parte de la curva C se encuentra contenida en este plano.
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| El vector binormal resulta ser el vector normal del plano osculatriz |
Ejemplo: Encuentre las ecuaciones del plano normal y el plano osculatriz de la curva $r(t)=2\sin(3t)\textbf{i}+t\textbf{j}+2\cos(3t)\textbf{k}$ en $P(0,\pi,-2)$
La función del vector tangente unitario es
\[T(t)=\frac{6\cos (3t)\textbf{i}+\textbf{j}-6\sin(3t)\textbf{k}}{\sqrt{37}}\]
La derivada de esta función es
\[T'(t)=\frac{1}{\sqrt{37}}[-18\sin (3t)\textbf{i}-18\cos(3t)\textbf{k}]\]
El punto P se da en $t=\pi$, por lo que evaluando en ese valor tanto la función del vector tangente unitario como su derivada se tiene
\[T(\pi)=\frac{1}{\sqrt{37}}(-6\textbf{i}+\textbf{j})\]
\[T'(\pi)=\frac{18}{\sqrt{37}} \textbf{k}\]
El módulo de $T'(\pi)$ es
\[\left \| T'(\pi) \right \|=\frac{18}{\sqrt{37}}\]
de manera que el vector normal de la curva en P es
\[N(\pi )=\frac{T'(\pi )}{\left \| T'(\pi) \right \|}=\textbf{k}\]
Luego, el vector binormal es
\[B(\pi )=\frac{1}{\sqrt{37}}(-6\textbf{i}+\textbf{j})\times \textbf{k}=\frac{1}{\sqrt{37}}(\textbf{i}+6\textbf{j})\]
En la figura anterior se puede notar que el vector tangente resulta ser el vector normal del plano normal a la curva C en P, de manera que su ecuación es
\[-6x+y=\pi\]
y el plano osculatriz de la curva C en P es
\[x+6y=6\pi\]
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| Visualización de la hélice con el plano osculatriz y el plano normal en P |
Ejercicios:
a) Mediante superficies, represente gráficamente las curvas dadas por las siguientes funciones vectoriales indicando el sentido
1) $r(t)=t\cos t\textbf{i}+t\sin t\textbf{j}+t\textbf{k}$2) $r(t)=\sin t\textbf{i}+\cos t\textbf{j}+\sin^{2} t\textbf{k}$3) $r(t)=2\cos t\textbf{i}+2\sin t\textbf{j}+t\textbf{k}$4) $r(t)=t\textbf{i}+2\textbf{j}+(4-t^{2})\textbf{k}$
b) Halle las ecuaciones paramétricas de la recta tangente a las siguientes curvas en el punto P dado
1) $r(t)=\frac{t+1}{t}\textbf{i}+\frac{t^{2}-1}{t^{2}}\textbf{j}+\frac{t^{3}+1}{t^{3}}\textbf{k}$, en P(2,0,2)2) $r(t)=2\cos (2t)\textbf{i}+2\sin (2t)\textbf{j}+3t\textbf{k}$, en el punto donde $t_{0}=\pi$3) $r(t)=\ln (t+1)\textbf{i}+t\cos (2t)\textbf{j}+2^{t}\textbf{k}$, en P(0,0,1)4) $r(t)=e^{-t}\cos t\textbf{i}+e^{-t}\sin t\textbf{j}+e^{-t}\textbf{k}$, en P(1,0,1)
4) $r(t)=e^{-t}\cos t\textbf{i}+e^{-t}\sin t\textbf{j}+e^{-t}\textbf{k}$, en P(1,0,1)
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