Funciones de una variable III

 Simetría, catálogo de funciones y parametrización

Simetría:

- Si una función real de una variable real cumple que f(-x)=f(x) para todo x de su dominio, entonces esta se denomina función par. Gráficamente se puede decir que una función es par si esta se refleja sobre el eje de ordenadas.

- Si una función real de una variable real cumple que f(-x)=-f(x) para todo x de su dominio, entonces esta se denomina función impar. Gráficamente se puede decir que una función es impar si esta es girada 180 grados respecto al origen.

Ejemplos:

Catálogo de funciones reales de una variable real:

- Funciones lineales:

Una función lineal se representa algebraicamente por la ecuación punto pendiente de una recta. Recordando geometría analítica, "m" es la pendiente y "b" es la intersección con el eje de ordenadas.

El dominio se encuentra definido en todos los números reales.

\[y=mx+b\]

\[D=\mathbb{R}\]

Es posible graficar esta función sin necesidad de una tabla de valores si se conoce la pendiente y la intersección con el eje de ordenadas. Por ejemplo, graficar la función:

\[f(x)=\frac{3}{2}x-2\]

Se conoce que la pendiente es m=3/2 y la intersección con la ordenada es -2. Entonces, se parte desde este punto y se cuenta 2 a la derecha y 3 hacia arriba encontrando así el punto (x2,y2). La línea que intersecta este punto con el conocido (0,-2) corresponde a un segmento de la recta, por lo que prolongando en ambos extremos, se obtiene la gráfica pedida:

En caso de ser pendiente negativa se cuenta hacia la izquierda y luego hacia arriba.

- Funciones de polinomios:

Una función de polinomios se define de forma general mediante la expresión:

\[P(x)=a_{n}x^{n}+a_{n-1}x^{n-1}+...+a_{2}x^{2}+a_{1}x+a_{0}\]

\[D=\mathbb{R}\]

Recordando álgebra básica, "n" es un número natural que indica el grado del polinomio y los términos "a_0, a_1, a_{2, ...,} a_n" son los coeficientes.

El dominio se encuentra definido en todos los números reales. 

Una función lineal podría considerarse como un polinomio de grado 1 debido a que "n" es 1, si es 2 se tiene una función cuadrática, si es 3 se tiene un función cúbica y si es mayor entonces simplemente se dice que es una función polinómica de grado "n". Por ejemplo, la siguiente figura muestra una función polinómica de grado 4 que obedece a $f(x)=\frac{1}{2}x^{4}-3x^{2}+x-2$

Para graficar este tipo de funciones es necesario utilizar una tabla de valores para representar los puntos coordenados.

- Funciones potencia y raíz:

La función potencia es una versión simplificada del caso anterior, donde solo se tiene un término (monomio). Este tipo de funciones siempre es simétrica e impar si su potencia es impar o par si su potencia también lo es. Asimismo, la gráfica de funciones de potencia par siempre es una parábola y las de potencia impar siempre es una curva como el que se construyó en representación gráfica de funciones.

Conocida esta estructura, es posible graficarlas de una forma más sencilla utilizando unos cuantos puntos. Por ejemplo, graficar las funciones:

\[f(x)=x^{4}\]

\[g(x)=x^{5}\]

Para f(x), bastan los puntos: P1=(0,0), P2=(1,1) y P3=(2,16) y como ya se sabe que se trata de una función par, se copia la gráfica reflejándola respecto al eje de ordenadas. De forma similar para g(x), los puntos: P1=(0,0), P2=(1,1) y P3=(2,32) y como se tiene una función impar, entonces se copia la gráfica obtenida reflejándola respecto al origen volteada 180 grados.

Una función raíz también compone de un solo término. Sin embargo, el dominio varia de acuerdo al índice de la raíz. Si el índice es impar, su dominio está definido en todos los números reales, pero si su índice es par este se define en [0,ꝏ). Además cabe mencionar que las funciones raíz de índice impar son funciones impares. 

Así como en funciones potencia, las funciones raíz se pueden graficar usando unos cuantos puntos. Por ejemplo, graficar:

\[f(x)=\sqrt[2]{x}\]

\[g(x)=\sqrt[3]{x}\]

Para f(x) solo bastan los puntos: P1=(0,0), P2=(1,1) y P3=(4,2). Por otro lado, para g(x) se tiene una función impar, por lo que se puede aplicar la estrategia anterior para este tipo de simetría usando solo los puntos: P1=(0,0), P2=(1,1) y P3=(8,2).

- Funciones racionales:

Una función racional es la razón entre dos polinomios, representado algebraicamente de forma general como:

\[f(x)=\frac{P(x)}{Q(x)}\]

\[D=\left \{ x\mid Q(x)\neq 0\right \}\]

Note que la restricción del dominio, es que el polinomio del denominador no debe ser cero. La gráfica de este tipo de funciones es un poco mas complicada de realizar a mano a comparación de las anteriores, por lo que es necesario utilizar una tabla de valores de manera que cada valor de x debe ser fácilmente evaluable sobre f(x). Por ejemplo, estudiar el dominio y graficar la función:

\[f(x)=\frac{x^{2}}{x-1}\]

Se tiene que el dominio es:

\[Df=\mathbb{R}-\left \{ 1 \right \}\]

Luego el graficó será:

La elección de valores donde la función sea fácilmente calculable en ocasiones no resulta sencillo, pero utilizando el dominio como referencia y unos cuantos puntos se podría suponer como se dirige la curva. En este caso, la función presenta una asíntota en x=1 ya que su dominio no se encuentra definido en este valor y de acuerdo con el orden de los 6 puntos obtenidos se puede suponer dos curvas como parábolas abiertas hacia abajo y arriba.

- Funciones algebraicas:

Este tipo de funciones combina cualquier operación algebraica como raíces, suma de potencias con racionales, multiplicación de monomios y polinomios, etc. Por lo que, el dominio no presenta una forma general ya que depende de las operaciones que componga. Por ejemplo, calcular el dominio de:

\[f(x)=\frac{x^{3}}{\sqrt{x}-x^{2}}\]

Para este caso, como se combina una función raíz con una racional se debe calcular la intersección de sus dominios. Entonces para la función racional se tiene que:

\[\sqrt{x}-x^{2}=0\]

\[x^{2}\left [\sqrt{\frac{1}{x^{3}}}-1 \right ]= 0\]

\[x=\left \{ 0,1 \right \}\]

Para la función raíz de índice par, ya se conoce que está definido en $\mathbb{R}_{0}^{+}$. Entonces por simple inspección se tiene que la intersección de los dominios es:

\[D=\mathbb{R}^{+}-\left \{ 1 \right \}\]

Así entonces, se obtiene el dominio de la función dada. Por otro lado su gráfica es más complicada de construir a mano, por lo que es necesario el uso de una graficadora para obtener la curva.

- Funciones trigonométricas:

Recordando trigonometría, se sabe que el seno de un ángulo se da por cociente entre el cateto opuesto y la hipotenusa de un triángulo rectángulo, el coseno es el cateto adyacente sobre la hipotenusa y la tangente es cateto opuesto sobre adyacente. Sin embargo, estas razones trigonométricas solo funcionan para ángulos agudos. No obstante, una función trigonométrica es capaz de obtener el seno, coseno y tangente de ángulos no necesariamente agudos partiendo de este concepto:

Partiendo de una circunferencia es posible armar un triángulo rectángulo de manera que la hipotenusa "h" sea el radio "r". Si aplicamos la razón del seno conocida se tiene "o/r", para la razón del coseno se tiene "a/r" y para la tangente, "o/a". Es evidente que "o" resulta ser la ordenada de un punto "P" en el plano y "a" la abscisa. Ubicando este punto en cualquier cuadrante de la circunferencia diferente del primero se forman ángulos mayores a 90 grados desde el eje x positivo y si se aplican la mismas razones se obtiene el seno, coseno y tangente de cualquier ángulo no necesariamente agudo.

Al utilizar a una circunferencia para definir a las funciones trigonométricas, resulta natural usar el radián como unidad de medida del ángulo, el cual se define como un número real que indica la cantidad de veces que encaja la longitud del radio sobre el arco "s" de la circunferencia. Por ejemplo, cuando s=h se tiene el ángulo de un radián. ya que el radio encaja una vez sobre el arco.

Por simplicidad, utilicemos una circunferencia de radio 1, en el que barriendo una cantidad infinita de revoluciones o vueltas se obtienen las representaciones gráficas de las funciones seno y coseno. Asimismo partiendo de dichas gráficas se pueden encontrar las del resto de las funciones trigonométricas:

• Función sen(x) y csc(x):

\[f(x)=\sin (x) , D=\mathbb{R}\]
$\sin x=0$ si $x=n\pi$ donde $n\in \mathbb{Z}$
$\sin x=1$ si $x=\frac{\pi}{2}(4n-3)$ donde $n\in \mathbb{Z}$
$\sin x=-1$ si $x=\frac{\pi}{2}(4n-1)$ donde $n\in \mathbb{Z}$

\[f(x)=\csc (x), D=\mathbb{R}-\left \{ n\pi /n\in \mathbb{Z} \right \}\]

• Función cos(x) y sec(x):

\[f(x)=\cos (x) , D=\mathbb{R}\]
$\cos x=0$ si $x=\frac{\pi}{2}(2n-1)$ donde $n\in \mathbb{Z}$
$\cos x=1$ si $x=2n\pi$ donde $n\in \mathbb{Z}$
$\cos x=-1$ si $x=\pi (2n-1)$ donde $n\in \mathbb{Z}$

\[f(x)=\sec (x) , D=\mathbb{R}-\left \{ \frac{\pi }{2}(2n-1) /n\in \mathbb{Z} \right \}\]

• Función tg(x) y ctg(x):

\[f(x)=\tan (x) , D=\mathbb{R}-\left \{ \frac{\pi }{2}(2n-1) /n\in \mathbb{Z} \right \}\]

\[f(x)=\cot (x), D=\mathbb{R}-\left \{ n\pi /n\in \mathbb{Z} \right \}\]

- Funciones exponenciales:

Este tipo de funciones presentan un dominio definido para todos los números reales y algebraicamente se expresan como:

\[f(x)=a^{x}\]

\[D=\mathbb{R}\]

Donde "a" es una constante estrictamente positiva denominada base. La función de tipo exponencial muy utilizada en cálculo y otras aplicaciones es el que tiene como base al numero "e". Este es un número irracional cuyo valor aproximado es 2.718281828459... Matemáticamente, la idea de usar el numero "e" surge de la necesidad de encontrar una base para estas funciones tal que la pendiente de su recta tangente que corte al eje de ordenadas sea la unidad.

\[f(x)=e^{x}\]

Algo peculiar de cualquier función exponencial es que siempre corta al eje de ordenadas en 1 y el valor de f(1) es el de la base. Asimismo si dicha base es mayor que 1, la forma de la curva crece indefinidamente como muestra la figura y si se encuentra entre 0 y 1, la curva decrece siguiendo las mismas características descritas.

- Funciones logarítmicas:

Recordando los conceptos de logaritmos se sabe que:

\[\log _{a}x=y\leftrightarrow a^{y}=x\]

Note que matemáticamente la idea de la función logarítmica surge de realizar el proceso inverso a la función exponencial. Esto con el fin de expresar números grandes. Asimismo, en el conjunto de números reales se sabe que:

\[\log _{e}x=\ln x\]

Siendo esta la definición del logaritmo natural.

El dominio de estas funciones se define en $\mathbb{R}^{+}$ ya que no existe el logaritmo de cero o de un número negativo y esto surge por la condición que brinda la función exponencial ya mencionada respecto a la base.

\[f(x)=\ln x\]

La gráfica de cualquier función logarítmica siempre corta al eje de abscisas en el punto 1  y en f(a) donde a es la base del logaritmo, siempre es 1.

- Funciones definidas por tramos:

Este tipo de funciones contiene mas de una función sobre su dominio pero en diferentes secciones. Por ejemplo:

Otro ejemplo particular es la función de valor absoluto, si quisiéramos graficarlo debemos analizar el intervalo donde exista un cambio en la función. Si por definición se sabe que:

\[\left | a \right |=a\]

\[\left | -a \right |=a\]

Entonces se tiene dos intervalos, uno cuando a>0 y otro cuando a<0, ahora para cualquier valor positivo de "a" este se repite al aplicar el valor absoluto por lo que en forma de una función esta es la relación f(x)=x. Sin embargo para un valor negativo de "a", después de aplicar el valor absoluto, el valor se repite pero sin el signo por lo que se puede usar la expresión f(x)=-(-x), así el valor negativo se anula. Entonces se puede representar a la función en valor absoluto con su gráfica de la siguiente manera:

La gráfica se realiza de manera sencilla ya que se trata de funciones lineales con pendiente negativa y positiva igual a 1. Es posible convertir una función utilizando el valor absoluto con el objetivo de anular sus valores negativos. Por ejemplo, graficar:

\[f(x)=\left | 1-x^{2} \right |\]

Utilizando la definición de la función de valor absoluto se obtiene:

\[f(x)=\begin{cases} 1-x^{2} & \text{Si } 1-x^{2}\geq 0\\ -(1-x^{2}) & \text{Si } 1-x^{2}< 0 \end{cases}\]

Para calcular los intervalos donde se presente el cambio de función se debe obtener la solución de cualquiera de las inecuaciones resultantes, en este caso podemos resolver:

\[1-x^{2}\geq 0\]

\[1\geq x^{2}\]

\[x\leq \pm 1\]

Analizando el intervalo donde se satisface la inecuación se tiene que:

\[-1\leq x\leq 1\]

Entonces, es claro que para la segunda inecuación por descarte la solución será:

\[x< -1\vee x> 1\]

Este tipo de intervalos también podrían anotarse como valor absoluto utilizando teoremas conocidos obteniendo así la nueva expresión de f(x):

\[f(x)=\begin{cases} 1-x^{2} & \text{Si } \left | x \right |\leq 1 \\ x^{2}-1 & \text{Si }\left | x \right | > 1 \end{cases}\]

Elaborando la gráfica usando algunos atajos ya que se conoce la de una función cuadrática, se tiene: 

Parametrización de funciones reales de una variable real:

Parametrizar una función es convertir la variable independiente en otra de manera que la curva a la que le corresponde se la pueda expresar algebraicamente de otra forma más útil. Es posible convertir una función real de una variable real a una función vectorial parametrizando la variable independiente, es decir realizando el cambio de variable $x=t$. Por ejemplo, obtendremos la ecuación vectorial para la función:

\[f(x)=2^{-x}\]

Realizando el cambio de variable mencionado se tiene que:

\[r(t)=\left \langle t,2^{-t} \right \rangle=t\textbf{i}+2^{-t}\textbf{j}\]

Note que x se convierte en la función componente "i" y f(x) en la función componente "j". Luego, si graficamos la curva mediante la función real y mediante la función vectorial se puede observar lo siguiente:

Mediante la función vectorial se puede apreciar la dirección de la curva. Asimismo, observe la notación de los valores de r(t) que muestra la tabla de valores de la función vectorial.

Un ejemplo aplicativo puede ser obtener la simetría de una función como:

\[r(t)=t\mathbf{i}+t^{2}\mathbf{j}\]

Sin necesidad de obtener el gráfico se puede analizar la simetría usando la definición. Sin embargo esta sirve para funciones reales por lo que si se sabe que x=t, entonces:

\[f(x)=x^{2}\]

\[f(-x)=(-x)^{2}=x^{2}=f(x)\]

Por lo que la función que le corresponde a la ecuación vectorial dada presenta simetría par. Este análisis es propio de las funciones reales de una variable real, por lo que no es muy común analizar la simetría de funciones vectoriales a menos que estas surjan de una parametrización de dichas funciones reales.

Ejercicios:

a) Estudie la simetría de las siguientes funciones sin utilizar su gráfico

1) $f(x)=x^{3}-2x^{2}+x-4$

2) $f(x)=-\cos (2\pi x)$

3) $f(x)=x^{3}\sin (3x)$

4) $f(x)=\frac{x^{2}\cos (x)}{x^{4}-3x^{2}+1}$

5) $f(x)=\csc (x)\sqrt{x^{2}-1}$

6) $f(x)=\frac{\sec (x)}{x^{5}}$

b) Obtenga la ecuación vectorial de las siguientes funciones y grafique la función vectorial obtenida

1) $f(x)=\sqrt{x}-x$

2) $f(x)=2\sin \left ( 2x \right )$

3) $f(x)=\frac{x}{x^{2}-1}$

Soluciones de los ejercicios