Distancia entre puntos, planos y rectas
Distancia entre dos puntos
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| La distancia "d" se proyecta en el plano XY de manera que forma la hipotenusa "dp" de un triángulo rectángulo apoyado en dicho plano y a su vez forma el cateto de un triángulo rectángulo en el espacio |
\[dp^{2}=(x_{2}-x_{1})^{2}+(y_{2}-y_{1})^{2}\]
Para el triángulo en el espacio:
\[d^{2}=dp^{2}+(z_{2}-z_{1})^{2}\]
Reemplazando la primera ecuación en la segunda se tiene:
\[d^{2}=(x_{2}-x_{1})^{2}+(y_{2}-y_{1})^{2}+(z_{2}-z_{1})^{2}\]
\[d=\sqrt{(x_{2}-x_{1})^{2}+(y_{2}-y_{1})^{2}+(z_{2}-z_{1})^{2}}\]
Siendo esta la expresión para hallar la distancia entre dos puntos en el
espacio.
Ejemplo: Demuestre que el triángulo con vértices A(-2,4,0), B(1,2,-1) y
C(-1,1,2) es un triángulo equilátero.
Graficar el problema puede ayudar a realizar el análisis
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| Si el triángulo formado es equilátero, todos los lados deben ser iguales |
Lado AB:
\[AB=\sqrt{(1+2)^{2}+(2-4)^{2}+(-1-0)^{2}}=\sqrt{9+4+1}\]
\[AB=\sqrt{14}\]
Lado AC:
\[AC=\sqrt{(-1+2)^{2}+(1-4)^{2}+(2-0)^{2}}=\sqrt{1+9+4}\]
\[AC=\sqrt{14}\]
Lado BC:
\[BC=\sqrt{(-1-1)^{2}+(1-2)^{2}+(2+1)^{2}}=\sqrt{4+1+9}\]
\[BC=\sqrt{14}\]
Como AB=AC=BC, queda demostrado que el triángulo formado por los
puntos A,B y C es equilátero.
Punto medio de un segmento de recta
Observe la primera figura mostrada anteriormente y tomando la mitad
de la distancia "d" se tiene
\[\frac{d}{2}=\frac{\sqrt{(x_{2}-x_{1})^{2}+(y_{2}-y_{1})^{2}+(z_{2}-z_{1})^{2}}}{2}\]
Supongamos el punto medio entre $P_{1}$ y $P_{2}$
con coordenadas $M(M_{x},M_{y},M{z})$. La distancia de M hacia cualquiera de los puntos es
\[\overline{MP}=\sqrt{(P_{x}-M_{x})^{2}+(P_{y}-M_{y})^{2}+(P_{z}-M_{z})^{2}}=\frac{d}{2}\]
Por tanto se tiene la siguiente identidad
\[\small
\sqrt{(P_{x}-M_{x})^{2}+(P_{y}-M_{y})^{2}+(P_{z}-M_{z})^{2}}=\frac{\sqrt{(x_{2}-x_{1})^{2}+(y_{2}-y_{1})^{2}+(z_{2}-z_{1})^{2}}}{2}\]
De esta manera, para que la igualdad se cumpla, cada término de la
suma de ambos miembros deben ser iguales, es decir:
\[\small \left\{\begin{matrix}
(P_{x}-M_{x})^{2}=\frac{(x_{2}-x_{1})^{2}}{4}\\
(P_{y}-M_{y})^{2}=\frac{(y_{2}-y_{1})^{2}}{4}\\
(P_{z}-M_{z})^{2}=\frac{(z_{2}-z_{1})^{2}}{4}
\end{matrix}\right.\Rightarrow \left\{\begin{matrix}
P_{x}-M_{x}=\frac{x_{2}-x_{1}}{2}\\
P_{y}-M_{y}=\frac{y_{2}-y_{1}}{2}\\ P_{z}-M_{z}=\frac{z_{2}-z_{1}}{2}
\end{matrix}\right.\]
Cabe mencionar que si bien la distancia de "M" a cualquiera de los
puntos "P" es la misma, el sentido no lo es. Si se toma a $P_{1}$ como punto de partida se tiene:
\[\left\{\begin{matrix} x_{2}-M_{x}=\frac{x_{2}-x_{1}}{2}\\
y_{2}-M_{y}=\frac{y_{2}-y_{1}}{2}\\ z_{2}-M_{z}=\frac{z_{2}-z_{1}}{2}
\end{matrix}\right.\]
pero si se toma a $P_{2}$ como punto de partida, la expresión cambia a
\[\left\{\begin{matrix} x_{1}-M_{x}=\frac{x_{1}-x_{2}}{2}\\
y_{2}-M_{y}=\frac{y_{1}-y_{2}}{2}\\ z_{1}-M_{z}=\frac{z_{1}-z_{2}}{2}
\end{matrix}\right.\]
Sin embargo, en cualquiera de los casos, despejando los componentes
del punto medio "M" se cumple que:
\[M\left (
\frac{x_{1}+x_{2}}{2},\frac{y_{1}+y_{2}}{2},\frac{z_{1}+z_{2}}{2}
\right )\]
siendo esta la fórmula para hallar el
punto medio de un segmento de recta comprendido entre dos
puntos.
Distancia de un punto a una recta
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| La distancia "D" que se mide del punto P a la recta L es la mínima, la cuál corresponde a la perpendicular trazada desde la recta al punto. Note que la distancia se expresa en coordenadas polares |
\[\left \| \vec{u}\times \overrightarrow{AP} \right \|=\left \|
\vec{u} \right \|\left \| \overrightarrow{AP} \right \|\sin
\theta\]
\[\left \| \overrightarrow{AP} \right \|\sin \theta =\frac{\left \|
\vec{u}\times \overrightarrow{AP} \right \|}{\left \| \vec{u} \right
\|}\]
Reemplazando en D se tiene que la distancia del punto P a la recta L
se da por:
\[D=\frac{\left \| \vec{u}\times \overrightarrow{AP} \right \|}{\left
\| \vec{u} \right \|}\]
Ejemplo: Encuentre la distancia entre las rectas paralelas $L1:x=2-t\: \: \: \: y=3+2t\: \: \: \: z=4+t$ y $L2:x=3t\: \: \: \: y=1-6t\: \: \: \: z=4-3t$
L1 tiene vector director $u\left \langle -1,2,1 \right \rangle$
y pasa por A(2,3,4). L2 pasa por el punto P(0,1,4) de manera que se tiene
el vector $\overrightarrow{AP}\left \langle -2,-2,0 \right \rangle$. Por tanto, la distancia entre las rectas paralelas es
\[D=\frac{\left \| \left \langle -1,2,1 \right \rangle\times \left \langle
-2,-2,0 \right \rangle \right \|}{\sqrt{6}}\]
\[D=\frac{\left \| \left \langle 2,-2,6 \right \rangle \right
\|}{\sqrt{6}}=2\sqrt{\frac{11}{6}}\]
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| Las rectas paralelas tienen la misma distancia de separación en todos sus puntos, por lo que es válida la fórmula de la distancia de un punto a una recta para este ejemplo. |
Proyección escalar y vectorial
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| El vector de proyección se lee "proyección de u sobre v" y su magnitud se la denomina componente |
\[\cos \theta =\frac{\left \| proy_{v}u \right \|}{\left \| u \right
\|}\]
Cabe mencionar que se utiliza la magnitud de los vectores ya que la razón
trigonométrica funciona para escalares. Luego, utilizando la definición de
producto escalar con los vectores "u" y "v", y despejando el coseno del
ángulo que forman se tiene
\[u\cdot v=\left \| u \right \|\left \| v \right \|\cos \theta\]
\[\cos \theta =\frac{u\cdot v}{\left \| u \right \|\left \| v \right
\|}\]
De esta manera se puede realizar la siguiente igualación
\[\frac{\left \| proy_{v}u \right \|}{\left \| u \right
\|}=\frac{u\cdot v}{\left \| u \right \|\left \| v \right \|}\]
Recuerde que a la magnitud del vector de proyección se la denomina
componente, por lo que se define a la
proyección escalar como:
\[comp_{v}u=\frac{u\cdot v}{\left \| v \right \|}\]
Esta proyección se la denomina escalar ya que expresa la magnitud del
vector de proyección (la proyección es un número). Por otro lado, la
proyección vectorial es el vector de proyección $proy_{v}u$
el cuál puede calcularse multiplicando su vector unitario con la
proyección escalar. No obstante el vector de proyección tiene la misma
dirección y sentido de "v", por lo que utilizando el vector unitario
de "v" se tiene:
\[proy_{v}u=comp_{v}u\left (\frac{v}{\left \| v \right \|} \right
)\]
\[proy_{v}u=\left ( \frac{u\cdot v}{\left \| v \right \|} \right )\left
(\frac{v}{\left \| v \right \|} \right )\]
\[proy_{v}u=\left ( \frac{u\cdot v}{\left \| v \right \|^{2}} \right
)v\]
Ejemplo 1: Deducir la expresión algebraica que permita calcular la
distancia de un punto a un plano
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| La distancia "D" es la proyección escalar de $\vec{b}$ sobre $\vec{n}$ |
Si $b\left \langle x_{1}-x_{0},y_{1}-y_{0},z_{1}-z_{0} \right
\rangle$ y $D=\left |comp_{n}b\right |$, entonces
\[D=\frac{\left| b\cdot n \right |}{\left \| n \right \|}=\frac{\left |
\left \langle x_{1}-x_{0},y_{1}-y_{0},z_{1}-z_{0} \right \rangle\cdot
\left \langle n_{x},n_{y},n_{z} \right \rangle \right
|}{\sqrt{(n_{x})^{2}+(n_{y})^{2}+(n_{z})^{2}}}\]
\[D=\frac{\left |
n_{x}(x_{1}-x_{0})+n_{y}(y_{1}-y_{0})+n_{z}(z_{1}-z_{0})\right
|}{\sqrt{(n_{x})^{2}+(n_{y})^{2}+(n_{z})^{2}}}\]
\[D=\frac{\left
|(n_{x}x_{1}+n_{y}y_{1}+n_{z}z_{1})-(n_{x}x_{0}+n_{y}y_{0}+n_{z}z_{0})\right
|}{\sqrt{(n_{x})^{2}+(n_{y})^{2}+(n_{z})^{2}}}\]
Como el punto $P_{0}$
es un punto contenido en el plano, se cumple que $n_{x}x_{0}+n_{y}y_{0}+n_{z}z_{0}+d=0$
de manera que despejando "d" se puede reemplazar en la expresión
anterior como sigue:
\[D=\frac{\left |n_{x}x_{1}+n_{y}y_{1}+n_{z}z_{1}+d\right
|}{\sqrt{(n_{x})^{2}+(n_{y})^{2}+(n_{z})^{2}}}\]
esta entonces es la fórmula de la distancia de un punto a un
plano.
Ejemplo 2: Calcule la distancia entre las
rectas oblicuas $L1:x=y=z$ y $L2:x+1=\frac{y}{2}=\frac{z}{3}$
La distancia entre dos rectas oblicuas no es igual en todos los puntos,
por lo que no es posible aplicar la fórmula de la distancia de un punto
a una recta. Por otro lado, se sabe que estas rectas se contienen en
planos paralelos, de manera que la distancia entre dichos planos es
igual a la que se encuentra entre las rectas. Por tanto, el vector
normal común a los planos es perpendicular a "L1" y "L2", de manera
que
\[n=v1\times v2=\begin{vmatrix} \textbf{i} & \textbf{j }&
\textbf{k}\\ 1 & 1 & 1\\ 1 & 2 & 3 \end{vmatrix}=\left
\langle 1,-2,1 \right \rangle\]
"L1" pasa por (0,0,0) y "L2" pasa por (-1,0,0) de manera que los
planos P1 y P2 son
\[P1:x-2y+z=0\]
\[P2:x-2y+z+1=0\]
Luego, para hallar la distancia entre dos planos se puede tomar
cualquiera de ellos y un punto del otro. Pues es evidente que la
distancia entre un plano y un punto que pertenece a otro, resulta
ser la distancia entre esos planos. Entonces, la distancia entre las
rectas "L1" y "L2" es:
\[D=\frac{\left | -1 \right |}{\sqrt{6}}=\frac{\sqrt{6}}{6}\]
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| Utilizando una graficadora se puede visualizar la equivalencia de la distancia entre los planos con la distancia entre las rectas |
Ejemplo 3: Hallar la proyección del punto P(2,-1,3) sobre la recta $L:x=6t\: \: \: \: y=10t-7\: \: \: \: z=4t+2$
Realizando un bosquejo del problema se puede observar lo
siguiente
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| El punto proyectado se da por el vector de proyección de u sobre L |
Observando las ecuaciones paramétricas, la recta pasa por A(0,-7,2),
de manera que el vector "u" es
\[u\left \langle (2-0),(-1+7),(3-2) \right \rangle=\left \langle
2,6,1 \right \rangle\]
Note que el vector "u" se proyecta sobre el vector director de la
recta L, por lo que la proyección vectorial es
\[proy_{L}u=\left ( \frac{\left \langle 2,6,1 \right \rangle\cdot \left
\langle 6,10,4 \right \rangle}{36+100+16} \right )\left \langle 6,10,4
\right \rangle\]
\[proy_{L}u=\left ( \frac{12+60+4}{152} \right )\left \langle 6,10,4
\right \rangle\]
\[proy_{L}u=\left \langle 3,5,2 \right \rangle\]
Sin embargo, se desea conocer el punto de proyección. Por tanto, si
los puntos A y P' forman el vector de proyección, se tiene
\[P'-A=proy_{L}u\]
\[P'=proy_{L}u+A=(3,5,2)+(0,-7,2)\]
\[P'(3,-2,4)\]
Ejemplo práctico: Hallar las ecuaciones paramétricas de la proyección
de la recta $L:\left\{\begin{matrix} x+2y-3z-5=0\\ 2x-y+z+2=0
\end{matrix}\right.$ sobre el plano XY.
Realizando un bosquejo del problema se puede observar lo
siguiente
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| La recta proyección "r" es la intersección del plano que contiene a "L" que es perpendicular al plano donde se debe proyectar |
La forma paramétrica de "L" se obtiene como sigue:
\[\left\{\begin{matrix} x+2y-3z-5=0\\ 4x-2y+2z+4=0
\end{matrix}\right.\]
\[5x-z-1=0\]
Si $x=1$:
\[z=4,\, y=8\]
Entonces la recta "L" pasa por P(1,8,4). Luego el vector director
es:
\[u=\begin{vmatrix} \textbf{i} & \textbf{j} & \textbf{k}\\ 1
& 2 & -3\\ 4 & -2 & 2 \end{vmatrix}=\left \langle
-2,-14,-10 \right \rangle\]
Por tanto, la forma paramétrica de "L" es
\[x=1-2t\: \: \: \: y=8-14t\: \: \: \: z=4-10t\]
Observe en la figura que el vector normal del plano que contiene a la
recta "L" y que es perpendicular al plano XY se puede obtener como el
producto vectorial del vector director de "L" con el vector normal del
plano XY.
\[m=\begin{vmatrix} \textbf{i} & \textbf{j} & \textbf{k}\\ 0
& 0 & 1\\ -2 & -14 & -10 \end{vmatrix}=\left \langle
14,-2,0 \right \rangle\]
Como el plano contiene a "L", este también pasa por P, de manera que se
tiene:
\[14(x-1)-2(y-8)=-2\:\]
\[7x-y=-1\:\]
De esta manera la recta proyección se da por $r:\left\{\begin{matrix} 7x-y=-1\\ z=0 \end{matrix}\right.$
Luego, se obtiene las ecuaciones paramétricas de "r" como sigue:
Si $y=8$ la recta pasa por Q(1,8,0) y el vector director es:
\[v=\begin{vmatrix} \textbf{i} & \textbf{j} & \textbf{k}\\ 7
& -1 & 0\\ 0 & 0 & 1 \end{vmatrix}=\left \langle -1,-7,0
\right \rangle\]
Por tanto, la forma paramétrica de "r" es
\[x=1-s\: \: \: \: y=8-7s\: \: \: \: z=0\]
Utilizando una graficadora se puede corroborar la respuesta
visualmente
Ejercicios:
a) Resuelva los siguientes problemas geométricos. Realice un bosquejo del problema y compruebe utilizando una herramienta graficadora
1) Demuestre que el lugar geométrico que contiene a todos los
puntos equidistantes a los puntos P(-3,1,2) y Q(6,-2,4) es un
plano
2) Calcule la intersección del plano $P:2x-2y+z=12$ con la recta $L:x-\frac{1}{2}=\frac{y+3/2}{-1}=\frac{z+1}{2}$
3) Halle la distancia del punto A(2,8,4) al plano $2x+y+z=5$
4) Determine si los planos $P1: 6x-12y-14z=25$
y $P2: -3x+6y+7z=1$ son paralelos o secantes, si son paralelos calcule la distancia
entre ellos, si son secantes calcule el ángulo que forman.
5) Calcule la distancia del punto P(-2,1,3) a la
recta $L:x=1-t\: \: \: \: y=2+t\: \: \: \: z=-2t$
4) Determine si los planos $P1: 6x-12y-14z=25$
y $P2: -3x+6y+7z=1$ son paralelos o secantes, si son paralelos calcule la distancia
entre ellos, si son secantes calcule el ángulo que forman.
5) Calcule la distancia del punto P(-2,1,3) a la
recta $L:x=1-t\: \: \: \: y=2+t\: \: \: \: z=-2t$
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