Matrices
Los vectores ($\textbf{i}',\,
\textbf{j}'$) se pueden agrupar en dos columnas de manera que la transformación
lineal se podrá escribir de la siguiente manera:
\[\begin{bmatrix} a & c\\ b & d \end{bmatrix}\]
a esta agrupación se la conoce como matriz y es útil para compactar la escritura de una transformación lineal.
Algunos ejemplos de matrices son:
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La matriz diagonal también se la denomina escalar ya
que "escala" los vectores base del dominio, la
matriz identidad contiene a todos los vectores de
la base canónica del subespacio correspondiente, la
matriz o vector fila comprime el dominio a una
línea recta, la
matriz o vector columna transforma el dominio a un
plano. Por último, una
matriz de 3 filas por 2 columnas traslada un plano
al espacio
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Observe el comportamiento de la matriz de 3 filas por 2
columnas mostrada anteriormente. El dominio de la
transformación es un plano en $\mathbb{R}^{2}$ pero la imagen es el mismo plano ubicado en el
espacio $\mathbb{R}^{3}$. De esta manera se puede decir que dicha matriz ejecuta
una transformación entre dimensiones. Curiosamente la cantidad de vectores columna agrupados en
la matriz (o simplemente columnas), coincide con la
dimensión del dominio y la cantidad de coordenadas de cada
vector (o filas de la matriz), coincide con la dimensión
de la imagen. Esta relación se cumple en cualquier matriz de filas o
columnas no nulas. Así, una transformación $L:V\rightarrow W$, donde "V" tiene dimensión "n" y "W" tiene dimensión "m", se
puede decir que la matriz asociada a L es de "m" filas
por "n" columnas:
\[A_{m\times n}=\begin{bmatrix} a_{11} & a_{12} & ... &
a_{1n}\\ a_{21} & a_{22} & ... & a_{2n}\\ \vdots &
\vdots & ... & \vdots \\ a_{m1} & a_{m2} & ... &
a_{mn} \end{bmatrix}\]
Por otro lado, si las dimensiones del dominio y la imagen son
iguales, se forma una matriz con la misma cantidad de filas y
columnas, la cual se denomina matriz cuadrada.
Transpuesta de una matriz
Transponer una matriz asociada a una transformación lineal implica
intercambiar la dimensión de la imagen con la del dominio y
viceversa. Es decir:
\[A=\begin{bmatrix} a & d\\ b & e\\ c & f
\end{bmatrix}\rightarrow A^{T}=\begin{bmatrix} a & b & c\\ d
& e & f \end{bmatrix}\]
Note que para mover dichas dimensiones, las columnas y las filas de
la matriz se intercambian.
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Al transponer la matriz A, se provoca un movimiento desde
el espacio de la imagen de 3 dimensiones hacia el espacio
del dominio de 2 dimensiones.
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Operaciones con matrices
Suma de matrices
Dado que las matrices son agrupaciones de vectores, la suma
corresponde a la de cada vector columna. Es decir, sean:
\[A=\begin{bmatrix} a_{11} & a_{12} & ... & a_{1n}\\
a_{21} & a_{22} & ... & a_{2n}\\ \vdots & \vdots
& ... & \vdots \\ a_{m1} & a_{m2} & ... & a_{mn}
\end{bmatrix}\]
\[B=\begin{bmatrix} b_{11} & b_{12} & ... & b_{1n}\\
b_{21} & b_{22} & ... & b_{2n}\\ \vdots & \vdots
& ... & \vdots \\ b_{m1} & b_{m2} & ... & b_{mn}
\end{bmatrix}\]
La suma de A y B es:
\[S=\begin{bmatrix} a_{11}+b_{11} & a_{12}+b_{12} & ... &
a_{1n}+b_{1n}\\ a_{21}+b_{21} & a_{22}+b_{22} & ... &
a_{2n}+b_{2n}\\ \vdots & \vdots & ... & \vdots \\
a_{m1}+b_{m1} & a_{m2}+b_{m2} & ... & a_{mn}+b_{mn}
\end{bmatrix}\]
Es evidente que si las matrices son de diferente tamaño, mínimo
faltará sumar una fila o columna. Por ende, en ese caso no es
posible sumar las matrices. Por ejemplo, intentemos sumar las matrices:
\[A=\begin{bmatrix} 1 & 0\\ 2 & 1\\ 3 & 2 \end{bmatrix},\,
B=\begin{bmatrix} 1 & 2 & 3\\ 2 & 1 & 4
\end{bmatrix}\]
Es evidente que al poner las matrices lado a lado, faltan
componentes que sumar:
\[\begin{bmatrix} 1 & 0\\ 2 & 1\\ 3 & 2
\end{bmatrix}+\begin{bmatrix} 1 & 2 & 3\\ 2 & 1 & 4
\end{bmatrix}=\begin{bmatrix} 2 & 2 & ?+3\\ 4 & 2 &
?+4\\ 3+? & 2+? &?+? \end{bmatrix}\]
Por tanto, no es posible sumar A y B.
Multiplicación de matrices
La multiplicación matricial es una idea análoga a la
composición de funciones. Puesto que expresa la aplicación de una transformación lineal
sobre otra.
\[f(g(x))=F(x)\rightarrow AB=C\]
Así, se dice que B está compuesta por A. Esto significa que la
transformación lineal dada por C aplica primero la transformación B
y luego la transformación A a un vector "v".
Para explicar el proceso de multiplicación utilicemos las matrices
A y B dadas por:
\[A=\begin{bmatrix} a & c\\ b & d \end{bmatrix},\,
B=\begin{bmatrix} e & g\\ f & h \end{bmatrix}\]
Para obtener la primera columna de la matriz C, se puede realizar
la siguiente operación:
\[\begin{bmatrix} a & c\\ b & d
\end{bmatrix}\begin{bmatrix} e\\ f \end{bmatrix}=\begin{bmatrix} ?\\
? \end{bmatrix}\]
Note que estamos aplicando la transformación A sobre el primer
vector columna de la transformación B. Esto quiere decir que se
desea hallar las coordenadas del nuevo vector respecto a la base expresada por la matriz
A. Por tanto:
\[\begin{bmatrix} a & c\\ b & d \end{bmatrix}\begin{bmatrix}
e\\ f \end{bmatrix}=e\begin{bmatrix} a\\ b
\end{bmatrix}+f\begin{bmatrix} c\\ d \end{bmatrix}=\begin{bmatrix}
ea+fc\\ eb+fd \end{bmatrix}\]
y de la misma manera para el segundo vector columna de B, se tiene
que
\[\begin{bmatrix} a & c\\ b & d \end{bmatrix}\begin{bmatrix}
g\\ h \end{bmatrix}=g\begin{bmatrix} a\\ b
\end{bmatrix}+h\begin{bmatrix} c\\ d \end{bmatrix}=\begin{bmatrix}
ga+hc\\ gb+hd \end{bmatrix}\]
por tanto:
\[\begin{bmatrix} a & c\\ b & d \end{bmatrix}\begin{bmatrix} e
& g\\ f & h \end{bmatrix}=\begin{bmatrix} ea+fc & ga+hc\\
eb+fd & gb+dh \end{bmatrix}\]
Note que el cálculo realizado es quivalente a multiplicar cada
componente de la fila de A por cada una de la columna de B y
sumarlas. Sin embargo, no todas las matrices se pueden multiplicar,
ya que si la fila de una de ellas es de diferente tamaño que la
columna de la otra se llega a la misma situación que con la suma.
Pues, faltarán términos para multiplicar. Por ejemplo,
multipliquemos las matrices
\[A=\begin{bmatrix} 2 & 3 & 1\\ 3 & -4 & 5\\ 1 &
-1 & -2 \end{bmatrix},\, B=\begin{bmatrix} 3 & 1\\ 2 & 4\\
-1 & 5 \end{bmatrix}\]
De la forma $BA$.
Colocando las matrices lado a lado, es notable que faltan
componentes que multiplicar
\[\tiny \begin{bmatrix} 3 & 1\\ 2 & 4\\ -1 & 5
\end{bmatrix}\begin{bmatrix} 2 & 3 & 1\\ 3 & -4 & 5\\
1 & -1 & -2 \end{bmatrix}=\begin{bmatrix} (3)(2)+(1)(3)+?
& (3)(3)+(1)(-4)+? & (3)(1)+(1)(5)+?\\ (2)(2)+(4)(3)+? &
(2)(3)+(4)(-4)+? & (2)(1)+(4)(5)+?\\ (-1)(2)+(5)(3)+? &
(-1)(3)+(5)(-4)+? & (-1)(1)+(5)(5)+? \end{bmatrix}\]
Por tanto no es posible multiplicar B con A. Por otro lado, si
intentamos hallar $AB$.
\[\begin{bmatrix} 2 & 3 & 1\\ 3 & -4 & 5\\ 1 & -1
& -2 \end{bmatrix}\begin{bmatrix} 3 & 1\\ 2 & 4\\ -1 &
5 \end{bmatrix}=\begin{bmatrix} 11 & 19 \\ -4 & 9 \\ 3 &
-13 \end{bmatrix}\]
Note que se pudo multiplicar todas las filas de A con todas las
columnas de B, formando una matriz de 3 filas por 2 columnas. Este
nuevo tamaño coincide con la cantidad de filas de A y con la
cantidad de columnas de B respectivamente.
En conclusión:
\[\left [\underset{m\times p}{A} \right ]\left [\underset{p\times
n}{B} \right ]=\underset{m\times n}{C}\]
\[AB\neq BA\]
Geométricamente, esta desigualdad tiene mayor sentido, pues observe
lo que sucede en la figura siguiente
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La matriz AB inclina el plano y luego lo rota. Por otro
lado, la matriz BA rota el plano y luego lo inclina.
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Propiedades de las operaciones con matrices
Dado que las matrices son agrupaciones de vectores, estos heredan
las propiedades de la suma:
- $A+B=B+A$
- $A+(B+C)=(A+B)+C$
- $A+\emptyset =A$
- $A+(-A) =\emptyset$
Donde A, B y C son matrices de $m\times n$
y $\emptyset$
es la matriz nula.
Asimismo, se cumplen las
propiedades de la multiplicación por un escalar:
- $r(sA)=(rs)A$
- $(r+s)A=rA+sA$
- $r(A+B) =rA+rB$
Donde r y s son números reales.
Por otro lado, si dichas matrices son de tamaño adecuado, se
cumplen las siguientes
propiedades de la multiplicación:
- $A(BC)=(AB)C$
- $A(B+C)=AB+AC$
- $(A+B)C=AC+BC$
- $A(rB)=r(AB)=(rA)B$
- $AI=IA=A$
donde $I$ es la matriz identidad.
Para demostrar la primera propiedad, utilicemos las
transformaciones de la siguiente figura:
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El paréntesis no afecta en nada a la transformación
final. Pues el orden de aplicación es el mismo
(primero se aplica C, luego B y por último
A, $\textit{A(BC)=(AB)C}$
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Para demostrar la segunda propiedad, primero probemos que las
matrices resultantes de ambas igualdades tienen el mismo
tamaño. Entonces, si B y C se pueden sumar supongamos que son
de tamaño $n\times p$. Asimismo, para que A se pueda multiplicar, supongamos que
es de tamaño $m\times n$, y por tanto:
\[A_{m\times n}(B_{n\times p}+C_{n\times p})=A_{m\times
n}D_{n\times p}=E_{m\times p}\]
\[A_{m\times n}B_{n\times p}+A_{m\times n}C_{n\times
p}=F_{m\times p}+G_{m\times p}=H_{m\times p}\]
El tamaño de las matrices E y H coinciden, lo que comprueba
que ambos miembros de la igualdad son matrices de mismo
tamaño. Luego, para probar que E y H son iguales podemos
usar el término i,j-ésimo (un solo componente) de
ambas matrices, de manera que se cumpla que:
\[E_{ij}=H_{ij}\]
\[(AD)_{ij}=(AB+AC)_{ij}\]
Partiendo del primer miembro, se sabe que el término
i,j-ésimo del producto de dos matrices resulta de la
multiplicación de cada elemento de la fila de la matriz que
se premultiplica con la de cada elemento de la
columna de la matriz que se postmultiplica para luego
sumar los resultados. Esto puede representarse
matemáticamente por:
\[(AD)_{ij}=\sum_{k=1}^{n}a_{ik}d_{kj}\]
donde "i" indica toda la fila de la matriz A que se va a
multiplicar por toda la columna "j" de la matriz D. El
subíndice "k" expresa que "a" se mueve en columna y "d" se
mueve en fila. Luego, para la suma de B y C, el término
i,j-ésimo queda como sigue:
\[d_{ij}=b_{ij}+c_{ij}\]
por tanto
\[[A(B+C)]_{ij}=\sum_{k=1}^{n}a_{ik}(b_{kj}+c_{kj})=\sum_{k=1}^{n}(a_{ik}b_{kj}+a_{ik}c_{kj})\]
Mediante propiedades de la sumatoria se tiene que:
\[\sum_{k=1}^{n}(a_{ik}b_{kj}+a_{ik}c_{kj})=\sum_{k=1}^{n}a_{ik}b_{kj}+\sum_{k=1}^{n}a_{ik}c_{kj}=(AB+AC)_{ij}\]
Así se llega al segundo miembro de la igualdad demostrando la
segunda propiedad. Aplicando la misma lógica se procede a
demostrar la tercera propiedad como sigue:
Prueba de los tamaños:
\[(A_{m\times p}+B_{m\times p})C_{p\times n}=D_{m\times
p}C_{p\times n}=E_{m\times n}\]
\[A_{m\times p}C_{p\times n}+B_{m\times p}C_{p\times
n}=F_{m\times n}+G_{m\times n}=H_{m\times n}\]
Prueba del término i,j-ésimo:
\[E_{ij}=H_{ij}\]
\[[DC]_{ij}=(AC+BC)_{ij}\]
\[[DC]_{ij}=\sum_{k=1}^{n}d_{ik}c_{kj}=\sum_{k=1}^{n}(a_{ik}+b_{ik})c_{kj}=\sum_{k=1}^{n}(a_{ik}c_{kj}+b_{ik}c_{kj})=\]
\[...=\sum_{k=1}^{n}a_{ik}c_{kj}+\sum_{k=1}^{n}b_{ik}c_{kj}=(AC+BC)_{ij}\]
Así, la propiedad 3 queda demostrada. Por otro lado, la propiedad 4 cumple con la 1 de la
multiplicación de matrices y con la 1 de la multiplicación
por un escalar. Por tanto, no es necesario realizar su
demostración.
Por último, se sabe que la matriz identidad expresa una
transformación lineal donde el dominio y la imagen son
iguales. En otras palabras, el espacio no cambia, de manera
que la matriz "A" no se ve afectada sin importar el orden de
la multiplicación. Por tanto, la propiedad 5 es una
excepción de la conmutatividad del producto de
matrices.
Si $r$
es un escalar y A y B son matrices de tamaño adecuado,
entonces
- $(A^{T})^{T}=A$
- $(A+B)^{T}=A^{T}+B^{T}$
- $(AB)^{T} =B^{T}A^{T}$
- $(rA)^{T} =rA^{T}$
estas son las
propiedades de la matriz transpuesta.
La primera propiedad evidentemente se cumple ya que al
intercambiar las dimensiones por segunda vez, estos
regresan al estado inicial.
Para demostrar la segunda propiedad, primero es necesario
realizar la prueba del tamaño como sigue:
Si A y B se pueden sumar, entonces ambos son de $m\times n$ de manera que:
\[(A_{m\times n}+B_{m\times n})^{T}=(C_{m\times
n})^{T}=C_{n\times m}\]
la transpuesta de A y B son de tamaño $n\times m$, por tanto:
\[(A_{m\times n})^{T}+(B_{m\times n})^{T}=A_{n\times
m}+B_{n\times m}=D_{n\times m}\]
de manera que C y D tienen el mismo tamaño. Luego,
aplicando la prueba del término í,j-ésimo se tiene
\[(A+B)^{T}=(a_{i,j}+b_{i,j})^{T}=a_{j,i}+b_{j,i}\]
\[A^{T}+B^{T}=(a_{i,j})^{T}+(b_{i,
j})^{T}=a_{j,i}+b_{j,i}\]
Así, la propiedad 2 queda demostrada.
De forma similar para la propiedad 3, si A y B se
pueden multiplicar, entonces A es de $m\times p$ y B es de $p\times n$, de manera que:
\[(A_{m\times p}B_{p\times n})^{T}=(C_{m\times
n})^{T}=C_{n\times m}\]
la transpuesta de A es de tamaño $p\times m$ y la transpuesta de B es de tamaño $n\times p$, por tanto:
\[(B_{p\times n})^{T}(A_{m\times
p})^{T}=B_{n\times p}A_{p\times m}=D_{n\times m}\]
de manera que C y D tienen el mismo tamaño.
Luego, aplicando la prueba del término í,j-ésimo
se tiene
\[(AB)^{T}=(C_{i,j})^{T}=C_{j,i}\]
o también
\[C_{i,j}=(C^{T})_{j,i}\]
de manera que expresando en términos de A y B,
se tiene:
\[C_{i,j}=\sum_{k=1}^{n}a_{ik}b_{kj}=(C^{T})_{j,i}\]
luego, por propiedades de sumatoria es
posible decir que
\[(C^{T})_{j,i}=\sum_{k=1}^{n}b_{kj}a_{ik}\]
y siguiendo la misma lógica de la
transpuesta, se puede decir que $B_{i,j}=(B^{T})_{j,i}$
y $A_{i,j}=(A^{T})_{j,i}$, de manera que:
\[\sum_{k=1}^{n}b_{kj}a_{ik}=\sum_{k=1}^{n}(b^{t})_{jk}(a^{t})_{ki}=(B^{T}A^{T})_{j,i}\]
demostrando así la propiedad 3 de la matriz
transpuesta. Por último, es evidente que la
propiedad 4 se cumple, ya que viene de la
propiedad 1 de la multiplicación por un
escalar.
Ejemplo práctico: Sean
\[A=\begin{bmatrix} 2 & 1 & 3\\ -1 & 2 &
4\\ 3 & 1 & 0 \end{bmatrix},\, B=\begin{bmatrix} 2
& -1\\ 3 & 4\\ 1 & -2 \end{bmatrix},\,
C=\begin{bmatrix} 1 & 1 & 2\\ 2 & -1 & 3\\
-3 & 2 & -1 \end{bmatrix}\]
calcule $3A^{T}B-CE^{T}B$.
Por la propiedad 3 de la multiplicación matricial:
\[(3A^{T}-2C^{T})B\]
Por la propiedad 4 de la matriz transpuesta:
\[[(3A)^{T}-(2C)^{T}]B\]
Por la propiedad 2 de la matriz transpuesta:
\[(3A-2C)^{T}B\]
Así se tienen menos operaciones que realizar,
obteniendo:
\[\left ( 3\begin{bmatrix} 2 & 1 & 3\\ -1 & 2
& 4\\ 3 & 1 & 0 \end{bmatrix}-2\begin{bmatrix} 1
& 1 & 2\\ 2 & -1 & 3\\ -3 & 2 & -1
\end{bmatrix} \right )^{T}\begin{bmatrix} 2 & -1\\ 3 &
4\\ 1 & -2 \end{bmatrix}\]
\[\left ( \begin{bmatrix} 6 & 3 & 9\\ -3 & 6 &
12\\ 9 & 3 & 0 \end{bmatrix}-\begin{bmatrix} 2 & 2
& 4\\ 4 & -2 & 6\\ -6 & 4 & -2
\end{bmatrix} \right )^{T}\begin{bmatrix} 2 & -1\\ 3 &
4\\ 1 & -2 \end{bmatrix}\]
\[\begin{bmatrix} 4 & 1 & 5\\ -7 & 8 & 6\\ 15
& -1 & 2 \end{bmatrix}^{T}\begin{bmatrix} 2 & -1\\
3 & 4\\ 1 & -2 \end{bmatrix}\]
\[\begin{bmatrix} 4 & -7 & 15\\ 1 & 8 & -1\\ 5
& 6 & 2 \end{bmatrix}\begin{bmatrix} 2 & -1\\ 3
& 4\\ 1 & -2 \end{bmatrix}=\begin{bmatrix} 2 &
-62\\ 25 & 33\\ 30 & 15 \end{bmatrix}\]
Matrices equivalentes
Dos o mas matrices son equivalentes si estas se
relacionan entre sí mediante las siguientes operaciones:
-
Intercambiar las filas o columnas
-
Multiplicar una fila o columna por un escalar distinto
de 0
-
Sumar una fila o columna por otra
Estas se conocen como operaciones elementales por filas o columnas. Pues, permiten que las transformaciones lineales
asociadas a las matrices tengan comportamientos
similares, evidenciados por las siguientes
propiedades:
-
Reflexiva: $A\sim A$
-
Simétrica: Si $A\sim B
\rightarrow B\sim A$
-
Transitiva: Si $A\sim B
\wedge\, B\sim C \rightarrow A\sim C$
Cabe mencionar que la relación de equivalencia de
matrices se diferencia de acuerdo a los tipos de
operaciones elementales realizados (matrices
equivalentes por filas o por columnas). No obstante, las
operaciones elementales por filas son las más usuales.
Por ejemplo, sea la matriz
\[A=\begin{bmatrix} 2 & -3\\ 8 & 0\\ -5 & 2
\end{bmatrix}\]
Determine las matrices dadas por las operaciones
elementales por filas pedidas y compruebe las propiedades
que cumplen.
-
Restar 4 veces la primera fila a la segunda
-
Dividir la nueva fila 2 por 12
-
Sumar 5 veces la primera fila a 2 veces la
tercera
Siguiendo las operaciones pedidas, se tiene:
\[\underset{F_{2}-4F_{1}}{B}\sim \underset{F_{2}/12}{C}\sim
\underset{2F_{3}+5F_{1}}{D}\]
\[\begin{bmatrix} 2 & -3\\ 0 & 12\\ -5 & 2
\end{bmatrix}\sim \begin{bmatrix} 2 & -3\\ 0 & 1\\
-5 & 2 \end{bmatrix}\sim \begin{bmatrix} 2 & -3\\ 0
& 1\\ 0 & -11 \end{bmatrix}\]
Es evidente que la propiedad reflexiva se cumple. Puesto
que multiplicando cualquiera de las filas de las matrices
por 1, se obtienen las mismas y por tanto:
\[A\sim A,\: B\sim B,\: C\sim C,:\ D\sim D\]
Luego, tanto la propiedad simétrica como transitiva se
pueden probar empezando desde la matriz D y aplicando las
operaciones inversas a las realizadas anteriormente. Es
decir:
\[\underset{\frac{1}{2}F_{3}-\frac{5}{2}F_{1}}{C}\sim
\underset{12F_{2}}{B}\sim \underset{F_{2}+4F_{1}}{A}\]
\[\begin{bmatrix} 2 & -3\\ 0 & 1\\ -5 & 2
\end{bmatrix}\sim \begin{bmatrix} 2 & -3\\ 0 & 12\\
-5 & 2 \end{bmatrix}\sim \begin{bmatrix} 2 & -3\\ 8
& 0\\ -5 & 2 \end{bmatrix}\]
Inversa de una matriz
Si A es una matriz cuadrada y si se puede encontrar una
matriz B del mismo tamaño tal que AB=BA=I, entonces se dice
que A es invertible y B es la inversa de A.
El comportamiento geométrico que describe esta definición
se muestra en la siguiente figura:
|
|
El subespacio cambia de acuerdo a la
transformación A, pero al aplicar su inversa,
dicho subespacio regresa a su estado inicial el
cual es la de base canónica de $\mathbb{R^{2}}$
|
Así, en otras palabras se dice que una matriz inversa es aquella que al aplicar la
composición $A^{-1}A$
o $AA^{-1}$
se obtiene la
matriz identidad $I$. Note que esta es otra excepción de la conmutatividad
del
producto de matrices. Puesto que en este caso, sin importar el orden con el
que se aplica la matriz inversa, esta siempre hará que
el subespacio regrese a su estado inicial. La idea es análoga a la composición $f(f^{-1}(x))=x$
, de manera que a la recta $y=x$
podemos llamarla
recta identidad. Además, así como en las funciones reales, no todas
las transformaciones tienen inversa.
No es muy sencillo calcular la inversa de una matriz. En principio se puede
aplicar la relación mencionada $A^{-1}A=I$ o $AA^{-1}=I$ donde $A^{-1}$
es desconocida, por lo que cada elemento se lo
representaría mediante variables formando así un sistema
de ecuaciones que puede o no tener solución. Para evitar
resolver sistemas que posiblemente no tengan solución,
existe un método práctico acuñado por Friedrich
Gauss y Wilhelm Jordan el cual menciona
los siguientes pasos:
-
Formar la matriz $[A\mid I]$
-
Realizar operaciones elementales por filas a
la matriz formada de manera que se obtengan dos
situaciones:
(a) Si $[I\mid B]$
entonces B es la inversa de A
(b) Si $[C\mid B]$ donde $C\neq I$
entonces no es posible encontrar la inversa de A
Note que el método asegura que cualquier matriz que tenga inversa es
equivalente a la matriz identidad y al mismo tiempo esta es equivalente a
dicha inversa. Asimismo, permite saber si esta existe sin necesidad de
realizar una demostración mediante transformaciones lineales.
Ejemplo: Si es posible calcular la inversa de:
\[A=\begin{bmatrix} 2 & 0 & 1\\ 1 & 1 & -4\\ 3 & 7
& -3 \end{bmatrix}\]
Armando la matriz que menciona el primer paso del método se tiene:
\[\left [\begin{matrix} 2 & 0 & 1\\ 1 & 1 & -4\\ 3 & 7
& -3 \end{matrix}\left.\begin{matrix} \\ \\ \\
\end{matrix}\right|\begin{matrix} 1 & 0 & 0\\ 0 & 1 & 0\\ 0
& 0 & 1 \end{matrix}\right ]\]
Ahora aplicamos las operaciones elementales por filas la cantidad de veces
necesarias hasta obtener la matriz identidad en lugar de A.
\[\underset{\begin{matrix} \frac{1}{2}F_{1}\\ 3F_{2}-F_{3}
\end{matrix}}{\left [\begin{matrix} 2 & 0 & 1\\ 1 & 1 & -4\\
3 & 7 & -3 \end{matrix}\left.\begin{matrix} \\ \\ \\
\end{matrix}\right|\begin{matrix} 1 & 0 & 0\\ 0 & 1 & 0\\ 0
& 0 & 1 \end{matrix}\right ]}\sim \underset{F_{3}-3F_{1}}{\left
[\begin{matrix} 1 & 0 & \frac{1}{2}\\ 0 & -4 & -9\\ 3 &
7 & -3 \end{matrix}\left.\begin{matrix} \\ \\ \\
\end{matrix}\right|\begin{matrix} \frac{1}{2} & 0 & 0\\ 0 & 3
& -1\\ 0 & 0 & 1 \end{matrix}\right ]}\]
\[\sim \underset{-\frac{1}{4}F_{2}}{\left [\begin{matrix} 1 & 0 &
\frac{1}{2}\\ 0 & -4 & -9\\ 0 & 7 & -\frac{9}{2}
\end{matrix}\left.\begin{matrix} \\ \\ \\ \end{matrix}\right|\begin{matrix}
\frac{1}{2} & 0 & 0\\ 0 & 3 & -1\\ -\frac{3}{2} & 0
& 1 \end{matrix}\right ]}\sim \underset{F_{3}-7F_{2}}{\left
[\begin{matrix} 1 & 0 & \frac{1}{2}\\ 0 & 1 & \frac{9}{4}\\
0 & 7 & -\frac{9}{2} \end{matrix}\left.\begin{matrix} \\ \\ \\
\end{matrix}\right|\begin{matrix} \frac{1}{2} & 0 & 0\\ 0 &
-\frac{3}{4} & \frac{1}{4}\\ -\frac{3}{2} & 0 & 1
\end{matrix}\right ]}\]
\[\sim \underset{-\frac{4}{81}F_{3}}{\left [\begin{matrix} 1 & 0 &
\frac{1}{2}\\ 0 & 1 & \frac{9}{4}\\ 0 & 0 & -\frac{81}{4}
\end{matrix}\left.\begin{matrix} \\ \\ \\ \end{matrix}\right|\begin{matrix}
\frac{1}{2} & 0 & 0\\ 0 & -\frac{3}{4} & \frac{1}{4}\\
-\frac{3}{2} & \frac{21}{4} & -\frac{3}{4} \end{matrix}\right ]}\sim
\underset{F_{2}-\frac{9}{4}F_{3}}{\left [\begin{matrix} 1 & 0 &
\frac{1}{2}\\ 0 & 1 & \frac{9}{4}\\ 0 & 0 & 1
\end{matrix}\left.\begin{matrix} \\ \\ \\ \end{matrix}\right|\begin{matrix}
\frac{1}{2} & 0 & 0\\ 0 & -\frac{3}{4} & \frac{1}{4}\\
\frac{2}{27} & -\frac{7}{27} & \frac{1}{27} \end{matrix}\right
]}\]
\[\sim \underset{F_{1}-\frac{1}{2}F_{3}}{\left [\begin{matrix} 1 & 0
& \frac{1}{2}\\ 0 & 1 & 0\\ 0 & 0 & 1
\end{matrix}\left.\begin{matrix} \\ \\ \\ \end{matrix}\right|\begin{matrix}
\frac{1}{2} & 0 & 0\\ -\frac{1}{6} & -\frac{1}{6} &
\frac{1}{6}\\ \frac{2}{27} & -\frac{7}{27} & \frac{1}{27}
\end{matrix}\right ]}\sim \left [\begin{matrix} 1 & 0 & 0\\ 0 &
1 & 0\\ 0 & 0 & 1 \end{matrix}\left.\begin{matrix} \\ \\ \\
\end{matrix}\right|\begin{matrix} \frac{25}{54} & \frac{7}{54} &
-\frac{1}{54}\\ -\frac{1}{6} & -\frac{1}{6} & \frac{1}{6}\\
\frac{2}{27} & -\frac{7}{27} & \frac{1}{27} \end{matrix}\right
]\]
Entonces, como fue posible llegar a la forma $[I\mid B]$,
la matriz B es la inversa de A, la cual puede reescribirse como
sigue:
\[A^{-1}=\frac{1}{54}\begin{bmatrix} 25 & 7 & -1\\ -9 & -9
& 9\\ 4 & -14 & 2 \end{bmatrix}\]
Ejemplo práctico: Sean A, B y C matrices de tamaño adecuado, despeje C en
términos de A, B, I.
\[2AC+C=B+3C\]
Despejando como es usual y aplicando las propiedades de las operaciones
matriciales, se tiene:
\[2AC+C-3C=B\]
\[2AC-2C=B\]
\[(2A-2I)C=B\]
Note que la matriz identidad aparece debido a la factorización de C, ya que $IC=C$. Por último, premultiplicando (multiplicar por izquierda) la inversa de la
matriz $2A-2I$ se tiene:
\[(2A-2I)^{-1}(2A-2I)C=(2A-2I)^{-1}B\]
\[IC=(2A-2I)^{-1}B\]
\[C=(2A-2I)^{-1}B\]
Ejemplo 3: Demostrar que la inversa de una matriz triangular es otra matriz
triangular.
Una matriz triangular es una matriz cuadrada cuyos terminos nulos se
encuentran por encima o por debajo de la
diagonal principal. Dicha diagonal se conforma por los elementos
cuya posición en fila y columna es la misma. Por ejemplo:
\[A=\begin{bmatrix}\mathbf{a_{11}} & a_{12} & a_{13} \\0 &
\mathbf{a_{22}} & a_{23} \\0 & 0 & \mathbf{a_{33}}
\\\end{bmatrix},\, B=\begin{bmatrix}\mathbf{a_{11}} & 0 & 0
\\a_{21} & \mathbf{a_{22}} & 0 \\a_{31} & a_{32} &
\mathbf{a_{33}} \\\end{bmatrix}\]
La forma de la matriz A se la llama matriz triangular superior y la
de B, matriz triangular inferior.
Para demostrar la premisa indicada utilizaremos una matriz triangular
superior, la cual se define de forma general como:
\[A=\left\{\begin{matrix}a_{ij}=0, \: i> j \\a_{ij}\neq 0, \:
\textrm{En}\: \textrm{otro}\: \textrm{caso}\end{matrix}\right.\]
Por definición de matriz inversa se tiene que:
\[BA=I\]
\[\begin{bmatrix}b_{11} & b_{12} & \cdots & b_{1n} \\b_{21}
& b_{22} & \cdots & \vdots \\\vdots & \vdots & \ddots
& \vdots \\b_{n1} & \cdots & \cdots & b_{nn}
\\\end{bmatrix}\begin{bmatrix}a_{11} & a_{12} & \cdots &
a_{1n} \\0 & a_{22} & \cdots & \vdots \\\vdots & \vdots &
\ddots & \vdots \\0 & 0 & \cdots & a_{nn}
\\\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}1 & 0 & \cdots & 0 \\0 & 1
& \cdots & \vdots \\\vdots & \vdots & \ddots & 0 \\0
& 0 & \cdots & 1 \\\end{bmatrix}\]
Por simple inspección, el primer elemento de la matriz BA se puede igualar
con el de la matriz identidad formando la ecuación $a_{11}b_{11}=1$ y así $b_{11}=\frac{1}{a_{11}}$. Asimismo para el primer elemento de la segunda fila se tiene $a_{11}b_{21}=0$ y así $b_{21}=0$. Siguiendo esta lógica para toda la primera columna se concluye que:
\[B=\begin{bmatrix}\frac{1}{a_{11}} & b_{12} & \cdots &
b_{1n} \\0 & b_{22} & \cdots & \vdots \\\vdots & \vdots
& \ddots & \vdots \\0 & b_{n2} & \cdots & b_{nn}
\\\end{bmatrix}\]
Así se pudieron reducir algunos términos de BA, de manera que por simple
inspección resulta más sencillo deducir que $b_{22}a_{22}=1$ y así $b_{22}=\frac{1}{a_{22}}$. Ahora para el segundo elemento de la n-ésima fila se tiene $b_{n2}a_{22}=0$ y así $b_{n2}=0$. Siguiendo esta lógica para el resto de los elementos resulta evidente
que:
\[A^{-1}=\begin{bmatrix}\frac{1}{a_{11}} & b_{12} & \cdots
& b_{1n} \\0 & \frac{1}{a_{22}} & \cdots & \vdots
\\\vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\0 & 0 &
\cdots & \frac{1}{a_{nn}} \\\end{bmatrix}\]
De esta forma se demuestra que la inversa de una matriz triangular
superior da otra matriz triangular superior. Además, los términos diagonales de la inversa son exactamente los inversos de los términos diagonales de la matriz
original.
De forma similiar sucede con la matriz
triangular inferior.
Ejercicios:
a) De ser posible, calcule las operaciones pedidas dadas las
matrices:
\[A=\begin{bmatrix} 1 & 2 & 3\\ 2 & 1 & 4 \end{bmatrix},\,
B=\begin{bmatrix} 1 & 0\\ 2 & 1\\ 3 & 2 \end{bmatrix},\,
C=\begin{bmatrix} -4 & 5\\ 2 & 3 \end{bmatrix},\,
D=\begin{bmatrix} 3 & -2\\ 2 & 4 \end{bmatrix}\]
1) $2D+2C$
2) $3(B+D)$
3) $(3B^{T}-2A)^{T}$
4) $(3A^{T}-5B^{T})^{T}$
5) $A^{T}(D+C)$
6) $C^{2}+3C$
7) $2D^{3}+3D^{2}+4D+5I$
b) Resuelva las siguientes ecuaciones
1) $X^{T}A+A^{2}=I$ si $A=\begin{bmatrix} 1 & 2\\ 2 & 3 \end{bmatrix}$
2) $AX=B$ si $A=\begin{bmatrix} 1 & 0\\ 2 & 1 \end{bmatrix},\,
B=\begin{bmatrix} 5 & 2\\ 6 & 3 \end{bmatrix}$
3) $AXA^{T}=5A$ si $A=\begin{bmatrix} 1 & 0 & 2\\ 0 & 1 & 0\\ 4 & 0
& 3 \end{bmatrix}$
4) $AX=\vec{b}$ si $A=\begin{bmatrix} 1 & -2 & 0\\ 0 & 1 & 0\\ 3 &
-5 & -1 \end{bmatrix},\, \vec{b}=\begin{bmatrix} 2\\ 1\\ 3
\end{bmatrix}$
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