Cálculo vectorial III

Teorema de Green

Sea C una curva cerrada simplemente conexa con orientación positiva y suave a pedazos en el plano y sea D la región acotada por C. Si P y Q tienen derivadas parciales continuas en una región abierta que contiene D, entonces

\[\int_{C}(P\mathrm{d}x+Q\mathrm{d}y)=\iint_{D}\left ( \frac{\partial Q}{\partial x}-\frac{\partial P}{\partial y} \right )\mathrm{d}A\]

(a) Orientación positiva, (b) Orientación negativa

Este teorema, que lleva el nombre del científico autodidacta inglés George Green, relaciona el volumen de un sólido formado por una región simplemente conexa debajo de una superficie con la integral de línea de un campo vectorial alrededor de la curva frontera de dicha región.

Demostración:

Considere las siguientes regiones simples

(a) D es simple verticalmente, (b) D es simple horizontalmente

Para la región simple verticalmente mostrada en la figura, se puede decir que la integral de línea es

\[\int_{C}P\mathrm{d}x=\int_{C_{1}}P\mathrm{d}x+\int_{C_{2}}P\mathrm{d}x\]

\[\int_{C}P\mathrm{d}x=\int_{a}^{b}P[x,f_{1}(x)]\mathrm{d}x+\int_{b}^{a}P[x,f_{2}(x)]\mathrm{d}x\]

\[I=\int_{a}^{b}P[x,f_{1}(x)]\mathrm{d}x-\int_{a}^{b}P[x,f_{2}(x)]\mathrm{d}x= \int_{a}^{b} \left\{ P[x, f_{1}(x)]-P[x, f_{2}(x)] \right\} \mathrm{d}x\]

donde P es la función vectorial que describe la curva de la frontera de la región D.

Por otro lado, se puede decir que el volumen del sólido que encierra D con la superficie $P_{y}=\frac{\partial P}{\partial y}$ se da por

\[\iint_{D}\frac{\partial P}{\partial y}dA=\int_{a}^{b}\int_{f_{1}(x)}^{f_{2}(x)}\frac{\partial P}{\partial y}dy\, dx\]

\[\iint_{D}\frac{\partial P}{\partial y}dA=\int_{a}^{b}\left\{P[x,f_2(x)]-P[x,f_1(x)]\right\}dx\]

Por consiguiente

\[\int_{C} P \mathrm{d}x=-\iint_{D}\frac{\partial P}{\partial y}dA\]

De manera similar con la región simple horizontalmente se puede concluir que:

\[\int_{C} Q \mathrm{d}y= \iint_{D}\frac{\partial Q}{\partial x}dA\]

Así entonces, sumando estos resultados se llega a la tesis del teorema de Green.

\[\oint_{C}(P\mathrm{d}x+Q\mathrm{d}y)=\iint_{D}\left ( \frac{\partial Q}{\partial x}-\frac{\partial P}{\partial y} \right )\mathrm{d}A\]

A veces se utiliza la notación de la integral con un círculo en medio para indicar que la integral de línea se evalua con orientación positiva de la curva cerrada C. Por ende, también se la conoce como integral cerrada.

Ejemplo 1: Evalúe la integral cerrada $\oint_{C} [2xy\mathrm{d}x+(x+y)\mathrm{d}y]$ donde C es la frontera de la región comprendida entre las gráficas de $y=0$ y $y=1-x^{2}$

Graficando la región D se tiene:

Debido a la simbología de la integral dada, es evidente que C tiene orientación positiva (sentido antihorario)

Aunque la integral de línea dada podría evaluarse por los métodos de parametrización o teorema fundamental de la integral de línea, esto implicaría obtener ecuaciones vectoriales o analizar si el campo dado es conservativo. Por ende, conviene utilizar el teorema de Green, donde se puede decir que $P(x,y)=2xy, \, Q(x,y)=x+y$ de modo que:

\[\oint _{D}[2xy \mathrm{d} x+(x+y)\mathrm{d} y]=\iint_{D}\left [ \frac{\partial }{\partial x}(x+y)-\frac{\partial }{\partial y}(2xy) \right ]dA\]

\[I=\int_{-1}^{1}\int_{0}^{1-x^{2}}(1-2x)dy\, dx=\int_{-1}^{1}(1-2x)y\left.\begin{matrix} \\ \\\end{matrix}\right|_{0}^{1-x^{2}}dx\]

\[I=\int_{-1}^{1}[1-x^{2}-2x(1-x^{2})]dx=\left [ x-\frac{x^{3}}{3}+\frac{(1-x^{2})^{2}}{2} \right ]\left.\begin{matrix} \\ \\\end{matrix}\right|_{-1}^{1}\]

\[I=1-\frac{1}{3}+1-\frac{1}{3}=\frac{4}{3}\]

Cabe mencionar que los límites de integración de las integrales iteradas deben obedecer el sentido de orientación de la curva.

Ejemplo 2: Evalúe la integral cerrada $\oint_{C} (e^{x}\cos 2y\mathrm{d}x+2e^{x}\sin 2y\mathrm{d}y)$ donde C es el círculo $x^{2}+y^{2}=a^{2}$

Desarrollando por teorema de Green se tiene

\[\oint_{C} (e^{x}\cos 2y\mathrm{d}x+2e^{x}\sin 2y\mathrm{d}y)=\iint_{D}\left [ \frac{\partial }{\partial x}(2e^{x}\sin 2y)+\frac{\partial }{\partial y}(e^{x}\cos 2y) \right ]dA\]

\[I=\iint_{D}(2e^{x}\sin 2y-2e^{x}\sin 2y)dy\, dx=0\]

Observe que el integrando es un campo vectorial conservativo, por lo que resulta coherente que el resultado de la integral sea 0. Cabe mencionar que, debido a que la región se encierra en un círculo, conviene utilizar coordenadas polares para la evaluación de la integral doble.

Ejemplo 3: Evalúe la integral cerrada $\oint_{D} [(x-3y)\mathrm{d}x+(x+y)\mathrm{d}y]$ donde D es la frontera de la región comprendida entre los círculos $x^{2}+y^{2}=1,\, x^{2}+y^{2}=9$

Graficando la región se tiene

Región no simplemente conexa

El teorema de Green puede extenderse para una región no simplemente conexa si esta se divide en subregiones cuya orientación sea siempre positiva. Así, la integral será la suma de las integrales de cada una de las subregiones.

Entonces, si la región es dividida en dos pedazos se tiene

Al dividir D en D1 y D2 se tienen dos regiones simplemente conexas. Además, el hueco debe tener orientación negativa para que D1 y D2 tengan orientación positiva

Por tanto:

\[\oint_{D} [(x-3y)\mathrm{d}x+(x+y)\mathrm{d}y]=\iint_{D_{1}}(4)dxdy+\iint_{D_{2}}(4)dxdy\]

\[I=4\int_{0}^{\pi }\int_{1}^{3}r\, drd\theta +4\int_{\pi }^{2\pi }\int_{1}^{3}r\, drd\theta \]

\[I=2\int_{0}^{\pi }r^{2}\left.\begin{matrix} \\ \\\end{matrix}\right|_{1}^{3}d\theta +2\int_{\pi }^{2\pi }r^{2}\left.\begin{matrix} \\ \\\end{matrix}\right|_{1}^{3}d\theta=16\theta \left.\begin{matrix} \\ \\\end{matrix}\right|_{0}^{\pi }+16\theta \left.\begin{matrix} \\ \\\end{matrix}\right|_{\pi }^{2\pi }=32\pi \]

Note que si se retira el 4 de las integrales dobles, estas corresponden al área de las regiones D1 y D2, por lo que otra forma de calcular la integral de línea, que incluso evita la evaluación de las integrales dobles, es hallar el área de ambas mitades del anillo y sumarlas.

\[ I=4(A_{D1})+4(A_{D2})=4\left[\frac{\pi}{2}(9-1)\right]+4\left[\frac{\pi}{2}(9-1)\right]=32\pi \]

Se sabe que un campo vectorial alrededor de una curva simple C en una región simplemente conexa D es conservativo si se cumple que $\int_{C}\textbf{F}\cdot d\textbf{r}=0$. Usando el teorema de Green, esta condición tiene mayor sentido, pues si C ahora es cualquier trayectoria cerrada simple en D y R es la región encerrada por C, entonces

\[\oint_{C}\textbf{F}\cdot d\textbf{r}=\oint_{C}[P\mathrm{d}x+Q\mathrm{d}y]=\iint_{R}\left (\frac{\partial Q}{\partial x}-\frac{\partial P}{\partial y} \right )dA=\iint_{R}0dA=0\]

siendo esta una nueva forma para determinar si un campo vectorial es conservativo así como para concluir que la integral de línea es independiente de la trayectoria.

El rotacional

Consideremos a "f" como una función escalar en $\mathbb{R}^{3}$, si se sabe que su gradiente está dado por

\[\nabla f=\frac{\partial f}{\partial x}\textbf{i}+\frac{\partial f}{\partial y}\textbf{j}+\frac{\partial f}{\partial z}\textbf{k}\]

y si tomamos únicamente las derivadas parciales es posible formar el vector $\nabla=\frac{\partial}{\partial x}\textbf{i} +\frac{\partial}{\partial y}\textbf{j} +\frac{\partial}{\partial z}\textbf{k}$ de manera que el gradiente es considerado como el producto $\nabla(f)$. Ahora si en lugar de multiplicar el campo escalar "f", se multiplica un campo vectorial "F" de $\mathbb{R}^{3}$, se obtiene el producto vectorial:

\[\small \nabla \times F=\begin{vmatrix}\textbf{i} & \textbf{j} & \mathbf{k}\\\frac{\partial }{\partial x} & \frac{\partial }{\partial y} & \frac{\partial }{\partial z} \\P & Q & R \\\end{vmatrix}=\left ( \frac{\partial R}{\partial y}-\frac{\partial Q}{\partial z} \right )\textbf{i}+\left ( \frac{\partial P}{\partial z}-\frac{\partial R}{\partial x} \right )\textbf{j}+\left ( \frac{\partial Q}{\partial x}-\frac{\partial P}{\partial y} \right )\textbf{k}\]

siendo este el rotacional de "F".

\[\mathrm{rot} \textbf{F}=\nabla \textbf{F}\]

Ejemplo 4: Calcule el rotacional del campo vectorial $\textbf{F}=P\textbf{i}+Q\textbf{j}+R\textbf{k}$ si "F" es conservativo

Se sabe que si "F" es conservativo, entonces debe existir una función "f" tal que $\nabla f=\textbf{F}$ de modo que:

\[\small \textbf{rot}(\nabla f)=\begin{vmatrix}\textbf{i} & \textbf{j} & \textbf{k} \\\frac{\partial }{\partial x} & \frac{\partial }{\partial y} & \frac{\partial }{\partial z} \\\frac{\partial f}{\partial x} & \frac{\partial f}{\partial y} & \frac{\partial f}{\partial z} \\\end{vmatrix}=\left ( \frac{\partial^2 f}{\partial y \partial z}-\frac{\partial^2 f}{\partial z \partial y} \right )\textbf{i}-\left ( \frac{\partial^2 f}{\partial x \partial z}-\frac{\partial^2 f}{\partial z \partial x} \right )\textbf{j}+\left ( \frac{\partial^2 f}{\partial x \partial y}-\frac{\partial^2 f}{\partial y \partial x} \right )\textbf{k}\]

\[\textbf{rot}(\nabla f)=0\textbf{i}+0\textbf{j}+0\textbf{k}=\emptyset \]

Note que los pares pueden eliminarse debido al teorema de Clairaut. Así entonces, se dice que el rotacional de un campo vectorial conservativo es el vector nulo.

La divergencia

Consideremos el mismo campo "F" en $\mathbb{R}^{3}$ pero en lugar de realizar un producto vectorial, efectuemos el producto escalar

\[\nabla \cdot F= \left ( \frac{\partial }{\partial x}\textbf{i}+\frac{\partial }{\partial y}\textbf{j}+\frac{\partial }{\partial z}\textbf{k} \right )\cdot \left ( P\textbf{i}+Q\textbf{j}+R\textbf{k} \right )=\frac{\partial P}{\partial x}+\frac{\partial Q}{\partial y}+\frac{\partial R}{\partial z}\]

obteniendo así la definición de divergencia

\[\mathrm{div}\textbf{F}=\nabla \cdot \textbf{F}\]

Ejemplo 5: Calcule la divergencia del rotacional del campo vectorial $\textbf{F}=P\textbf{i}+Q\textbf{j}+R\textbf{k}$

Usando las definiciones de divergencia y rotacional, se tiene

\[\mathrm{div}\, \mathrm{rot}\textbf{F}=\nabla \cdot (\nabla \times \textbf{F})\]

\[\mathrm{div}\, \mathrm{rot}\textbf{F}=\frac{\partial }{\partial x}\left ( \frac{\partial R}{\partial y}-\frac{\partial Q}{\partial z} \right )+\frac{\partial }{\partial y}\left ( \frac{\partial P}{\partial z}-\frac{\partial R}{\partial x} \right )+\frac{\partial }{\partial z}\left ( \frac{\partial Q}{\partial x}-\frac{\partial P}{\partial y} \right ) \]

\[\mathrm{div}\, \mathrm{rot}\textbf{F}=\frac{\partial^{2}R }{\partial x \partial y}-\frac{\partial^{2}Q }{\partial x \partial z}+\frac{\partial^{2} P}{\partial y \partial z}-\frac{\partial^{2} R}{\partial y \partial x}+\frac{\partial^{2} Q}{\partial z \partial x}-\frac{\partial^{2} P}{\partial z \partial y} \]

\[\mathrm{div}\, \mathrm{rot}\textbf{F}=0\]

Concluyendo así que la divergencia de cualquier rotacional es siempre 0.

Los operadores rotacional y divergencia tienen mayor significado en física pues son muy utilizados para el estudio de fluidos o electromagnetismo. El rotacional, por lo general mide el nivel de rotación de un campo vectorial y como este gira, por otro lado la divergencia mide la densidad del campo en cierto punto (ver figura).

Si el campo vectorial tiende a girar en sentido antihorario, entonces el rotacional es positivo, caso contrario seria negativo. Por otro lado si el campo vectorial tiende a concentrarse en un punto, la divergencia es negativa, en otro caso si el campo tiende a escapar de dicho punto, entonces la divergencia es positiva.

Forma vectorial del teorema de Green

Los operadores de rotacional y divergencia permiten reescribir al teorema de Green en términos vectoriales como sigue.

Supongamos un campo vectorial $\textbf{F}$ con tercer componente 0, calculando su rotacional se tiene.

\[\mathrm{rot}\textbf{F}=\begin{vmatrix} \textbf{i}& \textbf{j} & \textbf{k} \\\frac{\partial }{\partial x} & \frac{\partial }{\partial y} & \frac{\partial }{\partial z} \\P & Q & 0 \\\end{vmatrix}=-\frac{\partial Q}{\partial z}\textbf{i}+\frac{\partial P}{\partial z}\textbf{j}+\left ( \frac{\partial Q}{\partial x}-\frac{\partial P}{\partial y} \right )\textbf{k}\]

de manera que si aplicamos el producto escalar con un vector unitario de única componente "k", obtenemos:

\[\mathrm{rot}\textbf{F}\cdot \textbf{k}=\left< -\frac{\partial Q}{\partial z},\frac{\partial P}{\partial z},\left ( \frac{\partial Q}{\partial x}-\frac{\partial P}{\partial y} \right )\right>\cdot \left<0,0,1 \right>=\frac{\partial Q}{\partial x}-\frac{\partial P}{\partial y}\]

siendo este el integrando del teorema de Green, de modo que ahora es posible escribir

\[\oint _{C}\textbf{F}\cdot \mathrm{d} \textbf{r}=\iint_{D}(\mathrm{rot}\textbf{F})\cdot \textbf{k}dA\]

Esta nueva ecuación, junto con la interpretación física del rotacional, expresa que tan a favor se encuentra un campo vectorial F de la dirección de la trayectoria cerrada C (ver figura).

El vector "r" es tangente a la trayectoria y "n" es el vector normal

Si suponemos una partícula que tiene la trayectoria C mostrada en la figura, se puede observar que en ciertos puntos, el campo vectorial favorece el movimiento de dicha partícula, mientras que en otros puntos no. De este modo, se procede a utilizar los vectores tangente y normal para estudiar el comportamiento del movimiento en estos puntos. Por tanto, si "C" se describe por la ecuación vectorial

\[\textbf{r}(t)=x(t)\textbf{i}+y(t)\textbf{j}\]

Entonces, calculando el vector normal unitario se tiene que:

\[\textbf{N}(t)=\frac{1}{\left\|\textbf{r}'(t) \right\|}[y'(t)\textbf{i}-x'(t)\textbf{j}]\]

de modo que la integral de línea por definición con este vector será:

\[ \oint _{C}\textbf{F}\cdot \textbf{N}\, ds=\int_{a}^{b}(\textbf{F}\cdot \textbf{N})(t)\left\|\textbf{r}'(t) \right\|dt\]

\[I=\int_{a}^{b}\frac{1}{\left\|\textbf{r}'(t) \right\|}[P(x,y)y'(t)-Q(x,y)x'(t)]\left\|\textbf{r}'(t) \right\|dt\]

\[I=\int_{a}^{b}[P(x,y)y'(t)dt-Q(x,y)x'(t)dt]=\int _{C}(Pdy-Qdx)\]

De esta forma por teorema de Green se tiene

\[I=\iint_{D}\left ( \frac{\partial P}{\partial x}+\frac{\partial Q}{\partial y} \right )dA\]

No obstante, esta es la divergencia del campo vectorial "F" por lo que se puede decir que

\[\oint_{C}\textbf{F}\cdot \textbf{N}ds=\iint_{D}\mathrm{div}\textbf{F}(x,y)\mathrm{d}A\]

Esta nueva ecuación, junto con la interpretación física de la divergencia, es el inicio del teorema de la divergencia utilizada en conceptos de electromagnetismo.

Ejercicios:

a) Use el teorema de Green para evaluar la integral de línea a lo largo de la curva dada

1) $\int_{C} (ye^{x}dx+2e^{x}dy)$, C: es el rectángulo con vértices (0,0), (3,0), (3,4) y (0,4).

2) $\int_{C}[(y+e^{\sqrt{x}})dx+(2x+\cos y^{2})dy]$, C: es la frontera de la región encerrada por las parábolas $y=x^{2}$ y $x=y^{2}$.

3) $\int_{C}(y^{3} dx - x^{3} dy)$, C: es el círculo $x^{2}+y^{2}=4$.

4) $\int_{C}[(y \cos x -xy\sin x)\textbf{i} +(xy+ x\cos x)\textbf{j}]\cdot d\textbf{r}$, C: es el triángulo de (0,0) a (0,4) a (2,0) a (0,0)

5) $\int_{C}[(y-\cos y)\textbf{i} +x\sin y\textbf{j}]\cdot d\textbf{r}$, C: es el círculo $(x-3)^{2}+(y+4)^{2}=4$ orientado en el sentido horario.

b) Determine el rotacional y la divergencia de los siguientes campos vectoriales

1) $\textbf{F}(x,y,z)=xy^{2}z^{2}\textbf{i} +x^{2}yz^{2}\textbf{j} +x^{2}y^{2}z\textbf{k}$

2) $\textbf{F}(x,y,z)=xyz\textbf{i} -x^{2}y\textbf{k}$

3) $\textbf{F}(x,y,z)=\frac {\sqrt{x}}{1+z}\textbf{i} +\frac{\sqrt{y}}{1+x}\textbf{j} +\frac{\sqrt{z}}{1+y}\textbf{k}$

4) $\textbf{F}(x,y,z)=\frac{1}{\sqrt{x^{2}+y^{2}+z^{2}}}(x\textbf{i} +y\textbf{j} +z\textbf{k})$