Área de una región limitada por dos curvas
Supongamos dos funciones continuas $f(x)$ y $g(x)$ tal que $f(x)>g(x)$ en un intervalo cerrado $[a,b]$. La región que forman ambas en dicho intervalo se la puede interpretar geométricamente como muestra la siguiente figura.
\[A=A1-A2\]
Recordando el concepto de área bajo una curva, se tiene
\[A=\lim_{n\rightarrow \infty }\sum_{i=1}^{n}f(x_{i}^{*})\Delta x-\lim_{n\rightarrow \infty }\sum_{i=1}^{n}g(x_{i}^{*})\Delta x\]
Como la resta de limites es el límite de una resta y mediante propiedades de sumatorias, se tiene que:
\[A=\lim_{n\rightarrow \infty }\sum_{i=1}^{n}[f(x_{i}^{*})-g(x_{i}^{*})]\Delta x\]
Esta es la definición de la integral definida, por lo que el área entre dos curvas continuas en un intervalo cerrado $[a,b]$ se da por:
\[A=\int_{a}^{b}[f(x)-g(x)]\, dx\]
Donde $f(x)>g(x)$.
Ejemplo: Encuentre el área de la región limitada por las curvas $y=\sqrt{x+2}$ y $y=\frac{1}{x+1}$, en el intervalo $[0,2]$
Para saber cuál curva es mayor a la otra, conviene realizar un esquema de la región como se muestra a continuación:
Entonces, el área será:
\[A=\int_{0}^{2}\left [ \sqrt{x+2}-\frac{1}{x+1} \right ]\, dx\]
Integrando de forma inmediata y evaluando:
\[A=\left [\frac{2}{3}\sqrt{(x+2)^{3}}-\ln \left | x+1 \right | \right ]\left.\begin{matrix} \\ \\ \end{matrix}\right|_{0}^{2}=\frac{16}{3}-\ln 3-\frac{4\sqrt{2}}{3}=\frac{4}{3}(4-\sqrt{2})-\ln 3\]
Pueden existir casos en los que el intervalo de la región encerrada se da por rectas. Por ejemplo, se desea hallar el área de la región limitada por las curvas $y=e^{x},\: y=-\sqrt{x+2},\: x=-1,\: x=1$.
Esquematizando la región se tiene:
Debido a las rectas, resulta sencillo deducir los límites de integración, de manera que el área de la región será:
\[A=\int_{-1}^{1}(e^{x}+\sqrt{x+2})\, dx\]
Nuevamente se tienen integrales inmediatas, por lo que resulta sencillo el cálculo del área
\[A=\left [e^{x}+\frac{2}{3}\sqrt{(x+2)^{3}} \right ]\left.\begin{matrix} \\ \\ \end{matrix}\right|_{-1}^{1}=e+2\sqrt{3}-e^{-1}-\frac{2}{3}\]
\[A=\frac{1}{e}(e^{2}-1)+2\left (\sqrt{3}-\frac{1}{3} \right )\]
Ejemplo práctico: Calcular el área de la región cerrada por las curvas
\[f(x)=(x-1)^{3},\: g(x)=x-1\]
Note que los limites de integración se dan por los puntos de intersección entre las curvas. Asimismo, en el intervalo de 0 hasta 1 se tiene que $f(x)>g(x)$ y en el intervalo de 1 hasta 2 se tiene que $g(x)>f(x)$. Por lo tanto, se tienen dos regiones de manera que el área total será
\[A=\int_{0}^{1}\left [(x-1)^{3}-(x-1) \right ]\, dx+\int_{1}^{2}\left [(x-1)-(x-1)^{3} \right ]\, dx\]
Integrando de forma inmediata y evaluando:
\[A=\left [\frac{(x-1)^{4}}{4}-\frac{(x-1)^{2}}{2} \right ]\left.\begin{matrix} \\ \\ \end{matrix}\right|_{0}^{1}+\left [\frac{(x-1)^{2}}{2}-\frac{(x-1)^{4}}{4} \right ]\left.\begin{matrix} \\ \\ \end{matrix}\right|_{1}^{2}\]
\[A=-\frac{1}{4}+\frac{1}{2}+\frac{1}{2}-\frac{1}{4}=\frac{1}{2}\]
Áreas sobre el eje "y"
Algunas regiones se manejan mejor considerando "x" como función de "y". Entonces, si se realiza el mismo análisis del área bajo una curva y entre curvas se tiene:
De manera que el área bajo una curva sobre el eje "y" es
\[A=\int_{a}^{b}f(y)\, dy\]
Así como en el eje "x", si la función es positiva sobre el eje $y$, (vista hacia la derecha), se puede interpretar a la integral como el área bajo la curva. Por otro lado, si la curva es negativa sobre el eje $y$, (vista hacia la izquierda), la integral definida será negativa de manera que no puede interpretarse como un área a menos que se obvie el signo.
El área de una región limitada por dos curvas sobre el eje "y" es
\[A=\int_{a}^{b}[f(y)-g(y)]\, dy\]
tal que $f(y)> g(y)$ y ambas sean continuas en $[a,b]$
Ejemplos:
- Calcule el área de la región mostrada en la figura.
Note que se pide hallar el área bajo la curva sobre el eje "y" en el intervalo $\left [ 0,\frac{\pi }{2} \right ]$. Entonces, expresando dicha curva en función de "y", se tiene:
\[x=\sin y\]
De modo que
\[A=\int_{0}^{\frac{\pi }{2}}\sin y\, dy\]
\[A=-\cos y\left.\begin{matrix}\\ \\ \end{matrix}\right|_{0}^{\frac{\pi }{2}}=-\left [\cos \left ( \frac{\pi }{2} \right )-\cos (0) \right ]=1\]
- Encuentre el área de la región limitada por las curvas $y=12-x^{2}$ y $y=x^{2}-6$
Esquematizando la región
En este caso, se tienen varias posibilidades para el cálculo del área. Por un lado, si usamos el eje $x$ es posible trasladar la intersección entre las curvas al origen y hallar el área bajo la curva superior y duplicarla. Por otro lado, si usamos el eje "y" es notable que se tienen dos regiones donde la curva superior e inferior es la misma función. Sin embargo, si estas se restan por medio de la fórmula el área dará 0, por lo que otro camino podría ser hallar el área bajo ambas curvas y luego duplicarla.
Hallando los valores de "x" donde las curvas se intersecan:
\[12-x^{2}=x^{2}-6\]
\[2x^{2}-18=0\]
\[x=\pm 3\]
Evaluando sobre cualquier función se tiene $y=3$. Luego, utilizaremos el eje $y$ para el cálculo del área por lo que expresando las curvas en función de "y", se tiene:
\[x=\pm \sqrt{y+6},\: x=\pm \sqrt{12-y}\]
Para evitar problemas con los signos de la integral definida se usará el lado derecho de la región, de manera que el área será:
\[A_{d}=\int_{-6}^{3}\sqrt{y+6}\, dy+\int_{3}^{12}\sqrt{12-y}\, dy\]
\[A_{d}=\frac{2}{3}\sqrt{(y+6)^{3}}\left.\begin{matrix} \\ \\ \end{matrix}\right|_{-6}^{3}-\frac{2}{3}\sqrt{(12-y)^{3}}\left.\begin{matrix} \\ \\ \end{matrix}\right|_{3}^{12}\]
\[A_{d}=\frac{2}{3}(27)+\frac{2}{3}(27)=36\]
Por tanto, el área total es
\[A=2A_{d}=72\]
Note que también se pudo hallar el área bajo una de las curvas y luego multiplicarla por 4 debido a que la región es simétrica.
Área encerrada por curvas paramétricas
Sea una curva cuyas ecuaciones paramétricas se dan por
\[x=f(t)\: \: \: \: y=g(t)\]
calculando sus diferenciales se tiene que $dx=f'(t)\, dt$ y sabiendo que $y=g(t)$, se puede tomar a la fórmula del área bajo una curva de la siguiente manera:
\[S=\int_{a}^{b}y\, dx=\int_{\alpha }^{\beta }g(t)f'(t)\, dt\]
Note que los limites de integración cambian de acuerdo a la parametrización respecto al eje "x". Esta misma fórmula también funciona respecto al eje "y"
\[S=\int_{a}^{b}x\, dy=\int_{\alpha }^{\beta }f(t)g'(t)\, dt\]
Ejemplo: Determine el área encerrada por la elipse $x=2\cos \theta \: \: \: \: y=3\sin \theta$
Parametrizando respecto al eje "x", se sabe que $y=g(\theta )=3\sin \theta$ y $dx=f'(\theta )d\theta =-2\sin \theta\, d\theta$. Luego, para calcular los limites de integración tomemos la porción de la elipse cuyo gráfico se muestra en la siguiente figura
En el plano XY, se tiene que el área de la porción es
\[A_{1}=\int_{0}^{2}y\, dx\]
Sin embargo, si consideramos la dirección de la curva como si se tratara de una función vectorial, se puede observar que en el eje "x" se dirige desde 2 hasta 0. Entonces, utilizando la propiedad de la inversión del intervalo de la integral definida se tiene
\[A_{1}=-\int_{2}^{0}y\, dx\]
Entonces los limites de integración se calcula como sigue:
- Si $x=2\rightarrow 2=2\cos \theta$, de manera que $\theta _{1}=0$
- Si $x=0\rightarrow 0=2\cos \theta$, de manera que $\theta _{2}=\frac{\pi }{2}$
Note que la curva es simétrica en ambos ejes, por lo tanto la porción elegida se repite 4 veces, de manera que
\[S=-4\int_{2}^{0 }y\, dx=-4\int_{0}^{\frac{\pi }{2}}3\sin \theta (-2\sin \theta )\, d\theta\]
\[S=24\int_{0}^{\frac{\pi }{2}}\sin^{2} \theta\, d\theta =24\int_{0}^{\frac{\pi }{2}}\frac{1-\cos (2\theta)}{2}\, d\theta\]
\[S=12\left [ \theta -\frac{1}{2}\sin (2\theta ) \right ]\left.\begin{matrix} \\ \\ \end{matrix}\right|_{0}^{\frac{\pi }{2}}=12\left ( \frac{\pi }{2}\right )=6\pi\]
Ejemplo práctico: Calcular el área encerrada por la curva de Lissajous dada por
\[r(t)=2\cos t\mathbf{i}+\sin (2t)\mathbf{j}\]
Graficando por medio de las curvas paramétricas se tiene
Así como en el caso anterior, podemos tomar una porción, hallar su área y multiplicarla por 4. Puesto que es notable que la curva es simétrica en ambos ejes. Asimismo, para evitar problemas con el signo, conviene usar la porción ubicada en el primer cuadrante y parametrizar respecto al eje "x" de manera que:
\[A=\int_{0}^{2}y\, dx=-\int_{2}^{0}y\, dx\]
\[x=2\cos t\: \: \: \: \: y=\sin (2t)\]
\[dx=-2\sin t\, dt\]
- Si $x=2\rightarrow t=0$
- Si $x=0\rightarrow t=\frac{\pi }{2}$
\[S=4A=-4\int_{0}^{\frac{\pi }{2}}\sin (2t)(-2\sin t)\, dt\]
Integrando usando identidades trigonométricas y evaluando se tiene
\[S=8\int_{0}^{\frac{\pi }{2}}\sin (2t)(\sin t)\, dt=-8\int_{0}^{\frac{\pi }{2}}\frac{1}{2}[\cos (3t)-\cos (t)]\, dt\]
\[S=-4\left [ \frac{1}{3}\sin (3t)-\sin t \right ]\left.\begin{matrix} \\ \\ \end{matrix}\right|_{0}^{\frac{\pi }{2}}=-4\left [ \frac{1}{3}\sin \left ( \frac{3\pi }{2} \right )-\sin \left ( \frac{\pi }{2} \right ) \right ]\]
\[S=-4\left [ -\frac{1}{3}-1 \right ]=\frac{16}{3}\]
Ejercicios:
a) Esquematice la región cerrada por las curvas dadas y determine su área
1) $y=\frac{1}{2}(x+1)^{2}-1;\: y=-\frac{1}{2}(x+3)$
2) $y=\sqrt{x};\: y=x^{2}$
3) $y=-\frac{2}{x+1};\: x=-3;\: x=-\frac{3}{2}$
4) $x=y^{2}-1;\: y=-x+1$
5) $y=x^{2}-3x-4;\: y=2x-4$
6) $y=x^{2}-1;\: y=3x-4;\: y=-1;\: y=2$
7) $x=\frac{y}{\sqrt{16-y^{2}}}; y=-2; y=2$
8) $y=\left | x^{3} \right |;\: y=x^{2}$
b) Dibuje la región cerrada por las curvas paramétricas de las funciones vectoriales dadas y determine su área
1) $r(t)=R\cos t\mathbf{i}+R\sin t\mathbf{j}$
2) $r(t)=(\cos t-1)\mathbf{i}+(2+2\sin t )\mathbf{j}$
3) $r(t)=(t^{3}-2t)\mathbf{i}+(3-t^{2})\mathbf{j}$
4) $r(t)=a\cos ^{3}t\mathbf{i}+b\sin ^{3}t\mathbf{j}$
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