Dominio y gráficas de funciones multivariables
Funciones multivariables
Una función $f$ de "n" variables es una regla que asigna a cada componente de un n-vector "X" un único número real denotado por $f(X)$.
Es decir, una función multivariable tiene "n" variables independientes en el espacio $\mathbb{R}^{n}$ y una variable dependiente en $\mathbb{R}$.
Con esta definición se puede decir que una función de dos variables tiene dos variables independientes (x,y) y una variable dependiente f(x,y) que también puede denotarse por la letra "z". Asimismo, la manera como toma los elementos del dominio y devuelve otros en el rango obedece a la transformación $T:\mathbb{R}^{2}\rightarrow \mathbb{R}$.
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| f transforma los puntos del plano $\mathbb{R}^{2}$ a unos puntos en la recta numérica |
Así es notable que el dominio de una función de dos variables corresponde a una curva en el plano, que puede ser expresado por una función de una variable ya sea explícita o implícita. Asimismo, en el caso de presentar restricciones, su análisis es similar al estudio del dominio de funciones de una variable.
Ejemplo 1: Estudiar el dominio de la función
\[ f ( x , y ) = \frac {x + y } { x - y } \]
La restricción está en el denominador, por lo que:
\[x - y \neq 0 \]
\[ y \neq x \]
Si a esta expresión se lo denota por una igualdad, se obtendrá la función lineal $y=x$, de manera que el dominio será el conjunto de todos los puntos que no se contengan en esa recta.
\[D=\left \{ \begin{bmatrix} x\\ y \end{bmatrix} \in \mathbb{R}^{2}/y \neq x \right \}\]
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| La región pintada representa a todos los puntos que pertenecen al dominio mientras que la recta marcada $y=x$, a los que no. |
Ejemplo 2: Estudiar el dominio de la función
\[ f ( x , y ) = \sqrt {4 -x^{2} - y^{2} }\]
La restricción está en el radicando, por lo que:
\[4-x^{2}-y^{2}\geq 0\]
\[x^{2}+y^{2}\leq 4\]
Asi como en el ejemplo anterior, si la expresión es escrita como una igualdad se obtiene una circunferencia con centro en el origen y radio 2 $x^{2}+y^{2}=2^{2}$, de manera que el dominio será el conjunto de todos los puntos internos a dicha circunferencia incluyendo el borde.
\[D\left\{\begin{bmatrix}x \\y\end{bmatrix}\in \mathbb{R}^{2}/x^{2}+y^{2}\leq 2^{2} \right\}\]
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| La representación gráfica del dominio D es una región interna de circunferencia |
Siguiendo con la definición de una función multivariable, se puede decir que una función de tres variables tiene tres variables independientes (x,y,z) y una variable dependiente f(x,y,z), cuya transformación es análoga a $T:\mathbb{R}^{3}\rightarrow \mathbb{R}$..
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| f transforma los puntos del espacio $\mathbb{R}^{3}$ a unos puntos en la recta numérica |
Evidentemente la figura mostrada indica que el dominio de una función de tres variables corresponde a una superficie en el espacio. Asimismo, su estudio es similar a los procedimientos de los casos anteriores.
Ejemplo 3: Estudiar el dominio de la función
\[ f ( x , y ,z) =x^{2} \ln(x-y+z)\]
La restricción está en el argumento del logaritmo natural, por lo que:
\[x-y+z > 0\]
Si la expresión es escrita como una igualdad se obtiene el plano $x-y+z=0$, de manera que el dominio será el conjunto de puntos que se encuentren por encima de ese plano.
\[D\left\{\begin{bmatrix}x \\y \\z \end{bmatrix}\in \mathbb{R}^{3}/x-y+z > 0 \right\}\]
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| Las flechas señalan la zona que corresponde al dom¡nio de f y el borde punteado indica que el plano no es parte de él |
Gráfica de una función de dos variables
Así como en funciones de una variable, la representación gráfica de una función de dos variables permite entender mucho mejor su comportamiento, y para obtenerlo se usan trazas de alguna superficie conocida o se proyecta la curva del dominio a las diferentes alturas "z", obteniendo así la superficie S correspondiente. Por ejemplo, si quisieramos representar la función:
\[f(x,y)=x^{2}+9y^{2}\]
primero debemos estudiar su dominio. En este caso, como no existen restricciones, será $\mathbb{R}^{2}$. Luego, si reescr¡bimos la expresión algebraica como $z=x^{2}+\frac{y^{2}}{(1/3)^{2}}$ es más fácil notar que sigue la estructura de un paraboloide eliptico. Por tanto, graficando las elipses en z=1 y en z=4 se obtiene:
\[e1:x^{2}+\frac{y^{2}}{(1/3)^{2}}=1\rightarrow a=1,\: b=\frac{1}{3}\]
\[e2:\frac{x^{2}}{2^{2}}+\frac{y^{2}}{(2/3)^{2}}=1\rightarrow a=2,\: b=\frac{2}{3}\]
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| Los extremos de los ejes mayor y menor de las elipses e1 y e2 ayudan a bosquejar las parábolas que se extienden a lo largo del eje z. |
Para funciones de 3 variables resulta complicado realizar una representación gráfica, debido a que el subespacio que se necesita debe ser de 4 dimensiones. Asimismo, se complica aún más para funciones de "n" variables, por lo que en estos casos solo queda utilizar una representación numérica o algebraica
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