Integrales V

 Integrales impropias

Considere la región dada por $S=\int_{1}^{t}\frac{1}{x^{2}}\,dx$, donde $x=t$ es cualquier valor mayor o igual que 1. Veamos que sucede si dicho número tiende a infinito

\[A=\lim_{t\rightarrow \infty }\int_{1}^{t}\frac{1}{x^{2}}\,dx=\lim_{t\rightarrow \infty }\left ( -\frac{1}{x} \right )\left.\begin{matrix} \\ \\ \end{matrix}\right|_{1}^{t}=-\lim_{t\rightarrow \infty }\left ( \frac{1}{t}-1 \right )=1\]

Entonces, fue posible hallar el área bajo la curva cuyo limite superior se extiende indefinidamente, permitiendo concluir que la región converge a 1. Este tipo de integrales se las denominan integrales impropias de tipo 1 o de intervalos infinitos, el cual presenta 3 casos:

• Caso a: Si $\int_{a}^{t}f(x)\, dx$ existe para todo número $t\geq a$, entonces

\[\int_{a}^{\infty }f(x)\, dx=\lim_{t\rightarrow \infty }\int_{a}^{t}f(x)\, dx\]

Ejemplo: Analice la convergencia de $\int_{0}^{\infty }xe^{-x/3}\, dx$

Mediante la definición del caso, se tiene

\[\int_{0}^{\infty }xe^{-x/3}\, dx=\lim_{t\rightarrow \infty }\int_{0}^{t}xe^{-x/3}\, dx\]

Integrando por partes con $u=x$, $dv=e^{-x/3}dx$, de manera que $du=dx$ y $v=-3e^{-x/3}$

\[\lim_{t\rightarrow \infty }\int_{0}^{t}xe^{-x/3}\, dx=\lim_{t\rightarrow \infty }\left (-3xe^{-x/3}\left.\begin{matrix} \\ \\ \end{matrix}\right|_{0}^{t}+3\int_{0}^{t}e^{-x/3}dx \right )\]

\[I=\lim_{t\rightarrow \infty }\left [-3te^{-t/3}-(9e^{-x/3})\left.\begin{matrix} \\ \\ \end{matrix}\right|_{0}^{t} \right ]=\lim_{t\rightarrow \infty }[-3te^{-t/3}-(9e^{-t/3}-9)]\]

Evitando la indeterminación $0 \times \infty$ y aplicando la regla de L'hôpital:

\[I=\lim_{t\rightarrow \infty }\left ( -\frac{3t}{e^{t/3}}-9e^{-t/3}+9 \right )=\lim_{t\rightarrow \infty }\left ( -\frac{3}{\frac{1}{3}e^{t/3}}\right )+9=9\]

La integral converge a 9.

• Caso b: Si $\int_{t}^{b}f(x)\, dx$ existe para todo número $t\leq b$, entonces

\[\int_{-\infty }^{b}f(x)\, dx=\lim_{t\rightarrow -\infty }\int_{t}^{b}f(x)\, dx\]

Ejemplo: Analice la convergencia de $\int_{-\infty }^{-1}\frac{dx}{(2-x)^{1/2}}$

Mediante la definición del caso, se tiene

\[\int_{-\infty }^{-1}\frac{dx}{(2-x)^{1/2}}=\lim_{t\rightarrow -\infty }\int_{t}^{-1}\frac{dx}{(2-x)^{1/2}}\]

Buscando una antiderivada:

\[\lim_{t\rightarrow -\infty }\int_{t}^{-1}(2-x)^{-1/2}\, dx=\lim_{t\rightarrow -\infty }\left (-\int_{t}^{-1}-(2-x)^{-1/2}\, dx \right )\]

\[I=\lim_{t\rightarrow -\infty }\left (-2\sqrt{2-x} \left.\begin{matrix} \\ \\ \end{matrix}\right|_{t}^{-1} \right )=-2\lim_{t\rightarrow -\infty }(\sqrt{3}-\sqrt{2-t})=-\infty\]

No se obtuvo un resultado finito, en esta situación se dice que la integral diverge.

• Caso c: Si tanto $\int_{a}^{\infty}f(x)\, dx$ como $\int_{-\infty}^{a}f(x)\, dx$ son convergentes, entonces se dice que

\[\int_{-\infty }^{\infty }f(x)\, dx= \int_{-\infty }^{a}f(x)\, dx+ \int_{a}^{\infty }f(x)\, dx\]

Ejemplo: Analice la convergencia de $\int_{-\infty }^{\infty }\frac{4}{16+x^{2}}\, dx$

Se puede elegir cualquier número como valor intermedio. Por otro lado, el integrando es una función par, por lo que se puede expresar:

\[I=2\int_{0}^{\infty }\frac{4}{16+x^{2}}\, dx\]

Así se procede a evaluar como en el caso (a), recordando que la constante puede salir tanto de la integral como del límite.

\[I=8\lim_{t\rightarrow \infty }\int_{0}^{t}\frac{1}{4^{2}+x^{2}}\, dx=\frac{1}{2}\lim_{t\rightarrow \infty }\int_{0}^{t}\frac{1}{1+\left ( \frac{x}{4} \right )^{2}}\, dx\]

Buscando una antiderivada:

\[I=2\lim_{t\rightarrow \infty }\int_{0}^{t}\frac{\frac{1}{4}}{1+\left ( \frac{x}{4} \right )^{2}}\, dx\]

\[I=2\lim_{t\rightarrow \infty }\arctan \left ( \frac{x}{4} \right )\left.\begin{matrix} \\ \\ \end{matrix}\right|_{0}^{t}=2\lim_{t\rightarrow \infty }\arctan \left ( \frac{t}{4} \right )=\pi\]

La integral converge a $\pi$.

Ahora considere la región dada por $S=\int_{0}^{t}\frac{1}{\sqrt{9-x^{2}}}\,dx$ en el intervalo $[0,3)$.

Veamos que sucede con el área a medida que $t$ se acerca a 3

\[A=\lim_{t\rightarrow 3^{-}}\int_{0}^{t}\frac{1}{\sqrt{9-x^{2}}}\,dx=\lim_{t\rightarrow 3^{-}}\int_{0}^{t}\frac{1/3}{\sqrt{1-\left (\frac{x}{3} \right )^{2}}}\,dx=\lim_{t\rightarrow 3^{-}}\arcsin \left ( \frac{x}{3} \right )\left.\begin{matrix} \\ \\ \end{matrix}\right|_{0}^{t}\]

\[A=\lim_{t\rightarrow 3^{-}}\arcsin \left ( \frac{x}{3} \right )\left.\begin{matrix} \\ \\ \end{matrix}\right|_{0}^{t}=\lim_{t\rightarrow 3^{-}}\arcsin \left ( \frac{t}{3} \right )=\frac{\pi }{2}\]

Entonces, el área converge a $\pi /2$. Este tipo de integrales impropias son las de de tipo 2 o de integrandos discontinuos, el cuál presenta 3 casos:

• Caso a: Si $f$ es continua sobre $[a,b)$ y es discontinua en $b$, entonces

\[\int_{a}^{b}f(x)\, dx=\lim_{t\rightarrow b^{-}}\int_{a}^{t}f(x)\, dx\]

Ejemplo: Evalúe $\int_{0}^{8}\frac{3}{\sqrt{8-x}}\, dx$

Mediante la definición del caso, se tiene

\[\int_{0}^{8}\frac{3}{\sqrt{8-x}}\, dx=\lim_{t\rightarrow 8^{-}}\int_{0}^{t}\frac{3}{\sqrt{8-x}}\, dx\]

Buscando una antiderivada

\[\lim_{t\rightarrow 8^{-}}\int_{0}^{t}\frac{3}{\sqrt{8-x}}\, dx=\lim_{t\rightarrow 8^{-}}\left [-3\int_{0}^{t}-(8-x)^{-1/2}\, dx \right ]\]

\[I=-6\lim_{t\rightarrow 8^{-}}\left ( \sqrt{8-x} \right )\left.\begin{matrix} \\ \\ \end{matrix}\right|_{0}^{t}=-6\lim_{t\rightarrow 8^{-}}(\sqrt{8-t} -\sqrt{8})=12\sqrt{2}\]

La integral converge a $12\sqrt{2}$.

• Caso b: Si $f$ es continua sobre $(a,b]$ y es discontinua en $a$, entonces

\[\int_{a}^{b}f(x)\, dx=\lim_{t\rightarrow a^{+}}\int_{t}^{b}f(x)\, dx\]

Ejemplo: Evalúe $\int_{2}^{4}\frac{2}{x\sqrt{x^{2}-4}}\, dx$

Mediante la definición del caso, se tiene

\[\int_{2}^{4}\frac{2}{x\sqrt{x^{2}-4}}\, dx=\lim_{t\rightarrow 2^{+}}\int_{t}^{4}\frac{2}{x\sqrt{x^{2}-4}}\, dx\]

Buscando una antiderivada

\[\lim_{t\rightarrow 2^{+}}\int_{t}^{4}\frac{2}{x\sqrt{x^{2}-4}}\, dx=\lim_{t\rightarrow 2^{+}}\int_{t}^{4}\frac{2}{2x\sqrt{\left ( \frac{x}{2} \right )^{2}-1}}\, dx\]

\[I=\lim_{t\rightarrow 2^{+}}\int_{t}^{4}\frac{\frac{1}{2}}{\left ( \frac{x}{2} \right )\sqrt{\left ( \frac{x}{2} \right )^{2}-1}}\, dx=\lim_{t\rightarrow 2^{+}}\textrm{arcsec}\left ( \frac{x}{2} \right )\left.\begin{matrix} \\ \\ \end{matrix}\right|_{t}^{4}=\lim_{t\rightarrow 2^{+}}\left [ \textrm{arcsec}(2) -\textrm{arcsec}\left ( \frac{t}{2} \right )\right ]\]

\[I=\textrm{arcsec}(2)=\frac{\pi }{3}\]

La integral converge a $\pi /3$.

• Caso c: Si $f$ tiene una discontinuidad en $c$, donde $a<c<b$, y tanto $\int_{a}^{c}f(x)\, dx$ como $\int_{c}^{b}f(x)\, dx$ son convergentes, entonces se dice que

\[\int_{a}^{b}f(x)\, dx= \int_{a}^{c}f(x)\, dx+ \int_{c}^{b}f(x)\, dx\]

Ejemplo: Evalúe $\int_{-1 }^{1 }\frac{e^{x}}{e^{x}-1}\, dx$

En este caso, conviene estudiar el dominio del integrando para determinar la discontinuidad, obteniendo $Df:\mathbb{R}-\left \{ 0 \right \}$. Como $x=0$ se encuentra dentro del intervalo de integración, mediante la definición del caso se tiene

\[\int_{-1 }^{1 }\frac{e^{x}}{e^{x}-1}\, dx=\int_{-1 }^{0 }\frac{e^{x}}{e^{x}-1}\, dx+\int_{0}^{1 }\frac{e^{x}}{e^{x}-1}\, dx\]

Note que se combinaron los casos (a) y (b), de modo que:

\[\int_{-1 }^{1 }\frac{e^{x}}{e^{x}-1}\, dx=\lim_{t\rightarrow 0^{-}}\int_{-1 }^{t}\frac{e^{x}}{e^{x}-1}\, dx+\lim_{t\rightarrow 0^{+}}\int_{t}^{1 }\frac{e^{x}}{e^{x}-1}\, dx\]

Es notable que esta integral es inmediata, por lo tanto

\[\int_{-1 }^{1 }\frac{e^{x}}{e^{x}-1}\, dx=\lim_{t\rightarrow 0^{-}}\ln \left | e^{x}-1 \right |\left.\begin{matrix} \\ \\ \end{matrix}\right|_{-1}^{t}+\lim_{t\rightarrow 0^{+}}\ln \left | e^{x}-1 \right |\left.\begin{matrix} \\ \\ \end{matrix}\right|_{t}^{1}\]

\[I=\infty\]

La integral diverge.

Resulta fácil reconocer una integral impropia si presenta intervalos infinitos. Por otro lado, si dichos intervalos son valores finitos, es necesario estudiar el dominio del integrando para determinar si la integral es impropia o no.

Ejemplo práctico: Analice la convergencia de:

\[\int_{0}^{\infty }\frac{2}{\sqrt{x}(x+4)}\, dx\]

En este caso es notable que el integrando no está definida en 0, por lo que combina la integral impropia de tipo 1 y de tipo 2.

Por medio del método de sustitución se tiene que $u=\sqrt{x}$, de manera que despejando y derivando se tiene el diferencial $2u\, du=dx$, por tanto:

\[\int_{0}^{\infty }\frac{2}{\sqrt{x}(x+4)}\, dx=\int_{0}^{\infty }\frac{2}{u(u^{2}+4)}(2u)du\]

Cuidado con los límites de integración, ya que aplicando la sustitución de integrales definidas, hablando en términos de límites se tiene que si $x\rightarrow 0$, entonces $u\rightarrow 0$, y si $x\rightarrow \infty$, entonces $u\rightarrow \infty$.

Note que se tiene un caso similar al (c) de las integrales impropias de tipo 1. Entonces, suponiendo un $x=c$:

\[\int_{0}^{\infty }\frac{4}{u^{2}+4}\, du=\int_{0}^{c }\frac{4}{u^{2}+4}\, du+\int_{c}^{\infty }\frac{4}{u^{2}+4}\, du\]

se tienen los casos a y b de lo tipos 1 y 2 respectivamente. Entonces, evaluando de acuerdo al caso

\[I=\lim_{t\rightarrow 0^{+}}\int_{t}^{c }\frac{4}{u^{2}+4}\, du+\lim_{t\rightarrow \infty }\int_{c}^{t }\frac{4}{u^{2}+4}\, du\]

\[I=2\lim_{t\rightarrow 0^{+}}\int_{t}^{c }\frac{\frac{1}{2}}{\left ( \frac{u}{2} \right )^{2}+1}\, du+2\lim_{t\rightarrow \infty }\int_{c}^{t }\frac{\frac{1}{2}}{\left ( \frac{u}{2} \right )^{2}+1}\, du\]

\[I=2\lim_{t\rightarrow 0^{+}}\arctan \left ( \frac{u}{2} \right )\left.\begin{matrix} \\ \\ \end{matrix}\right|_{t}^{c }+2\lim_{t\rightarrow \infty }\arctan \left ( \frac{u}{2} \right )\left.\begin{matrix} \\ \\ \end{matrix}\right|_{c}^{t }\]

\[I=2\lim_{t\rightarrow 0^{+}}\left [\arctan \left ( \frac{c}{2} \right )-\arctan \left ( \frac{t}{2} \right ) \right ]+2\lim_{t\rightarrow \infty }\left [\arctan \left ( \frac{t}{2} \right )-\arctan \left ( \frac{c}{2} \right ) \right ]\]

Como $c$ es un número arbitrario, puede salir del límite. Asimismo, esta se puede anular, obteniendo

\[I=-2\lim_{t\rightarrow 0^{+}}\arctan \left ( \frac{t}{2} \right ) +2\lim_{t\rightarrow \infty} \arctan \left ( \frac{t}{2} \right )\]

\[I=2\left (\frac{\pi }{2} \right )=\pi\]

De manera que la integral converge a $\pi$.

Ejercicios:

Evalúe las siguientes integrales impropias

1) $\int_{-\infty }^{\infty }\frac{5}{1+x^{2}}\, dx$

2) $\int_{0 }^{\infty }\frac{1}{e^{x}+e^{-x}}\, dx$

3) $\int_{0 }^{2}\frac{1}{\sqrt[3]{x-1}}\, dx$

4) $\int_{0 }^{\infty }\frac{4}{\sqrt{x}(x+6)}\, dx$

5) $\int_{1 }^{\infty }x^{2}\ln x\, dx$

6) $\int_{4 }^{\infty }\frac{\sqrt{x^{2}-16}}{x^{2}}\, dx$

7) $\int_{0}^{e }\ln x^{2}\, dx$

8) $\int_{1}^{\infty }\frac{1}{x\ln x}\, dx$

9) $\int_{-2 }^{2 }\frac{1}{(x+1)^{2}}\, dx$

10) $\int_{-\infty }^{0 }\frac{3}{(x^{2}+3)-x\sqrt{x^{2}+3}}\, dx$

Soluciones de los ejercicios