Combinación de funciones multivariables y curvas de nivel
Combinación de funciones multivariables
Así como en funciones de una variable, combinar dos o más funciones de
"n" variables implica realizar las operaciones: suma, resta,
multiplicación y división. El dominio para las tres primeras operaciones
es la intersección de los dominios individuales de cada función y el de la
última, el que evite la división por 0.
Ejemplo: Sean las funciones: $f(x,y)=\sqrt{x},\: g(x,y)=\sqrt{y}$,
calcular las combinaciones $f+g,\,
f-g,\, fg,\, f/g$
y sus dominios
El dominio de f y g se dará por
\[Df=\left\{ \begin{bmatrix}x \\y\end{bmatrix}\in \mathbb{R}^{2}/x\geq 0
\right\}\]
\[Dg=\left\{ \begin{bmatrix}x \\y\end{bmatrix}\in \mathbb{R}^{2}/y\geq 0
\right\}\]
Ahora calculando las operaciones $f+g,\ f-g$ y $fg$
se tiene:
\[(f+g)(x,y)=\sqrt{x}+\sqrt{y}\]
\[(f-g)(x,y)=\sqrt{x}-\sqrt{y}\]
\[(fg)(x,y)=\sqrt{x}\sqrt{y}\]
Evidentemente el dominio de estas combinaciones será:
\[D=\left\{\begin{bmatrix}x \\y\end{bmatrix}\in \mathbb{R}^{2}/x\geq
0\wedge y\geq 0 \right\}\]
No obstante, veamos que pasa al operar el producto fg
\[(fg)(x,y)=\sqrt{xy}=h(x,y)\]
el dominio sería:
\[Dh(x,y)=\left\{\begin{bmatrix}x \\y\end{bmatrix}\in \mathbb{R}^{2}/xy\geq
0 \right\}\]
el cuál acepta valores negativos de las variables independientes. Sin
embargo, las funciones f y g no admiten dichos valores, por lo que no se
puede decir que este es el dominio del producto. Por ende, se debe tener
cuidado en el análisis del dominio cuando se desea operar o simplificar
las operaciones.
Ahora para $f/g$:
\[\left ( \frac{f}{g} \right
)(x,y)=\frac{\sqrt{x}}{\sqrt{y}}=\sqrt{\frac{x}{y}}\]
\[D(f/g)=\left\{\begin{bmatrix}x \\y\end{bmatrix}\in
\mathbb{R}^{2}/x\geq 0\wedge y> 0 \right\}\]
A pesar que se operó la raíz, se tuvo el mismo cuidado de considerar el
dominio de las funciones f y g. Pues, si no se hubieran considerado, se
obtendría que f y g también acepta valores negativos.
Ejemplo práctico: Calcular el dominio de la función $f(x,y)=\sqrt{\frac{4-x^{2}-y^{2}}{4-x^{2}-4y^{2}}}$
Aveces no resulta evidente la forma del dominio, por lo que es
necesario analizar si las condiciones se cumplen en las diferentes
secciones de las regiones. En este caso se tiene:
\[\frac{4-x^{2}-y^{2}}{4-x^{2}-4y^{2}}\geq 0\]
\[x^{2}+y^{2}= 2^{2}, \: \frac{x^{2}}{4}+y^{2} =1\]
Graficando ambas curvas se puede observar lo siguiente:
|
| En P1 y P3 la desigualdad se cumple, pero en P2 no |
De acuerdo con los puntos que satisfacen la desigualdad se puede
inferir que las regiones serán
|
| El denominador de f no puede ser 0, por lo que el borde de la elipse no es parte del dominio |
Por tanto el domino es:
\[D=\left\{\begin{bmatrix}x \\y\end{bmatrix}\in
\mathbb{R}^{2}/x^{2}+y^{2}\geq 4 \wedge \frac{x^{2}}{4}+y^{2} < 1
\right\}\]
Composición de funciones multivariables
Consideremos la siguiente situación: una partícula sigue una
trayectoria arbitraria en el espacio descrita por la función vectorial $r(t)=x(t)\textbf{i}+y(t)\textbf{j}+z(t)\textbf{k}$. Una magnitud física que puede variar de acuerdo a su posición es la
energia potencial. Pues en mecánica clásica de una dimensión, se
sabe que depende de una altura "h" o distancia "x" de un cuerpo con
respecto a un centro de fuerzas. De esta manera, la energia potencial de
la partícula se convierte en una función de sus coordenadas $U(x,y,z)$ donde $x=x(t),\, y=y(t)$ y $z=z(t)$. Ésta es una función compuesta que resulta finalmente una función de una
sola variable independiente, (el tiempo, en este caso), y tiene como dominio
todos los valores de $t$
permitidos por la composición.
Ahora pasemos a otra situación: si $f$
es una función de una variable y $g$
es una función de "n" variables, la composción resulta
\[(f\circ g)(X)=f(g(X)), \, X\in R^{n}\]
Esta composición actúa de forma semejante a la de funciones de una
variable independiente, de manera que puede ayudar con el cálculo de
límites o con el análisis de continuidad.
Por supuesto hay otras combinaciones posibles para formar diferentes
composiciones de funciones multivariables, las cuales podemos
generalizarlas como:
\[F(X);\: X=\begin{bmatrix}x_{1}(t_{1},t_{2},...t_{n})
\\x_{2}(t_{1},t_{2},...t_{m}) \\\vdots \\x_{p}(t_{1},t_{2},...t_{q})
\\\end{bmatrix}\]
Note que el n-vector "X" tiene funciones componentes que no
necesariamente dependen de la misma cantidad de variables.
Curvas de nivel
Específicamente para las funciones de dos variables, las
curvas de nivel o líneas de contorno son una segunda manera de
representación gráfica. Pues resultan de la proyección de las curvas
intersección de la superficie $f(x,y)$
con la familia de planos $z=k$ en el plano XY. En otras palabras, es como "escanear" a la superficie y
obtener su forma en 2 dimensiones.
Ejemplo: Trace las curvas de nivel de la función $f(x,y)=\frac{x}{x^{2}+y^{2}}$ para $k=\pm \frac{1}{2},\pm 1,\pm \frac{3}{2},\pm 2$
Para obtener las curvas resultantes de la intersección de los planos $z=k$ con la función, se realiza el reemplazo $z=f(x,y)$
como sigue
\[\frac{x}{x^{2}+y^{2}}=z=k\]
\[x=kx^{2}+ky^{2}\]
\[x^{2}-\frac{x}{k}+y^{2}=0\]
\[\left ( x-\frac{1}{2k} \right )^{2}+y^{2}=\frac{1}{4k^{2}}\]
\[\left ( x-\frac{1}{2k} \right )^{2}+y^{2}=\left ( \frac{1}{2k} \right
)^{2}\]
Note que se obtuvo una familia de circunferencias con centro
en $\left ( \frac{1}{2k},0 \right )$ y radio
$\frac{1}{2k}$. Por tanto, reemplazando en los valores dados de "k" se grafican las
circunferencias correspondientes
Ahora si deseamos conocer la forma de la superficie, ubiquemos las alturas
en los valores de "k" dados y sobre ellas graficar las circunferencias que
les corresponden.
|
| La superficie es aguda donde las curvas de nivel son cercanas entre sí y es un poco más plana donde están más separadas |
Este comportamiento de las curvas de nivel se cumple para cualquier otra
función de dos variables si "k" avanza en orden progresivo y a pasos constantes.
Ejemplo práctico: Identifique el dominio y dibuje un mapa de contorno de la
función $f(x,y)=\frac{1}{\ln (4-|x|-|y|)}$ que muestre varias curvas de nivel
Note que f tiene valores absolutos, por lo que es necesario reescribirla como sigue:
\[f(x,y)=\begin{cases}\frac{1}{\ln (4-x-y)} & \text{ Si } (x, y) \geq
(0,0) \\ \frac{1}{\ln (4+x-y)} & \text{ Si } x< 0,y\geq 0 \\
\frac{1}{\ln (4-x+y)} & \text{ Si } x\geq 0,y< 0 \\ \frac{1}{\ln
(4+x+y)} & \text{ Si } (x, y) < (0,0) \end{cases}\]
La definción de la
función en valor absoluto
se aplica a "x" y a "y" obteniendo 4 condiciones, correspondientes a los
cuadrantes del plano XY. De esta manera se tienen cuatro casos donde se deben analizar 2
restricciones:
- Para $\frac{1}{\ln(4-x-y)}$
\[4-x-y> 0\rightarrow y< 4-x\]
\[\ln(4-x-y)\neq 0\rightarrow x+y\neq 3\]
- Para $\frac{1}{\ln(4+x-y)}$
\[4+x-y> 0\rightarrow y< x+4\]
\[\ln(4+x-y)\neq 0\rightarrow y-x\neq 3\]
- Para $\frac{1}{\ln(4-x+y)}$
\[4-x+y> 0\rightarrow y> x-4\]
\[\ln(4-x+y)\neq 0\rightarrow x-y\neq 3\]
- Para $\frac{1}{\ln(4+x+y)}$
\[4+x+y> 0\rightarrow y> -x-4\]
\[\ln(4+x+y)\neq 0\rightarrow x+y\neq -3\]
En este caso conviene representar el dominio de forma gráfica debido a la
cantidad de condiciones presentes
Ahora para las curvas de nivel se tiene que
\[\frac{1}{\ln (4-|x|-|y|)}=k\]
\[1=k\ln (4-|x|-|y|)\]
\[e^{\frac{1}{k}}=4-|x|-|y|\]
\[|x|+|y|=4-e^{\frac{1}{k}}\]
reescribiendo por definición de la función en valor absoluto:
\[\begin{cases}y=-x+(4-e^{1/k}) & \text{ Si } (x, y) \geq (0,0) \\
y=x+(4-e^{1/k}) & \text{ Si } x< 0,y\geq 0 \\ y=x-(4-e^{1/k}) &
\text{ Si } x\geq 0,y< 0 \\ y=-x-(4-e^{1/k}) & \text{ Si } (x, y)
< (0,0) \end{cases}\]
se obtiene así una familia de rectas repartidas en los cuatro cuadrantes
del plano XY.
Así entonces, para cuatro valores de "k" se tiene el siguiente mapa de
contorno
Los mapas de contorno suelen usarse para representar regiones de la
superficie de la tierra, donde las curvas de nivel representan la altura
sobre el nivel del mar.
Ejercicios:
a) Para las funciones dadas, realice las operaciones: f+g, f-g, fg y f/g, simplifique si es posible, determine y grafique el dominio de las combinaciones.
1) $f(x,y)=x+y$,
$g(x,y)=xy$
2) $f(x,y)=\sqrt{y-x}$, $g(x,y)=\ln (y+x)$
3) $f(x,y)=\sqrt{x^{2}+y^{2}-1}$, $g(x,y)=\sin (xy) $
4) $f(x,y)=\ln
(4-x-y)$, $g(x,y)=\ln (xy-6)$. Halle el dominio de las combinaciones sin considerar el de f y
g.
b) Encuentre el dominio y trace al menos 6 curvas de nivel para las siguientes funciones.
1) $f(x,y)=\frac{x}{y}$
2) $f(x,y)=e^{\frac{1}{x^{2}+y^{2}}}$
3) $f(x,y)=x+y$
4) $f(x,y)=y-\cos
x$
5) $f(x,y)=\frac{1}{1+x^{2}+y^{2}}$
0 Comentarios