Derivación en $\mathbb{C}$
Derivada de una función compleja
Sea la función compleja "f" definida en un
conjunto abierto
"S". Sea $z_{0}$ en "S". Entonces "f" es diferenciable en $z_{0}$ si para algún número complejo "L".
\[\displaystyle\lim_{h\to 0}\frac{f(z_{0}+h)-f(z_{0})}{h}=L\]
En este caso llamamos L a la derivada de "f" en $z_{0}$ y la denotamos por $f'(z_{0})$.
La razón para pedir "S" abierto en la definición es estar seguros que
existe algún disco abierto alrededor de $z_{0}$ en donde la función f(z) esté definida. Cuando el número complejo "h"
es en magnitud suficientemente pequeño, entonces $z_{0}+h$ está en el disco y $f(z_{0}+h)$
está definida. Esto permite que "h" se aproxime a cero desde cualquier
dirección en el
limite
que define la derivada.
|
| Geométricamente hablando, la derivada de una función compleja es el cambio en la imagen de un número complejo $\mathit{z_{0}}$ en el dominio a medida que tiende hacia otro número complejo $\mathit{w=z_{0}+\Delta z}$ |
A diferencia de la derivada de funciones reales, en el ámbito de los
números complejos, la derivada no se interpreta como una recta o plano
tangente, sino más bien como una razón de cambio que mide cómo la imagen de
una función cambia a medida que un número complejo en el dominio se acerca a
otro de manera arbitraria:
\[\frac{\mathrm{d} f}{\mathrm{d} z}=\displaystyle\lim_{\Delta z\to
0}\frac{\Delta f(z)}{\Delta z}\]
Ejemplo: Calcule para cualquier valor de "z", la derivada de $f(z)=z^{3}$
Por definición se tiene que:
\[\displaystyle\lim_{h\to
0}\frac{(z+h)^{3}-z^{3}}{h}=\displaystyle\lim_{h\to
0}\frac{z^{3}+3z^{2}h+3zh^{2}+h^{3}-z^{3}}{h}\]
\[f'(z)=\displaystyle\lim_{h\to
0}\frac{h(3z^{2}+3zh+h^{2})}{h}=3z^{2}\]
Esta como para muchas otras funciones familiares, el cálculo de la derivada
como se conoce en los números reales, es igual de válido en los complejos.
Asimismo, se cumplen las mismas operaciones de derivación conocidas:
\[(f\pm g)'(z)=f'(z)\pm g'(z)\]
\[(cf)'(z)=cf'(z),\:c\in\mathbb{C}\]
\[(fg)'(z)=f'(z)g(z)+f(z)g'(z)\]
\[\left(\frac{f}{g}\right)'(z)=\frac{f'(z)g(z)-f(z)g'(z)}{[g(z)]^{2}},\:g(z)\neq
0\]
\[(f\circ g)'(z)=f'[g(z)]g'(z)\]
suponiendo que el límite que define la derivada existe.
Por otro lado, así como en funciones de variable real, no todas las
funciones de variable compleja son derivables. Por ejemplo, calculemos la
derivada de $f(z)=\mathbb{I}m\left\{ z\right\}$
Si "z=x+iy" y "h=u+iv", entonces por la definción de derivada se
tiene
\[\displaystyle\lim_{(u,v)\to(0,0)}\frac{\mathbb{I}m\left\{x+iy+u+iv\right\}-\mathbb{I}m\left\{x+iy\right\}}{u+iv}=\displaystyle\lim_{(u,v)\to(0,0)}\frac{v}{u+iv}\]
Note que ahora se tiene un limite de una función de dos variables,
por lo que se procede a hallar los límites iterados como sigue
\[\displaystyle\lim_{u\to 0}\left(\displaystyle\lim_{v\to
0}\frac{v}{u+iv}\right)=0\]
\[\displaystyle\lim_{v\to 0}\left(\displaystyle\lim_{u\to
0}\frac{v}{u+vi}\right)=-i\]
Los límites iterados son diferentes, por lo que se puede concluir que la
derivada de "f(z)" no existe para cualquier complejo "z".
De este modo, estudiar la derivabilidad de una función de variable compleja
implica calcular un límite de dos variables, cuyos limites iterados tienen
como valor de tendencia la parte real y parte imaginaria de "h". Esto
complica el análisis de derivabilidad para funciones más complicadas. No
obstante, si anotamos el límite iterado cuando "h" tiende a 0 en general
como sigue:
\[ f'(z)=\displaystyle\lim_{h\to 0}\frac{f(z+h)-f(z)}{h}\]
se puede desarrollar de la siguiente manera
\[ f'(z)=\displaystyle\lim_{h\to
0}\frac{[u(x+h,y)+iv(x+h,y)]-u(x,y)-iv(x,y)}{h}\]
\[ f'(z)=\displaystyle\lim_{h\to
0}\left[\frac{u(x+h,y)-u(x,y)}{h}+i\frac{v(x+h,y)-v(x,y)}{h}\right]\]
\[ f'(z)=\frac{\partial u}{\partial x}+i\frac{\partial v}{\partial
x}\]
Análogamente, para el limite iterado cuando "k" tiende a 0 considerando que
ahora el valor de tendencia es en la parte imaginaria "h=ik", se tiene
\[f'(z)=\displaystyle\lim_{k\to
0}\frac{[u(x,y+k)+iv(x,y+k)]-u(x,y)-iv(x,y)}{ik}\]
\[f'(z)=\displaystyle\lim_{k\to
0}\frac{-i\left\{u(x,y+k)-u(x,y)+i[v(x,y+k)-v(x,y)]\right\}}{k}\]
\[f'(z)=\displaystyle\lim_{k\to
0}\left[-i\frac{u(x,y+k)-u(x,y)}{k}+\frac{v(x,y+k)-v(x,y)}{k}\right]\]
\[f'(z)=-i\frac{\partial u}{\partial y}+\frac{\partial v}{\partial
y}\]
Evidentemente, para que el limite que define la derivada exista, los
limites iterados deben ser iguales, por lo que:
\[\frac{\partial u}{\partial x}+i\frac{\partial v}{\partial
x}=\frac{\partial v}{\partial y}-i\frac{\partial u}{\partial y}\]
\[\left\{\begin{matrix}\frac{\partial u}{\partial x}=\frac{\partial
v}{\partial y}\\\frac{\partial v}{\partial x}=-\frac{\partial u}{\partial
y}\end{matrix}\right.\]
Estas son las denominadas ecuaciones de Cauchy-Riemann, las cuales
permiten asegurar la existencia del límite que define la derivada. No
obstante, asi como en las funciones multivariables, la existencia de
dicho limite no asegura que la función sea diferenciable. Pues, es necesario
agregar que dicha función debe ser continua alrededor del entorno donde la
derivada exista. En general:
Sea una función compleja $f=u+iv$
definida en un disco abierto "S". Supongamos que "u", "v" y sus derivadas
parciales son continuas en "S". Asimismo "u" y "v" satisfacen las
ecuaciones de Cauchy-Riemann en "S". Entonces $f$ es diferenciable en cada punto de "S".
Con este teorema ya se puede analizar la diferenciabilidad de cualquier
función compleja. Por ejemplo, analicemos la derivabilidad de $f(z)=z-i$.
Reescribiendo "f" en su forma cartesiana se tiene que $f(x,y)=x+i(y-1)$, de manera que se procede a verificar si cumple con las ecuaciones de Cauchy-Riemann como sigue
\[\begin{matrix}\frac{\partial u}{\partial x}=1&\frac{\partial
v}{\partial y}=1\\\frac{\partial v}{\partial x}=0&-\frac{\partial
u}{\partial y}=0\\\end{matrix}\]
Las ecuaciones se cumplen, también evidentemente $u(x,y)=x,\, v(x,y)=y-1$
son continuas asi como sus derivadas parciales, de modo que se puede decir
que "f(z)" es derivable en todo el plano complejo.
Función analítica
Analicemos la derivaibilidad de la función $f(z)=i|z|^{2}$
Primero, expresando en notación cartesiana aplicando las
propiedades del módulo de un número complejo
se tiene
\[f(z)=iz\bar{z}=i(x+iy)(x-iy)=i(x^{2}+y^{2})\]
luego, se procede a verificar las ecuaciones de Cauchy-Riemann como
sigue
\[\begin{matrix}\frac{\partial u}{\partial x}=0&\frac{\partial
v}{\partial y}=2y\\\frac{\partial v}{\partial x}=2x&-\frac{\partial
u}{\partial y}=0\\\end{matrix}\]
\[\left\{\begin{matrix}2y=0\\2x=0\end{matrix}\right.\rightarrow\left\{\begin{matrix}y=0\\x=0\end{matrix}\right.\rightarrow
z=0\]
Después de comprobar las ecuaciones de Cauchy-Riemann, noté que estas
solo se cumplen en el número “z=0”. Además, es evidente que tanto "u",
"v" como sus derivadas parciales son continuas. Por lo tanto, podemos
concluir que “f” es derivable únicamente en el origen del plano complejo.
Este comportamiento solo ocurre en las funciones complejas, por lo que no
basta con el concepto de diferenciabilidad para saber si una función
compleja es derivable en su dominio. Por ende, surge el término de
función analítica, el cual dice:
Sea $f(z)=u+iv$
una función definida en un entorno "D" del plano complejo. Entonces $f(z)$
es analítica si y solo si $u(x,y)$ y $v(x,y)$
tienen derivadas parciales de primer orden continuas en "D" que satisfacen
las ecuaciones de Cauchy-Riemann.
|
| Un entorno o dominio complejo se define como un conjunto simplemente conexo en el plano dominio "z" centrado en un punto $\mathit{z_{0}}$ con radio cualquiera $\mathit{\delta}$ |
Esta definición proporciona una nueva perspectiva sobre la derivabilidad de
una función compleja. Pues, a diferencia de la diferenciabilidad, que se
refiere a que una función compleja se puede derivar en un punto, la
analiticidad se refiere a que dicha función se puede derivar en
un entorno.
Cabe mencionar que funciones que son complicadas de expresar en notación
cartesiana se puede utilizar su
transformación a coordenadas polares. Esto cambia la forma de las
ecuaciones de Cauchy-Riemann como sigue:
Si $f(z)=u(x,y)+iv(x,y)$
donde $x=r\cos \theta,\, y=r\sin \theta$, por regla de la cadena se tiene que:
\[\left\{\begin{matrix}\frac{\partial u}{\partial r}=\frac{\partial
u}{\partial x}\frac{\partial x}{\partial r}+\frac{\partial u}{\partial
y}\frac{\partial y}{\partial
r}=u_{x}\cos\theta+u_{y}\sin\theta\\\frac{\partial v}{\partial
r}=\frac{\partial v}{\partial x}\frac{\partial x}{\partial
r}+\frac{\partial v}{\partial y}\frac{\partial y}{\partial
r}=v_{x}\cos\theta+v_{y}\sin\theta\\\frac{\partial
u}{\partial\theta}=\frac{\partial u}{\partial x}\frac{\partial
x}{\partial\theta}+\frac{\partial u}{\partial y}\frac{\partial
y}{\partial\theta}=-ru_{x}\sin\theta+ru_{y}\cos\theta\\\frac{\partial
v}{\partial\theta}=\frac{\partial v}{\partial x}\frac{\partial
x}{\partial\theta}+\frac{\partial v}{\partial y}\frac{\partial
y}{\partial\theta}=-rv_{x}\sin\theta+rv_{y}\cos\theta\end{matrix}\right.\]
De acuerdo con las ecuaciones de Cauchy-Riemann se sabe que $u_{x}=v_{y}$
y que $u_{y}=-v_{x}$
de modo que
\[ u_{r}=v_{y}\cos\theta-v_{x}\sin\theta=\frac{1}{r}v_{\theta}\]
\[
v_{r}=-u_{y}\cos\theta+u_{x}\sin\theta=-\frac{1}{r}u_{\theta}\]
Obteniendo así las
ecuaciones de Cauchy-Riemann en coordenadas polares:
\[\left\{\begin{matrix}\frac{\partial
v}{\partial\theta}=r\frac{\partial u}{\partial r}\\-\frac{\partial
u}{\partial\theta}=r\frac{\partial v}{\partial
r}\end{matrix}\right.\]
Singularidades
Un punto singular es aquel donde una función no es analítica y puede
clasificarse como aislada y no aislada
|
| Una singularidad aislada es un punto $\mathit{z_{0}}$ dentro de un entorno donde una función $\mathit{f(z)}$ no es analítica. Por otro lado, una singularidad no aislada es un conjunto de puntos que cumplen una condición R donde dicha función no es analítica |
Ejemplo 1: Determine el dominio donde la función $f(z)=-4z+\frac{1}{z}$
es analítica
Reescribiendo en notación cartesiana:
\[ f(z)=-4(x+iy)+\frac{1}{x+iy}=-4x-4iy+\frac{x-iy}{x^{2}+y^{2}}\]
\[f(z)=\frac{x}{x^{2}+y^{2}}-4x+i\left(-\frac{y}{x^{2}+y^{2}}-4y\right)\]
se procede a comprobar las ecuaciones de Cauchy-Riemann
\[\begin{matrix}\frac{\partial u}{\partial
x}=\frac{y^{2}-x^{2}}{(x^{2}+y^{2})^{2}}-4&\frac{\partial v}{\partial
y}=-\frac{x^{2}-y^{2}}{(x^{2}+y^{2})^{2}}-4\\\frac{\partial v}{\partial
x}=0&-\frac{\partial u}{\partial y}=0\\\end{matrix}\]
Evidentemente las ecuaciones se cumplen. No obstante, las derivadas
parciales de "u" y "v" no están definidas en el punto (0,0), de manera que
se concluye que "f(z)" es analítica en el dominio:
\[D=\mathbb{C}-\left\{0\right\}\]
Así entonces se obtuvo una singularidad aislada en $z_{0}=0$.
Ejemplo 2: Demostrar que la función $f(z)=\log z$ es analítica
Para facilitar el análisis es preferible utilizar la notación polar de "z",
de modo que aplicando la definición de
logaritmo complejo
se tiene
\[\log z=\ln|z|+i\arg(z)=\ln r+i(\theta+2n\pi)\]
Dado que la función logaritmo es multivaluada se tienen problemas de
continuidad para cualquier argumento de "z", además si "r=0" el logaritmo
neperiano no existiría. Por tanto, tomando el
argumento principal evitando un módulo nulo obtenemos.
\[\log z=\ln r+i\theta \]
Así entonces, se puede comprobar las ecuaciones de Cauchy-Riemann en
coordenadas polares como sigue
\[\begin{matrix}\frac{\partial v}{\partial\theta}=1&r\frac{\partial
u}{\partial r}=1\\-\frac{\partial u}{\partial\theta}=0&r\frac{\partial
v}{\partial r}=0\\\end{matrix}\]
Observe que las derivadas parciales de "u" y "v" son continuas en su
dominio, de manera que se puede concluir que la función logarítmica compleja
es analítica en su rama principal.
Ejemplo 3: Determine y grafique la región donde $f(z)=\log(2z-i)$
no es analítica
Para identificar la región en la cual la función dada no es analítica,
utilizaremos las ecuaciones paramétricas asociadas al corte de ramificación
del logaritmo complejo como sigue:
\[\left\{\begin{matrix}\mathbb{R}e\left\{2z-i\right\}\leq
0\\\mathbb{I}m\left\{2z-i\right\}=0\end{matrix}\right.\rightarrow\left\{\begin{matrix}2x\leq
0\\2y-1=0\end{matrix}\right.\]
\[\left\{\begin{matrix}x\leq 0\\y=\frac{1}{2}\end{matrix}\right.\]
Note que estas ecuaciones describen una región delineada por una recta
horizontal en el semiplano izquierdo del plano complejo, el cual corta al
eje imaginario en 1/2
|
| Singularidad no aislada de $\mathit{f(z)=\log(2z-i)}$ |
Ejemplo 4: Demuestre que si dos funciones "f" y "g" son analíticas en un
punto $z_{0}$ y si $f(z_{0})=g(z_{0})=0$
pero $g'(z_{0})\neq 0$
entonces $\lim_{z\to z_{0}} \frac{f(z)}{g(z)}=\frac{f'(z_{0})}{g'(z_{0})}$ (tesis de la regla de L'Hôpital)
Si "f" y "g" son analíticas en $z_{0}$, implica que son derivables en ese punto, de modo que los limites que
definen la derivada compleja:
\[\begin{matrix}f'(z_{0})=\frac{f(z)-f(z_{0})}{z-z_{0}}&g'(z_{0})=\frac{g(z)-g(z_{0})}{z-z_{0}}\\\end{matrix}\]
existen. Pero note que la definición de derivada fue reescrita, esto
con el fin de utilizar la condición $f(z_{0})=g(z_{0})=0$, de modo que se tiene:
\[\begin{matrix}f'(z_{0})=\frac{f(z)}{z-z_{0}}&g'(z_{0})=\frac{g(z)}{z-z_{0}}\\\end{matrix}\]
Por tanto:
\[\frac{f'(z_{0})}{g'(z_{0})}=\frac{\displaystyle\lim_{z\to
z_{0}}\frac{f(z)}{z-z_{0}}}{\displaystyle\lim_{z\to
z_{0}}\frac{g(z)}{z-z_{0}}}=\displaystyle\lim_{z\to
z_{0}}\frac{\frac{f(z)}{z-z_{0}}}{\frac{g(z)}{z-z_{0}}}=\displaystyle\lim_{z\to
z_{0}}\frac{f(z)}{g(z)}\]
quedando demostrado así la regla de L'Hôpital en los complejos.
Clasificación de singularidades aisladas
Si $z_{0}$
es una singularidad aislada, se puede decir que:
- $z_{0}$ es singularidad removible si $\lim_{z\to z_{0}}f(z)=M,\, M\in \mathbb{C}$
- $z_{0}$ es un polo si $\lim_{z\to z_{0}}f(z)=\infty$
- $z_{0}$ es singularidad escencial si $\lim_{z\to z_{0}}f(z) \nexists$
Ejemplos: Clasificar la singularidad de las siguientes funciones:
- $f(z)=\frac{e^{z}-1}{z^{2}}$
Evidentemente se tiene una singularidad aislada en "z=0". No obstante, note que el numerador y el denominador son, por separado, funciones analíticas en todo el plano complejo, de modo que es posible aplicar la regla de L'hôpital.
\[\displaystyle\lim_{z\to 0}\frac{e^{z}-1}{z^{2}}=\displaystyle\lim_{z\to 0}\frac{e^{z}}{2z}=\infty \]
El limite es infinito, por lo que la singularidad en "z=0" es un polo.
- $f(z)=\frac{\cos (4z^{3})-1}{3z^{6}}$
Así como en el ejemplo anterior, es evidente que existe una singularidad aislada en "z=0". Por tanto, resolviendo el límite por L'Hôpital se tiene
\[\displaystyle\lim_{z\to 0}\frac{\cos(4z^{3})-1}{3z^{6}}=-\displaystyle\lim_{z\to 0}\frac{4\sin(4z^{3})}{6z^{3}}=-\lim_{z\to 0}\frac{8\cos(4z^{3})}{3}=-\frac{8}{3}\]
El limite es un valor finito, por lo que la singularidad es removible.
- $f(z)=ze^{\frac{1}{z}}$
En este caso, la singularidad sucede donde la función $\frac{1}{z}$ no está definida. Por ende, si intentamos hallar el limite por L'hôpital se tiene
\[\displaystyle\lim_{z\to 0}ze^{\frac{1}{z}}=\displaystyle\lim_{z\to 0}\frac{e^{\frac{1}{z}}}{z^{-1}}=\displaystyle\lim_{z\to 0}\frac{-\frac{1}{z^{2}}e^{\frac{1}{z}}}{-z^{-2}}\]
\[\displaystyle\lim_{z\to 0}e^{\frac{1}{z}}=\displaystyle\lim_{(x,y)\to(0,0)}e^{\frac{1}{x+iy}}=\displaystyle\lim_{x\to 0}\left(\displaystyle\lim_{y\to 0}e^{\frac{1}{x+iy}}\right)=\displaystyle\lim_{x\to 0}e^{\frac{1}{x}}\]
\[\left\{\begin{matrix}\displaystyle\lim_{x\to 0^{+}}e^{\frac{1}{x}}=\infty\\\displaystyle\lim_{x\to 0^{-}}e^{\frac{1}{x}}=0\end{matrix}\right.\]
Los limites laterales son diferentes en el limite iterado cuando "x=0", por lo que se puede concluir que este no existe y por tanto la singularidad es escencial.
Aquellas funciones que son analíticas y que no presentan singularidades en
todo el plano complejo se las denominan funciones enteras. Estas
funciones tienen muchas utilidades en el análisis complejo, una de ellas es
que debido a que pueden derivarse "n" veces, es posible representarlas como
series de potencias. Para mencionar algunos ejemplos de funciones
enteras, se tienen:
\[\begin{matrix}f(z)=z^{n},\,n\in\mathbb{N}&f(z)=e^{z}&f(z)=\sin
z\\f(z)=\cos z&f(z)=\sinh z&f(z)=\cosh z\\\end{matrix}\]
Ejemplo práctico: Demostrar que la función $f(z)=z^{4}+\frac{z}{e^{z}}$
es entera
Expresando en notación cartesiana se tiene
\[f(z)=(x+iy)^{4}+\frac{x+iy}{e^{x+iy}}=(x+iy)^{4}+(x+iy)e^{-x}e^{-iy}\]
\[f(z)=x^{4}+4x^{3}iy-6(xy)^{2}-4xy^{3}i+y^{4}+xe^{-x}e^{-iy}+iye^{-x}e^{-iy}\]
\[\small f(z)=x^{4}-6x^{2}y^{2}+y^{4}+e^{-x}(x\cos y+y\sin
y)+i[4xy(x^{2}-y^{2})+e^{-x}(y\cos y-x\sin y)]\]
de modo que
\[\left\{\begin{matrix}u=x^{4}-6x^{2}y^{2}+y^{4}+e^{-x}(x\cos y+y\sin
y)\\v=4xy(x^{2}-y^{2})+e^{-x}(y\cos y-x\sin y)\end{matrix}\right.\]
Así entonces se comprueban las ecuaciones de Cauchy-Riemann como
sigue
\[\frac{\partial u}{\partial x}=4x(x^{2}-3y^{2})-e^{-x}[\cos y(x-1)+y\sin
y]\]
\[\frac{\partial v}{\partial y}=4x(x^{2}-3y^{2})+e^{-x}[\cos y(1-x)-y\sin
y]\]
\[\frac{\partial v}{\partial x}=4y(3x^{2}-y^{2})-e^{-x}[y\cos y-\sin
y(x-1)]\]
\[-\frac{\partial u}{\partial y}=-4y(y^{2}-3x^{2})-e^{-x}[\sin
y(1-x)+y\cos y]\]
Evidentemente $\frac{\partial u}{\partial x}=\frac{\partial v}{\partial y}\wedge
\frac{\partial v}{\partial x}=-\frac{\partial u}{\partial y}$
y dichas derivadas parciales son continuas y sin singularidades, de modo que
queda demostrado que la función dada es entera. Puede demostrar que el
binomio de Newton, el cual fue utilizado para resolver este ejemplo,
funciona de la misma manera que en los números reales en el ejercicio
c.5.
Ejercicios:
a) En cada problema compruebe las ecuaciones de Cauchy-Riemann y determine los puntos donde la función dada es analitica o derivable. Si la función es entera calcule su derivada n-ésima.
1) $f(z)=3z^{2}+5z-6i$
2) $f(z)=|z|$
3) $f(z)=\frac{z}{\mathbb{R}e\left\{z\right\}}$
4) $f(z)=\bar{z}^{2}$
5) $f(z)=\mathbb{R}e\left\{z\right\}-\mathbb{I}m\left\{z\right\}$
6) $f(z)=\mathbb{I}m\left\{\frac{2z}{z+1}\right\}$
b) Halle y discuta las singularidades de las siguientes funciones. En caso de singularidades no aisladas grafique la región donde la función no es analítica
1) $f(z)=\frac{2z+1}{z(z^{2}+1)}$
2) $f(z)=\frac{z^{3}+i}{z^{2}-3z+2}$
3) $f(z)=\frac{z^{2}+1}{(z+2)(z^{2}+2z+2)}$
4) $f(z)=\frac{1}{\cos \frac{1}{z}}$
5) $f(z)=\frac{\log (z+4)}{z^{2}+i}$
6) $f(z)=\left(\frac{e^{z}-1}{z}\right)^{2}$
1) $f(z)=\frac{2z+1}{z(z^{2}+1)}$
2) $f(z)=\frac{z^{3}+i}{z^{2}-3z+2}$
3) $f(z)=\frac{z^{2}+1}{(z+2)(z^{2}+2z+2)}$
4) $f(z)=\frac{1}{\cos \frac{1}{z}}$
5) $f(z)=\frac{\log (z+4)}{z^{2}+i}$
6) $f(z)=\left(\frac{e^{z}-1}{z}\right)^{2}$
c) Demuestre los siguientes apartados
1) $\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}z}(\sinh z)=\cosh z$
2) $\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}z}(\cosh z)=\sinh z$
3) $\sinh (z_{1}\pm z_{2})=\sinh z_{1}\cosh z_{2}\pm \cosh z_{1}\sinh
z_{2}$
4) $\cosh(z_{1}\pm z_{2})=\cosh z_{1}\cosh z_{2}\pm \sinh z_{1}\sinh
z_{2}$
5) Se sabe que la fórmula de Pascal se cumple para cualquier número
entero "n" y "r", la cual está dada por $\binom{n+1}{r+1}=\binom{n}{r}+\binom{n}{r+1},\, 0\leq r<n$. Demuestre, utilizando esta fórmula y por inducción que $(z+w)^{n}=\sum_{r=0}^{n}\binom{n}{r}z^{n-r}w^{r},\, n\in \mathbb{Z}
\wedge z,w \in \mathbb{C}$
1) $\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}z}(\sinh z)=\cosh z$
2) $\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}z}(\cosh z)=\sinh z$
3) $\sinh (z_{1}\pm z_{2})=\sinh z_{1}\cosh z_{2}\pm \cosh z_{1}\sinh
z_{2}$
4) $\cosh(z_{1}\pm z_{2})=\cosh z_{1}\cosh z_{2}\pm \sinh z_{1}\sinh
z_{2}$
5) Se sabe que la fórmula de Pascal se cumple para cualquier número
entero "n" y "r", la cual está dada por $\binom{n+1}{r+1}=\binom{n}{r}+\binom{n}{r+1},\, 0\leq r<n$. Demuestre, utilizando esta fórmula y por inducción que $(z+w)^{n}=\sum_{r=0}^{n}\binom{n}{r}z^{n-r}w^{r},\, n\in \mathbb{Z}
\wedge z,w \in \mathbb{C}$
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