Teorema de la compresión y continuidad de una función
Dado el siguiente limite:
\[\lim_{x\rightarrow \infty}\frac{\sin x}{x}\]
Note que no es posible utilizar la
ley del cociente de limites ya que se tienen valores infinitos así como un
valor indeterminado. Asimismo la función no es reducible de manera que se pueda eliminar el
punto no definido Por ende, es necesario usar otra estrategia para
determinar el limite.
Teorema de la compresión
Si $f(x)\leq g(x)\leq h(x)$
cuando x está cerca de "a" (excepto quizás en "a), y
\[\lim_{x\rightarrow a}f(x)=\lim_{x\rightarrow a}h(x)=L\]
entonces
\[\lim_{x\rightarrow a}g(x)=L\]
Demostración:
Sean las definiciones para las funciones mostradas en la figura
anterior
\[\lim_{x\rightarrow a}f(x)=L,\forall \varepsilon > 0\exists \delta_{1}
> 0/\left | x-a \right |< \delta_{1} \Rightarrow \left | f(x)-L \right
|< \varepsilon\]
\[\lim_{x\rightarrow a}h(x)=L,\forall \varepsilon > 0\exists \delta_{2}
> 0/\left | x-a \right |< \delta_{2} \Rightarrow \left | h(x)-L \right
|< \varepsilon\]
Cabe mencionar que para asegurar que el error sea menor al de
referencia
$\varepsilon$ en f, g y h, $\delta$
debe ser el mínimo entre $\delta
_{1},\delta _{2}$ y un $\delta _{3}$ que le corresponde a g. Luego:
\[-\varepsilon < f(x)-L< \varepsilon\]
\[-\varepsilon +L< f(x)< \varepsilon +L\]
Asimismo:
\[-\varepsilon +L< h(x)< \varepsilon +L\]
Entonces si:
\[f(x)\leq g(x)\leq h(x)\]
Se tiene que.
\[-\varepsilon +L< f(x)\leq g(x)\leq h(x)< \varepsilon +L\]
Por consiguiente
\[-\varepsilon +L< g(x)< \varepsilon +L\]
\[\left | g(x)-L \right |< \varepsilon\]
De manera que se puede formar la definición para la función g como
sigue:
\[\lim_{x\rightarrow a}g(x)=L,\forall \varepsilon > 0\exists \delta >
0/\left | x-a \right |< \delta \Rightarrow \left | g(x)-L \right |<
\varepsilon\]
Así entonces se valida el teorema de compresión.
Aplicando este teorema es posible determinar el limite propuesto al
principio, buscando dos funciones que posean el mismo limite en el punto
deseado.
Entonces sabiendo que la
función seno
se encuentra entre las funciones constantes -1 y 1 en todo su dominio
se tiene que:
\[-1\leq \sin x\leq 1\]
\[-\frac{1}{x}\leq \frac{\sin x}{x}\leq \frac{1}{x}\]
Luego
\[\lim_{x\rightarrow \infty }\left ( -\frac{1}{x} \right
)=\lim_{x\rightarrow \infty }\frac{1}{x}=0\]
Entonces por el teorema de compresión se tiene que:
\[\lim_{x\rightarrow \infty }\frac{\sin x}{x}=0\]
Note en el gráfico que a medida que x toma valores muy grandes f tiende a
0, por lo que el limite fue calculado correctamente. Por otro lado se puede
observar que a medida que x se acerca a 0 el limite también existe, entonces
una manera de buscar las funciones f y h de manera que posean el mismo
limite en un intervalo que contenga a x=0 es utilizar el
circulo trigonométrico.
Note que se puede utilizar las áreas señaladas en la figura donde A1 y A3
representan el área de los triángulos rectángulos y A2 el área de un sector
circular obteniendo:
\[A1\leq A2\leq A3\]
\[\frac{\sin x\cos x}{2}\leq\frac{1^{2}x}{2}\leq \frac{1\tan x}{2}\]
\[\sin x\cos x \leq x\leq\tan x\]
\[\cos x \leq \frac{x}{\sin x}\leq\frac{1}{\cos x}\]
\[\cos x \leq \frac{\sin x}{x}\leq\frac{1}{\cos x}\]
Luego, si
\[\lim_{x\rightarrow 0}\cos x=\lim_{x\rightarrow 0}\frac{1}{\cos
x}=1\]
Entonces
\[\lim_{x\rightarrow 0}\frac{\sin x}{x}=1\]
Este tipo de limites se lo puede utilizar para hallar otros como:
\[\lim_{x\rightarrow 0}\frac{1}{x}\sin^{-1}(x)\]
Se sabe que no es posible aplicar la
ley del producto de limites, pero si se realiza la evaluación directa se tiene:
\[0\times \infty\]
Sin embargo si se reescribe el limite a:
\[\lim_{x\rightarrow 0}\frac{\sin^{-1}(x)}{x}\]
Se tiene un valor indeterminado donde se puede usar el teorema
de compresión. Por otro lado, no es seguro decir que el producto de cero
con infinito sea cero ya que en limites esta operación podría dar otro
valor debido a que se puede reescribir como alguna
indeterminación.
Si se aplica un cambio de variable de la forma:
\[u=\sin^{-1}x\]
Se tiene que:
\[x=\sin u\]
Entonces si x tiende a 0, mediante el cambio de variable se tiene que u
igual tiende a 0, obteniendo:
\[\lim_{u\rightarrow 0}\frac{u}{\sin u}\]
Note que la estructura del limite es similar al ya calculado solo que
invertida, esto no cambia el valor del limite si se aplica nuevamente el
teorema de compresion. Entonces:
\[\lim_{u\rightarrow 0}\frac{u}{\sin u}=1\]
Regresando a la variable original se tiene que:
\[\lim_{u\rightarrow 0}\frac{u}{\sin u}=\lim_{x\rightarrow
0}\frac{\sin^{-1}(x)}{x}=1\]
Continuidad de una función real de una variable real
Una función f es continua en un número "a" si
\[\lim_{x\rightarrow a}f(x)=f(a)\]
Cabe mencionar que esta definición indica que f debe estar definida en
"a".
Ejemplo: Estudiar la continuidad de la función:
\[f(x)=\frac{x-2}{x^{2}-4}\]
Empezando con determinar el dominio se tiene:
\[Df:\mathbb{R}-\left \{ -2,2 \right \}\]
De acuerdo con el dominio se puede notar que f es discontinua en x=-2 y
x=2. Entonces, primeramente, estudiando la continuidad en x=-2 analizando
los límites laterales se tiene:
\[\lim_{x\rightarrow -2^{-}}\frac{x-2}{x^{2}-4}=-\infty\]
\[\lim_{x\rightarrow -2^{+}}\frac{x-2}{x^{2}-4}=\infty\]
Concluyendo en una discontinuidad infinita ya que se presentan
limites infinitos y además, de signos distintos. Ahora estudiando la
continuidad en x=2.
\[\lim_{x\rightarrow 2}\frac{x-2}{x^{2}-4}=\lim_{x\rightarrow
2}\frac{1}{x+2}=\frac{1}{4}\]
El limite existe y es única ya que los laterales también son iguales. Sin
embargo f(2) no existe por lo que no cumple con la definición de la
continuidad. En este caso se puede decir que en x=2 se tiene una
discontinuidad removible, ya que los limites laterales coinciden.
Casos en que los limites
laterales no coinciden y son finitos, se presenta una discontinuidad de salto finito. Por otro lado, cuando uno de los limites laterales no existe, se tiene
una discontinuidad esencial.
Graficando la curva es posible observar la discontinuidad de la
función, y cuando se presenta una discontinuidad removible, es posible
redefinir f de la forma:
\[f(x)=\begin{cases} \frac{x-2}{x^{2}-4} & \text{Si } x\neq 2 \\
\frac{1}{4} & \text{Si } x=2 \end{cases}\]
Esto debido a que se desea evitar la discontinuidad presente. Sin
embargo, la de salto infinito no es posible evitarlo por lo que también
se denomina discontinuidad inevitable.
Ejemplo practico: Hallar el valor de "a" y "b" para que la función dada sea
continua en todo su dominio
\[f(x)=\begin{cases} ax-5 & \text{Si } x< 3 \\ x^{2}+bx+9 & \text{Si } 3\leq
x\leq 5 \\ 2x-1 & \text{Si } x> 5 \end{cases}\]
Para que f sea continua en todo su dominio debe cumplir con la definición
de continuidad por lo que:
\[\lim_{x\rightarrow 3}=f(3)\]
\[\lim_{x\rightarrow 5}=f(5)\]
Además si los limites deben existir y ser únicos entonces:
\[\lim_{x\rightarrow 3^{-}}f(x)=\lim_{x\rightarrow 3^{+}}f(x)\]
\[\lim_{x\rightarrow 3^{-}}(ax-5)=\lim_{x\rightarrow
3^{+}}(x^{2}+bx+9)\]
\[3a-5=9+3b+9\: (1)\]
\[\lim_{x\rightarrow 5^{-}}(x^{2}+bx+9)=\lim_{x\rightarrow
5^{+}}(2x-1)\]
\[25+5b+9=10-1\: (2)\]
Resolviendo el sistema de dos ecuaciones de dos incógnitas formadas con las
expresiones (1) y (2) se obtienen los valores de "a" y "b"
\[\left\{\begin{matrix} 3a-3b=23\\ 5b=-25 \end{matrix}\right.\]
\[b=-5,a=\frac{8}{3}\]
Entonces la función será:
\[f(x)=\begin{cases} \frac{8}{3}x-5 & \text{Si }x< 3 \\ x^{2}-5x+9 & \text{Si } 3\leq x\leq 5 \\ 2x-1 & \text{Si } x> 5 \end{cases}\]
Graficando la función es posible corroborar si la curva es continua en todo
su dominio con los valores hallados
Asíntotas
Una aplicación de los limites es encontrar las asíntotas de una curva
para esbozar de una manera mas sencilla el gráfico sin utilizar una tabla
de valores. Las asíntotas son rectas a las cuales una curva se va
aproximando indefinidamente sin llegar nunca a encontrarla. Se pueden
definir con limites las siguientes asíntotas:
1) La recta y=L se llama asíntota horizontal de la curva y=f(x)
si
$\lim_{x\rightarrow \infty }f(x)=L$ o $\lim_{x\rightarrow -\infty
}f(x)=L$
2) La recta x=a se llama asíntota vertical de la curva y=f(x)
si
$\lim_{x\rightarrow a }f(x)=\infty$ o $\lim_{x\rightarrow a
}f(x)=-\infty$
3) Las asíntotas oblicuas se pueden determinar basándose en el gráfico
siguiente
Note que mientras x tiende a infinito, la diferencia entre la función
f(x) y la recta y(x) tiende a 0, entonces
\[\lim_{x\rightarrow \infty }[f(x)-(mx+b)]=0\]
\[\lim_{x\rightarrow \infty }[f(x)-mx]=\lim_{x\rightarrow \infty
}b\]
Por lo tanto la intersección con la ordenada en el origen para la
asíntota es:
\[b=\lim_{x\rightarrow \infty }[f(x)-mx]\]
Por otro lado, para determinar la pendiente de la recta se puede partir
de:
\[m=\frac{f(x)-f(x_{0})}{x-x_{0}}\]
Observando el gáfico, se puede notar que la inclinación de la curva se
aproxima a la pendiente de la recta si
$x_{0}=0$
y x toma valores grandes, obteniendo:
\[m=\lim_{x\rightarrow \infty } \frac{f(x)}{x}\]
Por consiguiente, la recta
$y=mx+b$
se llama asíntota oblicua de la curva f(x) si
\[b=\lim_{x\rightarrow \infty }[f(x)-mx]\]
\[m=\lim_{x\rightarrow \infty }\frac{f(x)}{x}\]
Ejemplo:
Graficar la curva dada por la función:
\[f(x)=\frac{x^{3}}{(x-1)^{2}}\]
Determinando la asíntota horizontal:
\[\lim_{x\rightarrow \infty }\frac{x^{3}}{(x-1)^{2}}=\lim_{x\rightarrow
\infty }\frac{x^{3}}{x^{2}-2x+1}\]
\[\lim_{x\rightarrow \infty
}\frac{1}{\frac{1}{x}-\frac{2}{x^{2}}+\frac{1}{x^{3}}}=\infty\]
Se tiene un limite infinito, por lo que la función no presenta asíntota
horizontal.
Determinando la asíntota vertical:
\[\lim_{x\rightarrow 1 }\frac{x^{3}}{(x-1)^{2}}=\infty\]
Cabe mencionar que el limite lateral tanto derecha como izquierda da
infinito positivo. Entonces la recta
$y_{1}=1$
es una asíntota vertical.
Determinando la asíntota oblicua:
\[m=\lim_{x\rightarrow \infty }\frac{\left ( \frac{x^{3}}{(x-1)^{2}}
\right )}{x}=\lim_{x\rightarrow \infty
}\frac{x^{2}}{(x-1)^{2}}=\lim_{x\rightarrow \infty
}\frac{1}{1-\frac{2}{x}+\frac{1}{x^{2}}}\]
\[m=1\]
\[b=\lim_{x\rightarrow \infty }\left [ \frac{x^{3}}{(x-1)^{2}}
-(1)x\right ]\]
\[\lim_{x\rightarrow \infty }\left [
\frac{x^{3}-x(x^{2}-2x+1)}{(x-1)^{2}}\right ]=\lim_{x\rightarrow \infty
}\left [ \frac{2x(x-1)}{(x-1)^{2}}\right ]\]
\[\lim_{x\rightarrow \infty }\left [ \frac{2x}{x-1}\right
]=\lim_{x\rightarrow -\infty }\left [ \frac{2}{1-\frac{1}{x}}\right
]\]
\[b=2\]
Entonces la recta $y_{2}=x+2$ es
una asíntota oblicua.
Mediante las asíntotas vertical y oblicua es posible realizar un esbozo
aproximado de la curva, se puede utilizar algunos puntos fáciles de
calcular como ayuda para determinar con mejor precisión la forma de la
gráfica o bien analizar los limites laterales donde se pueda presentar un
valor infinito positivo o negativo.
Continuidad de una función vectorial
Dado que el limite de una función real de una variable real y sus
propiedades se pueden aplicar en funciones vectoriales, la continuidad
se define de la misma manera.
Una función vectorial r es continua en a si
\[\lim_{t\rightarrow a}r(t)=r(a)\]
De acuerdo con esta definición, la función r es continua en "a" si y
solo si cada una de las funciones componentes es continua en "a".
Ejemplo: Analizar la continuidad de la funcion
\[r(t)=\frac{\sqrt{1+t}-1}{t}\mathbf{i}+\frac{3}{1+t}\mathbf{j}\]
Determinando el dominio:
\[Dr(t):(-1,0)\cup (0,\infty )\]
Se puede notar que se presentan discontinuidades en t=-1 y t=0.
Entonces analizando los limites en cada punto discontinuo
En t=0:
\[\lim_{t\rightarrow 0}f(t)=\lim_{t\rightarrow
0}\frac{\sqrt{1+t}-1}{t}=\lim_{t\rightarrow
0}\frac{1}{\sqrt{1+t}+1}=\frac{1}{2}\]
\[\lim_{t\rightarrow 0}g(t)=\lim_{t\rightarrow
0}\frac{3}{1+t}=3\]
\[\lim_{t\rightarrow 0}r(t)=\frac{1}{2}\mathbf{i}+3\mathbf{j}\]
En t=-1:
\[\lim_{t\rightarrow -1^{+}}f(t)=\lim_{t\rightarrow
-1}\frac{\sqrt{1+t}-1}{t}=1\]
\[\lim_{t\rightarrow -1^{-}}g(t)=\lim_{t\rightarrow
-1^{-}}\frac{3}{1+t}=-\infty\]
\[\lim_{t\rightarrow -1^{+}}g(t)=\lim_{t\rightarrow
-1^{+}}\frac{3}{1+t}=\infty\]
\[\lim_{t\rightarrow -1}r(t)=?\]
Entonces se tiene una discontinuidad removible en t=0 y una
discontinuidad esencial en t=-1. Este último tipo de
discontinuidad, en funciones vectoriales sucede cuando el límite no existe
en alguna de las funciones componentes. Asimismo, note que $\lim_{t\rightarrow -1^{-}}f(t)$
no existe debido al dominio de "f".
Por último, debido a que la discontinuidad evitable, se puede redefinir a $r(t)$
como sigue:
\[r(t)=\begin{cases}
\frac{\sqrt{1+t}-1}{t}\mathbf{i}+\frac{3}{1+t}\mathbf{j} & \text{Si } -1\leq
t< 0\vee 0< t \\ \frac{1}{2}\mathbf{i}+3\mathbf{j} & \text{Si } t=0
\end{cases}\]
Ejercicios:
a) Hallar los limites si existen, utilizando el teorema de compresión
1) $\lim_{x\rightarrow
0}\frac{1-\cos x}{x^{2}}$
2) $\lim_{x\rightarrow
0}\frac{1-\cos x}{x}$
3) $\lim_{x\rightarrow
0}x^{4}\cos \left ( \frac{2}{x} \right )$
4) $\lim_{x\rightarrow
0}\frac{\tan x-\sin x}{x^{2}}$
b) Para las funciones dadas, determinar sus asíntotas y graficar.
1)
$f(x)=\frac{\sqrt{x+1}}{x-1}$
2) $f(x)=\frac{x}{\left | x
\right |}-\left | x \right |$
3)
$f(x)=\frac{x^{2}+2x-1}{x+1}$
4)
$f(x)=\frac{x^{3}}{x^{2}-1}$
c) Analizar la continuidad de las siguientes funciones.
1)
$f(x)=\frac{e^{x}}{x-1}$
2)
$f(x)=\sqrt{x^{2}-2}-\sqrt{x^{2}+x}$
3)
$f(x)=\left\{\begin{matrix} e^{x}, & x\leq 0\\ e^{-x+1},
&x> 0 \end{matrix}\right.$
4)
$f(x)=\left\{\begin{matrix} \frac{x^{2}+2x+1}{x^{2}-1}, &x\leq 0
\\ \frac{x}{1-\sqrt{1-x}}, &0< x\leq 1 \\ \sqrt{x+1}, &
x> 1 \end{matrix}\right.$
5)
$r(t)=t^{3}\mathbf{i}+\frac{2t^{2}-5t+2}{5t^{2}-7t-6}\mathbf{j}$
6)
$r(t)=\left\{\begin{matrix} \left \langle
\frac{t^{3}+1}{t^{2}-1},\frac{(t+1)^{2}}{t^{2}-1}\right \rangle;
&t\neq -1 \\ \left \langle -\frac{3}{2},0 \right \rangle;
&t=-1 \end{matrix}\right.$
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