Variable compleja I

 Definición y aritmética del conjunto $\mathbb{C}$

A lo largo de la historia de las matemáticas, se han descubierto y desarrollado distintos tipos de números para abordar diversas situaciones y problemas.

• Los números naturales $\mathbb{N}$ surgieron como el primer conjunto, pues aparecen de forma natural al contar. Con estos números se pueden definir las operaciones básicas: suma, resta, multiplicación y división. Así entonces, aparecieron las primeras ecuaciones

\[ x+a=b;\, a,b\in \mathbb{N}\]

Sin embargo, esta ecuación no es posible resolver para cualquier natural. Por ejemplo:

\[ x+2=1\]

Esta ecuación no tiene solución en los números naturales debido a que no existe un número natural que al sumar 2 de 1. Por ende surge un segundo conjunto de números.

• Los números enteros $\mathbb{Z}$ incluyen los opuestos de los números naturales, los cuales se denotan con el signo "-". Así entonces, es posible resolver la ecuación del ejemplo anterior con el número entero -1 coincidiendo así con la operación opuesta a la suma, (la resta). Por tanto, gracias a estos números, ahora es posible generalizar la ecuación anterior a la forma

\[ x+a=b;\, a,b\in \mathbb{Z}\]

No obstante, veamos la siguiente ecuación de ejemplo

\[ 2x=1\]

observe que en los números enteros esta acuación no tiene solución, por lo que surge un tercer conjunto de números.

• Los números racionales $\mathbb{Q}$ se expresan como el cociente entre dos números enteros representando una fracción. De esta manera, es posible escribir un número de la forma a/b de modo que la solución a la ecuación anterior es 1/2, coincidiendo así con la operación opuesta a la multiplicación, (la división). Así entonces, es posible generalizar a dicha ecuación como sigue:

\[ a+bx=c;\, a,b,c\in \mathbb{Q} \wedge b\neq 0\]

Por otro lado, observe la siguiente ecuación:

\[x^{2}=2\]

Resulta evidente que no existe un número racional que sea solución. Por tanto, surge un cuarto conjunto de números. 

• Los números reales $\mathbb{R}$ surgieron motivados por razones mucho más profundas que simplemente resolver ecuaciones con potencias. Su origen se remonta al reconocimiento de que los números racionales constituyen un conjunto incompleto. Pues, a lo largo de la historia se descubrieron números que no pueden expresarse como la fracción de dos números enteros, entre ellos: $\pi,e,\sqrt{2},...$. Es así como surgieron los números irracionales $\mathbb{I}$, un conjunto que comprende números que comparten las mismas propiedades del resto de conjuntos numéricos. La inclusión de los números irracionales en el conjunto de los números reales permitió categorizar de manera integral a todos los números en esta amplia y significativa categoría.

Representación gráfica del conjunto de los números reales

Gracias a la inclusión de los números reales, es posible resolver cualquiera de las ecuaciones mostradas en los ejemplos anteriores. No obstante, veamos que sucede con la siguiente ecuación:

\[ x^{2}=-1\]

Después del descubrimiento de los números reales, muchos matemáticos consideraron que esta ecuación y sus variantes, escencialmente las ecuaciones cúbicas, son irresolubles y las evitaron por mucho tiempo. No obstante, para intentar resolverlas, se introdujo la idea del número $\sqrt{-1}$, el cual, después de varias formalizaciones, fue llamado número imaginario debido a su aparente naturaleza ficticia. Aunque esta solución inicialmente parecía incoherente, con el tiempo René descartes, Leonard Euler y otros matemáticos dieron un tratamiento más formal y coherente a estos números, y así surgió el conjunto de los números complejos $\mathbb{C}$.

Por ejemplo, resolvamos la ecuación cuadrática

\[x^{2}+2x+5=0\]

mediante la fórmula cuadrática se tiene

\[x=\frac{-2\pm\sqrt{4-20}}{2}=-1\pm\frac{\sqrt{-16}}{2}\]

aplicando propiedades de las raices se puede escribir:

\[x=-1\pm\frac{\sqrt{16}\sqrt{-1}}{2}=-1\pm 2\sqrt{-1}\]

Leonhard Euler introdujo el símbolo $i$ para denotar la raíz cuadrada de -1, de modo que las soluciones a la ecuación se pueden escribir como sigue:

\[x=-1\pm 2i\]

Resultados como este permitieron concluir que un número complejo se puede expresar en la forma cartesiana $z=a+bi$ siendo "a" la parte real y "b" la parte imaginaria, que a su vez es un número real. Debido a esto se puede decir que los números complejos son el conjunto más completo y último de todos los números descubiertos.

Representación gráfica del conjunto de los números complejos

El plano complejo

Es sabido que los números reales pueden ser representados en una recta numérica asi como las operaciones de suma, multiplicación o división. Sin embargo, representar geométricamente a un número complejo fue un enorme reto para los matemáticos. El contador suizo Jean Robert Argand partió de la siguiente idea:

Representación gráfica de la multiplicación de enteros en la recta numérica

Multiplicar un número positivo por sí mismo resulta en un valor positivo, lo que lo mantiene en la dirección positiva de la recta numérica. Por otro lado, al multiplicar un número por un valor negativo, el resultado es negativo, lo que genera un giro de 180 grados en dirección contraria. De esta forma, si multiplicamos un número negativo por sí mismo, el giro ubica al resultado en el lado positivo de la recta numérica. Así entonces, se puede concluir gráficamente que no existe un numéro real que, al multiplicarse por si mismo, dé como resultado un valor negativo. Sin embargo, a partir de la definición del número imaginario, Argand infiere que $i^{2}=-1$, de modo que se puede comparar con el gráfico de la operación $(-1)^{2}$, como sigue:

Representación gráfica de: (a) potencia de -1, (b) potencia de i

La multiplicación por -1 genera un giro de 180 grados, de modo que multiplicar sucesivamente por el mismo, implica dar giros de media vuelta en sentido antihorario. Análogamente, una multiplicación por $i$ implicaria un giro de 90 grados, debido a que si se multiplica dos veces por si mismo, se ejecutan dos barridos de un cuarto de vuelta en sentido antihorario obteniendo así el número -1. Estos giros nos llevan a la construcción del famoso plano de Argand, también conocido como el plano complejo. En este plano, los números reales se encuentran a lo largo del eje horizontal, mientras que los números imaginarios se sitúan a lo largo del eje vertical.

Representación geométrica de un número complejo en el plano de Argand, donde el eje horizontal se lo denomina eje real y el eje vertical se lo denomina eje imaginario

Aritmética de los números complejos

Mientras un número real es unidimensional, un número complejo tiene dos dimensiones, lo que es evidente en su representación en el plano de Argand, similar a representar un par ordenado en el plano cartesiano. Por lo que las operaciones de la suma, resta y multiplicación en los números complejos se pueden definir de la siguiente manera:

• Suma o resta: $(a+bi)\pm(c+di)=(a+c)\pm (b+d)i$
• Multiplicación: $(a+bi)(c+di)=ac+adi+bci+i^{2}bd=(ac-bd)+(ad+bc)i$

Note que estas definciones aplican las operaciones de la suma y multiplicación algebraica de los números reales. Por ende, las mismas heredan muchas de las propiedades de los números reales.

Específicamente, para cualquiera de los números complejos z,w,u:

• Conmutatividad de la suma: $z+w=w+z$
• Conmutatividad de la multiplicación: $zw=wz$
• Asociatividad de la suma: $z+(w+u)=(z+w)+u$
• Asociatividad de la multiplicación: $z(wu)=(zw)u$
• Distributividad: $z(w+u)=zw+zu$
• Elemento neutro para la suma: $z+0=0+z=z$
• Elemento neutro para la multiplicación: $z\cdot 1=1\cdot z=z$
• El inverso: $z\cdot z^{-1}=z \cdot \frac{1}{z}=1$

Por otro lado, dado que un par ordenado puede ser interpretado como un vector en los números reales, un número complejo puede ser interpretado como un vector en el plano complejo:

Número complejo como vector

• Módulo: $|z|=\sqrt{a^{2}+b^{2}}$
• Argumento: $\arg (z)=\tan^{-1}\left(\frac{b}{a} \right)+2n\pi,\, n \in\mathbb{Z}$
• Parte real: $\mathbb{R}e\left\{ z\right\}=a=|z|\cos \theta$
• Parte imaginaria: $\mathbb{I}m\left\{ z\right\}=b=|z|\sin \theta$
• Conjugado: $\bar{z}=a-bi$

El módulo representa la longitud del vector que conecta el origen con el punto que representa el número complejo "z", siendo análogo al valor absoluto de los números reales; el argumento es el ángulo (en radianes) que forma el vector "z" con respecto al eje real positivo y puede tomar multiples valores dados por el número de vueltas que se pueden barrer para llegar al mismo punto. No obstante, si "z=0", el argumento no está definido debido a que $\tan^{-1}(0/0) \nexists$. La parte real de "z" corresponde a su posición a lo largo del eje horizontal y la parte imaginaria corresponde a su posición a lo largo del eje vertical. Por último, el conjugado refleja simétricamente el número complejo original con respecto al eje real en el plano complejo. Esto significa que si el número complejo original está en la parte superior del plano, su conjugado estará en la parte inferior, y viceversa. Además, los módulos de un número complejo y su conjugado son iguales, pero sus argumentos tienen signos opuestos.

De acuerdo con estas caracteristicas, se pueden deducir las siguientes propiedades siendo "z" y "w" dos números complejos:

• $\bar{\bar{z}}=z$
• $\overline{z+w}=\bar{z}+\bar{w}$
• $\overline{zw}=(\bar{z})(\bar{w})$
• $|z|=|\bar{z}|$
• $|zw|=|z||w|$
• $|z^{-1}|=|z|^{-1}$
• $|z|^{2}=z\bar{z}$

Demostremos la quinta propiedad de la lista considerando que $z=a+bi$ y $w=c+di$ y partiendo del miembro izquierdo de la igualdad como sigue

\[|(a+bi)(c+di)|=|(ac-bd)+(ad+bc)i|=\sqrt{(ac-bd)^{2}+(ad+bc)^{2}}\]

\[\small \sqrt{(ac)^{2}-2acbd+(bd)^{2}+(ad)^{2}+2adbc+(bc)^{2}}=\sqrt{a^{2}(c^{2}+d^{2})+b^{2}(d^{2}+c^{2})}\]

\[\sqrt{(a^{2}+b^{2})(c^{2}+d^{2})}=\sqrt{a^{2}+b^{2}}\sqrt{c^{2}+d^{2}}=|z||w|\]

Asimismo, es posible demostrar de forma análoga el resto de propiedades, probando así que son válidas para las operaciones aritméticas de los números complejos. 

División de números complejos

Sean los números complejos $z=a+bi$ y $w=c+di$ donde $w\neq 0$, la división compleja se obtiene como sigue:

\[u=\frac{z}{w}=\frac{a+bi}{c+di}\left(\frac{c-di}{c-di}\right)=\frac{(ac+bd)+(bc-ad)i}{c^{2}+d^{2}}\]

\[u=\frac{ac+bd}{c^{2}+d^{2}}+\frac{bc-ad}{c^{2}+d^{2}}i\]

Multiplicando y dividiendo por el conjugado es posible racionalizar las raices cuadradas, de modo que es posible expresar el cociente "u" en su forma cartesiana.

Ejemplos: Resolver las siguientes operaciones:

• $z=(3-4i)(6+2i)$

Por definición del producto de números complejos se tiene:

\[z=18+6i-24i-8i^{2}=26-18i\]

• $z=\frac{2+i}{4-7i}$

Por división de números complejos se tiene:

\[z=\frac{2+i}{4-7i}\left(\frac{4+7i}{4+7i}\right)=\frac{8+18i-7}{16+49}\]

\[z=\frac{1+18i}{65}=\frac{1}{65}(1+18i)\]

• $z=(17-6i)(\overline{-4-12i})$

Por definición del conjugado:

\[z=(17-6i)(-4+12i)\]

y operando el producto de complejos directamente se tiene:

\[z=(-68+72)+(204+24)i=4+228i\]

• $\arg (i^{3}-4i^{2}+2)$

Operando las potencias de la raiz cuadrada de -1 se tiene

\[z=-i+4+2=6-i\]

de modo que el argumento es:

\[\arg (6-i)=-\tan^{-1} \left( \frac{1}{6}\right)+2n\pi\]

Notación polar y exponencial de un número complejo

Observe las siguientes potencias del número "i":

\[\begin{matrix}i^{1}=i&i^{5}=i^{4}\cdot i=i\\i^{2}=-1&i^{6}=i^{4}\cdot i^{2}=-1\\i^{3}=i^{2}\cdot i=-i&i^{7}=-i\\i^{4}=i^{2}\cdot i^{2}=1&i^{8}=1\\\end{matrix}\]

Nótese el patrón que forma cada 4 potencias, lo que nos permite resumirlo de la siguiente manera:

\[\begin{matrix}i^{4n}=1&i^{4n+1}=i&i^{4n+2}=-1&i^{4n+3}=-i\\\end{matrix}\]

donde "n" es un número natural distinto de 0.

Asimismo, es importante destacar que este patrón sigue los cuadrantes del plano de Argand, de modo que si se forma una circunferencia como se muestra en la figura, es posible expresar un número complejo "z" en coordenadas polares.

La circunferencia unitaria en el plano complejo 

• Radio: $r=|z|$
• Argumento principal: $\theta \in [-\pi, \pi]$
• Parte real: $\mathbb{R}e\left\{ z\right\}=r\cos \theta$
• Parte imaginaria: $\mathbb{I}m\left\{ z\right\}=r\sin \theta$
• Coordenada polar: $z=r(\cos \theta+i\sin \theta)$

Es muy comun denotar a la coordenada polar como $z=r\mathrm{cis}(\theta)$ con el objetivo de abreviar las funciones seno y coseno. Por otro lado, el argumento principal $\theta$, a diferencia de $\arg(z)$, no toma valores arbitrarios, sino valores en los que se define la función arcotangente o lo que también se denomina, su valor principal. Así entonces, a partir de la notación polar, puede escribirse lo siguiente.

\[z=r\left(\sum_{n=0}^{\infty}\frac{(-1)^{n}}{(2n)!}\theta^{2n}+i\sum_{n=0}^{\infty}\frac{(-1)^{n}\theta^{2n+1}}{(2n+1)!}\right)\]

Dado que la parte real e imaginaria pertenecen al conjunto de los números reales, es posible utilizar la representación en series de Taylor de las funciones trigonométricas, de modo que expandiendo las sumas se obtiene

\[z=r\left[1-\frac{\theta^{2}}{2}+\frac{\theta^{4}}{4!}-\frac{\theta^{6}}{6!}+...+i\left(\theta-\frac{\theta^{3}}{3!}+\frac{\theta^{5}}{5!}-\frac{\theta^{7}}{7!}+...\right)\right]\]

Luego, si hacemos que los signos se conviertan en potencias de "i", es posible expresar a "z" como una suma de la siguiente manera:

\[z=r\left[1+\frac{(\theta i)^{2}}{2}+\frac{(\theta i)^{4}}{4!}+\frac{(\theta i)^{6}}{6!}+...+\theta i+\frac{(\theta i)^{3}}{3!}+\frac{(\theta i)^{5}}{5!}+\frac{(\theta i)^{7}}{7!}+...\right]\]

reordenando los términos se concluye que

\[z=|z|\left[1+\frac{\theta i}{1!}+\frac{(\theta i)^{2}}{2!}+\frac{(\theta i)^{3}}{3!}+\frac{(\theta i)^{4}}{4!}+\frac{(\theta i)^{5}}{5!}+\frac{(\theta i)^{6}}{6!}+\frac{(\theta i)^{7}}{7!}+...\right]\]

\[z=|z|\sum_{n=0}^{\infty}\frac{(\theta i)^{n}}{n!}=|z|e^{i\theta}\]

siendo esta la notación exponencial de un número complejo, obteniendo igualmente la famosa identidad de Euler:

\[e^{i\theta}=\cos\theta+i\sin\theta \]

Con esta identidad se introducen operaciones que no son posibles en el conjunto de los números reales. Pues note que relaciona la función exponencial con las trigonométricas, lo que sugiere que la exponencial describe una circunferencia en el plano complejo.

La función exponencial conserva sus propiedades de los reales y permite derivar propiedades específicas de los complejos. Por ejemplo, considere dos números complejos "z" y "w":

• $z\cdot w=|z|e^{i\theta_{1}}|w|e^{i\theta_{2}}=|z||w|e^{i(\theta_{1}+\theta_{2})}=r_{z}r_{w}\mathrm{cis}(\theta_{1}+\theta_{2})$
• $\frac{z}{w}=\frac{|z|e^{i\theta_{1}}}{|w|e^{i\theta_{2}}}=\frac{|z|}{|w|}e^{i(\theta_{1}-\theta_{2})}=\frac{r_{z}}{r_{w}}\mathrm{cis}(\theta_{1}-\theta_{2})$
• $z^{n}=|z|^{n}(e^{i\theta})^{n}=|z|^{n}e^{in\theta}=(r_{z})^{n}\mathrm{cis}(n\theta)$

La última propiedad es conocida como el teorema de Moivre.

Ejemplos: Escriba los siguientes números en notación polar:

• $z=-2+2i$

Dado que el número complejo se ubica en el segundo cuadrante, graficarlo en el plano puede facilitar la transformación de coordenadas

El procedimiento es análogo a la transformaciónde puntos a coordenadas polares en los reales, lo que resulta en $z=2\sqrt{2}\mathrm{cis}\left(\frac{3\pi}{4} \right)$

• $z=5-2i$

El número se ubica en el cuarto cuadrante, por lo que a simple inspección, sin la necesidad de un gráfico se tiene:

\[\theta=\tan^{-1}\left(-\frac{2}{5}\right)=-\tan^{-1}\left(\frac{2}{5}\right)\]

\[r=\sqrt{25+4}=\sqrt{29}\]

\[z=\sqrt{29}\mathrm{cis}\left[-\tan^{-1}\left(\frac{2}{5}\right)\right]\]

• $z=8+i$

El número se ubica en el primer cuadrante, por lo que se opera de forma similar al ejercicio anterior

\[\theta=\tan^{-1}\left(\frac{1}{8}\right),\:r=\sqrt{65}\]

\[z=\sqrt{65}\mathrm{cis}\left[\tan^{-1}\left(\frac{1}{8}\right)\right]\]

Ejemplo práctico: Usando notación polar, reducir y expresar en su forma cartesiana el resultado de:

\[w=\left(\frac{2+2i}{\sqrt{3}-i}\right)^{6}\left(\frac{-3+\sqrt{3}i}{-\sqrt{2}-\sqrt{2}i}\right)^{8}\]

Por simple inspección, los números complejos cuya parte real es positiva, se ubican en el primer y cuarto cuadrante del plano complejo. Para dichos números, resulta sencillo obtener su transformación polar como sigue:

\[ \theta_{2+2i}=\frac{\pi}{4},\:|2+2i|=2\sqrt{2}\]

\[2+2i=2\sqrt{2}\mathrm{cis}\left(\frac{\pi}{4}\right)\]

\[\theta_{\sqrt{3}-i}=-\frac{\pi}{6},\:|\sqrt{3}-i|=2\]

\[\sqrt{3}-i=2\mathrm{cis}\left(-\frac{\pi}{6}\right)\]

Por otro lado, para los complejos ubicados en el segundo y tercer cuadrante, conviene utilizar un gráfico para ubicar correctamente los argumentos.

Por tanto:

\[-3+\sqrt{3}i=2\sqrt{3}\mathrm{cis}\left(\frac{5\pi}{6}\right)\]

\[-\sqrt{2}-\sqrt{2}i=2\mathrm{cis}\left(-\frac{3\pi}{4}\right)\]

De este modo se procede a operar "w" mediante las propiedades de la notación polar y por el teorema de Moivre.

\[w=\left[\frac{2\sqrt{2}\mathrm{cis}\left(\frac{\pi}{4}\right)}{2\mathrm{cis}\left(-\frac{\pi}{6}\right)}\right]^{6}\left[\frac{2\sqrt{3}\mathrm{cis}\left(\frac{5\pi}{6}\right)}{2\mathrm{cis}\left(-\frac{3\pi}{4}\right)}\right]^{8}\]

\[w=\left[\frac{2^{3}\mathrm{cis}\left(\frac{3\pi}{2}\right)}{\mathrm{cis}(-\pi)}\right]\left[\frac{3^{4}\mathrm{cis}\left(\frac{20\pi}{3}\right)}{\mathrm{cis}(-6\pi)}\right]\]

\[w=\left[2^{3}\mathrm{cis}\left(\frac{5\pi}{2}\right)\right]\left[3^{4}\mathrm{cis}\left(\frac{38\pi}{3}\right)\right]=2^{3}3^{4}\mathrm{cis}\left(\frac{91\pi}{6}\right)\]

\[w=2^{3}3^{4}\left[\cos\left(\frac{91\pi}{6}\right)+i\sin\left(\frac{91\pi}{6}\right)\right]\]

Para calcular el coseno y seno del ángulo obtenido se puede restar cuantas veces se pueda por $2\pi$ con el objetivo de obtener un ángulo notable conocido. Por ejemplo, si se resta 7 veces se tiene

\[w=2^{3}3^{4}\left[\cos\left(\frac{7\pi}{6}+14\pi\right)+i\sin\left(\frac{7\pi}{6}+14\pi\right)\right]\]

De modo que es más fácil obtener el seno y el coseno de $\frac{7\pi}{6}$ con ayuda de la circunferencia trigonométrica:

Ubicación del argumento en la circunferencia trigonométrica

Recuerde que los múltiplos de $2\pi$ ya no se tomaria en cuenta debido al periodo de las funciones seno y coseno, y por tanto:

\[w=2^{3}3^{4}\left(-\frac{\sqrt{3}}{2}-i\frac{1}{2}\right)=-324(\sqrt{3}+i)\]

Puede comprobar el cálculo utilizando las identidades de la suma y resta de dos ángulos, las cuales pueden utilizarse como alternativa para calcular el seno y coseno de los argumentos obtenidos.

\[\cos\left(\frac{7\pi}{6}+14\pi\right)=\cos\left(\frac{7\pi}{6}\right)\cos(14\pi)-\sin\left(\frac{7\pi}{6}\right)\sin(14\pi)=-\frac{\sqrt{3}}{2}\]

\[\sin\left(\frac{7\pi}{6}+14\pi\right)=\sin\left(\frac{7\pi}{6}\right)\cos(14\pi)+\cos\left(\frac{7\pi}{6}\right)\sin(14\pi)=-\frac{1}{2}\]

Ejercicios:

a) En cada problema lleve a cabo el cálculo indicado

1) $i(6-2i)+|1+i|$

2) $\frac{(2+i)-(3-4i)}{(5-i)(3+i)}$

3) $\left| \frac{3i}{-4+8i}\right|$

4) $\left( \frac{-6+2i}{1-8i} \right)^{2}$

5) $\mathbb{R}e\left\{(a+ib)^{2}\right\}$

6) $\mathbb{I}m\left\{(a+ib)^{2}-i(a+ib)+1\right\}$

7) $\arg(-3+2i)$

8) Demuestre que $\mathbb{R}e\left\{ iz\right\}=-\mathbb{I}m\left\{z\right\}$ e $\mathbb{I}m\left\{iz\right\}=\mathbb{R}e\left\{ z\right\}$

b) En cada problema, escriba el número complejo en forma polar

1) $-7i$

2) $-12+3i$

3) $-4$

4) $-4-i$

5) Exprese en notación exponencial el resultado de $\left(\frac{1}{3} -\frac{i}{3}\right)^{8}(\sqrt{3}+3i)^{6}$

6) Exprese en notación exponencial el resultado de $\left( \frac{-2+2i}{-3+\sqrt{3}i} \right)^{-5}(1+\sqrt{3}i)^{4}$

7) Si z1 y z2 son dos números complejos, verifique la igualdad: $|z_{1}-z_{2}|=|z_{2}|-|z_{1}|$