Sucesiones y series I

 Sucesiones

Una sucesión es una función cuyo dominio es el conjunto de números naturales (1,2,3,4,5,6,...) y cuya salida respectiva a cada elemento es un número real y se las escriben como $a_{1},a_{2},a_{3},a_{4},a_{5},a_{6},...$. Cada uno de estos elementos se las denominan términos de la sucesión los cuales se anotan en orden. También pueden ser expresados por una fórmula explícita $a_{n}$ que se la denomina término n-ésimo de la sucesión. Sin amargo, no todas las sucesiones pueden expresarse con dicha fórmula.

Evaluación o listado de una sucesión

Listar los elementos de una sucesión es como evaluar una función tradicional y anotar los resultados en orden. Por ejemplo, listaremos los primeros 5 términos de la sucesión $\left \{ a_{n} \right \}=2n$

\[\left \{ a_{1}=2,\, a_{2}=4,\, a_{3}=6,\, a_{4}=8,\, a_{5}=10 \right \}\]

Esta es la sucesión del conjunto de los números pares.

Una sucesión puede ser representada gráficamente de la siguiente manera.

\[\mathit{\left \{ a_{n} \right \}=2n}\]

Note que, a diferencia de las curvas continuas como las de funciones reales o vectoriales, las curvas de las sucesiones son discretas. Es decir, se presentan saltos de punto a punto, ya que el dominio se compone únicamente de los números naturales.

Término n-ésimo de una sucesión

A veces los términos de una sucesión se generan a partir de una lista debido a una regla que no expresa un regla explícita para representar la secuencia. En estos casos es necesario deducir el término n-ésimo siempre que se pueda, ya que no todas las sucesiones pueden expresarse con una fórmula explícita. Por ejemplo, dado el siguiente listado $\left \{ 1,3,5,7,9,... \right \}$ halle el término n-ésimo de la sucesión.

Existen muchas maneras de deducir la fórmula explícita de la sucesión, una de ellas es utilizar el gráfico de la curva como sigue:

Note que la curva se asemeja a la gráfica de una función lineal, por lo que expresando la fórmula explícita de dicha función se tiene

\[f(x)=2x-1\]

De esta manera si los términos de la sucesión corresponden a fórmula se puede decir que $f(n)=a_{n}$ 

\[\left \{ a_{n} \right \}=2n-1\]

Esta sucesión es la del conjunto de todos los números impares.

En otros casos no resulta útil la fórmula de la función lineal para determinar el término n-ésimo de la sucesión, de manera que es necesario aplicar otras estrategias. Por ejemplo, sea la lista $\left \{ 6,\, -2,\, \frac{2}{3},\, -\frac{2}{9},...\right \}$, hallar el término n-ésimo de la sucesión.

Al tratarse de fracciones, el término n-ésimo igualmente debe ser una fracción. Sin embargo, algunos de los términos se encuentran simplificados, de manera que nos basaremos en los términos que sean fracciones no simplificadas.

Observando dichos términos, se puede inferir que el numerador es siempre igual a 2, de manera que la lista se puede reescribir como sigue:

\[\left \{ \frac{2}{1/3},\, -\frac{2}{1},\, \frac{2}{3},\, -\frac{2}{9},...\right \}\]

Note que desde el segundo término, el denominador presenta una secuencia que obedece a una potencia. Por lo tanto, la lista ahora se reescribe como sigue:

\[\left \{ \frac{2}{1/3},\, -\frac{2}{3^{0}},\, \frac{2}{3^{1}},\, -\frac{2}{3^{2}},...\right \}\]

De esta manera se puede inferir que el primer término es $\frac{2}{3^{-1}}$. Luego, hay que recordar que el orden de los términos es importante, de manera que para obtener la potencia -1 en el primer término se puede usar la fórmula $n-2$. Asimismo, los signos están alternados donde el primer término es positivo de manera que se puede usar la fórmula $(-1)^{n+1}$. Así entonces, el término n-ésimo de la sucesión será

\[\left \{ a_{n} \right \}=\left \{ \frac{2(-1)^{n+1}}{3^{(n-2)}}\right \}\]

Ejemplo 3: Hallar el término n-ésimo de la sucesión que corresponde al siguiente listado

\[\left \{ -1,\, \frac{1}{2},\, -\frac{1}{6},\, \frac{1}{24},\, -\frac{1}{120},...\right \}\]

El numerador es siempre 1, el denominador sigue la secuencia del factorial. Luego, los signos se ven alternados donde el primer término es negativo, por lo que la fórmula de la sucesión será

\[\left \{ a_{n} \right \}=\left \{ \frac{(-1)^{n}}{n!}\right \}\]

Limite de una sucesión

En sucesiones, el análisis de interés es hallar el valor al cual tienden o se acercan los términos a mayores valores de "n". Para ello, gracias a la definición de limite en el infinito conocida se puede decir que

\[\lim_{n\rightarrow \infty }a_{n}=L\, si\, \forall \varepsilon > 0\exists N> 0/n> N\Rightarrow \left | a_{n}-L \right |< \varepsilon\]

De esta manera, el análisis de tendencia se la llama convergencia o divergencia de la sucesión.

• Una sucesión converge a un valor "L" si el limite en el infinito existe y es igual a "L".
• Una sucesión diverge si el limite en el infinito no existe.

Ejemplo 1: Demostrar que $\lim_{n\rightarrow \infty }\frac{1}{n}=0$.

Por definición se tiene

\[\left | \frac{1}{n}\right |< \varepsilon\]

Como $n$ es un número natural, el valor absoluto se puede eliminar, por lo que se tiene

\[\frac{1}{\varepsilon }< n\]

Así encontramos una cota del número natural N como $N>\frac{1}{\varepsilon }$, y por la definición se sabe que $n>N$ por lo que se puede decir que

\[n> N>\frac{1}{\varepsilon }\]

Comprobando: si tomamos $\varepsilon =0.0001$ se tiene $n> N> \frac{1}{0.0001}$. Así la cota es 10000, de manera que si elegimos un N más grande que 10000 se asegura un error menor a 0.0001. Por ejemplo, si tomamos al número natural inmediato superior se tiene

\[a_{10001}=\frac{1}{10001}\]

\[\left | \frac{1}{10001}-0 \right |=9.99\times 10^{-5}< 0.0001\]

Ejemplo 2: Analice y demuestre la convergencia de la sucesión $\left \{ a_{n} \right \}=\frac{5n^{2}}{n^{2}+2}$

Mediante artificios algebraicos se tiene

\[\lim_{n\rightarrow \infty }\frac{5n^{2}}{n^{2}+2}=\lim_{n\rightarrow \infty }\frac{5}{1+\frac{2}{n^{2}}}=5\]

Para comprobar que la sucesión converge a 5 se utiliza la definición del limite como sigue:

\[\lim_{n\rightarrow \infty }\frac{5n^{2}}{n^{2}+2}=5\, si\, \forall \varepsilon > 0\exists N> 0/n> N\Rightarrow \left | \frac{5n^{2}}{n^{2}+2}-5 \right |< \varepsilon\]

Operando y despejando

\[\left | \frac{-10}{n^{2}+2} \right |< \varepsilon\]

\[\frac{10}{n^{2}+2} < \varepsilon\]

\[n> \sqrt{\frac{10}{\varepsilon} -2}\]

De manera que

\[n>N> \sqrt{\frac{10}{\varepsilon} -2}\]

Si se elije a $\varepsilon =0.001$ se tiene $n>N> \sqrt{\frac{10}{0.001} -2}$, de manera que la cota es $\sqrt{9998}\approx 99.99$. Tomando el número natural inmediato superior se tiene

\[a_{101}=\frac{5(100)^{2}}{100^{2}+2}=\frac{25000}{5001}\]

\[\left | \frac{25000}{5001}-5 \right |=0.000999< 0.001\]

Así entonces se puede asegurar que el término general o n-ésimo de la sucesión se acerca a 5. Cabe mencionar que las leyes de los limites conocidas funcionan para las sucesiones, pero no así las reglas de L'Hôpital.

Ejemplo práctico: Analice la convergencia de la siguiente sucesión

\[\left \{ a_{n} \right \}=1+\frac{1}{2+\frac{1}{2+\frac{1}{2+...}}}\]

Listando los términos se tiene:

\[\left \{ a_{n} \right \}=\left \{ 1,1+\frac{1}{2},1+\frac{1}{1+\frac{1}{2}},1+\frac{1}{1+\frac{1}{2+\frac{1}{2}}},... \right \}\]

Esta sucesión es del tipo llamado sucesión recursiva la cuál tiene la característica de generar los "n" términos con una regla que depende de los anteriores, por lo que para deducir el término n-ésimo es necesario conocer el primer término. En este caso $a_{1}=1$ por lo que el término siguiente se puede escribir como $\left \{ a_{n+1} \right \}=1+\frac{1}{1+a_{n}}$. Luego, aplicando el límite se tiene:

\[\lim_{n\rightarrow \infty }\left \{ a_{n+1} \right \}=\lim_{n\rightarrow \infty }\left ( 1+\frac{1}{1+a_{n}} \right )\]

Si el límite existe es posible aplicar las leyes de los limites, obteniendo

\[\lim_{n\rightarrow \infty }\left \{ a_{n+1} \right \}=1+\frac{1}{1+\lim_{n\rightarrow \infty }a_{n}}\]

Es evidente que $\lim_{n\rightarrow \infty }a_{n}=\lim_{n\rightarrow \infty }a_{n+1}=L$, por lo que

\[L=1+\frac{1}{1+L}\]

\[L(1+L)=2+L\]

\[L^{2}=2\]

Note que se tiene dos resultados del limite: $\sqrt{2}$ y $-\sqrt{2}$, pero es evidente que la sucesión genera únicamente términos positivos. Por tanto, la sucesión converge a $\sqrt{2}$.

El número e como un limite

Analicemos la convergencia de la siguiente sucesión

\[\left \{ a_{n} \right \}=\left (1+\frac{1}{n} \right )^{n}\]

Listando los primeros 7 términos se tiene

\[\left \{2,\frac{9}{4},\frac{64}{27},\frac{625}{256},\frac{7776}{3125},\frac{117649}{46656},\frac{2097152}{823543}\right \}\]

La aproximación decimal del último término es 2.5465. Utilizando una graficadora de manera que se visualicen los primeros 100 términos se obtiene

El último término resulta ser aproximadamente 2.705. Ahora si se halla el término 10000 se tiene 2.7181, para el término 100000 se tiene 2.7182, para el término 1000000 se tiene 2.71828.

Note que para "n" suficientemente grande se va formando un número el cuál se la nombró "e" cuyo valor exacto de 14 decimales es 2.71828182845905... Así entonces utilizando cálculo definimos al número $e$ como

\[\lim_{n\rightarrow \infty }\left ( 1+\frac{1}{n} \right )^{n}=e\]

Algunas propiedades que se pueden identificar son:

• La curva se encuentra limitada o "acotada" por el número "e".
• La sucesión es siempre creciente o estrictamente creciente también denominado monótona creciente

Mediante esta definición es posible analizar la convergencia de sucesiones como:

\[\left \{ a_{n} \right \}=\left \{ \left ( 1+\frac{1}{n+2} \right )^{n-1}\right \}\]

Si se sustituye directamente el limite, se tiene la indeterminación $1^{\infty}$. Entonces, se procede a comparar la definición del número e con la sucesión dada

\[\left \{ a_{n} \right \}=\left \{ \left ( 1+\frac{1}{n+2} \right )^{n-1\left (\frac{n+2}{n+2} \right )}\right \}=\left \{ \left [ \left ( 1+\frac{1}{n+2} \right )^{n+2} \right ]^{\frac{n-1}{n+2}}\right \}\]

Note que se desea obtener el denominador $n+2$ en el exponente de manera que no altere la sucesión inicial. Así es posible evaluar el límite.

\[\lim_{n\rightarrow \infty } \left [ \left ( 1+\frac{1}{n+2} \right )^{n+2} \right ]^{\frac{n-1}{n+2}}= \left [ \lim_{n\rightarrow \infty } \left ( 1+\frac{1}{n+2} \right )^{n+2} \right ]^{\lim_{n\rightarrow \infty } \frac{n-1}{n+2}}\]

\[\large L= e^{\lim_{n\rightarrow \infty } \left ( \frac{1-\frac{1}{n}}{1+\frac{2}{n}} \right )}=e\]

Ejemplo práctico: Analizar la convergencia de la sucesión

\[\left \{ a_{n} \right \}=r^{n}\]

1. Para $0<r<1$
2. Para $r>1$

1) Para $0<r<1$ la sucesión es análoga a una función exponencial de base menor a 1, por lo que

\[\lim_{n\rightarrow \infty }r^{n}=0\]

Comprobando el límite mediante la definición:

\[\lim_{n\rightarrow \infty }r^{n}=0\, si\, \forall \varepsilon > 0\exists N> 0/n> N\Rightarrow \left | r^{n} \right |< \varepsilon\]

\[r^{n}< \varepsilon\]

En este caso para despejar "n" se aplican logaritmos

\[\ln r^{n}< \ln \varepsilon\]

\[n\ln r< \ln \varepsilon\]

Como $0<r<1$, por el criterio de equivalencia para la desigualdad de logaritmos, el signo se invierte

\[n> \frac{\ln \varepsilon }{\ln r}\]

De esta manera se tiene

\[n>N>\frac{\ln \varepsilon }{\ln r}\]

Así, para cualquier valor de $\varepsilon$ se puede comprobar que la sucesión se acerca a 0.

2) Para $r>1$, la sucesión es análoga a una función exponencial de base mayor a 1, por lo que

\[\lim_{n\rightarrow \infty }r^{n}=\infty\]

De manera que la sucesión diverge.

Ejercicios:

a) Graficar los primeros 4 términos de las siguientes sucesiones

1) $\left \{ a_{n} \right \}=3n+2$

2) $\left \{ a_{n} \right \}=n!$

3) $\left \{ a_{n} \right \}=\sin \left ( \frac{n\pi }{2} \right )$

4) $\left \{ a_{n} \right \}=\frac{(-1)^{n}}{n}$

b) Deducir el término general de la sucesión que corresponda a las siguientes listas

1) $\left \{ 2,8,14,20,... \right \}$

2) $\left \{ -2,1,6,13,22,... \right \}$

3) $\left \{ \frac{2}{3},\frac{3}{4},\frac{4}{5},\frac{5}{6},... \right \}$

4) $\left \{ \frac{1}{2},\frac{3}{4},1,\frac{5}{4},... \right \}$

c) Analizar la convergencia de las siguientes sucesiones.

1) $\left \{ a_{n} \right \}=8+\frac{5}{n}$

2) $\left \{ a_{n} \right \}=\frac{10n^{2}+3n+7}{2n^{2}-6}$

3) $\left \{ a_{n} \right \}=\frac{2n}{\sqrt{n^{2}+1}}$

4) $\left \{ a_{n} \right \}=\frac{(n+1)!}{n!}$, primero simplifique los factoriales

5) $\left \{ a_{n} \right \}=n+\sqrt{n^{2}+3}$

6) $\left \{ a_{n} \right \}=\frac{2^{n+1}+3^{n+1}}{2^{n}+3^{n}}$