Geometría analítica en $\mathbb{C}$
En el ámbito de los reales, un lugar geométrico se define como un conjunto de puntos que
satisfacen una condición específica. De manera similar, en el contexto de los complejos, esta definición se mantiene análoga y a menudo su notación resulta más eficiente para describir ciertos lugares geométricos.
Distancia entre dos números complejos
Nótese que la distancia "d" entre los números complejos representados en la figura se calcula utilizando la misma fórmula que se emplea para hallar la distancia entre dos puntos en los números reales. No obstante, al utilizar la notación de módulo, la expresión de la distancia "d" puede simplificarse de la siguiente manera:
\[ d=|z_{2}-z_{1}|\]
Ecuación compleja de la circunferencia
Es conocido que una circunferencia en el plano de los números reales se define como el conjunto de todos los puntos que se encuentran a una distancia constante (el radio) de un punto determinado (el centro). De manera similar, en el contexto de los números complejos, esta definición se mantiene análoga. Por lo tanto, utilizando la notación de la distancia entre dos números complejos, se puede deducir que se cumple la siguiente condición:
\[|z-z_{0}|=r\]
donde $z_{0}$
es el centro y "r" es el radio de la circunferencia.
Por otro lado, si se expresa en notación exponencial se
tiene
\[z=z_{0}+re^{i\theta}\]
donde $\theta$
es el ángulo desde la parte positiva del eje real a la recta que va desde el
origen $z_{0}$ hasta $z$. Cabe mencionar que conforme dicho ángulo varia de 0 a $2\pi$, "z" barre la circunferencia en sentido antihorario, considerándolo así como giro
positivo.
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| Representación gráfica de la circunferencia en el plano complejo |
Regiones en $\mathbb{C}$
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(a) región cerrada $\mathit{|z-z_{0}|\leq r}$ (b) región abierta $\mathit{|z-z_{0}|<r}$ |
En el contexto de los números complejos, la circunferencia es un lugar geométrico muy utilizado para definir vecindades, discos o regiones. En la figura mostrada, la imagen (a) describe un disco y la imagen (b) describe una vecindad. Por otro lado, una región en general se define de forma análoga que en el ámbito de los números reales, solo que debido a que se dividen en abiertas o cerradas, es necesario mencionar algunos términos.
Punto interior
Un número complejo "z0" es un punto interior de una región "S" si existe una vecindad alrededor de "z0" que contenga sólo puntos de "S".
Punto frontera
Un número complejo "z0" es un punto frontera de una región "S" si toda vecindad alrededor de "z0" contiene al menos un punto en "S" y al menos
un punto que no esté en "S".
De esta manera se pueden definir a las regiones abiertas y cerradas de
forma más precisa como sigue:
- Una región S es abierta si todo punto de S es un punto interior
- Una región S es cerrada si contiene todos sus puntos frontera
Estas definiciones proporcionan una base más rigurosa para comprender las
regiones en el plano complejo.
A veces, la notación compleja no es lo bastante explícita para describir una región, por lo que se requiere deducir su ecuación cartesiana partiendo de la
definición de un número complejo: $z=x+iy$.
Ejemplo 1: Graficar el lugar geométrico de todos los puntos
que satisfacen la condición
\[\left|\frac{z-3i}{z+3i}\right|<1\]
Utilizando la definición y propiedades del valor absoluto de un número
complejo, se tiene
\[\left|x+iy-3i\right|<|x+iy+3i|\]
\[\sqrt{x^{2}+(y-3)^{2}}<\sqrt{x^{2}+(y+3)^{2}}\]
\[x^{2}+y^{2}-6y+9<x^{2}+y^{2}+6y+9\]
\[-12y<0\]
\[y>0\]
De este modo, la gráfica del lugar geométrico corresponde a la región que
cubre el eje imaginario positivo, tomando en cuenta que la condición dada no
está definida en -3i.
Ejemplo 2: Graficar el lugar geométrico de todos los puntos
que satisfacen la desiguladad
\[|z+2i|+|z-2i|>2\]
Siguiendo un procedimiento análogo al ejemplo anterior se tiene
\[|x+(y+2)i|+|x+(y-2)i|>2\]
\[\sqrt{x^{2}+(y+2)^{2}}+\sqrt{x^{2}+(y-2)^{2}}>2\]
\[x^{2}+(y+2)^{2}>4-4\sqrt{x^{2}+(y-2)^{2}}+x^{2}+(y-2)^{2}\]
\[4y^{2}-4y+1<x^{2}+y^{2}-4y+4\]
\[y^{2}-\frac{x^{2}}{3}<1\]
Nótese que si se toma la desigualdad como una igualdad, se tiene la
ecuación de una hipérbola de eje horizontal. Por tanto, graficando la
región considerando que es interna se tiene
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| La región abierta es interna debido a que se cumple la desigualdad si cualquier punto se encuentra dentro de la hipérbola |
Ejemplo 3: Graficar la familia de números complejos que
cumplen la siguiente condicion
\[\arg(z+1)<\frac{\pi}{3}\]
En este caso, utilizando la definición de argumento, se procede a operar como sigue
\[\arg[(x+1)+iy]<\frac{\pi}{3}\]
\[\tan^{-1}\left(\frac{y}{x+1}\right)<\frac{\pi}{3}\]
\[\frac{y}{x+1}<\sqrt{3}\]
\[y<\sqrt{3}x+\sqrt{3}\]
Nótese que si se toma la desiguladad como una igualdad, se tiene la
ecuación de una recta con pendiente $\sqrt{3}$
de modo que la gráfica de la familia de números complejos que cumplen la
condición es
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| Si se reescribe la región a $\mathit{\sqrt{3}x-y+\sqrt{3}>0}$, se puede escoger un punto cualquiera en el lateral derecho e izquierdo de la recta de modo que el punto que cumpla la condición permite inferir el conjunto de todos los puntos que la cumplen |
Ejemplo 4: Graficar la región descrita por
\[\left|\frac{z-2i}{z+i}\right|>2\]
Siguiendo el mismo procedimiento del ejemplo 1 se tiene
\[|x+(y-2)i|>2|x+(y+1)i|\]
\[x^{2}+y^{2}+4y<0 \]
Luego, completando cuadrados:
\[x^{2}+(y+2)^{2}<2^{2}\]
Evidentemente esta es una región abierta e interna representada por una circunferencia de
radio 2. Sin embargo, el miembro izquierdo de la desigualdad propuesta en el ejemplo no está definida en $z=-i$, de modo que la gráfica resulta:
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| Se marca el punto "z=-i", el cual es donde la región no está definida |
Ejemplo 5: Graficar la región dada por la igualdad
\[\mathbb{R}e\left\{z+3\right\}=|z|\]
En este caso se tiene una parte real, por lo que
\[\mathbb{R}e\left\{(x+3)+iy\right\}=|x+iy|\]
\[x+3=\sqrt{x^{2}+y^{2}}\]
\[y^{2}=6\left(x+\frac{3}{2}\right)\]
Nótese que se obtuvo la ecuación de una parábola, donde "4p=6" y el vértice está en el punto (-3/2,0), de modo que la gráfica de la región es:
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| Región compleja cerrada (contiene todos sus puntos frontera) |
Ejemplo práctico: Graficar la región compleja descrita
por
\[\mathbb{I}m\left\{z+\frac{1}{z}\right\}=0\]
Operando primero la suma de fracciones se tiene
\[\mathbb{I}m\left\{x+iy+\frac{1}{x+iy}\right\}=0\]
\[\mathbb{I}m\left\{x+\frac{x}{x^{2}+y^{2}}+\left(y-\frac{y}{x^{2}+y^{2}}\right)i\right\}=0\]
de modo que extrayendo la parte imaginaria se obtiene:
\[ y-\frac{y}{x^{2}+y^{2}}=0\]
\[ y(x^{2}+y^{2}-1)=0\]
Observe con cuidado esta ecuación y note que además de la circunferencia
unitaria, la recta y=0 también la satisface, por tanto:
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| La región cerrada se compone de una recta y una circunferencia |
Ejercicios:
Grafique el lugar geométrico descrito por la expresion dada y determine si la región es abierta o cerrada.
1) $|z-8+4i|=9$
2) $|z|^{2}+\mathbb{I}m\left\{z\right\}=16$
3) $|z|+\mathbb{R}e\left\{z\right\}=0$
4) $\mathbb{I}m\left\{ z-i\right\}=\mathbb{R}e\left\{z+1\right\}$
5) $|z+1+6i|=|z-3+i|$
6) $|z+2+i|>|z-1|$
7) $-1\leq \mathbb{R}e\left\{z\right\}<2$
8) $|z-2i|\leq |z+1+i|,\, |z|>4$
9) $0<\mathbb{I}m\left\{z+3i\right\}<4$
10) $|z|=\mathbb{R}e\left\{z-1\right\}+\mathbb{I}m\left\{z-2i\right\}$
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