Integrales III

 Métodos de integración

A diferencia de la derivación, la integración es un proceso más complicado, por lo que existen dos métodos generales para integrar una función.

Método de sustitución

Si $u=g(x)$ es una función derivable cuyo rango es un intervalo I, y $f$ es continua sobre I, entonces

\[\int f(g(x))g'(x)\, dx=\int f(u)\, du\]

Note que el método permite simplificar el integrando realizando un cambio de variable, donde se cumple la relación de diferenciales $du=g'(x)dx$.  

Ejemplos: Halle la siguientes integrales

• $\int x\sqrt{x+6}\, dx$

Sea $u=x+6$, entonces $du=dx$. Asimismo $x=u-6$, de manera que el método de sustitución da

\[\int (u-6)\sqrt{u}\, du=\int u\sqrt{u}\, du-6\int \sqrt{u}\, du\]

\[I=\int u^{\frac{3}{2}}\, du-6\int u^{\frac{1}{2}}\, du\]

\[I=\frac{u^{\frac{5}{2}}}{\frac{5}{2}}-6\frac{u^{\frac{3}{2}}}{\frac{3}{2}}+C=\frac{2}{5}(x+6)^{\frac{5}{2}}-4(x+6)^{\frac{3}{2}}+C\]

Note que al final se regresó a la variable original $x$

• $\int \frac{-x}{(x+1)-\sqrt{x+1}}\, dx$ 

Sea $u=x+1$, entonces $du=dx$. Asimismo, $x=u-1$ y

\[\int \frac{-(u-1)}{u-\sqrt{u}}\, du=\int \frac{1-u}{u-\sqrt{u}}\left ( \frac{u+\sqrt{u}}{u+\sqrt{u}} \right )\, du\]

Note que se aplica el artificio del conjugado para reescribir el integrando de manera que se pueda encontrar antiderivadas conocidas

\[I=\int \frac{u+\sqrt{u}-u^{2}-u\sqrt{u}}{u^{2}-u}\, du=\int \frac{u-u^{2}}{u^{2}-u}\, du+\int \frac{\sqrt{u}-u\sqrt{u}}{u^{2}-u}\, du\]

 \[I=-\int \, du-\int u^{-\frac{1}{2}}\, du=-u-\frac{u^{\frac{1}{2}}}{\frac{1}{2}}+C=-u-2\sqrt{u}+C\]

\[I=-x-1-2\sqrt{x+1}+C\]

• $\int \frac{\sin (2x)}{\sqrt{3-2\sin ^{2}x}}\, dx$

Aplicando la sustitución $u=3-2\sin ^{2}x$, se tiene $du=-4\sin x\cos x\, dx$, de modo que $dx=-\frac{du}{4\sin x\cos x}=-\frac{du}{2\sin (2x)}$. Entonces

 \[\int \frac{\sin (2x)}{\sqrt{u}}\left ( -\frac{du}{2\sin (2x)} \right )=-\frac{1}{2}\int u^{-\frac{1}{2}}\, du\]

\[I=-\frac{1}{2}\left ( \frac{u^{\frac{1}{2}}}{\frac{1}{2}} \right )+C=-\sqrt{3-2\sin ^{2}x}+C\]

Cuando se presenten integrandos trigonométricos, en la mayoría de los casos resulta útil aplicar identidades trigonométricas.

• $\int \frac{x^{3}}{x-2}\, dx$

Sea $u=x-2$, entonces $du=dx$. Asimismo $x=u+2$, aplicando la sustitución se tiene

 \[\int \frac{(u+2)^{3}}{u}\, du=\int \frac{u^{3}+6u^{2}+12u+8}{u}\, du=\int \left (u^{2}+6u+12+\frac{8}{u} \right )\, du\]

\[I=\frac{u^{3}}{3}+6\frac{u^{2}}{2}+12u+8\ln \left |u \right |+C\]

\[I=\frac{(x-2)^{3}}{3}+3(x-2)^{2}+12(x-2)+8\ln \left |x-2 \right |+C\]

• $\int_{0}^{x} \frac{\cos \theta }{\sqrt{1-\sin \theta }}\, d\theta$

En este caso es posible encontrar la antiderivada de forma inmediata como sigue:

 \[\int_{0}^{x} \cos \theta (1-\sin \theta)^{-\frac{1}{2}}\, d\theta=-\int_{0}^{x} (-\cos \theta) (1-\sin \theta)^{-\frac{1}{2}}\, d\theta\]

\[I=-2\sqrt{1-\sin \theta }\left.\begin{matrix} \\ \\ \end{matrix}\right|_{0}^{x}=-2\sqrt{1-\sin x}+2\]

El método de sustitución se basa en el cálculo inmediato de antiderivadas, por lo que este último ejemplo también puede resolverse por sustitución. Por otro lado, conviene aplicar la menor cantidad de pasos posibles siempre que se pueda.

En el caso de integrales definidas, no es necesario obtener la primitiva con la variable original, ya que se puede observar lo siguiente

\[\int_{a}^{b}f(g(x))g'(x)\, dx=F(g(x))\left.\begin{matrix} \\ \\ \end{matrix}\right|_{a}^{b}=F(g(b))-F(g(a))\]

\[F(g(b))-F(g(a))=F(u)\left.\begin{matrix} \\ \\ \end{matrix}\right|_{g(a)}^{g(b)}=\int_{g(a)}^{g(b)}f(u)\, du\]

De manera que: Si $g'$ es continua en $[a,b]$ y $f$ es continua sobre el rango de $u=g(x)$, entonces

\[\int_{a}^{b}f(g(x))g'(x)\, dx=\int_{g(a)}^{g(b)}f(u)\, du\]

Usando el último ejemplo se tiene la sustitución $u=1-\sin \theta$ de manera que $du=-\cos \theta\,  d\theta$ y $d\theta =-\frac{du}{\cos \theta }$. Luego, aplicando la sustitución para la integral definida se tiene

\[\int_{1-\sin 0}^{1-\sin x}\frac{\cos \theta }{\sqrt{u}}\left (- \frac{du}{\cos \theta } \right )=-\int_{1}^{1-\sin x}u^{-\frac{1}{2}}\, du=-2\sqrt{u}\left.\begin{matrix} \\ \\ \end{matrix}\right|_{1}^{1-\sin x}\]

\[I=-2\sqrt{u}\left.\begin{matrix} \\ \\ \end{matrix}\right|_{1}^{1-\sin x}=-2\sqrt{1-\sin x}+2\]

Obteniendo así el mismo resultado, por lo que la sustitución de integrales definidas es valido tanto como hallar la integral indefinida y luego evaluar.

Método de integración por partes

Recordemos la regla del producto utilizando diferenciales

\[d[f(x)g(x)]=\left [f(x)g'(x)+g(x)f'(x) \right ]dx\]

Aplicando la integral indefinida en ambos miembros de la igualdad

\[f(x)g(x)=\int \left [f(x)g'(x)+g(x)f'(x) \right ]dx\]

Reordenando

\[\int f(x)g'(x)\, dx=f(x)g(x)-\int g(x)f'(x)\, dx\]

Para una notación mas cómoda se puede escribir $f(x)=u$ y $g(x)=v$, de manera que las diferenciales son $du=f'(x)dx$ y $dv=g'(x)dx$. Así entonces:

\[\int u\, dv=uv-\int v\, du\]

Esta fórmula permite determinar integrales de un producto de funciones donde no es posible aplicar el método de sustitución, de manera que una función hace el papel de $u$ y la otra de $dv$.

Ejemplos: Determine las siguientes integrales:

• $\int e^{2x}\sin (3x)\, dx$

Si se elige $u=\sin (3x)$ y $dv=e^{2x}\, dx$, se requiere conocer a $v$ y a $du$, por lo que integrando $dv$ y derivando $u$ elegidos se tiene $v=\frac{1}{2}e^{2x}$ y $du=3\cos (3x)\, dx$ respectivamente. Por lo tanto, aplicando la última fórmula se tiene

\[\int e^{2x}\sin (3x)\, dx=\sin (3x)\left ( \frac{1}{2}e^{2x} \right)-\int \left ( \frac{1}{2}e^{2x} \right)[3\cos (3x)]\, dx\]

\[I=\frac{1}{2}e^{2x}\sin (3x)-\frac{3}{2}\int e^{2x}\cos (3x)\, dx\]

Ahora se obtuvo la integral $\int e^{2x}\cos (3x)\, dx$, el cuál también puede resolverse por el método de por partes. Entonces, análogo a la elección anterior $u=\cos (3x)$ y $dv=e^{2x}\, dx$, se tiene que $v=\frac{1}{2}e^{2x}$ y $du=-3\sin (3x)\, dx$. Por lo tanto

\[\int e^{2x}\cos (3x)\, dx=\cos (3x)\left ( \frac{1}{2}e^{2x} \right )-\int \left ( \frac{1}{2}e^{2x} \right )[-3\sin (3x)]\, dx\]

Reemplazando en $I$:

\[I=\frac{1}{2}e^{2x}\sin (3x)-\frac{3}{2}\left [ \frac{1}{2}e^{2x}\cos (3x)+\frac{3}{2}\int e^{2x}\sin (3x)\, dx \right ]\]

Operando y ordenando:

 \[I=\frac{1}{2}e^{2x}\left [ \sin (3x)- \frac{3}{2}\cos (3x)\right ]-\frac{9}{4}\int e^{2x}\sin (3x)\, dx\]

Se sabe que $I=\int e^{2x}\sin (3x)\, dx$, por lo que

\[I=\frac{1}{2}e^{2x}\left [ \sin (3x)- \frac{3}{2}\cos (3x)\right ]-\frac{9}{4}I\]

\[\frac{13}{4}I=\frac{1}{2}e^{2x}\left [ \sin (3x)- \frac{3}{2}\cos (3x)\right ]\]

\[I=\frac{2}{13}e^{2x}\left [ \sin (3x)- \frac{3}{2}\cos (3x)\right ]+C\]

El objetivo del método es obtener una integral más sencilla que la inicial. Por ende la elección de $u$ y $dv$ depende de la complejidad de las funciones, de manera que una sea más sencilla de derivar y la otra, de integrar. Asimismo, se pueden presentar casos en los que el método se deba aplicar más de una vez como se realizó en el ejemplo.

• $\int \ln x\, dx$

En este caso se puede expresar el integrando como un producto entra la función constante "1" y el logaritmo natural. Entonces, se elige $u=\ln x$ y $dv=(1) dx$, de manera que $du=\frac{1}{x}\, dx$ y $v=x$. Por lo tanto, se tiene:

\[\int \ln x\, dx=x\ln x-\int x\left ( \frac{1}{x}\, dx \right )\]

\[I=x\ln x-x+C\]

• $\int \tan^{-1}x\, dx$

De forma similar al caso anterior, se elige $u=\tan^{-1}x$ y $dv=dx$, de manera que $du=\frac{dx}{1+x^{2}}$ y $v=x$. Por lo tanto, se tiene: 

 \[\int \tan^{-1}x\, dx=x\tan^{-1}x-\int \frac{x}{1+x^{2}}\, dx\]

Note que la integral $\int \frac{x}{1+x^{2}}\, dx$ es inmediata, pues mediante la tabla de antiderivadas se tiene que $\frac{\mathrm{d} }{\mathrm{d} x}\ln \left | u \right |=\frac{u'}{u}\rightarrow \int \frac{u'}{u}\, dx=\ln \left | u \right |$. Por lo tanto:

\[\int \frac{x}{1+x^{2}}\, dx=\frac{1}{2}\int \frac{2x}{1+x^{2}}\, dx=\frac{1}{2}\ln \left | 1+x^{2} \right |\] 

Entonces:

\[\int \tan^{-1}x\, dx=x\tan^{-1}x-\frac{1}{2}\ln \left | x^{2}+1 \right |+C\]

Este método también es aplicable en integrales definidas, donde los limites inferior y superior se evalúan luego de encontrar la integral indefinida.

Ejemplo: Evaluar $\int_{0}^{1/2}\sin^{-1}x\, dx$

Primero hallando la integral indefinida eligiendo $u=\sin^{-1}x$ y $dv=dx$, se tiene $du=\frac{dx}{\sqrt{1-x^{2}}}$ y $v=x$. Por lo tanto:

\[\int \sin^{-1}x\, dx=x\sin^{-1}x-\int \frac{x}{\sqrt{1-x^{2}}}\, dx\]

\[I=x\sin^{-1}x+\frac{1}{2}\int (-2x)(1-x^{2})^{-\frac{1}{2}}\, dx\]

\[I= x\sin^{-1}x+\sqrt{1-x^{2}}+C\]

Luego, aplicando los limites de integración se procede a evaluar la integral definida

\[\int_{0}^{1/2}\sin^{-1}x\, dx=(x\sin^{-1}x+\sqrt{1-x^{2}})\left.\begin{matrix} \\ \\ \end{matrix}\right|_{0}^{1/2}\]

\[\int_{0}^{1/2}\sin^{-1}x\, dx=\left ( \frac{1}{2} \right )\left ( \frac{\pi }{6} \right )+\sqrt{1-\frac{1}{4}}-1=\frac{\pi }{12}+\sqrt{\frac{3}{4}}-1\]

Integrales de funciones simétricas

Observe el gráfico siguiente

Intuitivamente, debido a la simetría se puede decir que el área bajo la curva en $[-a,a]$ para una función par es el doble del área en $[0,a]$, y la diferencia de áreas bajo la curva de una función impar es 0 en $[-a,a]$. Este cálculo simplifica la evaluación de integrales definidas cuyo integrando posee alguna simetría.

Ejemplo: Evaluar $\int_{-2}^{2}x(x^{2}+1)^{2}\, dx$

Analizando la simetría

\[f(-x)=(-x)[(-x)^{2}+1]^{2}=-[x(x^{2}+1)^{2}]=-f(x)\]

Dado que el integrando es una función impar, se tiene que $\int_{-2}^{2}x(x^{2}+1)^{2}\, dx=0$.

Algunas operaciones que pueden ayudar a determinar la simetría de una función pueden ser:

• Suponga $f(x)$ y $g(x)$ como funciones pares. La combinación $F(x)=f(x)\pm g(x)$ también es una función par.

Demostración: Si $F(-x)=f(-x)\pm g(-x)$, donde f y g son funciones pares, entonces $F(-x)=f(x)\pm g(x)$ y por tanto $F(x)=F(-x)$

• Suponga $f(x)$ y $g(x)$ como funciones impares. La combinación $F(x)=f(x)\pm g(x)$ también es una función impar.

Demostración: Si $F(-x)=f(-x)\pm g(-x)$, donde f y g son funciones impares, entonces $F(-x)=-[f(x)\pm g(x)]$ y por tanto $F(-x)=-F(x)$

• Sea $f(x)$ una función par y $g(x)$ una función impar. La combinación $F(x)=f(x)g(x)$ es una función impar. 

Demostración: Si $F(-x)=f(-x)g(-x)$, donde f es par y g es impar, entonces $F(-x)=f(x)[-g(x)]$ y por tanto $F(-x)=-F(x)$

• Sean $f(x)$ y $g(x)$ funciones pares, la combinación $F(x)=f(x)g(x)$ es una función par.

Demostración: Si $F(-x)=f(-x)g(-x)$, donde f y g son funciones pares, entonces $F(-x)=f(x)g(x)$ y por tanto $F(-x)=F(x)$

• Sean $f(x)$ y $g(x)$ funciones impares, la combinación $F(x)=f(x)g(x)$ es una función par.

Demostración: Si $F(-x)=f(-x)g(-x)$ donde f y g son impares, entonces $F(-x)=[-f(x)][-g(x)]$ y por tanto $F(-x)=F(x)$

Ejemplo: Evalúe $\int_{-L}^{L}\cos \left ( \frac{n\pi x}{L} \right )\sin \left ( \frac{m\pi x}{L} \right )\, dx$, donde m y n son enteros

Analizando la simetría de $f(x)=\cos \left ( \frac{n\pi x}{L} \right )$:

\[f(-x)=\cos \left [ \frac{n\pi (-x)}{L} \right ]=\cos \left ( \frac{n\pi x}{L} \right)=f(x)\]

Analizando la simetría de $g(x)=\sin \left ( \frac{m\pi x}{L} \right )$:

\[g(-x)=\sin \left [ \frac{n\pi (-x)}{L} \right ]=-\sin \left ( \frac{n\pi x}{L} \right)=-g(x)\]

Entonces, se tiene el producto de una función par por una función impar, sin importar el valor de m y n. De manera que:

\[\int_{-L}^{L}\cos \left ( \frac{n\pi x}{L} \right )\sin \left ( \frac{m\pi x}{L} \right )\, dx=0\]

Integrales de funciones vectoriales

La integral definida de una función vectorial continua $r(t)$ se puede definir de la misma manera que para las funciones de una variable real.

\[\int_{a}^{b}r(t)\, dt=\lim_{n\rightarrow \infty }\sum_{i=1}^{n}r(t_{i}^{*})\Delta t\]

Sin embargo, el resultado no es un número, sino un vector que representa el área o al diferencia de áreas bajo la curva de cada función componente. Es decir:

\[\int_{a}^{b}r(t)\, dt=\lim_{n\rightarrow \infty }\left [ \sum_{i=1}^{n}f(t_{i}^{*})\Delta t\, \mathbf{i}+\sum_{i=1}^{n}g(t_{i}^{*})\Delta t\, \mathbf{j}+\sum_{i=1}^{n}h(t_{i}^{*})\Delta t\, \mathbf{k} \right ]\]

Por lo tanto,

\[\int_{a}^{b}r(t)\, dt=\left ( \int_{a}^{b}f(t)\, dt \right )\mathbf{i}+\left ( \int_{a}^{b}g(t)\, dt \right )\mathbf{j}+\left ( \int_{a}^{b}h(t)\, dt \right )\mathbf{k}\]

Asimismo, el teorema fundamental del cálculo se extiende a estas funciones como sigue:

\[\int_{a}^{b}r(t)\, dt=R(t)\left.\begin{matrix} \\ \\ \end{matrix}\right|_{a}^{b}=R(b)-R(a)\]

Donde $R$ es una antiderivada de $r$, es decir, $R'(t)=r(t)$. Consecuentemente, la integral indefinida y los métodos estudiados se aplican de igual forma.

Ejemplo: Determine la integral $\int (e^{t}\mathbf{i}+\sin t\mathbf{j}+\cos t\mathbf{k})\, dt$

Integrando las funciones componentes se tiene

\[\int r(t)\, dt=[(e^{t}+C_{1})\mathbf{i}+(-\cos t+C_{2})\mathbf{j}+(\sin t+C_{3})\mathbf{k}]\]

Las constantes arbitrarias en cada función componente forman un vector como constante de integración:

\[\int r(t)\, dt=(e^{t}\mathbf{i}-\cos t\mathbf{j}+\sin t\mathbf{k})+(C_{1}\mathbf{i}+C_{2}\, \mathbf{j}+C_{3}\mathbf{k})\]

Este vector de constantes se lo puede denotar simplemente por $C$.

Ejercicios:

a) Halle las siguientes integrales aplicando el método más conveniente

1) $\int \sin x\cos x\, dx$

2) $\int \frac{x}{e^{x^{2}}}\, dx$

3) $\int \frac{dx}{x\ln x}$

4) $\int \frac{e^{2x}}{\sqrt{e^{x}+1}}\, dx$

5) $\int \frac{\ln x}{x^{2}}\, dx$

6) $\int \arccos x\, dx$

7) $\int (x^{2}+2x+1)\ln x\, dx$

8) $\int (e^{-t}\sin t\mathbf{i}+e^{-t}\cos t\mathbf{j})\, dt$

b) Evalúe las siguientes integrales definidas

1) $\int_{0 }^{x}\frac{\sqrt{t+1}}{t+2}\, dt$

2) $\int_{3 }^{x}\cos \sqrt{3t} \, dt$

3) $\int_{0 }^{\sqrt{5}}x\sqrt{1+3x^{2}} \, dx$

4) $\int_{-1}^{7}(\left | x-2 \right |-3) \, dx$

5) $\int_{4}^{9}\frac{(\sqrt{x}+3)^{2}}{2\sqrt{x}} \, dx$

6) $\int_{2}^{5}\frac{x-2}{\sqrt{x-1}} \, dx$

7) $\int_{-L}^{L}\cos \left ( \frac{n\pi x}{L} \right )\cos \left ( \frac{m\pi x}{L} \right )\, dx,m\neq n$, m y n son enteros

8) $\int_{0}^{3}\left \| t\mathbf{i}+t^{2}\mathbf{j} \right \|\, dt$

c) Sea $\small r'(t)=te^{-t^{2}}\mathbf{i}-e^{-t}\mathbf{j}+\mathbf{k}$ encuentre la primitiva $\small r(t)$ tal que $\small r(0)=\frac{1}{2}\mathbf{i}-\mathbf{j}+\mathbf{k}$

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