Introducción a la integral
Área bajo una curva
No es fácil calcular el área de una figura compleja como la mostrada en la
imagen. Por otro lado, si lo es el de un cuadrado, un rectángulo o un
trapecio, de modo que es posible utilizar una de estas figuras como un medio
para aproximar "S".
El área más sencilla de determinar es el de un rectángulo, por lo que si se
usara varios de ellos en un intervalo se obtendría:
Note que la base de cada rectángulo se la puede escribir como la división
del intervalo [a,b] en n partes iguales
\[\Delta x=\frac{b-a}{n}\]
donde se consiguen los subintervalos
$[x_{0},x_{1}],[x_{1},x_{2}],[x_{2},x_{3}],...,[x_{n-1},x_{n}]$
donde $x_{0}=a$
y $x_{n}=b$.
Luego, la altura de cada rectángulo se la puede determinar evaluando la
función en el extremo derecho de cada subintervalo.
\[h(x_{i})=f(x_{i})\]
donde
\[x_{i}=a+i\Delta x\]
Entonces, el área de un solo rectángulo se obtiene como
\[s_{i}=\Delta xf(x_{i})\]
y el área total será:
\[R_{n}=\Delta xf(x_{1})+\Delta xf(x_{2})+...+\Delta xf(x_{n})\]
Note que mientras más rectángulos se usen, más precisa es la aproximación
del área bajo la curva, por lo que la suma anterior se la puede reescribir
como:
\[A=\lim_{n\rightarrow \infty }R_{n}=\lim_{n\rightarrow \infty }[\Delta
xf(x_{1})+\Delta xf(x_{2})+...+\Delta xf(x_{n})]\]
Cabe mencionar que, la función debe ser continua en el intervalo cerrado y
el limite debe existir para hallar el área deseada. Asimismo, esta suma se
la puede reescribir con la notación de sumatorias para una escritura más
compacta
\[A=\lim_{n\rightarrow \infty }\sum_{i=1}^{n}f(x_{i})\Delta x\]
Ejemplo 1: Calcule el área bajo la curva dada por
$f(x)=x^{2}$
en el intervalo $[0,4]$
La base de los rectángulos es
\[\Delta x=\frac{4-0}{n}=\frac{4}{n}\]
El extremo derecho de cada subintervalo es
\[x_{i}=0+i\Delta x=\frac{i4}{n}\]
Entonces la fórmula para determinar el área pedida es:
\[A=\lim_{n\rightarrow \infty }\sum_{i=1}^{n}f\left (\frac{i4}{n} \right
)\left [ \frac{4}{n} \right ]=\lim_{n\rightarrow \infty }\sum_{i=1}^{n}\left
(\frac{i4}{n} \right )^{2}\left [ \frac{4}{n} \right ]\]
Aplicando propiedades de sumatorias se obtiene
\[A=\lim_{n\rightarrow \infty }\frac{64}{n^{3}}\sum_{i=1}^{n}i^{2}\]
Note que se tiene la sumatoria de números consecutivos al cuadrado, el cual
es una de las sumatorias notables que es posible reescribir con un término
enésimo. Así, se tiene que:
\[A=\lim_{n\rightarrow \infty }\frac{64}{n^{3}}\left (
\frac{n(n+1)(2n+1)}{6} \right )\]
Hallando el límite:
\[A=\frac{32}{3}\lim_{n\rightarrow \infty
}\frac{2n^{2}+3n+1}{n^{2}}=\frac{32}{3}\lim_{n\rightarrow \infty }\left (
2+\frac{3}{n}+\frac{1}{n^{2}} \right )=\frac{64}{3}\]
Concluyendo que el área bajo la curva dada en el intervalo pedido es
exactamente
$64/3$.
Cabe mencionar que no en todos los casos se obtienen sumas notables. Por
ende, se recurre a un método diferente que al menos ayude a estimar el
valor del área.
Ejemplo 2: Estime el área bajo la curva dada por
$f(x)=\ln x$
en el intervalo $[1,e]$
La base de los rectángulos es
\[\Delta x=\frac{e-1}{n}\]
El extremo derecho de cada subintervalo es
\[x_{i}=1+i\left ( \frac{e-1}{n} \right )\]
Entonces la fórmula del área es
\[A=\lim_{n\rightarrow \infty }\sum_{i=1}^{n}\ln \left ( \frac{n+ie-i}{n}
\right )\left ( \frac{e-1}{n} \right )\]
Resulta complicado simplificar la sumatoria y evaluar el limite, por lo que
una alternativa para determinar el área es tomar un "n" finito y expandir la
suma.
Si $n=4$,
la base de los rectángulos será
$\Delta x=\frac{e-1}{4}$
formando los subintervalos $\left
[1,\frac{e+3}{4} \right ];\left [\frac{e+3}{4}, \frac{e+1}{2} \right ];\left
[\frac{e+1}{2},\frac{3e+1}{4} \right ];\left [\frac{3e+1}{4},e \right
]$.
No es estricto el uso del extremo derecho de cada subintervalo. Puede
usarse cualquier valor de "x" contenido en cada uno. Así, se reduce el
error del cálculo provocado por la esquina de los rectángulos, ya que esta
puede salir de la curva (ver figura b), o dejar espacios (ver figura c).
Por ejemplo, si se toman los puntos medios se tiene
$x_{1}^{*}=\frac{e+7}{8};x_{2}^{*}=\frac{3e+5}{8};x_{3}^{*}=\frac{5e+3}{8};x_{4}^{*}=\frac{7e+1}{8}$,
luego evaluando la suma se tiene:
\[A=\sum_{i=1}^{4}\ln x_{i}^{*}\Delta x\]
\[A=\left ( \frac{e-1}{4} \right )\left [\ln \left ( \frac{e+7}{8} \right
)+\ln \left ( \frac{3e+5}{8} \right )+\ln \left ( \frac{5e+3}{8} \right
)+\ln \left ( \frac{7e+1}{8} \right ) \right ]\]
De este modo, una estimación para el área es
\[A\approx 1.004786\]
La elección de los puntos medios de cada subintervalo, para evaluar la
suma, se la conoce como la regla del punto medio. Por otro lado, si
se elige el extremo derecho, se la conoce como suma superior y si se
elige el extremo izquierdo, suma inferior.
|
| Aproximación del área utilizando (a) la regla del punto medio, (b) suma superior, (c) suma inferior |
Aplicando sumas superiores se tiene
\[A_{sup}=\left ( \frac{e-1}{4} \right )\left [\ln \left ( \frac{e+3}{4}
\right )+\ln \left ( \frac{e+1}{2} \right )+\ln \left ( \frac{3e+1}{4}
\right )+\ln \left ( e \right ) \right ]\]
de manera que otra estimación para el área es
\[A_{sup}\approx 1.20515\]
Aplicando sumas inferiores se tiene
\[A_{inf}=\left (\frac{e-1}{4} \right )\left [\ln \left ( 1\right )+\ln
\left ( \frac{e+3}{4} \right )+\ln \left ( \frac{e+1}{2} \right )+\ln
\left ( \frac{3e+1}{4} \right ) \right ]\]
de manera que otra estimación para el área es
\[A_{inf}\approx 0.77558\]
Utilizando una graficadora se tiene que el valor exacto del área es 1. Así,
se puede notar que se obtiene menos error con la regla del punto medio a
comparación de las sumas superior e inferior.
La integral definida
Si f(x) es una función continua en un intervalo cerrado con limite
inferior (a) y limite superior (b), siendo
$\Delta x$ el ancho de subintervalos muy pequeños y eligiendo un
$x_{i}^{*}$ contenido en cada subintervalo. Entonces la integral definida de f,
desde a hasta b, es
\[\int_{a}^{b}f(x)dx=\lim_{n\rightarrow \infty
}\sum_{i=1}^{n}f(x_{i}^{*})\Delta x\]
Entonces, se dice que la integral definida es un limite de una sumatoria,
donde se divide un intervalo cerrado en subintervalos de igual ancho pero
infinitamente pequeños, de manera que dicha división se comporta como un
diferencial, obteniendo como resultado un número.
Ejemplo 3: Evaluar
$\int_{-2}^{1}2x\, dx$
El ancho de cada subintervalo es
\[\Delta x=\frac{1-(-2)}{n}=\frac{3}{n}\]
Por simplicidad se utilizará la suma superior, por lo que el extremo
derecho de cada subintervalo es
\[x_{i}=-2+i\frac{3}{n}\]
De manera que la integral será:
\[\int_{-2}^{1}2x\, dx=\lim_{n\rightarrow \infty }\sum_{i=1}^{n}2\left (
-2+i\frac{3}{n} \right )\left ( \frac{3}{n} \right )\]
Evaluando:
\[I=\lim_{n\rightarrow \infty }\frac{6}{n}\left (
-2\sum_{i=2}^{n}1+\frac{3}{n}\sum_{i=1}^{n}i\right )=\lim_{n\rightarrow
\infty }\frac{6}{n}\left \{-2n+\frac{3}{n}\left [ \frac{n(n+1)}{2} \right
]\right \}\]
\[I=\lim_{n\rightarrow \infty }\left [-3+\frac{9}{n} \right ]=-3\]
|
| \[\mathit{\int_{-2}^{1}2x\, dx=A2-A1}\] |
Si f toma valores tanto positivos como negativos, la integral se
interpreta como una diferencia de áreas. Puesto que, cuando se integra, se
suman los rectángulos que se encuentran arriba del eje "x" (rectángulos
positivos) y los que se encuentran debajo del mismo (rectángulos
negativos), de manera que el área neta resulta ser la diferencia de estas
dos sumas. Esta suma de infinitos rectángulos se la conoce como
sumas de Riemann.
Propiedades de la integral definida
- Si $\int_{a}^{a}f(x)\, dx=\lim_{n\rightarrow \infty }\sum_{i=1}^{n}f(x_{i}^{*})\Delta x$, entonces $\Delta x=\frac{a-a}{n}=0$, de manera que:
\[\int_{a}^{a}f(x)\, dx=0\]
- Si $\int_{a}^{b}cf(x)\, dx=\lim_{n\rightarrow \infty }\sum_{i=1}^{n}cf(x_{i}^{*})\Delta x$, como la constante puede salir de la sumatoria y por la ley del múltiplo constante de limites se tiene que $\lim_{n\rightarrow \infty }c\sum_{i=1}^{n}f(x_{i}^{*})\Delta x=c\lim_{n\rightarrow \infty }\sum_{i=1}^{n}f(x_{i}^{*})\Delta x$, de manera que:
- Si $\int_{a}^{b}f(x)\, dx=\lim_{n\rightarrow \infty }\sum_{i=1}^{n}f(x_{i}^{*})\Delta x$, se puede decir que $\Delta x=\frac{b-a}{n}=-\frac{a-b}{n}=-\Delta x$ y $\lim_{n\rightarrow \infty }\sum_{i=1}^{n}f(x_{i}^{*})(-\Delta x)=-\lim_{n\rightarrow \infty }\sum_{i=1}^{n}f(x_{i}^{*})\Delta x$, de manera que:
- Si $\int_{a}^{b}[f(x)+g(x)]\, dx=\lim_{n\rightarrow \infty }\sum_{i=1}^{n}[f(x_{i}^{*})+g(x_{i}^{*})]\Delta x$, como la sumatoria de una suma es la suma de sumatorias y por la ley de la suma de limites, se tiene que:
- Sea $\int_{a}^{b}f(x)\, dx$, tomando un valor cualquiera $c$ dentro de $(a,b)$ como muestra la figura, se puede decir de manera intuitiva que:
\[\int_{a}^{b}f(x)\, dx=\int_{a}^{c}f(x)\, dx+\int_{c}^{b}f(x)\,
dx\]
- Sea $\int_{a}^{b}c\, dx=\lim_{n\rightarrow \infty }\sum_{i=1}^{n}c\, \Delta x$, se tiene que $\Delta x=\frac{b-a}{n}$. Como se tiene una función constante, no importa el valor que se elija dentro de cada subintervalo ya que $f(x_{i})=c$. Entonces $I=\lim_{n\rightarrow \infty }\sum_{i=1}^{n}c\, \left (\frac{b-a}{n}\right )=\lim_{n\rightarrow \infty }\left (\frac{b-a}{n}\right )cn=c(b-a)$, por lo que se concluye que
\[\int_{a}^{b}c\, dx=c(b-a)\]
Estas propiedades ayudan a evaluar integrales. Por ejemplo:
- $I=\int_{2}^{6}8\, dx$
Mediante la propiedad de la integral de una constante, se tiene
\[I=8(6-2)=32\]
- $I=\int_{-1}^{1}x^{3}\, dx$
Tomando a $c=0$, utilizando las propiedades de la subdivisión y de la inversión de limites de integración, se tiene
\[\Delta x_{1}=-\frac{1}{n}\: \: \: \: \: \: \: \; \; \Delta
x_{2}=\frac{1}{n}\]
\[xI1_{i}=0-i\frac{1}{n}\: \: \: \: \: xI2_{i}=0+i\frac{1}{n}\]
\[I=-\lim_{n\rightarrow \infty }\sum_{i=1}^{n}\left (
-\frac{i}{n}\right )^{3}\left ( -\frac{1}{n} \right
)+\lim_{n\rightarrow \infty }\sum_{i=1}^{n}\left (\frac{i}{n} \right
)^{3}\left ( \frac{1}{n}\right )\]
\[I=\lim_{n\rightarrow \infty }\left ( \frac{1}{n^{4}} \right
)\sum_{i=1}^{n}(-i^{3})+\lim_{n\rightarrow \infty }\left (
\frac{1}{n^{4}}\right )\sum_{i=1}^{n}i^{3}\]
\[I=-\lim_{n\rightarrow \infty }\left ( \frac{1}{n^{4}} \right )\left
[\frac{n(n+1)}{2} \right ]^{2}+\lim_{n\rightarrow \infty }\left (
\frac{1}{n^{4}}\right )\left [\frac{n(n+1)}{2} \right ]^{2}\]
\[I=0\]
- $I=\int_{1}^{2}(x^{2}+1)\, dx$
Mediante las propiedades de: suma de integrales e integral de una constante, se tiene
\[I=\int_{1}^{2}x^{2}\, dx+\int_{1}^{2}\, dx=\lim_{n\rightarrow
\infty }\sum_{i=1}^{n}\left ( 1+i\frac{1}{n} \right )^{2}\left (
\frac{1}{n} \right )+(2-1)\]
\[I=\lim_{n\rightarrow \infty }\left ( \frac{1}{n} \right
)\sum_{i=1}^{n}\left ( 1+\frac{i2}{n}+\frac{i^{2}}{n^{2}} \right
)+1=\lim_{n\rightarrow \infty }\left (
\frac{2}{n^{2}}\sum_{i=1}^{n}i+\frac{1}{n^{3}}\sum_{i=1}^{n}i^{2}
\right )+2\]
\[I=\lim_{n\rightarrow \infty }\left [ \frac{2}{n^{2}}\left (
\frac{n(n+1)}{2} \right )+\frac{1}{n^{3}}\left (
\frac{n(n+1)(2n+1)}{6} \right ) \right ]+2\]
\[I=\lim_{n\rightarrow \infty }\left
[\frac{1}{n}+\frac{1}{2n}+\frac{1}{6n^{2}} \right
]+\frac{10}{3}=\frac{10}{3}\]
Ejercicios:
a) Evalúe las siguientes integrales mediante la definición y propiedades de la integral definida
1) $I=\int_{-1}^{1}(x^{2}-1)\, dx$
2) $I=\int_{-6}^{-4}(x+5)^{3}\, dx$
3) $I=\int_{1}^{3}(3-x)^{2}\, dx$
4) $I=\int_{1}^{2}(3x-4)\, dx$
b) Estime el valor de las siguientes integrales mediante la regla del punto medio, usando la cantidad de subintervalos "n" dada.
1) $I=\int_{-e}^{e}e^{x}\, dx$ con $n=8$
2) $I=\int_{-\pi}^{\pi }\sin x\, dx$ con $n=6$
3) $I=\int_{0}^{4}\sqrt{x}\, dx$ con $n=10$
4) $I=\int_{0}^{2\pi }\cos x\, dx$ con $n=4$
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