Teorema de Stokes
Parametrización de superficies
Al igual que como se describe una curva en el plano o el espacio utilizando ecuaciones paramétricas o
vectoriales con un solo parámetro, una superficie puede ser descrita por
dichas ecuaciones utilizando dos parámetros.
\[\textbf{r}(u,v)=x(u,v)\textbf{i}+y(u,v)\textbf{j}+z(u,v)\textbf{k}\]
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| El vector "r" representa la posición de un punto en la superficie y sus componentes son funciones de dos variables cuyo dominio se contiene en el plano UV. |
\[y=\sqrt{4x^{2}+9z^{2}}\]
La idea es armar las ecuaciones paramétricas separando como se pueda a
las variables de la superficie. Por ejemplo, como $y$
ya está despejada se puede decir que $x=u$ y $z=v$
de modo que $y=\sqrt{4u^{2}+9v^{2}}$
y por tanto la ecuación vectorial es
\[\textbf{r}(u,v)=u\textbf{i}+\sqrt{4u^{2}+9v^{2}}\textbf{j}+v\textbf{k}\]
En casos que sea posible, conviene aplicar coordenadas polares para
simplificar las expresiones rectangulares:
Si $y^{2}=4x^{2}+9z^{2}$ se puede hacer que
$u=y$
y por tanto:
\[(2x)^{2}+(3z)^{2}=u^{2}\]
\[\left\{\begin{matrix}\cos v=\frac{2x}{u}\\\sin
v=\frac{3z}{u}\end{matrix}\right.\rightarrow\left\{\begin{matrix}x=\frac{u}{2}\cos
v\\z=\frac{u}{3}\sin v\end{matrix}\right.\]
de este modo, la ecuación vectorial es
\[\textbf{r}(u,v)=\frac{u}{2}\cos
v\textbf{i}+u\textbf{j}+\frac{u}{3}\sin v\textbf{k}\]
No obstante, como la superficie es siempre positiva debido a la raíz, es
necesario agregar restricciones del dominio. Entonces, si "y" es siempre
positivo se tiene que "u" es mayor que cero. Por otro lado "x" y "z"
pueden tomar cualquier valor, por lo que basta con definirlos en el intervalo de una cirfunferencia, y por tanto:
\[u\geq 0,0\leq v\leq 2\pi \]
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| Utilizando una herramienta graficadora es posible visualizar la superficie paramétrica |
Área de una superficie
Considere la superficie paramétrica descrita por $\textbf{r}(u,v)=\left<x(u,v),y(u,v),z(u,v)\right>$
mostrada en el lado derecho de la siguiente figura.
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| Análogo a todas formas del cálculo del área de figuras complejas, la idea es sumar el área de pequeños pedazos de la superficie (parcelas) |
Es posible formar una parcela mediante dos vectores tangentes a la
superficie. El área de dicha parcela será el módulo del producto
vectorial entre esos vectores, de manera que:
\[ P_{ij}=\left\|T_{u_{i}}\times T_{v_{j}}\right\|\]
Donde, por definición de vector tangente a una curva, se
infiere que
\[T_{u}=\textbf{r}_{u}=\left<\frac{\partial x}{\partial
u},\frac{\partial y}{\partial u},\frac{\partial z}{\partial
u}\right>\]
\[T_{v}=\textbf{r}_{v}=\left<\frac{\partial x}{\partial
v},\frac{\partial y}{\partial v},\frac{\partial z}{\partial
v}\right>\]
No obstante, el área de este paralelogramo es una aproximación al de la parcela de la superficie, por lo que el factor con el área varía es $\Delta$ y por tanto
\[\Phi(R_{ij})\approx\left\|\Delta u_{i}T_{u_{i}}\times\Delta v_{j}T_{v_{j}}\right\|=\Delta u_{i}\Delta v_{j}\left\|T_{u_{i}}\times T_{v_{j}}\right\|\]
Así, si dicho factor tiende a cero, es posible obtener el valor exacto del área de la parcela y por consiguiente, sumando todas las parcelas infinitamente pequeñas se tiene que
\[\Phi=\displaystyle\lim_{(m,n)\to (\infty,\infty)}\sum_{i=1}^{m}\sum_{j=1}^{n}\left\|T_{u_{i}}\times T_{v_{j}}\right\|\Delta u_{i}\Delta v_{j}\]
\[\Phi=\iint_{D}\left\|T_{u}\times T_{v}\right\|dudv=\iint_{D}\left\|\textbf{r}_{u}\times\textbf{r}_{v}\right\|dA\]
Siendo esta la definición del área de una superficie siendo "dA" el diferencial de área del espacio dominio.
Ejemplo 2: Calcule el área de la siguiente superficie donde $0\leq u\leq 4$ y $0\leq v\leq 2\pi$
\[\textbf{r}(u,v)=\sqrt{u}\cos v\textbf{i}+\sqrt{u}\sin v\textbf{j}+u\textbf{k}\]
Hallando los vectores tangentes se tiene:
\[\textbf{r}_{u}=\frac{\cos v}{2\sqrt{u}}\textbf{i}+\frac{\sin v}{2\sqrt{u}}\textbf{j}+\textbf{k}\]
\[\textbf{r}_{v}=-\sqrt{u}\sin v\textbf{i}+\sqrt{u}\cos v\textbf{j}+0\textbf{k}\]
Luego, el producto vectorial será:
\[\textbf{r}_{u}\times\textbf{r}_{v}=\begin{vmatrix}\textbf{i}&\textbf{j}&\textbf{k}\\\frac{\cos v}{2\sqrt{u}}&\frac{\sin v}{2\sqrt{u}}&1\\-\sqrt{u}\sin v&\sqrt{u}\cos v&0\\\end{vmatrix}=-\sqrt{u}\cos v\textbf{i}+\sqrt{u}\sin v\textbf{j}+\frac{1}{2}\textbf{k}\]
de manera que su módulo es
\[\left\|\textbf{r}_{u}\times\textbf{r}_{v}\right\|=\sqrt{u+\frac{1}{4}}=\frac{1}{2}\sqrt{4u+1}\]
La región "D" descrita es un rectángulo del plano UV, por lo que resulta sencillo deducir los limites de integración y calcular el área como sigue:
\[A=\frac{1}{2}\int_{0}^{2\pi}\int_{0}^{4}\sqrt{4u+1}dudv=\frac{1}{12}\int_{0}^{2\pi}(4u+1)^{3/2}\left.\begin{matrix}\\\\\end{matrix}\right|_{0}^{4}dv\]
\[A=\frac{1}{12}\int_{0}^{2\pi}(17\sqrt{17}-1)dv=\frac{\pi}{6}(17\sqrt{17}-1)\]
Integral de superficie
Análogo a la integral de línea, la integral de superficie representa el volumen de un sólido limitado por una superficie "r" en el espacio XYZ y su proyección sobre una función de 3 variables.
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| El volumen del sólido formado resulta ser el área de una parcela de "r" por la altura dada por "f" |
\[ V_{ij}=f(P_{ij})\left\|\textbf{r}_{u_{i}}\times\textbf{r}_{v_{j}}\right\|\Delta u_{i}\Delta v_{j}\]
De este modo el volumen total será la suma de los volúmenes de las infinitas columnas formadas por las parcelas de la superficie "r".
\[ V=\displaystyle\lim_{(m,n)\to (\infty,\infty)}\sum_{i=1}^{m}\sum_{j=1}^{n}f(P_{ij})\left\|\textbf{r}_{u}\times\textbf{r}_{v}\right\|\Delta u_{i}\Delta v_{j}\]
\[ V=\iint_{S}f(x,y,z)dS=\iint_{D}f[\textbf{r}(u,v)]\left\|\textbf{r}_{u}\times\textbf{r}_{v}\right\|dA\]
donde D es el dominio paramétrico en UV.Note la similitud con la definición de la integral de línea:
\[I=\int_{C}f(x,y,z)dS=\int_{a}^{b}f[r(t)]\left\|r'(t)\right\|dt\]
Ejemplo 3: Evaluar $\iint_{S}(x-2y+z)dS$, S: es la superficie formada en el plano $z=2$ con la región $x^{2}+y^{2}\leq 1$
Parametrizando la superficie S reconociendo que solo es una región circular en el plano z=2, se tiene
\[\left\{\begin{matrix}x=u\cos v\\y=u\sin v\\z=2\end{matrix}\right.\Rightarrow\textbf{r}(u,v)=u\cos v\textbf{i}+u\sin v\textbf{j}+2\textbf{k}\]
luego, calculando el módulo del producto vectorial de los vectores tangentes a la superficie paramétrica como sigue
\[\left\|\left<\cos v,\sin v,0\right>\times\left<-u\sin v,u\cos v,0\right>\right\|=\begin{vmatrix}\textbf{i}&\textbf{j}&\textbf{k}\\\cos v&\sin v&0\\-u\sin v&u\cos v&0\\\end{vmatrix}\]
\[\left\|\textbf{r}_{u}\times\textbf{r}_{v}\right\|=\left\|0\textbf{i}-0\textbf{j}+u\textbf{k}\right\|=u\]
se puede decir que la integral de superficie es
\[\iint_{D}(u\cos v-2u\sin v+2)udA=\int_{0}^{2\pi}\int_{0}^{1}(u^{2}\cos v-2u^{2}\sin v+2u)dudv\]
\[I=\int_{0}^{2\pi}\left(\frac{u^{3}}{3}\cos v-\frac{2u^{3}}{3}\sin v+u^{2}\right)\left.\begin{matrix}\\\\\end{matrix}\right|_{0}^{1}dv=\int_{0}^{2\pi}\left(\frac{1}{3}\cos v-\frac{2}{3}\sin v+1\right)dv\]
\[I=\left(\frac{1}{3}\sin v+\frac{2}{3}\cos v+v\right)\left.\begin{matrix}\\\\\end{matrix}\right|_{0}^{2\pi}=\frac{2}{3}+2\pi-\frac{2}{3}=2\pi \]
Observe que "u" fue parametrizado como el radio de la región circular, de manera que corresponde al límite de integración que va de 0 a 1. Asimismo, "v" fue parametrizado como el ángulo barrido de manera que corresponde al límite de integración que va de 0 a $2\pi$.
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| La superficie resulta ser un plano circular en z=2 |
Integral de flujo
El término de integral de flujo viene de conceptos de física, pues si suponemos un fluido de densidad $\rho$ que pasa a través de una superficie "S" con velocidad "v" se requiere saber cuanta velocidad tiene la dirección y el sentido del vector normal a la superficie. Este requerimiento tiene bastantes aplicaciones en el estudio de flujo de calor o eléctrico.
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| La cantidad de flujo que tiene la misma dirección y sentido al vector normal a la superficie resulta ser la proyección del flujo sobre el vector normal. |
De acuerdo con la figura, se puede afirmar que el flujo contenido sobre el vector normal a una pequeña parcela de la superficie S, está dado por
\[(\rho\textbf{v}\cdot \textbf{n}) S_{ij}\]
luego, sumando el flujo en todas las parcelas infinitamente pequeñas se concluye que:
\[\iint_{S}\rho\textbf{v}\cdot\textbf{n}dS=\iint_{S}\textbf{F}\cdot\textbf{n}\,dS\]
y esto se interpreta físicamente como la razón de flujo a través de la superficie "S". Por otro lado, matemáticamente se puede interpretar como la integral de superficie de un campo vectorial "F" en "S".
Por simple inspección, se puede decir que el vector normal a la superficie es el producto cruz entre sus vectores tangentes, de manera que
\[\textbf{n}=\frac{\textbf{r}_{u}\times\textbf{r}_{v}}{\left\|\textbf{r}_{u}\times\textbf{r}_{v}\right\|}\]
y por tanto la integral de superficie será
\[\iint_{S}\textbf{F}\cdot\frac{\textbf{r}_{u}\times\textbf{r}_{v}}{\left\|\textbf{r}_{u}\times\textbf{r}_{v}\right\|}dS=\iint_{D}\textbf{F}\cdot\frac{\textbf{r}_{u}\times\textbf{r}_{v}}{\left\|\textbf{r}_{u}\times\textbf{r}_{v}\right\|}\left\|\textbf{r}_{u}\times\textbf{r}_{v}\right\|dA\]
\[\iint_{S}\textbf{F}\cdot dS=\iint_{D}\textbf{F}\cdot(\textbf{r}_{u}\times\textbf{r}_{v})dA\]
siendo "D" el dominio paramétrico.
Ejemplo 4: Determine el flujo del campo vectorial $\textbf{F}(x,y,z)=x\textbf{i}+y\textbf{j}+z\textbf{k}$ a través de la superficie $S: z=1-x^{2}-y^{2},\, z\geq 0$
Parametrizando la superficie:
\[z=u\rightarrow\left(\frac{x}{\sqrt{1-u}}\right)^{2}+\left(\frac{y}{\sqrt{1-u}}\right)^{2}=1\]
\[S:\left\{\begin{matrix}x=\sqrt{1-u}\cos v\\y=\sqrt{1-u}\sin v\\z=u\end{matrix}\right.\]
luego los vectores tangentes serán
\[\textbf{S}_{u}=\left<-\frac{\cos v}{2\sqrt{1-u}},-\frac{\sin v}{2\sqrt{1-u}},1\right>\]
\[\textbf{S}_{v}=\left<-\sqrt{1-u}\sin v,\sqrt{1-u}\cos v,0\right>\]
de modo que el producto vectorial es
\[\textbf{S}_{u}\times\textbf{S}_{v}=\begin{vmatrix}\textbf{i}&\textbf{j}&\textbf{k}\\-\frac{\cos v}{2\sqrt{1-u}}&-\frac{\sin v}{2\sqrt{1-u}}&1\\-\sqrt{1-u}\sin v&\sqrt{1-u}\cos v&0\\\end{vmatrix}\]
\[\textbf{S}_{u}\times\textbf{S}_{v}=-\sqrt{1-u}\cos v\textbf{i}-\sqrt{1-u}\sin v\textbf{j}+\left(-\frac{\cos^{2}v}{2}-\frac{\sin^{2}v}{2}\right)\textbf{k}\]
por tanto, el producto escalar entre este vector y el campo vectorial evaluado en la superficie paramétrica es
\[\small \textbf{F}\cdot(\textbf{S}_{u}\times\textbf{S}_{v})=\left<\sqrt{1-u}\cos v,\sqrt{1-u}\sin v,u\right>\cdot\left<-\sqrt{1-u}\cos v,-\sqrt{1-u}\sin v,-\frac{1}{2}\right>\]
\[\textbf{F}\cdot(\textbf{S}_{u}\times\textbf{S}_{v})=-(1-u)\cos^{2}v-(1-u)\sin^{2}v-\frac{1}{2}u\]
Ahora, para deducir los limites de integración, conviene utilizar el gráfico de la superficie dada.
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| "z" va de 0 a 1 y en z=0 se tiene una circunferencia de radio 1 |
Así entonces, la integral de superficie se calcula como sigue
\[\iint_{D}\left(\frac{1}{2}u-1\right)dA=\int_{0}^{2\pi}\int_{0}^{1}\left(\frac{1}{2}u-1\right)dudv\]
\[I=\int_{0}^{2\pi}\left(\frac{u^{2}}{4}-u\right)\left.\begin{matrix}\\\\\end{matrix}\right|_{0}^{1}dv=-\int_{0}^{2\pi}\frac{3}{4}dv=-\frac{3\pi}{2}\]
El resultado negativo indica que la superficie fue orientada de tal forma que su vector normal señale a su interior. Esto sucede debido a la forma en la que se opera el producto vectorial, pues hay que recordar que dependiendo del orden de los vectores a multiplicar, se obtiene un vector perpendicular que puede señalar hacia arriba o hacia abajo. Por tanto, se puede definir el siguiente concepto.
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| La superficie "S" se llama orientada si es posible elegir un vector normal unitario "n" en cualquier punto de "S" de tal forma que "n" varíe continuamente en "S" |
Conocido el vector normal, es posible dar la orientación a la superficie mediante la regla de la mano derecha. Solo, observe que si el vector normal señala hacia arriba de la superficie, entonces la orientación es positiva, caso contrario es negativa (ver figura).
Cabe mencionar que si se desea orientar positivamente una superficie, solo basta con hacer negativo al producto vectorial si es que la tercera componente sale negativa. Pues dicha componente indica hacia donde apunta el vector normal. En el caso del ejemplo anterior, la tercera componente del producto vectorial salió negativa, por lo que el vector normal apunta hacia abajo y así la superficie quedó con orientación negativa.
Teorema de Stokes
El teorema de Stokes toma su nombre del físico matemático irlandés Sir George Stokes quien fue notable por sus estudios de luz y flujo de fluidos. Al ser profesor de la universidad de Cambridge, pidió a sus alumnos demostrar este teorema. Sin embargo, no se sabe si alguno de esos estudiantes fue capaz de hacer eso. Pues, una demostración rigurosa resulta ser un proceso complicado ya que menciona lo siguiente:
Sea S una superficie orientada, suave por partes y acotada por una curva frontera cerrada simple suave a pedazos C, con orientación positiva. Sea F un campo vectorial cuyos componentes tienen derivadas parciales en una región abierta en $\mathbb{R}^{3}$ que contiene a S, entonces
\[\int_{C}\textbf{F}\cdot\mathrm{d}\textbf{r}=\iint_{S}\mathrm{rot}\textbf{F}\cdot\mathrm{d}S=\iint_{S}\mathrm{rot}\textbf{F}\cdot\textbf{n}dA\]
Este teorema tiene similitud con la forma vectorial del teorema de Green, pues establece que la integral de línea alrededor de la curva frontera de "S" del componente tangencial de "F" es igual a la integral de superficie en "S" del componente normal del rotacional de "F", (una integral doble del rotacional de F).
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| En términos geométricos, el teorema de Stokes permite evaluar una integral de línea sobre la curva C como una integral de superficie sobre la región D formada por la proyección de C en el plano XY |
Ejemplo 5: Evaluar en la superficie $z=x^{2}, 0\leq x\leq a, 0\leq y\leq a$ mediante el teorema de Stokes:
\[\oint_{C}\left<xyz,y,z\right>\cdot d\textbf{r}\]
Debido al símbolo, se puede inferir que C tiene orientación positiva. Entonces, el rotacional de F será:
\[\mathrm{rot}\left<xyz,y,z\right>=\begin{vmatrix}\textbf{i}&\textbf{j}&\textbf{k}\\\frac{\partial}{\partial x}&\frac{\partial}{\partial y}&\frac{\partial}{\partial z}\\xyz&y&z\\\end{vmatrix}=0\textbf{i}+xy\textbf{j}-xz\textbf{k}\]
Luego, se sabe que el vector normal a una superficie es su gradiente, de manera que
\[\textbf{n}=\left<2x,0,-1\right>\]
Así entonces, la integral de línea dada se convierte en la sigueinte integral de superficie.
\[\iint_{S}\left<0,xy,-xz\right>\cdot\left<2x,0,-1\right>dA=\iint_{D}xz\mathrm{d}A\]
La región sobre el plano XY ya se describe en el problema y si $z=x^{2}$ se tiene
\[\int_{0}^{a}\int_{0}^{a}x(x)^{2}\mathrm{d}y\mathrm{d}x=\int_{0}^{a}ax^{3}\mathrm{d}x=\frac{1}{4}a^{5}\]
Ejemplo 6: Evaluar en la intersección del paraboloide $z=x^{2}+y^{2}$ y el cilindro $x^{2}+y^{2}=4$
\[\oint_{C}\left<x^{2}z^{2},y^{2}z^{2},xyz\right>\cdot\mathrm{d}\textbf{r}\]
Note que se pide evaluar la integral de línea a lo largo de la curva intersección formada por las superficies, de modo que
\[\textbf{r}(t)=\left<2\cos t,2\sin t,4\right>\]
Luego, de acuerdo con el teorema de Stokes y la definción de integral de línea de campos vectoriales, se puede decir que
\[\iint_{S}\mathrm{rot}\textbf{F}\cdot\textrm{d}S=\int_{a}^{b}\textbf{F}[\textbf{r}(t)]\cdot\textbf{r}'(t)dt\]
por lo que en lugar de resolver el miembro izquierdo de esta ecuación, se procede a resolver el miembro derecho y por tanto, calculando la derivada de la función vectorial obtenida se tiene
\[\textbf{r}'(t)=\left<-2\sin t,2\cos t,0\right>\]
y por tanto la integral de línea se procede a resolver como sigue
\[\int_{0}^{2\pi}\left<64\cos^{2}t,64\sin^{2}t,16\cos t\sin t\right>\cdot\left<-2\sin t,2\cos t,0\right>dt\]
\[\int_{0}^{2\pi}(-128\cos^{2}t\sin t+128\sin^{2}t\cos t)\mathrm{d}t=\left(\frac{128}{3}\cos^{3}t+\frac{128}{3}\sin^{3}t\right)\left.\begin{matrix}\\\\\end{matrix}\right|_{0}^{2\pi}=0\]
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| Gráfica de la curva intersección orientada en sentido antihorario |
Ejemplo práctico: Evaluar con orientación negativa en la intersección del elipsoide $x^{2}+2y^{2}+z^{2}=1$ y el plano $x+z=1$
\[\int_{C}\left<\frac{1}{2}y^{2},z,x\right>\cdot\mathrm{d}\textbf{r}\]
Si se intenta parametrizar la curva intersección, se obtendrá una ecuación vectorial complicada de evaluar en la integral de línea. Por tanto, aplicando el teorema de Stokes de forma directa se tiene:
\[\int_{C}\left<\frac{1}{2}y^{2},z,x\right>\cdot\mathrm{d}\textbf{r}=\iint_{S}\mathrm{rot}\left<\frac{1}{2}y^{2},z,x\right>\cdot\textbf{n}dA\]
El vector normal de la curva intersección coincide con el vector normal del plano (ver figura).
\[\textbf{n}=\left<1,0,1\right>\]
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| Debido a que se pide que la orientación sea negativa, el vector normal debe apuntar hacia abajo y por ende la curva se orienta en sentido horario |
Luego, el rotacional es:
\[\mathrm{rot}\left<\frac{1}{2}y^{2},z,x\right>=\begin{vmatrix}\textbf{i}&\textbf{j}&\textbf{k}\\\frac{\partial}{\partial x}&\frac{\partial}{\partial y}&\frac{\partial}{\partial z}\\\frac{1}{2}y^{2}&z&x\\\end{vmatrix}=\left<-1,-1,-y\right>\]
de manera que la integral de superficie resultante queda
\[I=\iint_{S}\left<-1,-1,-y\right>\cdot(-\left<1,0,1\right>)dA=\iint_{D}(y+1)dA\]
La región D proyectada en el plano XY por la curva C ocurre cuando $z=1-x$, de modo que
\[\left(x-\frac{1}{2}\right)^{2}+y^{2}=\frac{1}{4}\]
La región es una circunferencia de radio 1/2, de manera que la integral se puede evaluar mediante coordenadas polares como sigue:
\[I=\int_{0}^{2\pi}\int_{0}^{1/2}(r\sin\theta+1)rdrd\theta=\int_{0}^{2\pi}\left(\frac{1}{24}\sin\theta+\frac{1}{8}\right)d\theta \]
\[I=\left(-\frac{1}{24}\cos\theta+\frac{\theta}{8}\right)\left.\begin{matrix}\\\\\end{matrix}\right|_{0}^{2\pi}=\frac{\pi}{4}\]
Ejercicios:
a) Evalúe las siguientes integrales de superficie
1) $\iint_{S} (x+y+z)\mathrm{d}S$, S: paralelogramo con ecuaciones paramétricas $x=u+v,\, y=u-v,\, z=1+2u+v,\, 0\leq u\leq 2, 0\leq v\leq 1$
2) $\iint_{S}y\mathrm{d}S$, S: helicoide con ecuación vectorial $\textbf{r}(u,v)=\left<u\cos v, u\sin v, v\right>\, 0\leq u\leq 1,\, 0\leq v\leq \pi$
3) $\iint_{S}x^{2}yz\mathrm{d}S$, S: parte del plano $z=1+2x+3y$ que está sobre el rectángulo [0,3]X[0,2].
4) $\iint_{S}x^{2}z^{2} \mathrm{d}S$, S: parte del cono $z^{2}=x^{2}+y^{2}$ que está entre los planos z=1 y z=3.
5) $\iint_{S}(x\textbf{i} +y\textbf{j} +z^{2}\textbf{k})\cdot \mathrm{d}S$, S: esfera de radio 1 y centro en el origen con orientación positiva.
6) $\iint_{S}(ze^{xy}\textbf{i} -3ze^{xy}\textbf{j} +xy\textbf{k})\cdot \mathrm{d}S$, S es el paralelogramo del ejercicio 1 con orientación positiva.
b) Use el teorema de Stokes para evaluar:
1) $\iint_{S} \mathrm{rot} \left<ze^{y},x\cos y,xz\sin y\right>\cdot \mathrm{d}S$, S: hemisferio orientado en la dirección del eje "y" positivo $x^{2}+y^{2}+z^{2}=16,\, y\geq 0$
2) $\iint_{S} \mathrm{rot} \left<xyz,xy,x^{2}yz\right>\cdot \mathrm{d}S$, S: parte superior del cubo con orientación positiva y de vértices $(\pm 1,\pm 1,\pm 1)$
3) $\oint_{C} \left<x+y^{2},y+z^{2},z+x^{2}\right> \cdot \mathrm{d}\textbf{r}$, C: triángulo de vértices (1,0,0), (0,1,0) y (0,0,1).
4) $\oint_{C} \left<xy,yz,zx\right> \cdot \mathrm{d}\textbf{r}$, C es la curva frontera del paraboloide $z=1-x^{2}-y^{2}$ en el primer octante.
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