Funciones de una variable I

Definición de una función, dominio y rango

En cálculo, básicamente una función se define como una regla que asocia cada elemento de un conjunto A un solo elemento de un conjunto B. Se podría interpretar como una caja negra donde puede ingresar un número y salir otro.

Todos los temas que se abarcarán involucrará funciones de una variable independiente como: funciones reales de variable real, funciones vectoriales y sucesiones. Para dar una idea de estas funciones, el siguiente gráfico muestra como estos asocian los elementos de sus conjuntos A y B.

Para el caso de la función real, el conjunto A consta de elementos que se los representa comúnmente con una "x", los del conjunto B, por "f(x)", y ambos pertenecen a los números reales. Por otro lado para la función vectorial, el conjunto A contiene elementos que se lo representa comúnmente con una "t", esta representa a un numero real que se lo denomina parámetro. No obstante su conjunto B consta de elementos que se los representa por "r(t)" y pertenece a los vectores los cuales pueden ser de 2 o 3 componentes las cuales se los denominan funciones componentes (f(t), g(t) y/o h(t)). Por último, en las sucesiones, los elementos del conjunto A se los representa con una "n" y pertenecen a los números naturales y los del conjunto B pueden ser de naturaleza distinta o igualmente pueden ser naturales, por lo que se denotan como a_n

Dominio y rango de una función:

Con ayuda del esquema mostrado anteriormente, se puede visualizar al conjunto A como el dominio de la función y el símbolo que representa cada uno de sus elementos se lo llama variable independiente (x, t ó n). Por otro lado el conjunto B se lo llama rango o recorrido de la función y el símbolo que representa sus elementos se denomina variable dependiente (f(x), r(t) ó a_n). A continuación podemos ilustrar algunos ejemplos: 

Estudio del dominio de una función:

Tomaremos el siguiente ejemplo:

Para estudiar el conjunto del dominio se deben analizar los elementos que tienen imagen, es decir, los que se asocian con algún elemento del rango. En este caso se puede observar que todos los elementos de A se asocian con algún elemento de B. Entonces podemos anotar los elementos del dominio con notación de conjuntos de la siguiente manera:

\[Df=\left \{ x\mid x\epsilon A \right \}\]

Así entonces, se expresa el dominio de la función. Existen mas formas de expresar el dominio. Si nos fijamos la asociación, se tiene el cuadrado de cada elemento por lo que podemos representar a la función dada como:

\[f(x)=x^{2}\]

En este caso x puede ser cualquier valor real y no se presentan restricciones por lo que el estudio de su dominio se denotaría por:

\[Df(x)=\mathbb{R}\]

Esto significa que el dominio de la función dada pertenece a todos los reales.

Otro ejemplo más particular es la función:

\[f(x)=\sqrt{x^{2}-1}\]

En este caso, no todos los elementos del dominio presentan imagen, y es que el valor dentro de una raíz de índice par siempre debe ser positivo incluido el cero por lo que la restricción se deduce por la siguiente inecuación de segundo grado:

\[x^{2}-1\geq 0\]

Debe recordar que para resolver una desigualdad cuadrática se procede como una ecuación normal. Sin embargo se debe evaluar la inecuación en los posibles resultados y verificar cual intervalo la satisface. Es útil, en este caso usar una recta numérica como se muestra a continuación.

\[x^{2}-1\geq 0\]

\[x^{2}\geq 1\]

\[x\geq \pm 1\]

Observe que la gráfica señala el intervalo donde se satisface la inecuación. Por lo tanto el dominio de la función será este intervalo el cual se denotará como:

\[D=(-\infty,-1]\cup [1,\infty)\]

Recuerde, el corchete describe un conjunto cerrado, el paréntesis un conjunto abierto y U la unión.

Otro caso mas o menos similar es la función:

\[f(x)=\frac{1}{\sqrt{x}}\]

Aquí se combina la restricción mencionada anteriormente con otra, pues no existe la división entre cero, obteniendo:

\[x> 0\]

Puede usar la notación de intervalos como en el caso anterior para denotar el dominio. Sin embargo esto también podría expresarse como:

\[D=\mathbb{R}^{+}\]

Esto significa que el dominio se define para cualquier número real estrictamente positivo sin incluir el cero.

Ejemplo 3:

\[r(t)=\left \langle \ln (t+1),\frac{1}{t},\sec (t) \right \rangle\]

En este caso al tratarse de una función vectorial se debe encontrar el dominio en común entre las funciones componentes o en otras palabras, la Intersección de los dominios individuales, por lo que se procede a estudiar el dominio de cada función componente:

Para f(t): Recordando que no existe el logaritmo de cero o un número negativo se obtiene el dominio de f(t) como sigue:

\[t+1> 0\]

\[t> -1\]

\[Df(t)=(-1,\infty )\]

Para g(t): No existe la división entre cero por lo que el dominio directamente se denota por:

\[Dg(t)=\mathbb{R}-\left \{ 0 \right \}\]

Para h(t): Utilizando la identidad trigonométrica de la secante, se tiene una estructura similar a g(t), obteniendo:

\[\sec (t)=\frac{1}{\cos (t)}\]

Para analizar la restricción se debe resolver la ecuación trigonométrica resultante. Considerando que este tipo de ecuaciones tienen infinitas soluciones, se tiene:

\[cos (t)=0\]

\[t=\frac{\pi }{2}(2n-1)/n\epsilon \mathbb{Z}\]

\[Dh(t)=\mathbb{R}-\left \{ \frac{\pi }{2}(2n-1)/n\epsilon \mathbb{Z} \right \}\]

Esta expresión señala la inclusión de los valores de: {...,-3π/2,-π/2,π/2,3π/2,... } ya que "n" puede ser cualquier número entero. Entonces, analizando la intersección de los dominios por simple inspección, se tiene que el dominio de r(t) se dará por:

\[Dr(t)=\left \{ t\epsilon \mathbb{R} \mid t> -1,t\neq 0\wedge \frac{\pi }{2}(2n+1)/n\epsilon \mathbb{N} \right \}\]

En este caso la notación por extensión de conjuntos resulta útil para expresar fácilmente el dominio. Note que los valores de t deben ser mayores que -1 por lo que la expresión que comparte el dominio de h(t) tuvo que ser cambiada para que cumpla el intervalo de manera que solo contenga los valores de {π/2,3π/2,5π/2,7π/2...}, por lo que "n" ahora pertenece a los números naturales.

También se puede usar una recta numérica para un análisis mas sencillo de la intersección de los dominios de las funciones componentes:

Ejercicios:

a) Dados los elementos del dominio y rango de una función, deduzca la operación que realiza dicha función de acuerdo a la asociación observada:

b) Estudiar el dominio de las siguientes funciones:

1) $f(x)=x^{2}+2x-1$

2) $f(x)=\frac{x+1}{x^{2}+3x-4}$

3) $f(x)=\sqrt[3]{x-1}$

4) $f(x)=\ln \left ( 1-5x \right )$

5) $r(t)=\left \langle \frac{5}{t^{2}-4},\sqrt{t},t^{2} \right \rangle$

6) $r(t)=\left \langle t,\frac{1}{t^{2}},\sqrt{t^{2}-9} \right \rangle$

7) $r(t)=\left \langle \sqrt{t^{2}-2t+1},t,2^{^{t}} \right \rangle$

8) $r(t)=\left \langle \tan (t),\frac{1}{(t+\frac{\pi }{2})^{2}},10t \right \rangle$

Soluciones de los ejercicios.