Técnicas de integración
En muchos casos no es posible aplicar los
métodos de integración
de forma directa. Por ende, se recurren a técnicas que permitan reescribir
el integrando de manera que se puedan aplicar dichos métodos, así como
reducir la complejidad de los mismos.
Técnica de tabulación
Esta técnica es un atajo del método de
integración por partes, de manera que se reduzca su complejidad. Se aplica en integrales de la
forma:
\[\int f(x)g'(x)\, dx\]
Donde $f(x)$ es un polinomio de grado "n". Curiosamente, en este tipo de
integrales, el número de veces que se debe aplicar la fórmula del método
de integración por partes coincide con el grado del polinomio. Por ende,
si se tiene un polinomio de grado mayor a 2, el método se vuelve más
tedioso.
La técnica de tabulación utiliza una esquematización del método de
integración por partes como se muestra a continuación.
Las flechas horizontales indican las integrales y la diagonal, el
producto con el signo indicado. Así, se puede notar que el esquema forma
la fórmula de la integración por partes.
\[\int f(x)g'(x)\, dx=f(x)g(x)-\int f'(x)g(x)\, dx\]
Si se sabe que f es un polinomio de grado "n", el esquema se aplica "n" cantidad de veces, por tanto:
\[\small \int f(x)g'(x)\,
dx=f(x)g_{1}(x)-f'(x)g_{2}(x)+f''(x)g_{3}(x)-...+(-1)^{n}\int
f^{(n)}(x)g_{n}(x)\, dx\]
Note que $f$ se deriva "n" veces después del primer producto y que $g$
se integra la misma cantidad de veces desde el inicio. Entonces, como
la derivada n-ésima de una función polinómica es 0, en algún punto se obtendrá la
integral de 0, cuyo resultado será la constante de integración $C$. Así
entonces, se aplica la técnica de tabulación.
A comparación de la fórmula extendida, resulta más sencillo usar
simplemente una tabla de la esquematización, donde una columna se
compondrá de las derivadas y la otra de las integrales, siguiendo los
productos con la alteración de signos correspondientes:
Ejemplo: Hallar $\int x^{3}\cos x\, dx$
Se sabe que $f(x)=x^{3}$ y $g'(x)=\cos x\, dx$, entonces, por la técnica
de tabulación se tiene que:
Luego, la integral será
\[\int x^{3}\cos x\, dx=x^{3}\sin x+3x^{2}\cos x-6x\sin x-6\cos x+C\]
Existen algunas alteraciones de la técnica que ayudan a determinar integrales donde $f$ no es polinómica, o donde $g'$ no es fácilmente integrable. Sin embargo, el procedimiento se complica un poco más.
Técnica de las fracciones parciales
Esta técnica se utiliza cuando el integrando es un cociente de polinomios
donde el grado del denominador es mayor al del numerador. Además,
dependiendo de la complejidad de dicho cociente, la manera de realizar la
expansión es variada.
Forma 1: $\int \frac{6}{x^{2}-4x+3}\, dx$
Factorizando el polinomio del denominador se tiene
$\frac{6}{(x-3)(x-1)}$. Luego, mediante teoremas algebraicos de
fracciones racionales propias de factores lineales, el integrando
puede expandirse en una suma de fracciones simples de la forma:
\[\frac{6}{(x-3)(x-1)}=\frac{A}{x-3}+\frac{B}{x-1}\]
Una forma de determinar los valores de A y B es realizar la siguiente
evaluación:
Para A, $x=3$, entonces
\[A=\frac{6}{x-1}\left.\begin{matrix} \\ \\
\end{matrix}\right|_{x=3}=\frac{6}{2}=3\]
Para B, $x=1$, entonces
\[B=\frac{6}{x-3}\left.\begin{matrix} \\ \\
\end{matrix}\right|_{x=1}=\frac{6}{-2}=-3\]
De manera que:
\[\frac{6}{(x-3)(x-1)}=\frac{3}{x-3}-\frac{3}{x-1}\]
Note que para encontrar A, se evaluó el valor de x que hace a su
denominador 0, ($x=3$), en la fracción original sin tomar en cuenta el
término $x-3$. De forma análoga, el valor que hace al denominador de B,
cero, es $x=1$, por lo que se lo evalúa en la fracción original sin tomar
en cuenta el término $x-1$.
Así entonces, se tienen integrales mas sencillas que se pueden resolver
de manera inmediata.
\[\int \frac{6}{x^{2}-4x+3}\, dx=\int \frac{3}{x-3}\, dx-\int
\frac{3}{x-1}\, dx\]
\[I=3\ln \left | x-3 \right |-3\ln \left | x-1 \right |+C\]
Si se desea, la solución también puede reducirse a:
\[I=\ln \left | \left (\frac{x-3}{x-1} \right )^{3} \right |+C\]
Forma 2: $\int \frac{x^{2}-x+1}{(x+4)^{3}}\, dx$
Como en el denominador se tienen factores lineales repetidos, la suma de
fracciones simples se expande con todas las potencias menores o iguales al
del factor como sigue:
\[\frac{x^{2}-x+1}{(x+4)^{3}}=\frac{A}{x+4}+\frac{B}{(x+4)^{2}}+\frac{C}{(x+4)^{3}}\]
Para hallar C, se puede aplicar el mismo procedimiento del ejemplo
anterior, ya que su denominador presenta el mayor grado, obteniendo:
\[C=(x^{2}-x+1)\left.\begin{matrix} \\ \\
\end{matrix}\right|_{x=-4}=21\]
De manera que:
\[\frac{x^{2}-x+1}{(x+4)^{3}}=\frac{A}{x+4}+\frac{B}{(x+4)^{2}}+\frac{21}{(x+4)^{3}}\]
Para encontrar el resto de incógnitas se necesita desarrollar la suma de
fracciones como sigue
\[\frac{x^{2}-x+1}{(x+4)^{3}}=\frac{A(x+4)^{2}+B(x+4)+21}{(x+4)^{3}}\]
Note que se formó una igualdad en el denominador. Por ende, el numerador
forma una identidad, de manera que esta se cumple para cualquier valor que
se le de a "x",
\[x^{2}-x+1=A(x+4)^{2}+B(x+4)+21\]
Si se usa el mismo valor de "x" que se utilizó para hallar $C$ a razón de simplificar los cálculos, no quedarán las incógnitas A y B. Por lo tanto, un camino interesante es derivar ambos miembros de la identidad:
\[2x-1=2A(x+4)+B\]
Así, con esta nueva expresión ya es posible usar $x=-4$, de
manera que la ecuación resultante es más fácil de resolver, obteniendo $B=-9$. Asimismo, volviendo a derivar se puede encontrar el valor de A:
\[2=2A\]
\[A=1\]
Por tanto se tiene que:
\[\frac{x^{2}-x+1}{(x+4)^{3}}=\frac{1}{x+4}-\frac{9}{(x+4)^{2}}+\frac{21}{(x+4)^{3}}\]
De modo que la integral será
\[\int \frac{x^{2}-x+1}{(x+4)^{3}}\, dx=\int \frac{1}{x+4}\, dx-\int
\frac{9}{(x+4)^{2}}\, dx+\int \frac{21}{(x+4)^{3}}\, dx\]
\[I=\int \frac{1}{x+4}\, dx-9\int (x+4)^{-2}\, dx+21\int (x+4)^{-3}\,
dx\]
\[I=\ln \left | x+4 \right |+\frac{18x+51}{2(x+4)^{2}}+C\]
Forma 3: $\int \frac{x^{3}+x^{2}+2x+1}{(x^{2}+1)(x^{2}+2)}\,
dx$
A diferencia de los casos anteriores, se tiene una fracción racional propia de factores cuadráticos. Por lo que, esta se debe reescribir de la siguiente forma
\[\frac{x^{3}+x^{2}+2x+1}{(x^{2}+1)(x^{2}+2)}=\frac{Ax+B}{x^{2}+1}+\frac{Cx+D}{x^{2}+2}\]
Como en el caso anterior, se debe obtener la identidad del numerador
como sigue
\[x^{3}+x^{2}+2x+1=(Ax+B)(x^{2}+2)+(Cx+D)(x^{2}+1)\]
Como la identidad se cumple para cualquier valor de "x", se le puede
dar diferentes valores aleatorios sin repetir, armando así un sistema de
ecuaciones. Sin embargo, conviene desarrollar los productos y ordenar la
nueva expresión como sigue
\[x^{3}+x^{2}+2x+1=Ax^{3}+2Ax+Bx^{2}+2B+Cx^{3}+Cx+Dx^{2}+D\]
\[x^{3}+x^{2}+2x+1=(A+C)x^{3}+(B+D)x^{2}+(2A+C)x+2B+D\]
Note que, debido a la identidad, se pueden igualar los coeficientes de
manera que se tiene el sistema de ecuaciones:
\[\left\{\begin{matrix} A+C=1\\ B+D=1\\ 2A+C=2\\ 2B+D=1\\
\end{matrix}\right.\]
Aplicando método de reducción para sistemas de ecuaciones lineales, se
tiene que $B=0$, $A=1$, $C=0$ y $D=1$. De manera que:
\[\frac{x^{3}+x^{2}+2x+1}{(x^{2}+1)(x^{2}+2)}=\frac{x}{x^{2}+1}+\frac{1}{x^{2}+2}\]
Si se hubieran dado valores a "x", se obtendría un sistema de ecuaciones
más difícil de resolver. Por otro lado, existen situaciones donde dar
valores resulta más conveniente, por ejemplo en expresiones donde el
desarrollo algebraico sea bastante complicado.
Luego, la integral será:
\[\int \frac{x^{3}+x^{2}+2x+1}{(x^{2}+1)(x^{2}+2)}\, dx=\int
\frac{x}{x^{2}+1}\, dx+\int \frac{1}{x^{2}+2}\, dx\]
\[I=\frac{1}{2}\int \frac{2x}{x^{2}+1}\, dx+\int \frac{1}{2\left [\left (
\frac{x}{\sqrt{2}} \right )^{2}+1 \right ]}\, dx\]
Note que en la integral del segundo sumando, se está factorizando el 2.
Puesto que, mediante la tabla de antiderivadas se tiene que: $\frac{\mathrm{d} }{\mathrm{d} x}(\arctan
u)=\frac{u'}{1+u^{2}}\rightarrow \int \frac{u'}{1+u^{2}}\, dx=\arctan
u$
De modo que
\[I=\frac{1}{2}\ln \left | x^{2}+1 \right |+\frac{\sqrt{2}}{2}\arctan
\left ( \frac{x}{\sqrt{2}} \right )+C\]
Forma 4: $\int \frac{4x^{3}+5x^{2}+2}{x^{3}+x^{2}}\, dx$
Note que ahora el grado del numerador es igual al del denominador,
por lo que se procede a simplificar mediante división de
polinomios
\[4x^{3}+5x^{2}+2\div
x^{3}+x^{2}=4+\frac{x^{2}+2}{x^{3}+x^{2}}\]
Luego, la integral será
\[\int \frac{4x^{3}+5x^{2}+2}{x^{3}+x^{2}}\, dx=\int 4\, dx+\int
\frac{x^{2}+2}{x^{2}(x+1)}\, dx\]
La integral del primer sumando resulta sencillo de resolver. Por otro
lado, la del segundo sumando se debe descomponer en fracciones
parciales como sigue
\[\frac{x^{2}+2}{x^{2}(x+1)}=\frac{A}{x}+\frac{B}{x^{2}}+\frac{C}{x+1}\]
\[B=\frac{x^{2}+2}{x+1}\left.\begin{matrix} \\ \\
\end{matrix}\right|_{x=0}=2\]
\[C=\frac{x^{2}+2}{x^{2}}\left.\begin{matrix} \\ \\
\end{matrix}\right|_{x=-1}=3\]
De modo que
\[\frac{x^{2}+2}{x^{2}(x+1)}=\frac{A}{x}+\frac{2}{x^{2}}+\frac{3}{x+1}\]
Expresando la identidad y derivando para hallar A con $x=-1$
\[x^{2}+2=Ax(x+1)+2(x+1)+3x^{2}\]
\[2x=A(x+1)+Ax+2+6x\]
\[-2=-A+2-6\]
\[A=-2\]
Entonces la integral será:
\[\int \frac{4x^{3}+5x^{2}+2}{x^{3}+x^{2}}\, dx=4x-\int \frac{2}{x}\,
dx+2\int x^{-2}\, dx+3\int \frac{1}{x+1}\, dx\]
\[I=4x-2\ln \left | x \right |-\frac{2}{x}+3\ln \left | x+1 \right
|+C\]
Si se desea, la solución puede reducirse a
\[I=\frac{4x^{2}-2}{x}+\ln \left | \frac{(x+1)^{3}}{x^{2}} \right
|+C\]
Este como otros casos, combinan las formas anteriores vistas, por lo
que se puede combinar los procedimientos respectivos o bien usar el más
conviene.
Técnica de la sustitución trigonométrica
Se desea hallar la integral $\int \sqrt{4-x^{2}}\, dx$. Sin embargo, no
es posible aplicar ninguno de los métodos o técnicas vistas
anteriormente. Por otro lado, la estructura del integrando puede
compararse con el teorema de Pitágoras, donde la hipotenusa parece ser
de tamaño 2 y uno de los catetos, de tamaño "x", y por
consecuencia:
\[\int 2\cos \theta (2\cos \theta \, d\theta)=4\int \cos ^{2}\theta \,
d\theta\]
Aplicando identidades trigonométricas se tiene
\[4\int \cos ^{2}\theta \, d\theta =4\int \frac{1+\cos (2\theta )}{2}\,
d\theta =2\theta +\int 2\cos (2\theta) \, d\theta\]
\[I=2\theta +\sin (2\theta)+C=2\theta +2\sin (\theta)\cos
(\theta)+C\]
Regresando a la variable original:
\[I=2\arcsin \left ( \frac{x}{2} \right )
+\frac{x\sqrt{4-x^{2}}}{2}+C\]
La elección del cateto y de las razones trigonométricas a utilizar van
de acuerdo a la simplicidad del cambio de variable. Por otro lado, la ubicación de la
hipotenusa es dependiente de la forma de la raíz, recordando que debe
seguir una forma del teorema de Pitágoras.
Ejemplo: Hallar $\int \frac{1}{x^{2}\sqrt{x^{2}+4}}\, dx$
Observe que ahora la raíz parece ser la hipotenusa, y eligiendo una
ubicación para los catetos se tiene
\[\int \frac{1}{4\tan ^{2}\theta (2\sec \theta )}(2\sec^{2} \theta
)\, d\theta\]
Note que "x" se obtuvo de $x=2\tan \theta $. Luego, operando e integrando
como sigue
\[\int \frac{\sec \theta}{4\tan^{2} \theta }\, d\theta =\frac{1}{4}\int
\frac{\frac{1}{\cos \theta}}{\frac{\sin^{2} \theta}{\cos^{2} \theta}}\,
d\theta =\frac{1}{4}\int \frac{\cos \theta }{\sin^{2} \theta }\,
d\theta\]
\[I=-\frac{\csc \theta}{4}+C\]
Se tiene que:
\[I=-\frac{\sqrt{x^{2}+4}}{4x}+C\]
En muchas ocasiones se debe usar más de un método y técnica para
resolver integrales, por lo que no resulta fácil detectar las más
convenientes a utilizar. No obstante, algunas estrategias que pueden
ayudar son:
- Simplificar el integrando hasta la mínima expresión siempre que se pueda. Para funciones algebraicas se pueden aplicar artificios y para las trigonométricas, las identidades conocidas.
- Observar si es posible encontrar una antiderivada. Esto resulta sencillo de notar si se tiene un producto o cociente de funciones donde si se deriva una de ellas, sea posible obtener la otra.
- Clasificar las integrales. Por ejemplo, si se tiene un integrando de la forma de un cociente de polinomios que no es posible reducir, es probable que se necesite usar la técnica de las fracciones parciales. Si se tiene un integrando con radicales no reducible, es probable que se utilice la técnica de la sustitución trigonométrica, etc.
- Intentar un método y técnica. El método más sencillo a intentar es el de sustitución, pero si no funciona se puede seguir con la integración por partes, si no funciona, continua con aplicar artificios algebraicos y luego alguna de las técnicas de integración.
Observando la integral, no es posible aplicar identidades, pero note
que el denominador sigue la estructura de un trinomio, por lo que
aplicando al sustitución $u=\sin x$, se tiene $du=\cos x \, dx$ de modo
que
\[\int \frac{\cos x}{u^{2}+6u+34}\, \left ( \frac{du}{\cos x} \right
)=\int \frac{du}{u^{2}+6u+34}\]
No es posible realizar una descomposición factorial sobre el
denominador, pero aplicando un artificio que permita completar los
cuadrados se tiene
\[\int \frac{du}{u^{2}+6u+3^{2}-3^{2}+34}=\int
\frac{du}{(u+3)^{2}+25}\]
Si se factoriza el 25 como sigue
\[\int \frac{du}{(u+3)^{2}+25}=\frac{1}{25}\int \frac{du}{\left
(\frac{u+3}{5} \right )^{2}+1}\]
se puede notar que la derivada de $\frac{u+3}{5}$ es $\frac{1}{5}$ el
cual puede obtenerse en el numerador mediante artificios de manera que
se obtenga una antiderivada por tablas.
\[\frac{1}{5}\int \frac{\frac{1}{5}}{\left (\frac{u+3}{5} \right
)^{2}+1}\, du=\frac{1}{5}\arctan \left ( \frac{u+3}{5} \right
)+C\]
Por ultimo, se regresa a la variable original
\[\int \frac{\cos x}{\sin ^{2}x+6\sin x+34}\, dx=\frac{1}{5}\arctan
\left ( \frac{\sin x+3}{5} \right )+C\]
Ejemplo práctico: Determinar $\int \csc x\, dx$
Si se intenta por el método de integración por partes se tiene que
$du=-\csc x\cot x$, el cuál aumenta la complejidad del método, por lo que no resulta
conveniente este camino. Asimismo, no es posible usar
identidades trigonométricas. Por otro lado, observando la forma de $du$,
posiblemente se pueda obtener una antiderivada
\[-\int \csc x\left (-\frac{\cot x}{\cot x} \right )\, dx\]
Se sabe que la derivada de $\cot x$ es $-\csc^{2} x$, entonces para obtenerla en el numerador se puede cambiar la expresión
anterior por:
\[-\int \csc x\left (-\frac{\cot x+\csc x}{\cot x+\csc x} \right )\,
dx=-\int \frac{-\csc x\cot x-\csc ^{2}x}{\csc x+\cot x}\, dx\]
De esta manera, es notable que el numerador es la derivada del
denominador, por lo tanto se tiene:
\[I=-\ln \left | \csc x+\cot x \right |+C\]
Funciones no elementales
La mayor parte de las funciones que se vieron en
categoría de funciones y que hasta ahora se utilizaron, se conocen como
funciones elementales. Asimismo, las operaciones vistas como
combinación de funciones
o derivación, dan como resultado otra función elemental. Sin embargo, en
la integración existen funciones donde sin importar el método o técnica
que apliquemos, no será posible hallar una antiderivada. Algunas de
estas funciones son:
\[f(x)=e^{x^{2}},\,f(x)=\frac{e^{x}}{x}, \,f(x)=\sqrt{x^{3}+1},
\,f(x)=\sin (x^{3})\]
\[f(x)=\frac{1}{\ln x}, \,f(x)=\cos (e^{x}), \,f(x)=\frac{\sin x}{x},
\,f(x)=x^{x}\]
La integral de cualquiera de estas funciones se conoce como
función no elemental. Puesto que no es posible expresarla en
términos de funciones elementales. Sin embargo, gracias al teorema fundamental del cálculo es posible obtener su derivada, de manera que a partir de ella se
pueda estudiar su comportamiento sin conocer dicha función.
Ejemplo: Hallar la derivada de $F(x)=\int_{1}^{x^{2}}\frac{\sin t}{t}\,
dt$
Esta es la expresión de una
función compuesta, la cual se puede descomponer de la siguiente forma:
\[U(x)=\int _{1}^{x}\frac{\sin t}{t}\, dt\]
\[G(x)=x^{2}\]
Comprobando:
\[F(x)=U(x)\circ G(x)=\int_{1}^{x^{2}}\frac{\sin t}{t}\, dt\]
Entonces aplicando la
regla de la cadena y el teorema fundamental del cálculo sobre F como sigue:
\[G'(x)=2x\]
\[U'(x)=\frac{\mathrm{d} }{\mathrm{d} x}\left (\int_{1}^{x}\frac{\sin
t}{t}\, dt \right )=\frac{\sin x}{x}\]
\[U'(G(x))=\frac{\sin x^{2}}{x^{2}}\, dt\]
\[F'(x)=U'(G(x))G'(x)=\frac{\sin x^{2}}{x^{2}}(2x)\]
de manera que la derivada pedida es:
\[F'(x)=\frac{2\sin x^{2}}{x}\]
Ahora si ambos límites de una integral son funciones de "x", la tesis del teorema fundamental del cálculo será:
\[\int_{u(x)}^{v(x)}f(t)\mathrm{d}t=F[v(x)]-F[u(x)]\]
calculando la derivada se tiene
\[\frac{\mathrm{d} }{\mathrm{d} x}\int_{u(x)}^{v(x)}f(t)\mathrm{d}t=\frac{\mathrm{d} }{\mathrm{d} x}\left\{F[v(x)]-F[u(x)] \right\}\]
\[F'(x)=f[v(x)]v'(x)-f[u(x)]u'(x)\]
Esta expresión es útil para el cálculo de derivadas como $\frac{\mathrm{d}
}{\mathrm{d} x}\left (\int_{2x}^{x^{2}+1} \frac{e^{t}}{t} \, dt\right
)$
Aplicando directamente la expresión deducida tenemos
\[\frac{\mathrm{d} }{\mathrm{d} x}\left (\int_{2x}^{x^{2}+1} \frac{e^{t}}{t} \, dt\right )=\frac{e^{x^{2}+1}}{x^{2}+1}(x^{2}+1)'-\frac{e^{2x}}{2x}(2x)'\]
\[F'(x)=\frac{e^{x^{2}+1}}{x^{2}+1}(2x)-\frac{e^{2x}}{2x}(2)=\frac{2xe^{(x^{2}+1)}-e^{2x}}{x(x^{2}+1)}\]
Ejercicios:
Determine las siguientes integrales utilizando el método y técnicas más convenientes
1) $\int_{0}^{\frac{\pi }{2}}(1+\sin x)^{2}\cos x\, dx$
2) $\int \frac{1}{x\sqrt{1-\ln ^{2}x}}\, dx$
3) $\int \frac{1}{x^{2}-2x}\, dx$
4) $\int \frac{e^{\sqrt{x}}}{\sqrt{x}}\, dx$
5) $\int x^{2}e^{x}\, dx$
6) $\int \frac{1}{(1+x^{2})^{3/2}}\, dx$
7) $\int \frac{x}{(x-1)^{2}(x-2)}\, dx$
8) $\int_{0}^{\pi }\sin ^{2}x\, dx$
9) $\int \tan ^{3}x\sec ^{3}x\, dx$
10) $\int_{0}^{\frac{\pi }{4}}(\cos 2t\mathbf{i}+\sin
2t\mathbf{j}+t\sin t\mathbf{k}) dt$
0 Comentarios