Cálculo de limites
Teorema del valor medio de Rolle
Suponga una función $f(x)$
continua en un intervalo cerrado
$[a,b]$
y derivable en el abierto $(a,b)$,
y ademas $f(a)=f(b)$:
Note que en al menos un valor de "x" dentro el intervalo dado, la curva
presenta una recta tangente horizontal. Es decir donde la derivada es 0, y
esto se cumple para cualquier curva que cumpla las características
mencionadas al principio. Entonces, se puede enunciar los siguiente:
Sea una función $f(x)$
continua en un intervalo cerrado
$[a,b]$
y derivable en el intervalo abierto
$(a,b)$
y si cumple que $f(a)=f(b)$,
entonces existe un número $c$
tal que $f'(c)=0$.
Así entonces queda enunciado el teorema de Rolle.
Teorema del valor medio de Cauchy
Suponga dos funciones
$f(x)$ y $g(x)$ continuas en un intervalo cerrado
$[a,b]$
y derivables en el abierto
$(a,b)$,
y una función dada por:
\[F(x)=f(x)(g(b)-g(a))-g(x)(f(b)-f(a))\]
Si se aplica el teorema de Rolle se puede cuestionar lo
siguiente:
Si $F(x)$
es una función continua en $[a,b]$
y derivable en $(a,b)$.
¿Es posible que se cumpla que
$F(a)=F(b)$
de manera que exista un $c$
tal que
$F'(c)=0$?
Resulta sencillo demostrar que si F es continua, entonces f y g también
lo son ya que se tiene una suma de funciones. Asimismo que si F es
derivable en un intervalo abierto, f y g también lo son. Entonces para
responder la interrogante se procede a calcular
$F(a)$ y $F(b)$.
\[F(a)=f(a)(g(b)-g(a))-g(a)(f(b)-f(a))\]
\[F(b)=f(b)(g(b)-g(a))-g(b)(f(b)-f(a))\]
Operando:
\[F(a)=f(a)g(b)-g(a)f(a)-g(a)f(b)+f(a)g(a)=f(a)g(b)-g(a)f(b)\]
\[F(b)=f(b)g(b)-g(a)f(b)-g(b)f(b)+f(a)g(b)=f(a)g(b)-g(a)f(b)\]
Note que se cumple que $F(a)=F(b)$,
de manera que se puede operar
$F'(c)=0$ como sigue:
\[F'(x)=f'(x)(g(b)-g(a))-g'(x)(f(b)-f(a))\]
\[F'(c)=f'(c)(g(b)-g(a))-g'(c)(f(b)-f(a))=0\]
\[f'(c)(g(b)-g(a))=g'(c)(f(b)-f(a))\]
Ordenando:
\[\frac{f'(c)}{g'(c)}=\frac{f(b)-f(a)}{g(b)-g(a)}\]
Entonces se puede enunciar lo siguiente:
Sean dos funciones $f(x)$ y
$g(x)$
continuas en un intervalo cerrado
$[a,b]$
y derivables en el intervalo abierto
$(a,b)$,
entonces existe un número $c$
tal que $\frac{f'(c)}{g'(c)}=\frac{f(b)-f(a)}{g(b)-g(a)}$ y $g'(c)\neq 0$. Así entonces queda enunciado el teorema del valor medio de
Cauchy.
Este último teorema permite deducir un método alternativo para el
cálculo de limites que presenten una indeterminación de la
forma
$\frac{\infty}{\infty}$ o $\frac{0}{0}$.
Puesto que estas indeterminaciones resultan del cociente de dos
funciones.
Reglas de L'Hôpital
1) Sea la situación:
\[\lim_{x\rightarrow a}\frac{f(x)}{g(x)}=\frac{0}{0}\]
Se puede decir que
$\lim_{x\rightarrow a}f(x)=\lim_{x\rightarrow a}g(x)=0$.
Si se escoge un intervalo de continuidad como
$[a,x)$
y por consiguiente el intervalo de derivabilidad
$(a,x)$,
de acuerdo con los limites se puede suponer que
$f(a)=g(a)=0$.
Entonces si se aplicara el teorema del valor medio de Cauchy, se
puede decir que puede existir un número
$c_{x}$ dentro del intervalo tal que:
\[\frac{f'(c_{x})}{g'(c_{x})}=\frac{f(x)-f(a)}{g(x)-g(a)}\]
Entonces conocidos $f(a)$
y $g(a)$
se tiene que:
\[\frac{f'(c_{x})}{g'(c_{x})}=\frac{f(x)}{g(x)}\]
Luego si tanto $c_{x}$
como $x$
tienden a $a$
por la derecha se puede escribir:
\[\lim_{c_{x}\rightarrow
a^{+}}\frac{f'(c_{x})}{g'(c_{x})}=\lim_{x\rightarrow
a^{+}}\frac{f(x)}{g(x)}\]
Intuitivamente se puede decir que
$x$ y $c_{x}$
se aproximan a $a$
de la misma forma sin importar su valor. Por otro lado, una manera
mas rigurosa de explicar esto es usar la
definición de limite.
Si se escogiera el intervalo
$(x,a]$
se tiene el mismo razonamiento, por lo que se puede decir que:
\[\lim_{x\rightarrow a}\frac{f(x)}{g(x)}=\lim_{x\rightarrow
a}\frac{f'(x)}{g'(x)}\]
2) Sea la situación:
\[\lim_{x\rightarrow
\infty}\frac{f(x)}{g(x)}=\frac{\infty}{\infty}\]
En este caso, se puede reescribir el limite a
\[\lim_{x\rightarrow a }\frac{f(x)}{g(x)}=\frac{\infty}{\infty}\]
Dando a entender que $a$
es un número grande no definido, por lo que si se expresa este limite
de forma:
\[\lim_{x\rightarrow a}\frac{\frac{1}{g(x)}}{\frac{1}{f(x)}}\]
Sabiendo que
$\lim_{x\rightarrow a}f(x)=\infty$
y que $\lim_{x\rightarrow
a}g(x)=\infty$,
entonces se llega a la indeterminación 0/0, y análogo al caso
anterior se puede concluir que:
\[\lim_{x\rightarrow \infty }\frac{f(x)}{g(x)}=\lim_{x\rightarrow
\infty }\frac{f'(x)}{g'(x)}\]
La manera mas rigurosa de justificar este hecho, es utilizar la
definición de limites en el infinito, y el teorema del valor medio de Cauchy.
Ejemplos: Calcular los siguientes limites:
1) $\lim_{x\rightarrow
0}\frac{\sin (ax)}{ax}$
donde $a$
es una constante.
En este caso se puede usar el teorema de compresión para determinar el limite. Sin embargo, con la regla de L'Hôpital, el proceso de resolución es mucho mas rápido.
En este caso se puede usar el teorema de compresión para determinar el limite. Sin embargo, con la regla de L'Hôpital, el proceso de resolución es mucho mas rápido.
\[\lim_{x\rightarrow 0}\frac{\sin (ax)}{ax}=\lim_{x\rightarrow
0}\frac{a\cos (ax)}{a}=1\]
2) $\lim_{x\rightarrow
0}\frac{\ln (1-x)}{x}$
En este caso se puede usar una tabla de valores para analizar los
limites laterales. Sin embargo, el proceso es un poco tedioso, por lo
que aplicando la regla de L'Hôpital se ahorra tiempo en el cálculo del
limite.
\[\lim_{x\rightarrow 0}\frac{\ln (1-x)}{x}=\lim_{x\rightarrow
0}\frac{\frac{-1}{1-x}}{1}=-1\]
3) $\lim_{x\rightarrow
0}\frac{e^{x}-x-1}{x^{2}}$
\[\lim_{x\rightarrow 0}\frac{e^{x}-x-1}{x^{2}}=\lim_{x\rightarrow
0}\frac{e^{x}-1}{2x}\]
Note que en este caso la indeterminación persiste. No
obstante, es posible aplicar nuevamente la regla de L'Hôpital.
\[\lim_{x\rightarrow 0}\frac{e^{x}-1}{2x}=\lim_{x\rightarrow
0}\frac{e^{x}}{2}=\frac{1}{2}\]
4) $\lim_{x\rightarrow 0^{+}}x^{2}\ln x$
En este caso se tiene una indeterminación distinta a las que acepta la
regla de L'Hôpital. Por otro lado, es posible reescribir el límite de
manera que se llegue a cualquiera de las indeterminaciones en las que
sea posible aplicar dicha regla
\[\lim_{x\rightarrow 0^{+}}x^{2}\ln x=\lim_{x\rightarrow 0}\frac{\ln
x}{\frac{1}{x^{2}}}\]
Así entonces se tiene que.
\[\lim_{x\rightarrow 0^{+}}\frac{\ln
x}{\frac{1}{x^{2}}}=\lim_{x\rightarrow
0}\frac{\frac{1}{x}}{-\frac{2}{x^{3}}}=\lim_{x\rightarrow 0}\left
(-\frac{x^{2}}{2} \right )=0\]
Limite de funciones compuestas
Si $f$
es continua en un número
$b$ y $\lim_{x\rightarrow
a}g(x)=b$,
entonces
$\lim_{x\rightarrow a}f(g(x))=f(b)$
Esto resulta razonable ya que mientras
$x$ está mas cerca de $a$,
$g$
tiende a estar cerca de $b$,
y como $f$
es continua en $b$,
el limite de g compuesta por f tiende a
$f(b)$, siendo posible decir que
\[\lim_{x\rightarrow a}f(g(x))=f(\lim_{x\rightarrow a}g(x))\]
Ejemplo:
Calcule $\lim_{x\rightarrow \infty }\left ( \frac{3+x}{3-x} \right
)^{\frac{1}{x}}$
Este tipo de límite se lo puede escribir de forma general como:
\[\lim_{x\rightarrow a }u^{v}=L\]
Donde $u$ y $v$
son funciones que dependen de
$x$.
Luego aplicando logaritmos se tiene:
\[\ln (\lim_{x\rightarrow a }u^{v})=\ln L\]
De acuerdo con el teorema enunciado, el límite puede salir del logaritmo como sigue:
\[\lim_{x\rightarrow a }(v\ln u)=\ln L\]
\[e^{\lim_{x\rightarrow a }(v\ln u)}=L\]
De manera que se puede realizar la siguiente igualación:
\[\lim_{x\rightarrow \infty }\left ( \frac{3+x}{3-x} \right
)^{\frac{1}{x}}=e^{\lim_{x\rightarrow \infty }\frac{1}{x}\ln \left (
\frac{3+x}{3-x} \right )}\]
Calculando el limite del exponente:
\[\lim_{x\rightarrow \infty }\frac{1}{x}\ln \left ( \frac{3+x}{3-x}
\right )=\lim_{x\rightarrow \infty }\frac{\ln \left ( \frac{3+x}{3-x}
\right )}{x}\]
\[\lim_{x\rightarrow \infty }\frac{\ln (3+x)-\ln
(3-x)}{x}=\lim_{x\rightarrow \infty
}\frac{\frac{1}{3+x}+\frac{1}{3-x}}{1}\]
\[\lim_{x\rightarrow \infty }\left (\frac{1}{3+x}+\frac{1}{3-x}
\right )=0\]
Por último:
\[L=e^{0}=1\]
Los límites exponenciales pueden dar resultados como
$1^{\infty },0^{0},\infty ^{0}$.
Sin embargo, hablando en el contexto de limites, estos valores no
son resultados como tal, sino aproximaciones que se podrían escribir
como:
\[\lim_{x\rightarrow a}f(x)^{\lim_{x\rightarrow \infty
}g(x)}=1^{\infty }\]
\[\lim_{x\rightarrow 0}f(x)^{\lim_{x\rightarrow 0
}g(x)}=0^{0}\]
\[\lim_{x\rightarrow \infty }f(x)^{\lim_{x\rightarrow 0 }g(x)}=\infty
^{0}\]
Como f y g son funciones de cualquier naturaleza, se pueden
reescribir de diferentes maneras dando limites de valores diferentes a
los mencionados. Por ejemplo:
\[\lim_{x\rightarrow 0}(1+x )^{\frac{1}{x}}=1^{\infty }\rightarrow L=e\]
\[\lim_{x\rightarrow 3^{-}}\left ( \frac{x+1}{7-x} \right
)^{\frac{1}{3-x}}=1^{\infty }\rightarrow L=\frac{1}{\sqrt{e}}\]
\[\lim_{x\rightarrow \infty }x^{\frac{1}{x}}=\infty ^{0}\rightarrow
L=1\]
\[\lim_{x\rightarrow \infty }(1+e^{x})^{\frac{1}{x}}=\infty
^{0}\rightarrow L=e\]
\[\lim_{x\rightarrow 0^{+}}x^{x}=0^{0}\rightarrow L=1\]
\[\lim_{x\rightarrow 0^{+}}\left (e^{-\frac{1}{x^{2}}} \right
)^{x}=0^{0}\rightarrow L=0\]
Note que se tienen diferentes resultados para cada caso y pueden
existir muchos otros mas dependiendo de la naturaleza de las
funciones. De manera que, como un limite, los términos $1^{\infty },0^{0},\infty ^{0}$
son valores indeterminados.
Ejemplo práctico: Calcule $\lim_{t\rightarrow 0 }\left \langle
\frac{e^{t}-1}{t},\frac{\sqrt{1+t}-1}{t},\frac{3}{1+t} \right
\rangle$
Hallando el limite de cada función componente:
- Para $f(t)=\frac{e^{t}-1}{t}$
\[\lim_{t\rightarrow 0}\frac{e^{t}-1}{t}=\lim_{t\rightarrow
0}\frac{e^{t}}{1}=1\]
- Para $g(t)=\frac{\sqrt{1+t}-1}{t}$
\[\lim_{t\rightarrow 0}\frac{\sqrt{1+t}-1}{t}=\lim_{t\rightarrow
0}\frac{\frac{1}{2\sqrt{1+t}}}{1}=\frac{1}{2}\]
- Para $h(t)=\frac{3}{1+t}$
\[\lim_{t\rightarrow 0}\frac{3}{1+t}=3\]
Entonces el limite de la función vectorial es:
\[\lim_{t\rightarrow 0}\left \langle
\frac{e^{t}-1}{t},\frac{\sqrt{1+t}-1}{t} ,\frac{3}{1+t}\right
\rangle=\left \langle 1,\frac{1}{2},3 \right \rangle\]
Ejercicios:
a) Demostrar si es posible aplicar el teorema de Rolle en la función dada por $\small f(x)=\left\{\begin{matrix} x^{2}-4, &x< 1 \\ 3x-6, & x\geq 1 \end{matrix}\right.$ en el intervalo $\small [-2,2]$
b) Demostrar si es posible aplicar el teorema del valor medio de Cauchy en las funciones dadas por $\small f(x)=-2\cos x\sin x$ y $\small g(x)=2x$ en el intervalo $\small [0,\frac{\pi}{2}]$
c) Hallar los siguientes limites
1) $\lim_{x\rightarrow 0^{+}}\frac{x^{3}\csc x}{1-\sec
x}$
2) $\lim_{x\rightarrow \infty }\frac{x\ln x}{x^{2}+\ln
x}$
3) $\lim_{x\rightarrow 0}\frac{1+x-e^{x}}{\sin ^{2}x}$
4) $\lim_{x\rightarrow 1}\frac{1-\cos (2\pi
x)}{(x-1)^{2}}$
5) $\lim_{x\rightarrow
0}\frac{(e^{x}-1)^{2}}{e^{x^{2}}-1}$
6) $\lim_{x\rightarrow 0}\frac{\ln (x^{2}+1)}{x}$
7) $\lim_{x\rightarrow 0}\frac{e^{x}-x\cos x-1}{\sin x-x+1-\cos
x}$
8) $\lim_{x\rightarrow 0^{+}}x\ln x$
9) $\lim_{t\rightarrow 1}\left \langle \sqrt{t},\frac{\ln
t}{t^{2}-1},2t^{2} \right \rangle$
10) $\lim_{t\rightarrow \infty }\left \langle
e^{-t},\frac{t-1}{t+1},\arctan t \right \rangle$
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