Algunas aplicaciones de la derivada II

 La derivada como razón de cambio

Con el concepto de derivada en física u otras ciencias es posible explicar matemáticamente como cambian los fenómenos ya sea en el tiempo o por algún otro factor. La notación que se utiliza en estas aplicaciones es:

\[\frac{dy}{dx}=\lim_{\Delta x\rightarrow 0}\frac{\Delta y}{\Delta x}\]

Note que es la definición de derivada con otra escritura, la cual representa lo que se conoce como razón de cambio. Esta nueva interpretación de la derivada ayuda a resolver problemas de aplicación como:

Velocidad y aceleración media e instantánea

En breve, se dice que la velocidad media $v_{m}$ es el cambio total del desplazamiento de una partícula desde un tiempo inicial a uno final. Por otro lado, la velocidad instantánea $v$ es el cambio del desplazamiento de dicho cuerpo en un instante determinado $t_{0}$. Con el gráfico siguiente se puede ilustrar la idea de estos parámetros.

$\textit{x(t)}$ como la curva de desplazamiento de una partícula

Note que la velocidad media se puede calcular como la recta secante a la curva del desplazamiento. Por otro lado, la velocidad en el instante $t_{0}$ se obtiene reduciendo el intervalo de tiempo lo mas pequeño posible de manera que el tiempo final coincida con el inicial obteniendo una recta tangente. Por lo tonto, se aplica un limite donde la diferencia de tiempos tienda a 0, obteniendo así la expresión de la velocidad de una partícula en cualquier instante "t".

Análogo a la velocidad, se puede decir que la aceleración media es el cambio de velocidad de una partícula en un intervalo de tiempo y la aceleración instantánea es el cambio de la velocidad de dicho en un instante determinado $t_{0}$.

\[a_{m}=\frac{\Delta v}{\Delta t}\]

\[a=\lim_{\Delta t\rightarrow 0}\frac{\Delta v}{\Delta t}\]

Entonces, matemáticamente se dice que la velocidad es la derivada de la posición y la aceleración es la derivada de la velocidad o también, la segunda derivada de la posición y todas son funciones del tiempo.

\[v=\frac{dx}{dt}\]

\[a=\frac{dv}{dt}=\frac{d^{2}x}{dt^{2}}\]

Problema 1: La siguiente tabla muestra los datos experimentales del movimiento de una partícula desde la perspectiva de un observador donde "x" es la distancia recorrida medida en metros y "t" es el tiempo cronometrado en segundos.

1. Halle la velocidad en cualquier instante "t"
2. ¿Qué puede decir acerca de la velocidad media e instantánea?
3. Diga si la partícula se aproxima o se aleja del observador y si este lo hace acelerando

Para plantear el problema, conviene representar gráficamente la curva que describe la posición del cuerpo.

Entonces dado que se tiene una recta, se dice que el movimiento es uniforme y se puede deducir su representación algebraica como sigue:

\[x=-\frac{3}{6}t+3=-\frac{1}{2}t+3\]

La velocidad en cualquier instante, será la derivada:

\[v=\frac{dx}{dt}=-\frac{1}{2}\left (\frac{m}{s} \right )\]

La velocidad media será el cociente de la diferencia de posición final e inicial entre el tiempo final e inicial de todo el recorrido:

\[v_{m}=\frac{\Delta x}{\Delta t}=\frac{2.5-0}{1-6}=-\frac{1}{2}\left (\frac{m}{s} \right )\]

Entonces, respondiendo a la segunda pregunta, se dice que las velocidades media e instantánea son iguales.

La aceleración instantánea es la derivada de la velocidad.

\[a=0\left ( \frac{m}{s^{2}} \right )\]

Para responder al tercer inciso, observando el gráfico, se puede decir que la distancia respecto al observador reduce a mayor tiempo. Asimismo, note que el signo de la velocidad es negativa, por lo que todo indica que la partícula se acerca al observador. Además la aceleración es cero por lo que se aproxima con velocidad constante.

Problema 2: La figura muestra un  gráfico posición-tiempo que describe el movimiento de una partícula en un escenario de prueba medido en centímetros y cronometrado en segundos. Estudiar el comportamiento respondiendo los siguientes puntos

• ¿Como cambia el desplazamiento de la partícula?
• ¿A que velocidad llega la partícula antes de detenerse por primera vez?
• ¿Como cambia la velocidad de la partícula?
• ¿Con que aceleración parte la primera y segunda vez que inicia su movimiento?

Para describir el cambio del desplazamiento se debe realizar un gráfico velocidad-tiempo. Para ello, solo se necesita deducir las expresiones algebraicas de cada curva de posición y derivarlas para formar el nuevo gráfico.

\[x(t)=\left\{\begin{matrix} t^{2}, &0\leq t\leq 2 \\ 2t &2< t\leq 4 \\ 8, &4< t\leq 6 \\ -\frac{1}{2}(t-6)^{2}+8, & 6< t\leq 10 \end{matrix}\right.\]

Luego:

\[v(t)=\left\{\begin{matrix} 2t, &0\leq t< 2 \\ 2 &2< t< 4 \\ 0, &4< t< 6 \\ -(t-6), & 6< t\leq 10 \end{matrix}\right.\]

Curva velocidad-tiempo

Observando el gráfico velocidad-tiempo, la partícula tiene una velocidad igual a 2 (cm/s) antes de que sea 0. Esta entonces es la velocidad que alcanza la partícula antes de detenerse por primera vez.

Luego para describir el cambio de la velocidad, análogo al caso anterior se debe realizar un gráfico aceleración-tiempo.

\[a(t)=\left\{\begin{matrix} 2, &0\leq t< 2 \\ 0 &2< t< 6 \\ -1, & 6< t\leq 10 \end{matrix}\right.\]

Curva aceleración-tiempo

Entonces se tiene que la partícula acelera a 2 $(cm/s^{2})$ la primera vez que inicia su movimiento, y la segunda vez acelera a -1 $(cm/s^{2})$ donde el signo, al igual que la velocidad, indica que se aproxima al observador.

Razones de cambio con funciones implícitas

Problema 3: Un controlador detecta que dos aviones vuelan a la misma altura con trayectorias perpendiculares y convergen en un punto. En un instante "t" uno de ellos se encuentra a 150 (km) y el otro a 200 (km) de dicho punto. Se informa que el primero vuela a una velocidad de 450 (km/h) y el segundo a 600 (km/h). ¿Con qué velocidad se acercan los aviones el uno del otro en dicho instante?.

Un bosquejo ayudará a plantear el problema:

La velocidad con que los aviones se acercan es equivalente a decir el ritmo con el que decrece la distancia entre ambos $\frac{dz}{dt}$. Entonces se puede decir que:

\[z^{2}=x^{2}+y^{2}\]

Note que se tienen 3 funciones que describirían la trayectoria de los aviones y la distancia que hay entre ambos. No obstante, estas dependen del tiempo por lo que son funciones implícitas de "t". Entonces derivando implícitamente se tienen las expresiones de las velocidades correspondientes:

\[2z\frac{dz}{dt}=2x\frac{dx}{dt}+2y\frac{dy}{dt}\]

\[\frac{dz}{dt}=\frac{x}{z}\frac{dx}{dt}+\frac{y}{z}\frac{dy}{dt}\]

Se conoce la posición y velocidad de los aviones en el instante "t" dado, falta conocer la distancia entre ellos en dicho instante, por lo que:

\[z=\sqrt{150^{2}+200^{2}}=250 (km)\]

Tome en cuenta que el signo de las velocidades es negativo ya que se indica decrecimiento de la distancia de cada avión respecto al punto de convergencia, entonces:

\[\frac{dz}{dt}=\frac{200}{250}(-600)\frac{km}{h}+\frac{150}{250}(-450)\frac{km}{h}=-750\frac{km}{h}\]

Problema 4: Un deposito tiene la forma de un cono circular invertido de 8(m) de altura y radio de base de 2(m). Se llena de agua a razón de 5$(m^{3}/min)$ y en un instante "t0" el nivel del agua es de 4(m) con un crecimiento medido de 1(m/min), y se detecta una fuga en la punta del tanque ¿Cuál es la velocidad de la fuga en ese instante? Considere el volumen de un cono circular $\left ( V=\frac{1}{3}\pi r^{2}h \right )$

La velocidad de fuga es la razón con la que se pierde agua, por lo que:

\[Vt=V_{entrada}-V_{salida}\]

\[V_{salida}=V_{entrada}-Vt\]

\[\frac{dV_{salida}}{dt}=\frac{dV_{entrada}}{dt}-\frac{dVt}{dt}\]

Se conoce el dato del flujo de entrada y para hallar la razón de incremento del volumen del agua en el instante "t0" se puede partir de

\[V=\frac{1}{3}\pi r^{2}y\]

El volumen y el radio del cono formado son las funciones implícitas ya que estas varían mientras el tanque se llena. Por otro lado, solo se conoce el nivel del agua mas no el radio, por lo que para encontrar una relación del radio con respecto al nivel en el instante pedido se puede razonar de la siguiente manera

Por medio de triángulos semejantes y despejando r se tiene:

\[r=\frac{y}{4}\]

Reemplazando

\[V=\frac{1}{3}\pi \left (\frac{y^{2}}{16} \right )y=\frac{y^{3}\pi }{48}\]

Así entonces, se quedaron dos funciones implícitas cuyos datos se conocen en el instante pedido, de manera que:

\[\frac{dVt}{dt}=\left (\frac{3y^{2}\pi }{48}\right ) \frac{dy}{dt}\]

\[\frac{dVt}{dt}=\left (\frac{3(4)^{2}\pi }{48}\right ) (1)=\pi \]

Entonces

\[\frac{dV_{salida}}{dt}=5\left ( \frac{m^{3}}{min} \right )-\pi \left ( \frac{m^{3}}{min} \right )\approx 1.858 \left ( \frac{m^{3}}{min} \right )\] 

Linealización de curvas

Observe en la figura que en el intervalo $[x_{0},x_{1}]$ la recta $L(x)$ se aproxima bastante a la curva $f(x)$ alrededor del punto de tangencia P. De esta forma, se puede decir que es posible encontrar una función lineal que se aproxime a una curva alrededor de un punto. Este proceso de aproximación se llama linealización, y es muy utilizado en el estudio de sistemas dinámicos en el área de control. Pues permite estudiar la estabilidad local de un punto de equilibrio en sistemas no lineales. Asimismo, este método se utiliza en otros campos tales como ingeniería, biología, economia y física.

Problema 5: El comportamiento de un sistema obedece a la función dada por:

\[f(t)=\sqrt{t+3}\]

Donde "t" es el tiempo medido en segundos. Al encender el sistema, se observó que este llega al total equilibrio después de un segundo, pero al pasar otro tiempo "t" este se inestabiliza. Para predecir el comportamiento de estabilización se requiere linealizar el modelo ¿En que intervalo de tiempo puede aplicarse la linealización de manera que el error sea menos del 50%?

El valor de interés es $t=1 (s)$, por lo que se procede a linealizar la curva hallando la recta tangente en dicho número.

\[f'(t)=\frac{1}{2\sqrt{t+3}}\]

\[m=\frac{1}{4}\]

\[L(t)=\frac{1}{4}(t-1)+f(1)=\frac{t}{4}+\frac{7}{4}\]

El error debe ser menor al 50%, por lo que las funciones deben diferir menos de 0.5

\[\left | \sqrt{t+3}-\left ( \frac{t}{4}+\frac{7}{4} \right ) \right |< 0.5\]

Así entonces, se tiene la expresión algebraica de la curva que representa el error entre la curva y la recta tangente. 

\[E(t)=\left | \sqrt{t+3}-\left ( \frac{t}{4}+\frac{7}{4} \right ) \right |\]

Luego, para hallar los valores de "t" donde la curva del error entregue como resultado la tolerancia máxima se resuelve la ecuación.

\[\left | \sqrt{t+3}-\left ( \frac{t}{4}+\frac{7}{4} \right ) \right |=0.5\]

\[\sqrt{t+3}-\left ( \frac{t}{4}+\frac{7}{4} \right )=0.5\: \: \: \: \: \: \: \sqrt{t+3}-\left ( \frac{t}{4}+\frac{7}{4} \right )=-0.5\]

\[\frac{t^{2}}{2}+t+\frac{33}{2}=0\: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \frac{t^{2}}{2}-3t-\frac{23}{2}=0\]

\[t=\left \{ 4\sqrt{2}+3,-4\sqrt{2}+3 \right \}\]

Así, se tiene el conjunto solución de los valores de "t" donde se obtiene el error máximo tolerable. Entonces, aproximadamente el intervalo donde es posible aplicar la linealización con un error de menos del 50% considerando solo valores de tiempo positivo, es $t:[0,8.6)$. Note que se obtuvo un intervalo cerrado y abierto, donde en t=0 se asegura un error menor al tolerable ya que se aleja de ambas soluciones encontradas. Asimismo para todos los valores de "t" cercanos al extremo derecho.

Diferenciales

La notación de la derivada $\frac{dy}{dx}$ es una entidad única, es decir que no expresa un cociente y no es posible separar los términos $dy$ y $dx$. Por otro lado, utilizando el concepto de linealización se puede realizar el siguiente análisis.

Mediante el gráfico se puede notar que $\Delta y\approx dy$, y esto sucede cuando la diferencia entre estas magnitudes es muy pequeña por lo que así $dy$ tiene un significado propio denominado diferencial. Entonces, se puede decir que:

\[\Delta y\approx f'(x)\Delta x\]

Entonces, sea $f(x)$ una función derivable en $x$, el diferencial de "x" $(dx)$ es cualquier valor real distinta de cero y el diferencial de "y" $(dy)$ se define como $dy=f'(x)dx$.

Así, los diferenciales se utilizan para representar cantidades infinitamente pequeñas y se aplican en cálculo de errores o en física.

Problema 6: Una esfera de metal, con radio de 5(cm), se recubrirá con una capa de plata hasta obtener un espesor extra de 0.015(cm). ¿Qué cantidad de plata es necesaria?

La cantidad de plata requerida será la cantidad de volumen que se debe aumentar sobre toda la esfera, entonces

\[V=\frac{4\pi }{3}r^{3}\]

Calculando las diferenciales

\[dV=4\pi r^{2}dr\]

Aplicando la aproximación del diferencial del radio:

\[dV=4\pi r^{2}\Delta r\]

\[dV=4\pi (5)^{2}(0.015)=\frac{3\pi }{2}\]

\[dV\approx 4.71 (cm^{3})\]

El diferencial del volumen es la que se requiere para obtener el incremento de radio pedido, por lo que esta cantidad de plata es la necesaria para recubrir la esfera.

Ejercicios:

Plantea y resuelve los siguiente problemas

1) En una prueba de funcionamiento de un automóvil un observador analiza su movimiento uniforme de la siguiente manera: El móvil se aleja hasta 50 metros en 10 segundos, luego se detiene repentinamente durante 20 segundos y vuelve a avanzar de manera que 30 segundos después recorre 30 metros mas de donde se encontraba y vuelve a detenerse repentinamente. Entonces, se decide acabar con las pruebas y 5 segundos después el conductor vuelve a encender el móvil y regresa al punto de partida en un tiempo de 10 segundos.

• Realice un gráfico espacio-tiempo del análisis del observador
• ¿Con qué velocidad media se movía el auto antes de fallar la primera y segunda vez?
• ¿Cuál fué la velocidad media de retorno?

2) Una partícula se mueve a lo largo del eje x, con su posición en el instante "t" dada por $x(t)=\frac{t}{1+t^{2}},t\geq 0$, donde t se mide en segundos y x, en metros.

• Encuentre la velocidad en cualquier instante "t"
• Encuentre la aceleración en cualquier instante "t"
• Diga en que valores de tiempo, la partícula cambia de dirección

3) En el monitoreo de unos tanques cilíndricos de 12 (cm)  de radio, se debe conocer en todo momento la velocidad con la que sube el nivel de un cierto fluido. Se sabe que este se vierte a razón de 60 $(cm^{3}/s)$ y los tanques presentan un medidor para la velocidad con la que sube el nivel. Se observó que en uno de los tanques, el medidor no detectó en ningún momento la velocidad del nivel y se detuvo el proceso de llenado. ¿Cual fué la velocidad de llenado que no pudo ser detectado suponiendo que es el mismo en cualquier instante?

4) Un tren sale de una estación a cierta hora,  viajando directamente al Norte a razón de 30 (km/h). Otro tren sale de la misma estación una hora después hacia el Este a 40 (km/h). El sistema de control de la estación pierde el dato de la velocidad con la que se separan los trenes luego de 2 horas de la partida del segundo tren. ¿Qué velocidad se estimaría en ese instante?

5) En el diseño de un sistema, se encontraron dos modelos válidos en $\theta :[-1,1]$ dados por $f(\theta)=\sin \theta$ y $g(\theta)=\frac{1}{4}(\theta+2)^{2}-1$. En base a una linealización en el valor de equilibrio $\theta=0$ ¿Cuál curva tiene menos error con respecto  a su aproximación lineal con el fin de escoger el modelo que conviene utilizar?

Soluciones de los ejercicios