Algunas aplicaciones de la integral IV

 Longitud de arco y curvatura

Longitud de arco

Para definir la longitud de arco de una curva suave C, conviene utilizar sus ecuaciones paramétricas $x=f(t)$ y $y=g(t)$. Dicha curva se subdivide en n tramos iguales desde un extremo "a" hasta un extremo "b" construyendo segmentos de recta sobre dichos tramos, siguiendo la forma de la curva se obtiene una aproximación de esta (ver figura). Si se toma uno de los segmentos formados y se halla su longitud se tiene

\[L_{i}=\sqrt{(\Delta x_{i})^{2}+(\Delta y_{i})^{2}}\]

Note que si se realizan más subdivisiones, la aproximación de la curva es mucho más precisa, de manera que al tomar infinitas subdivisiones se obtendría un $\Delta x_{i}$ cada vez más pequeño. Así dicho intervalo puede interpretarse como un diferencial concluyendo que

\[\Delta x_{i}\approx f'(t_{i})\Delta t\]

\[\Delta y_{i}\approx g'(t_{i})\Delta t\]

Por lo que ahora se obtiene un segmento infinitamente pequeño, el cuál puede expresarse como

\[L_{i}=\sqrt{(f'(t_{i})\Delta t)^{2}+(g'(t_{i})\Delta t)^{2}}\]

\[L_{i}=\sqrt{[f'(t_{i})]^{2}+[g'(t_{i})]^{2}}\Delta t\]

Si sumamos todos los segmentos desde $a$ hasta $b$ se tiene una aproximación de la longitud total del arco 

\[L\approx\sum_{i=1}^{n}\sqrt{[f'(t_{i})]^{2}+[g'(t_{i})]^{2}}\Delta t\]

Para que la longitud sea exacta se toma el limite donde se sumen infinitos segmentos obteniendo la expresión de la suma de Riemann para la función $\sqrt{[f'(t_{i})]^{2}+[g'(t_{i})]^{2}}$

\[L=\lim_{n\rightarrow \infty }\sum_{i=1}^{n}\sqrt{[f'(t_{i})]^{2}+[g'(t_{i})]^{2}}\Delta t\]

Note que esta es la definición de la integral definida, por lo que:

\[L=\int_{a}^{b}\sqrt{[f'(t_{i})]^{2}+[g'(t_{i})]^{2}}\, dt\]

Siendo esta la fórmula de la longitud de arco de una curva suave C en un intervalo cerrado $[a,b]$ conocidas sus ecuaciones paramétricas. A partir de esta expresión, es notable que el integrando es análogo al módulo de la derivada de una función vectorial $r(t)=f(t)\textbf{i}+g(t)\textbf{j}$ de manera que la fórmula anterior cambia a:

\[L=\int_{a}^{b}\left \| r'(t) \right \|\, dt\]

Esta expresión funciona de igual manera para funciones vectoriales de 3 componentes.

Ejemplos: Determine la longitud de arco para:

• $r(t)=t^{3}\mathbf{i}+t^{2}\mathbf{j}$ en el intervalo $[0,1]$

Como $x(t)=t^{3}$ y $y(t)=t^{2}$, se obtiene $x'(t)=3t^{2}$ y $y'(t)=2t$, de manera que la longitud de arco desde 0 hasta 1 de $r(t)$ está dada por

\[L=\int_{0}^{1}\left \| 3t^{2}\mathbf{i}+2t\mathbf{j}\right \|\, dt=\int_{0}^{1}\sqrt{(3t^{2})^{2}+(2t)^{2}}\, dt\]

\[L=\int_{0}^{1}\sqrt{9t^{4}+4t^{2}}\, dt=\int_{0}^{1}t\sqrt{9t^{2}+4}\, dt\]

Integrando de forma inmediata se tiene

\[L=\frac{1}{18}\int_{0}^{1}18t(9t^{2}+4)^{1/2}\, dt=\frac{1}{27}\sqrt{(9t^{2}+4)^{3}}\left.\begin{matrix} \\ \\ \end{matrix}\right|_{0}^{1}\]

\[L=\frac{1}{27}(13\sqrt{13}-8)\approx 1.4397\]

\[\mathit{r(t)=t^{3}\mathbf{i}+t^{2}\mathbf{j}}\]

• $r(t)=\left \langle 2\sin t,5t,2\cos t \right \rangle$ en el intervalo $[0,\pi]$

Como $x(t)=2\sin t$, $y(t)=5t$ y $z(t)=2\cos t$, se obtiene $x'(t)=2\cos t$, $y'(t)=5$ y $z'(t)=-2\sin t$, de manera que la longitud de arco desde 0 hasta $\pi$ de $r(t)$ está dada por

\[L=\int_{0}^{\pi }\left \| \left \langle 2\cos t,5,-2\sin t \right \rangle \right \|\, dt=\int_{0}^{\pi }\sqrt{4\cos ^{2}t+25+4\sin ^{2}t}\, dt\]

\[L=\int_{0}^{\pi }\sqrt{25+4}\, dt=\sqrt{29}t\left.\begin{matrix} \\ \\ \end{matrix}\right|_{0}^{\pi }\]

\[L=\pi \sqrt{29}\approx 16.918\]

\[\mathit{r(t)=\left \langle 2\sin t,5t,2\cos t \right \rangle}\]

También es posible determinar la longitud de arco de una curva dada por una función de una variable real partiendo de la definición para funciones vectoriales como sigue.

Sea una función $f(x)=y$ con ecuaciones paramétricas $x=t$ y $y=f(t)$, la longitud de arco de la curva desde "a" hasta "b" estará dada por:

\[L=\int_{a}^{b}\sqrt{1+[f'(x)]^{2}}\, dx\]

De forma análoga, si una curva se expresa de la forma $f(y)$, su longitud de arco desde "a" hasta "b" será

\[L=\int_{a}^{b}\sqrt{[f'(y)]^{2}+1}\, dy\]

Ejemplos: Determine la longitud de arco para:

• $f(x)=\sqrt{1-x^{2}}\, dx$ en $[-1,1]$

Si la derivada es

\[f'(x)=-\frac{x}{\sqrt{1-x^{2}}}\]

entonces, la longitud de arco desde -1 hasta 1 de $f(x)$ está dado por

\[\int_{-1}^{1}\sqrt{\left ( -\frac{x}{\sqrt{1-x^{2}}} \right )^{2}+1}\, dx=\int_{-1}^{1}\sqrt{ \frac{x^{2}}{1-x^{2}}+1}\, dx\]

\[L=\int_{-1}^{1}\sqrt{\frac{1}{1-x^{2}}}\, dx=\int_{-1}^{1}\frac{1}{\sqrt{1-x^{2}}}\, dx=\arcsin x\left.\begin{matrix} \\ \\ \end{matrix}\right|_{-1}^{1}\]

\[L=\arcsin (1)-\arcsin (-1)=\frac{\pi}{2}+\frac{\pi}{2}=\pi\]

\[\textit{f(x)}=\mathit{\sqrt{1-x^{2}}}\]

• $f(y)=\frac{1}{3}\sqrt{y}(y-3)$ en $[1,4]$

Hallando $f'(y)$:

\[f'(y)=\frac{1}{3}\left ( \frac{1}{2\sqrt{y}}(y-3)+\sqrt{y}\right )\]

Entonces, la longitud de arco desde 1 hasta 4 será

\[L=\int_{1}^{4}\sqrt{1+\frac{1}{9}\left ( \frac{1}{2\sqrt{y}}(y-3)+\sqrt{y}\right )^{2}}\, dy=\int_{1}^{4}\sqrt{1+\frac{1}{9}\left [ \frac{1}{4y}(y-3)^{2}+(y-3)+y\right ]}\, dy\]

\[L=\int_{1}^{4}\sqrt{\frac{36y+(y-3)^{2}+8y^{2}-12y}{36y}}\, dy=\int_{1}^{4}\sqrt{\frac{9(y+1)^{2}}{36y}}\, dy\]

\[L=\frac{1}{2}\int_{1}^{4}\sqrt{y}+\frac{1}{\sqrt{y}}\, dy=\frac{1}{2}\left ( \frac{2}{3}\sqrt{y^{3}}+2\sqrt{y} \right )\left.\begin{matrix} \\ \\ \end{matrix}\right|_{1}^{4}\]

\[L=\frac{1}{2}\left ( \frac{16}{3}+4-\frac{2}{3}-2 \right )=\frac{1}{2}\left ( \frac{20}{3} \right )=\frac{10}{3}\approx 3.3333\]

\[\textit{f(y)}=\mathit{\frac{1}{3}}\sqrt{\textit{y}}(\textit{y}-\mathit{3})\]

Ejemplo práctico: Hallar la longitud de arco en $[0,2\pi]$ de la cicloide dada por

\[r(t)=(t-\sin t)\textbf{i}+(1-\cos t)\textbf{j}\]

Por medio de la definición de la longitud de arco se tiene

\[L=\int_{0}^{2\pi }\sqrt{(1-\cos t)^{2}+\sin^{2} t}\, dt=\sqrt{2}\int_{0}^{2\pi }\sqrt{1-\cos t}\, dt\]

\[L=\sqrt{2}\int_{0}^{2\pi }\sin t(1+\cos t)^{-1/2}\, dt=-2\sqrt{2}(1+\cos t)^{1/2}\left.\begin{matrix} \\ \\ \end{matrix}\right|_{0}^{2\pi }\]

Sin embargo, si se evalúa directamente los limites de integración se obtendrá 0 como longitud de arco. Esto ocurre debido a que la integral ahora se interpreta como una resta de áreas y como la función coseno forma dos regiones de igual área pero con signos contrarios en $[0,2\pi]$, se obtiene como resultado al 0. Para arreglar este problema utilizaremos el gráfico de la curva

Note que en $t=\pi$ se tiene la mitad de la curva por lo que la fórmula anterior se puede reescribir como sigue:

\[L=2[-2\sqrt{2}(1+\cos t)^{1/2}]\left.\begin{matrix} \\ \\ \end{matrix}\right|_{0}^{\pi }\]

De manera que se obtiene

\[L=4\sqrt{2}(2)^{1/2}=8\]

Curvatura

La curvatura es la medida de qué tan agudamente se dobla una curva y para medirla podemos usar los parámetros mostrados en la siguiente figura

Se sabe que el vector tangente indica la dirección a la que una curva se dirige en un punto. Observando la figura (a) se puede notar que para un cambio de la longitud de curva $\Delta s$ los vectores tangentes P y Q presentan un cambio suave en su dirección, de manera que se dice que hay poca curvatura. Por otro lado, en la figura (b) los vectores tangentes cambian de dirección de forma brusca, por lo que se dice que hay mayor curvatura. Por lo tanto, la curvatura es una razón de cambio de la dirección de una curva con su longitud de arco:

\[k=\left \| \frac{dT}{ds} \right \|=\left \| T'(s) \right \|\]

Note que para expresar el cambio de dirección de una curva se utiliza la derivada del vector tangente unitario, lo cuál resulta razonable ya que se sabe que la derivada expresa un cambio respecto a algún parámetro, en este caso respecto a la longitud de arco. Sin embargo, resulta más fácil expresar la curvatura respecto al parámetro "t" en lugar de la longitud de arco "s", de modo que por medio de la regla de la cadena se puede escribir

\[T'(t)=T'(s(t))s'(t)\rightarrow k=\left \| T'(s) \right \|=\left \| \frac{T'(t)}{s'(t)} \right \|\]

Mediante la definición de longitud de arco y con el teorema fundamental del cálculo se tiene

\[s'(t)=\left (\int_{a}^{t}\left \| r'(u) \right \|\, du \right )'=\left \| r'(t) \right \|\]

Por tanto

\[k(t)=\frac{\left \| T'(t) \right \|}{\left \| r'(t) \right \|}\]

Ejemplo: Determinar la curvatura de $r(t)=\left \langle 2\cos t,2\sin t,t \right \rangle$

Hallando el vector tangente unitario

\[r'(t)=\left \langle -2\sin t,2\cos t,1 \right \rangle\]

\[\left \| r'(t) \right \|=\left \| \left \langle -2\sin t,2\cos t,1 \right \rangle \right \|=\sqrt{5}\]

\[T(t)=\frac{1}{\sqrt{5}}\left \langle -2\sin t,2\cos t,1 \right \rangle\]

Derivando

\[T'(t)=\frac{1}{\sqrt{5}}\left \langle -2\cos t,-2\sin t,0 \right \rangle\]

Calculando el módulo

\[\left \| T'(t) \right \|=\frac{2}{\sqrt{5}}\]

por lo tanto, la curvatura será:

\[k=\frac{2/\sqrt{5}}{\sqrt{5}}=\frac{2}{5}\]

Una curvatura constante indica que la curva tiene el mismo nivel de doblez en todo su dominio.

Por otro lado, para determinar la curvatura de funciones reales de una variable real, mediante la definición anterior resulta complicado deducir la fórmula adecuada. Por tanto, se pretende buscar una forma más cómoda que permita relacionar las funciones de una variable real con términos de funciones vectoriales sin utilizar el vector tangente unitario como sigue:

Como $T(t)=\frac{r'(t)}{\left \| r'(t) \right \|}$ y $\left \| r'(t) \right \|=s'(t)$ se tiene

\[r'(t)=\left \| r'(t) \right \|T(t)=s'(t)T(t)\]

Derivando la nueva expresión

\[r''(t)=s''(t)T(t)+s'(t)T'(t)\]

Se procede a operar un producto vectorial como sigue:

\[r'(t)\times r''(t)=s'(t)T(t)\times [s''(t)T(t)+s'(t)T'(t)]\]

\[r'(t)\times r''(t)=s'(t)T(t)\times s''(t)T(t)+s'(t)T(t)\times s'(t)T'(t)\]

Recuerde que $s(t)$ no es una función vectorial, por lo que se la puede interpretar como una cantidad escalar de manera que

\[r'(t)\times r''(t)=s'(t)s''(t)[T(t)\times T(t)]+[s'(t)]^{2}[T(t)\times T'(t)]\]

Como el producto vectorial de un vector consigo mismo, (o de vectores paralelos), es 0 y aplicando el módulo en ambos miembros de la ecuación se tiene

\[\left \| r'(t)\times r''(t) \right \|=[s'(t)]^{2}\left \| T(t)\times T'(t)\right \|\]

Como el módulo de un producto vectorial es el producto de los módulos, se tiene

\[\left \| r'(t)\times r''(t) \right \|=[s'(t)]^{2}\left \| T(t)\right \|\left \| T'(t) \right \|\]

Se sabe que el módulo del vector tangente unitario $T(t)$ es la unidad, por lo que

\[\left \| r'(t)\times r''(t) \right \|=[s'(t)]^{2}\left \| T'(t) \right \|\]

Despejando:

\[\left \| T'(t) \right \|=\frac{\left \| r'(t)\times r''(t) \right \|}{[s'(t)]^{2}}\]

Por último, reemplazando en la definición de curvatura

\[k=\frac{\left \| T'(t) \right \|}{\left \| r'(t) \right \|}=\frac{\frac{\left \| r'(t)\times r''(t) \right \|}{\left \| r'(t) \right \|^{2}}}{\left \| r'(t) \right \|}=\frac{\left \| r'(t) \times r''(t)\right \|}{\left \| r'(t) \right \|^{3}}\]

De esta manera, ya no se encuentra el vector tangente unitario. Por lo tanto, parametrizando una función real $y=f(x)$ se tiene

\[r(t)=\left \langle t,f(t) \right \rangle\]

\[r'(t)=\left \langle 1,f'(t) \right \rangle\]

\[r''(t)=\left \langle 0,f''(t) \right \rangle\]

Reemplazando en la nueva fórmula

\[k=\frac{\left \| \left \langle 1,f'(t) \right \rangle \times \left \langle 0,f''(t) \right \rangle\right \|}{\left \| \left \langle 1,f'(t) \right \rangle \right \|^{3}}=\frac{\left \| f''(t) \right \|}{(\sqrt{1+[f'(t)]^{2}})^{3}}\]

Como $t=x$ debido a la parametrización y el módulo de un escalar es su valor absoluto, la curvatura de una función real de una variable real es

\[k(x)=\frac{\left | f''(x) \right |}{(1+[f'(x)]^{2})^{3/2}}\]

Ejemplo: Hallar la curvatura de $f(x)=\sin x$

Derivando:

\[f'(x)=\cos x\]

\[f''(x)=-\sin x\]

Reemplazando en la fórmula:

\[k(x)=\frac{\left | \sin x \right |}{(1+\cos ^{2}x)^{3/2}}\]

Cabe mencionar que la curvatura es un parámetro puntual. Es decir que se la mide en un solo punto. Por ejemplo:

• Para $x=0$

\[k(0)=\frac{\left | \sin (0) \right |}{[1+\cos ^{2}(0)]^{3/2}}=0\]

• Para $x=\frac{\pi}{2}$

\[k\left ( \frac{\pi }{2} \right )=\frac{\left | \sin \left ( \frac{\pi }{2} \right ) \right |}{[1+\cos ^{2}\left ( \frac{\pi }{2} \right )]^{3/2}}=\frac{\left | 1 \right |}{1^{3/2}}=1\]

En $\mathit{x=0}$ la función no presenta curvatura. En $\mathit{x=\pi /2}$ la función tiene curvatura que podría compararse con una circunferencia de radio 1

Para una curva en el plano, el valor de la curvatura permite construir una circunferencia que encaje perfectamente en un punto de dicha curva, la cual se denomina circunferencia osculatriz. De esta manera, la curvatura tiene un significado geométrico más riguroso. Puesto que, utiliza a la circunferencia como unidad de medida cuyo radio se obtiene mediante la relación $R_{p}=1/K$, (demostración en el ejercicio 2b), el cuál se denomina radio de curvatura. Por ejemplo, para la curva del ejemplo anterior $f(x)=\sin x$, se obtuvo que la curvatura en $x=\pi /2$ es igual a 1, de manera que el radio de curvatura es 1. Esto significa que es posible dibujar una circunferencia de radio 1 tal que su contorno "bese" a la curva en dicho valor de $x$ (ver figura).

Ejercicios:

a) Calcule la longitud de arco de las siguientes funciones en el intervalo dado

1) $r(t)=\left \langle \cos 3t,\sin 3t,4t \right \rangle,\: t\epsilon \left [ 0,\frac{\pi }{2} \right ]$

2) $r(t)=\left \langle (3t-3\sin t),(3-3\cos t) \right \rangle,\: t\epsilon [0,\pi]$

3) $r(t)=\left \langle \cos^{3} t,\sin^{3} t \right \rangle,\: t\epsilon \left [0,\frac{\pi}{2} \right]$

4) $r(t)=\left \langle e^{t}\cos t,e^{t}\sin t,e^{t} \right \rangle,\: t\epsilon \left [ 0,\frac{\pi }{3} \right ]$

5) $f(x)=3x^{2},\: x\epsilon [1,5]$

6) $9x^{2}=4y^{3}$ desde $P1:(0,0)$ hasta $P2:(2\sqrt{3},3)$

7) $f(x)=\frac{1}{2}(e^{x}+e^{-x}),\: 0\leq x\leq 2$

8) $f(y)=y^{3/2},\: 0\leq y\leq 1$

b) Calcule la curvatura de las siguientes funciones

1) $r(t)=3\cos t\mathbf{i}+3\sin t\mathbf{j}+4t\mathbf{k}$ en $t=\frac{\pi}{4}$

2) $r(t)=R\cos t\mathbf{i}+R\sin t\mathbf{j}$

3) $f(x)=x^{2}$ en $x=0$

4) $f(x)=x^{3}$