La serie de Taylor y la serie de Maclaurin
Polinomios de Taylor y Maclaurin
El trabajo de Brook Taylor en las aproximaciones de funciones
mediante polinomios fue una de las obras completas sobre el tema, el cuál
define al polinomio que lleva su nombre como:
\[P_{n}(x)=f(c)+f'(c)(x-c)+\frac{f''(c)}{2!}(x-c)^{2}+...+\frac{f^{(n)}(c)}{n!}(x-c)^{n}\]
donde $f$ tiene $n$
derivadas en torno a $c$.
Colin Maclaurin se dio cuenta de un caso especial del
polinomio de Taylor en el que
$c=0$,
definiendo a su polinomio como:
\[P_{n}(x)=f(0)+f'(0)x+\frac{f''(0)}{2!}x^{2}+...+\frac{f^{(n)}(0)}{n!}x^{n}\]
Estos polinomios son muy utilizados en las aproximaciones de funciones
mediante
funciones polinómicas. No obstante, estos generan un error el cuál se lo denomina residuo, de
manera que una función aproximada por un polinomio se expresa como:
\[f(x)=P_{n}(x)+R_{n}(x)\]
Donde $P_{n}$
es el polinomio de aproximación y
$R_{n}$
es el residuo. Por tanto el error es:
\[E=\left | R_{n}(x) \right |=\left | f(x)-P_{n}(x) \right |\]
Gráficamente es posible entender de mejor manera el objetivo de estos
polinomios
|
| El polinomio se aproxima con gran precisión a $\textit{f}$ al rededor de 0 dentro de un intervalo, (polinomio de Maclaurin de grado 3) |
Si se aplica un límite a la función aproximada se tiene
\[\lim_{n\rightarrow \infty }f(x)=\lim_{n\rightarrow \infty
}[P_{n}(x)+R_{n}(x)]\]
Es evidente que el limite existe ya que el primer miembro no depende
de
$n$,
por lo que aplicando la ley de la suma de limites se tiene
\[f(x)=\lim_{n\rightarrow \infty }P_{n}(x)+\lim_{n\rightarrow \infty
}R_{n}(x)\]
Si se desea que el polinomio de aproximación se acerque con gran precisión
a la función, el error debe tender a 0, por lo que
\[f(x)=\lim_{n\rightarrow \infty }P_{n}(x)+0\]
Formando la serie de Taylor como sigue:
\[\lim_{n\rightarrow \infty
}[f(c)+f'(c)(x-c)+\frac{f''(c)}{2!}(x-c)^{2}+...+\frac{f^{(n)}(c)}{n!}(x-c)^{n}]\]
\[\lim_{n\rightarrow \infty
}\sum_{k=0}^{n}\frac{f^{(k)}(c)}{k!}(x-c)^{k}\]
La definición formal de la serie se enuncia de la siguiente forma:
Si una función $f$ tiene $n$
derivadas entorno a $x=c$,
entonces la serie de Taylor para
$f$ en $c$
es
\[\sum_{n=0}^{\infty }\frac{f^{(n)}(c)}{n!}(x-c)^{n}\]
si $c=0$,
entonces la serie es la serie de Maclaurin para
$f$.
Ejemplo 1: Desarrollar en serie de Maclaurin a
$f(x)=e^{x}$
Primero, si es posible se debe encontrar la fórmula de la
derivada n-ésima
para
$f$.
En este caso, todas las derivadas de la función exponencial son la misma,
por lo que
\[f^{n}(x)=e^{x}\]
La serie de Maclaurin es el desarrollo alrededor de $c=0$ por lo que
\[f^{n}(0)=e^{0}=1\]
Por tanto:
\[e^{x}=\sum_{n=0}^{\infty }\frac{x^{n}}{n!}\]
Por otro lado, es necesario saber los valores de
$x$
para los que la serie converge. Entonces, aplicando el
criterio del cociente
se tiene
\[\lim_{n\rightarrow \infty }\left |
\frac{\frac{x^{n+1}}{(n+1)!}}{\frac{x^{n}}{n!}} \right |=\lim_{n\rightarrow
\infty }\left | \frac{xn!}{(n+1)!} \right |=\lim_{n\rightarrow \infty }\left
| \frac{xn!}{(n+1)n!} \right |=0\]
Note que esta es la situación de convergencia de
series de potencias donde la serie converge para todo
$x$.
Entonces, la serie de Maclaurin de la función exponencial converge en $\mathbb{R}$.
Usando una graficadora se puede observar lo siguiente
|
| Serie de Maclaurin de la función exponencial para la sumas parciales de 2, 3 y 4 términos |
Ejemplo 2: Desarrollar en serie de Maclaurin a
$f(x)=\sin x$
En este caso no es posible hallar una fórmula de la derivada n-ésima de
la función, por lo que derivando de forma sucesiva se tiene
\[f'(x)=\cos x\]
\[f''(x)=-\sin x\]
\[f'''(x)=-\cos x\]
\[f^{iv}(x)=\sin x\]
A partir de esta derivada las siguientes se repiten, por lo que la serie
de Maclaurin es
\[\small \sum_{n=0}^{\infty }\frac{f^{n}(0)}{n!}x^{n}=\sin 0+(\cos
0)x+\frac{-\sin 0}{2!}x^{2}+\frac{-\cos 0}{3!}x^{3}+\frac{\sin
0}{4!}x^{4}+\frac{\cos 0}{5!}x^{5}+...\]
\[S(x)=0+x+0-\frac{1}{3!}x^{3}+0+\frac{1}{5!}x^{5}+...\]
Como en una suma no importa los términos nulos, se puede reescribir la
serie de acuerdo al patrón que forman los términos no nulos como
sigue:
\[S(x)=x-\frac{1}{3!}x^{3}+\frac{1}{5!}x^{5}-\frac{1}{7!}x^{7}+\frac{1}{9!}x^{9}-...\]
Note que las potencias y los denominadores son números impares, cuya
fórmula del término n-ésimo ya se conoce, de manera que la serie es
\[\sin x=\sum_{n=0}^{\infty }\frac{(-1)^{n}x^{2n+1}}{(2n+1)!}\]
Analizando la convergencia:
\[\small \lim_{n\rightarrow \infty }\left |
\frac{\frac{x^{2n+3}}{(2n+3)!}}{\frac{x^{2n+1}}{(2n+1)!}} \right
|=\lim_{n\rightarrow \infty }\left | \frac{x^{2}(2n+1)!}{(2n+3)!} \right
|=\lim_{n\rightarrow \infty }\left |
\frac{x^{2}(2n+1)!}{(2n+3)(2n+2)(2n+1)!} \right |=0\]
Entonces, la serie de Maclaurin de la función
$\sin x$
converge en $\mathbb{R}$.
Demostrando este análisis de forma visual:
|
| Serie de Maclaurin de la función $\mathit{\sin x}$ para las sumas parciales de 2, 3 y 4 términos |
Hallando una fórmula de la derivada n-ésima:
\[f'(x)=\frac{1}{x}\]
\[f''(x)=-\frac{1}{x^{2}}\]
\[f'''(x)=\frac{2}{x^{3}}\]
\[f^{iv}(x)=-\frac{6}{x^{4}}\]
\[f^{n}(x)=\frac{(n-1)!(-1)^{n+1}}{x^{n}}\]
El primer término de la serie es 0 ya que
$\ln 1=0$, por tanto
\[0+\sum_{n=1}^{\infty
}\frac{\frac{(n-1)!(-1)^{n+1}}{(1)^{n}}}{n!}(x-1)^{n}=\sum_{n=1}^{\infty
}\frac{(-1)^{n+1}(x-1)^{n}}{n}\]
Analizando la convergencia:
\[\lim_{n\rightarrow \infty }\left |
\frac{\frac{(x-1)^{n+1}}{n+1}}{\frac{(x-1)^{n}}{n}} \right
|=\lim_{n\rightarrow \infty }\left | \frac{n(x-1)}{n+1} \right |=\left |
x-1 \right |< 1\]
De esta manera la serie de Taylor de
$\ln x$ es válida para $0< x< 2$.
Gráficamente es posible observar que en uno de los extremos del dominio
de convergencia la serie oscila. Asimismo, note que la serie toma la
forma de la función alrededor de
$x=1$:
|
|
Serie de Taylor en 1 de la función
$\mathit{\ln x}$ para las sumas parciales de 2, 3 y 4 términos |
Hallando una fórmula de la derivada n-ésima
\[f'(x)=\frac{1}{(1-x)^{2}}\]
\[f''(x)=\frac{2}{(1-x)^{3}}\]
\[f'''(x)=\frac{6}{(1-x)^{4}}\]
\[f^{iv}(x)=\frac{24}{(1-x)^{5}}\]
\[f^{n}(x)=\frac{n!}{(1-x)^{n+1}}\]
Entonces la serie es
\[\sum_{n=0}^{\infty
}\frac{\frac{n!}{(1-c)^{n+1}}}{n!}(x-c)^{n}=\sum_{n=0}^{\infty
}\frac{1}{1-c}\left ( \frac{x-c}{1-c} \right )^{n}\]
Note que si $c=0$
se tiene la serie de Maclaurin, la cuál es evidente que presenta la
forma de la serie geométrica. Por tanto, para cualquier valor de
$c$ la suma de la serie es:
$\sum_{n=0}^{\infty }\frac{1}{1-c}\left ( \frac{x-c}{1-c} \right
)^{n}=\frac{\frac{1}{1-c}}{1-\frac{x-c}{1-c}}$ válido en $\left
|\frac{x-c}{1-c} \right |< 1$
Note que si la suma se simplifica se llega a la misma función $f(x)$. Esto resulta muy útil para desarrollar funciones de este tipo en series
de Taylor. Pues es posible expresarlas como la suma de una serie
geométrica mediante operaciones algebraicas en lugar de aplicar la
definición.
Representación de funciones como series de potencias
A partir de series conocidas como las anteriores deducidas, resulta más
sencillo expresar funciones elementales como series de potencias sin
necesidad de derivar. Asimismo, las
operaciones de series de potencias
se convierten en una herramienta bastante útil para los desarrollos
Ejemplo 1: Desarrollar en serie de Taylor a
$f(x)=\frac{4x}{x^{2}+2x-3}$
en torno a $c=3$
Es posible expandir a la función en una suma de fracciones parciales como
sigue:
\[f(x)=\frac{4x}{(x+3)(x-1)}=\frac{3}{x+3}+\frac{1}{x-1}\]
De esta manera, cada fracción se puede reescribir de la siguiente
manera:
\[f(x)=\frac{3}{(x-3)+3+3}+\frac{1}{(x-3)+3-1}=\frac{3}{6\left (
1+\frac{x-3}{6} \right )}+\frac{1}{2\left ( 1+\frac{x-3}{2} \right
)}\]
\[f(x)=\frac{1/2}{\left ( 1+\frac{x-3}{6} \right )}+\frac{1/2}{\left
( 1+\frac{x-3}{2} \right )}\]
Note que se desea llegar a la suma de una serie geometría de la
forma $\frac{1}{1\pm u}$.
Así, es evidente que la razón es "u", y por tanto se tiene
\[f(x)=\frac{1}{2}\sum_{n=0}^{\infty }\left (\frac{x-3}{6} \right
)^{n}(-1)^{n}+\frac{1}{2}\sum_{n=0}^{\infty }\left (\frac{x-3}{2} \right
)^{n}(-1)^{n}\]
Aplicando la suma de series se tiene
\[f(x)=\frac{1}{2}\sum_{n=0}^{\infty }\left (\frac{1}{6^{n}}
+\frac{1}{2^{n}} \right )(x-3)^{n}(-1)^{n}\]
El domino de convergencia es la intersección de los dominios de las
series individuales, por tanto:
\[Rf:\left | \frac{x-3}{6} \right |< 1\cap \left |\frac{x-3}{2} \right
|< 1\]
\[Rf:\left | x-3 \right |< 6\cap \left |x-3 \right |< 2\]
Es evidente que la intersección es el dominio con radio de convergencia
mínimo, por lo que la serie converge en
$\left |x-3 \right |< 2\rightarrow 1< x< 5$.
Usando una graficadora se puede corroborar si la serie toma la forma de
la función para una cantidad de términos considerable
|
| Serie de Taylor de 13 términos entorno a 3 |
Ejemplo 2: Desarrollar en serie de Maclaurin a $f(x)=xe^{x^{2}}$
Ya se conoce la serie de Maclaurin de la función exponencial, por lo que
aplicando operaciones de series de potencias se obtiene
\[S(x)=\sum_{k=0}^{\infty }\frac{x^{n}}{n!}\]
\[xS(x^{2})=x\sum_{k=0}^{\infty }\frac{x^{2n}}{n!}\]
\[f(x)=\sum_{k=0}^{\infty }\frac{x^{2n+1}}{n!}\]
Como $S(x)$
converge en $\mathbb{R}$,
de acuerdo con las propiedades, la serie de
$f(x)$ también converge en
$\mathbb{R}$
Ejemplo 3: Desarrollar en serie de Maclaurin a
$f(x)=e^{-x}\sin x$
Usando las series conocidas y mediante producto de series se tiene
\[f(x)=\left (\sum_{n=0}^{\infty }\frac{(-x)^{n}}{n!} \right )\left
(\sum_{n=0}^{\infty }\frac{(-1)^{n}x^{2n+1}}{(2n+1)!} \right )\]
Recuerde que el producto da otra serie, por lo que para hallarla se
expanden las sumas y se multiplican como los polinomios
\[f(x)=\left ( 1-x+\frac{x^{2}}{2!}-...\right )\left (
x-\frac{x^{3}}{3!}+\frac{x^{5}}{5!}-... \right )\]
\[f(x)=x-\frac{x^{3}}{3!}+\frac{x^{5}}{5!}-x^{2}+\frac{x^{4}}{3!}-\frac{x^{6}}{5!}+\frac{x^{3}}{2!}-\frac{x^{5}}{2!3!}+\frac{x^{7}}{2!5!}-...\]
\[f(x)=x-x^{2}+\frac{1}{3}x^{3}+\frac{x^{4}}{6}-\frac{3}{40}x^{5}-\frac{x^{6}}{120}+\frac{x^{7}}{240}+...\]
Note que en casos como este, no es posible encontrar una fórmula general
para la serie.
Ejemplo práctico: Desarrollar en serie de Taylor alrededor de
$x_{0}=-2$
\[f(x)=\frac{e^{3(x+2)}-e^{-2(x+2)}}{x+2}\]
Note que se desea obtener la serie de Taylor alrededor de un punto
discontinuo. En estos casos se debe analizar si el límite de la
función existe en dicho punto, por lo que
\[\lim_{x\rightarrow
-2}\frac{e^{3(x+2)}-e^{-2(x+2)}}{x+2}=\lim_{x\rightarrow
-2}\frac{3e^{3(x+2)}+2e^{-2(x+2)}}{1}=5\]
El límite existe, de manera que la función puede expresarse en una
serie de potencias. Por tanto, reescribiendo se tiene
\[f(x)=\frac{1}{x+2}e^{3(x+2)}-\frac{1}{x+2}e^{-2(x+2)}\]
Observe que las fracciones pueden formar una serie geométrica.
Sin embargo, estas de forma individual presentan discontinuidad
infinita por lo que no es posible expresar la serie. Por tanto,
aplicando operaciones sobre la serie de la función exponencial se
tiene
\[f(x)=\frac{1}{x+2}\sum_{n=0}^{\infty }\frac{[3(x+2)]^{n}}{n!
}-\frac{1}{x+2}\sum_{n=0}^{\infty }\frac{[-2(x+2)]^{n}}{n!}\]
Note que no fue necesario deducir por definición la serie
alrededor de
$x_{0}$,
ya que al aplicar operaciones sobre la serie de Maclaurin
conocida se obtiene de forma directa la expresión de la serie de
Taylor en dicho valor.
Sin embargo, note que la serie no se encuentra definida en
$x_{0}$,
lo que contradice la convergencia, pero si se expanden algunos
términos de la suma se tiene
\[f(x)=\frac{1}{x+2}\left [1+\sum_{n=1}^{\infty }
\frac{3^{n}(x+2)^{n}}{n! }\right ]-\frac{1}{x+2}\left [1+
\sum_{n=1}^{\infty }\frac{(x+2)^{n}(-2)^{n}}{n!} \right ]\]
\[f(x)=\sum_{n=1}^{\infty } \frac{3^{n}(x+2)^{n-1}}{n!
}-\sum_{n=1}^{\infty }\frac{(x+2)^{n-1}(-2)^{n}}{n!}\]
\[f(x)=\sum_{n=1}^{\infty }
[3^{n}-(-2)^{n}]\frac{(x+2)^{n-1}}{n! }\]
Por otro lado, si se evalúa la serie en -2, esta dará 0, pero
el límite de la función original en ese valor es 5. Por tanto,
la serie no está expresada de forma correcta ya que su valor
difiere con el límite. Para arreglar este problema se vuelve a
expandir un término de la suma como sigue:
\[f(x)=5+\sum_{n=2}^{\infty } [3^{n}-(-2)^{n}]\frac{(x+2)^{n-1}}{n!
}\]
Esta entonces es la expresión correcta de la serie de Taylor, ya que
en
$x_{0}=-2$
esta coincide con el límite de la función original. Así la serie no
presenta discontinuidades que afecten la convergencia, ya que se sabe
que debe converger en
$\mathbb{R}$.
La serie binomial
A continuación se hallará la serie de Maclaurin para la función
$f(x)=(1+x)^{p}$
Hallando la fórmula de la derivada n-ésima:
\[f'(x)=p(1+x)^{p-1}\]
\[f''(x)=p(p-1)(1+x)^{p-2}\]
\[f'''(x)=p(p-1)(p-2)(1+x)^{p-3}\]
\[f^{n}(x)=p...(p-n+1)(1+x)^{p-n}\]
El primer elemento de la serie es 1, por lo que la serie de Maclaurin
es
\[\sum_{n=0}^{\infty }\frac{f^{n}(0)}{n!}x^{n}=1+\sum_{n=1}^{\infty
}\frac{p(p-1)(p-2)...(p-n+1)}{n!}x^{n}\]
Analizando la convergencia:
\[\lim_{n\rightarrow \infty }\left |
\frac{\frac{p(p-1)(p-2)...[p-(n+1)+1]}{(n+1)!}x^{n+1}}{\frac{p(p-1)(p-2)...(p-n+1)}{n!}x^{n}}
\right |=\lim_{n\rightarrow \infty }\left | \frac{x(p-n)n!}{(n+1)!} \right
|=\lim_{n\rightarrow \infty }\left | \frac{xp-nx}{n+1} \right |\]
Levantando la indeterminación se tiene que la serie de Maclaurin de
$f(x)=(1+x)^{p}$ converge en:
\[\left | x \right |< 1\rightarrow -1< x< 1\]
La función tiene la forma de un binomio, por lo que esta serie se la
denomina serie binomial. Permite representar funciones que
presenten dicha forma en series de potencias sin necesidad de derivar.
Por ejemplo, hallar la serie de Maclaurin para
$f(x)=\frac{1}{\sqrt{1-x^{2}}}$
Tal como se presenta a la función, no parece tener forma binomial, por lo
que reescribiéndola se obtiene
\[f(x)=[1+(-x^{2})]^{-1/2}\]
Entonces se tiene que $p=-1/2$,
por tanto
\[f(x)=1+\sum_{n=1}^{\infty
}\frac{-1/2(-1/2-1)(-1/2-2)...(-1/2-n+1)}{n!}(-x^{2})^{n}\]
\[f(x)=1+\sum_{n=1}^{\infty
}\frac{-1/2(-3/2)(-5/2)...(1/2-n)}{n!}(x)^{2n}(-1)^{n}\]
Observe que los productos es posible abreviarlos de la siguiente
forma
\[\frac{1}{2}-n=\frac{1-2n}{2}\]
El denominador es siempre 2 por lo que su producto se puede reescribir
como una potencia. Asimismo, es evidente que los signos se alternan por lo
que
\[f(x)=1+\sum_{n=1}^{\infty
}\frac{-(1)^{n}(1)(3)(5)...(2n-1)}{2^{n}n!}(x)^{2n}(-1)^{n}\]
\[f(x)=1+\sum_{n=1}^{\infty
}\frac{(3)(5)...(2n-1)}{2^{n}n!}(x)^{2n}\]
Otra forma más compacta de expresar esta serie es usar la notación de
productoria, la cuál utiliza la letra $\pi$ mayúscula y se escribe
como sigue:
\[\prod_{k=1}^{n}a_{k}=a_{1}\cdot a_{2}\cdot a_{3}\cdot a_{4}\cdot
...a_{n}\]
Por tanto:
$\frac{1}{\sqrt{1-x^{2}}}=1+\sum_{n=1}^{\infty
}\frac{\prod_{k=1}^{n}(2k-1)}{2^{n}n!}x^{2n}$, válida en $\left | -x^{2}
\right |< 1\rightarrow -1< x< 1$
Utilizando una graficadora se puede corroborar la serie para una cantidad
de términos considerables
|
| Serie de Maclaurin de $\mathit{\frac{1}{\sqrt{1-x^{2}}}}$ de 7 términos |
Asimismo, con ayuda de estas series se pueden deducir muchas otras más.
Por ejemplo hallaremos la serie de
$f(x)=\arcsin x$
Se sabe que $\int
\frac{1}{\sqrt{1-x^{2}}}\, dx=\arcsin x+C$, donde $C$
evidentemente es 0, por lo que si se integra la serie anterior se
tiene
\[\int\left ( 1+\sum_{n=1}^{\infty
}\frac{\prod_{k=1}^{n}(2k-1)}{2^{n}n!}x^{2n} \right )\, dx=\arcsin
x\]
\[f(x)=x+\sum_{n=1}^{\infty
}\frac{\prod_{k=1}^{n}(2k-1)}{2^{n}(2n+1)n!}x^{2n+1}\]
Recuerde que la
integral de una serie
tiene el mismo dominio de convergencia que la original, por lo que
$\arcsin x=x+\sum_{n=1}^{\infty
}\frac{\prod_{k=1}^{n}(2k-1)}{2^{n}(2n+1)n!}x^{2n+1}$, válida en $-1< x< 1$
Ejercicios:
a) Desarrollar en serie de Maclaurin las siguientes funciones
1) $f(x)=\cos x$
2) $f(x)=\tan x$
3) $f(x)=\sin 3x$
4)
$f(x)=\frac{e^{x}-e^{-x}}{2}$
5) $f(x)=\cos^{2} x$
6) $f(x)=\sqrt{x^{3}+1}$
b) Desarrollar en serie de Taylor las siguientes funciones alrededor del punto $c$ dado
1) $f(x)=\tan x$, en $c=\pi$
2) $f(x)=\frac{3}{2x-1}$, en $c=2$
3) $f(x)=\frac{x-1}{x+2}$, en $c=-5$
4)
$f(x)=\frac{x^{2}+x}{(1-x)^{3}}$, en $c=-1$
5) $f(x)=xe^{2x}$, en $c=-1$
6) $f(x)=x^{5}+2x^{3}+x$, en $c=2$
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