Funciones en coordenadas polares
Sistema de coordenadas polares
Así como el sistema de coordenadas rectangulares, el sistema de
coordenadas polares representa puntos en el plano mediante un par ordenado
de números (coordenadas). Dicho par ordenado se compone de: la distancia
del punto al origen del sistema (polo) y del ángulo que forma con el eje
polar (semirrecta comúnmente horizontal sobre el polo). Por convención se
considera como ángulo positivo si este se mide en sentido antihorario y
como ángulo negativo si se mide en sentido horario (ver figura).
En el sistema coordenado cartesiano cada punto tiene una sola
representación, pero en el sistema polar todo punto tiene muchas
representaciones. En la siguiente figura se puede observar que a partir
del ángulo $\theta$
en el que se ubica el punto $P$ se puede dar $n$
vueltas para llegar a la misma posición de dicho punto
Cabe mencionar que es igual de válido dar vueltas en sentido horario, de
manera que el punto también puede representarse por $P(r,\theta -2n\pi)$.
Otra forma de representar un punto en coordenadas polares es como se
muestra en la siguiente figura
Note que $r$
es negativo ya que el punto se ubica en el lado opuesto al
"rayo" orientado en el ángulo $\theta$. Por otro lado, es evidente que la expresión equivalente es $P(r,\theta + \pi)$
y de esta forma $r$
es positivo. Asimismo, si se dan $n$
vueltas en sentido horario, las coordenadas se pueden escribir como $P(-r,\theta + 2n\pi)$ o también $P[r,\theta +\pi + 2n\pi]=P[r,\theta +\pi(2n+1)]$.
En este caso observe que el ángulo se mide en sentido horario, por lo que
se suma $-\pi$. Asimismo, es evidente que la expresión equivalente para $r$
positivo es $P(r,-\theta - \pi)$.
Todos estos casos son las distintas formas de representar cualquier punto
en coordenadas polares. En general:
$P(r,\theta \pm 2n\pi)$ o $P[-r,\theta \pm \pi(2n+1)]$
Ejemplo: La siguiente figura muestra 4 puntos ubicados en el
sistema polar. Representar de diferentes maneras las coordenadas que
corresponden a cada punto.
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| En muchas ocasiones se usan circunferencias subdivididas en ángulos notables para facilitar la ubicación de los puntos en el sistema de coordenadas polares |
- Primera forma: Si $r$ es positivo y $\theta$ se mide en sentido antihorario
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| Cada punto se expresa de forma general como $P_{i}(r_{i},\theta_{i} +2n\pi)$, ya que los ángulos se miden en sentido antihorario. |
- Segunda forma: Si $r$ es positivo y $\theta$ se mide en sentido horario
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| Cada punto se expresa de forma general como $P_{i}(r_{i},\theta_{i} -2n\pi)$, ya que los ángulos se miden en sentido horario. |
- Tercera forma: Si $r$ es negativo y $\theta$ se mide en sentido antihorario.
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| Cada punto se puede expresar de forma general como $P_{i}(-r_{i},\theta_{i} +2n\pi)$ o $P_{i}[r_{i},\theta_{i}+\pi (2n+1)]$. |
- Cuarta forma: Si $r$ es negativo y $\theta$ se mide en sentido horario.
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| Cada punto se puede expresar de forma general como $P_{i}(-r_{i},-\theta_{i} -2n\pi)$ o $P_{i}[r_{i},-\theta_{i}-\pi (2n+1)]$. |
Transformación de coordenadas
Las coordenadas polares $(r,
\theta)$
de un punto están relacionadas con sus coordenadas rectangulares $(x,y)$
como se muestra en la siguiente figura
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| Por definición de funciones trigonométricas se puede decir que $\cos \theta =\frac{x}{r}$ y $\sin \theta =\frac{y}{r}$ |
\[x=r\cos \theta \: \: \: \: \: \: \: \: y=r\sin \theta\]
Por otro lado, las coordenadas rectangulares de dicho punto se pueden
transformar a polares mediante las expresiones:
\[r^{2}=x^{2}+y^{2}\: \: \: \: \: \: \: \: \tan \theta
=\frac{y}{x}\]
Note que estas últimas fórmulas obedecen al teorema de Pitágoras y a
la
función tangente, de manera que $r$ es siempre positiva y $-\frac{\pi }{2}\leq \theta \leq \frac{\pi }{2}$.
Ejemplo 1: Convierta los puntos de coordenadas
rectangulares
$P1\left ( \frac{1}{3},-\frac{1}{3} \right );\: P2(\sqrt{3},3);\:
P3(-2,2)$ y $P4(-3,-3)$
a coordenadas polares.
Para el punto $P1$ la distancia al polo es
\[r^{2}=\left ( \frac{1}{3} \right )^{2}+\left (- \frac{1}{3} \right
)^{2}\]
\[r=\sqrt{\frac{1}{9}+\frac{1}{9}}=\sqrt{\frac{2}{9}}=\frac{\sqrt{2}}{3}\]
Luego, para hallar el ángulo:
\[\tan \theta =\frac{-\frac{1}{3}}{\frac{1}{3}}=-1\]
\[\theta =\arctan (-1)=-\frac{\pi }{4}\]
Por tanto $P1\left ( \frac{\sqrt{2}}{3},-\frac{\pi }{4} \right )$. Cabe mencionar que la ubicación del punto en ambos sistemas de
coordenadas debe coincidir, por lo que graficando se tiene
|
| El punto en el sistema de coordenadas polares se encuentra en el cuarto cuadrante, el cuál coincide con su ubicación en el sistema de coordenadas rectangulares |
\[r=\sqrt{3+9}=2\sqrt{3}\]
\[\theta =\arctan (\sqrt{3})=\frac{\pi }{3}\]
Por tanto $P2\left ( 2\sqrt{3},\frac{\pi }{3} \right )$. Luego, graficando el punto en ambos sistemas de coordenadas:
|
| El punto en el sistema de coordenadas polares se encuentra en el primer cuadrante, el cuál coincide con su ubicación en el sistema de coordenadas rectangulares |
\[r=\sqrt{(-2)^{2}+2^{2}}=2\sqrt{2}\]
\[\theta =\arctan \left ( \frac{2}{-2} \right )=-\frac{\pi }{4}\]
De manera que $P3\left ( 2\sqrt{2},-\frac{\pi }{4} \right )$. Sin embargo, si se grafica el punto en ambos sistemas se tiene:
|
| El punto en el sistema de coordenadas polares se encuentra en el cuarto cuadrante, el cuál no coincide con su ubicación en el sistema de coordenadas rectangulares |
Note que el punto se ubica en $\frac{\pi }{2}< \theta < \pi$, de manera que el problema se puede arreglar sumando $\pi$
al ángulo obtenido como se muestra en la siguiente figura
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| Por tanto $\mathit{P3\left ( 2\sqrt{2},\frac{3\pi }{4} \right )}$ |
Este problema ocurre en el segundo y tercer cuadrante debido a que la
función tangente funciona para el intervalo $\left [ -\frac{\pi }{2},\frac{\pi }{2} \right ]$
(primer y cuarto cuadrante). Por ende, se define al intervalo $[0,\pi]$
como el primer y segundo cuadrante, y al intervalo
$[-\pi,0]$
como el tercer y cuarto cuadrante.
Para el punto $P4$ se tiene
\[r=\sqrt{9+9}=3\sqrt{2}\]
\[\theta =\arctan (1)=\frac{\pi }{4}\]
Graficando el punto en ambos sistemas de coordenadas:
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| Note que, $-\pi < \theta < -\frac{\pi }{2}$ de manera que se suma $-\pi$ |
Ejemplo 2: Convertir los puntos de coordenadas
polares
$P1\left ( -2,\frac{5\pi }{3} \right );\: P2\left ( -4,-\frac{3\pi }{4}
\right );\: P3\left ( 2,\frac{11\pi }{6} \right )$ y $P4\left (
7,\frac{5\pi }{4} \right )$
a coordenadas rectangulares.
Graficando los puntos en el sistema de coordenadas polares:
Para el punto $P1$ se tiene
\[x=(-2)\cos\left ( \frac{5\pi }{3} \right ) =-2\left ( \frac{1}{2}
\right )=-1\]
\[y=(-2)\sin\left ( \frac{5\pi }{3} \right ) =-2\left
(-\frac{\sqrt{3}}{2} \right )=\sqrt{3}\]
Por tanto
$P1(-1,\sqrt{3})$.
Para el punto $P2$ se tiene
\[x=-4\cos \left ( -\frac{3\pi }{4} \right )=-4\left (
-\frac{\sqrt{2}}{2} \right )=2\sqrt{2}\]
\[y=-4\sin \left ( -\frac{3\pi }{4} \right )=-4\left (
-\frac{\sqrt{2}}{2} \right )=2\sqrt{2}\]
Por tanto
$P2(2\sqrt{2},2\sqrt{2})$.
Para el punto $P3$ se tiene
\[x=2\cos \left ( \frac{11\pi }{6} \right )=2\left (
\frac{\sqrt{3}}{2} \right )=\sqrt{3}\]
\[y=2\sin \left ( \frac{11\pi }{6} \right )=2\left (-\frac{1}{2}
\right )=-1\]
Por tanto
$P3(\sqrt{3},-1)$.
Para el punto $P4$ se tiene
\[x=7\cos \left ( \frac{5\pi }{4} \right
)=-\frac{7\sqrt{2}}{2}\]
\[y=7\sin \left ( \frac{5\pi }{4} \right
)=-\frac{7\sqrt{2}}{2}\]
Por tanto $P4\left (
-\frac{7\sqrt{2}}{2},-\frac{7\sqrt{2}}{2} \right )$.
Graficando los puntos en el sistema de coordenadas
rectangulares:
En esta transformación de coordenadas no hubo el problema visto en el
ejemplo anterior. Puesto que las funciones seno y coseno no presentan
restricciones en su dominio.
Curvas polares
La representación algebraica de una función en coordenadas polares
se da por la expresion $r=f(\theta)$ denominada ecuación polar. Por otro lado, su representación gráfica se puede obtener
mediante una tabla de valores o transformando las coordenadas de
manera que resulte una expresión familiar que sea posible trazar
rápidamente
Ejemplo: representar gráficamente las curvas $r=1$, $\theta=-\frac{\pi}{4}$ y $r=\theta$
Para la curva $r=1$
resulta sencillo convertir a coordenadas rectangulares obteniendo
sus ecuaciones paramétricas
\[x=\cos \theta \: \: \: \: \: \: \: \: y=\sin \theta\]
Estas expresiones resultan familiares, pues son las ecuaciones
paramétricas de una circunferencia de radio 1. Por tanto
|
| \[\mathit{\textit{r}=1}\] |
\[x=r\cos \left ( -\frac{\pi }{4} \right )=\frac{\sqrt{2}}{2}r \: \:
\: \: \: \: \: \: y=r\sin \left ( -\frac{\pi }{4} \right )
=-\frac{\sqrt{2}}{2}r\]
Si bien las ecuaciones paramétricas no resultan familiares se puede
pasar a la fórmula explicita eliminando el parámetro $r$
como sigue:
\[r=\frac{2}{\sqrt{2}}x\rightarrow y=-\frac{\sqrt{2}}{2}\left (
\frac{2}{\sqrt{2}}x \right )\]
\[y=-x\]
Por tanto la curva es una recta con pendiente negativa de 45 grados
que pasa por el origen.
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| $\mathit{\theta =-\frac{\pi}{4} }$ |
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| Es posible extender la curva en el intervalo $[-2\pi,2\pi]$ con una herramienta graficadora el cuál mostrará una doble espiral |
Existe un amplio catálogo de curvas polares y entre las que se
acaban de mencionar son: la circunferencia con centro en el
origen y radio "a" $f(\theta)=a$,
la recta que pasa por el origen con inclinación "b" $\theta=b$ y una espiral arquimediana. En los temas que siguen se irán
presentando a más curvas y se mencionarán los elementos que
faciliten su trazado.
También es posible expresar curvas de coordenadas rectangulares a
coordenadas polares. Por ejemplo, expresar la ecuación polar de la
curva dada por
\[x^{3}+y^{3}-3xy=0\]
Se sabe que para convertir a coordenadas polares se utilizan las
expresiones $x=r\cos \theta$ y $y=r\sin \theta$, por lo que reemplazando en la ecuación rectangular se tiene
\[r^{3}\cos^{3} \theta +r^{3}\sin ^{3}\theta -3(r\cos \theta
)(r\sin \theta )=0\]
Operando y despejando $r$
se expresa la ecuación polar como sigue:
\[r^{3}(\cos^{3} \theta +\sin ^{3}\theta) =3r^{2}\cos \theta \sin
\theta\]
\[r =\frac{3\cos \theta \sin \theta }{\cos^{3} \theta +\sin
^{3}\theta}\]
Utilizando una herramienta graficadora se obtiene el siguiente
gráfico
|
| Curva folio de descartes |
Algunas veces, para analizar curvas como esta, resulta más
conveniente expresarlas en coordenadas polares ya que facilitan
las operaciones como el cálculo de áreas o rectas
tangentes.
Simetría
Así como en curvas rectangulares se puede aprovechar la simetría de
las curvas polares para facilitar su trazado o bien para otros
análisis. A continuación se describen tres casos de simetría
- Si $f(\theta)=f(-\theta)$, la curva es simétrica respecto al eje polar
- Si $f(\theta)=f(\theta+\pi)$, la curva es simétrica respecto al polo
- Si $f(\theta)=f(\pi-\theta)$, la curva es simétrica respecto al eje vertical $\theta=\pi/2$
- $r=\cos \theta$
La ecuación cumple con el primer caso de simetría, es decir:
\[f(-\theta )=\cos (-\theta )=\cos \theta =f(\theta )\]
de manera que al utilizar una tabla de valores ya no es necesario hallar todos los puntos que forman la curva:
|
| Note que solo es necesario hallar los puntos que forman la primera mitad de la curva y debido a la simetría se puede intuir la forma de la otra mitad |
De esta forma se presenta la curva $r=a\cos \theta$
como una circunferencia de diámetro "a" simétrica respecto al eje polar.
Note que también se apoya en el polo y mira hacia la derecha ya que "a" es
positiva, en caso de ser negativa, la curva miraría hacia la
izquierda.
- $r^{2}=\sin (2\theta)$
Despejando "r", la ecuación cumple con el segundo caso de simetría, es decir:
\[f(\theta +\pi )=\sqrt{\sin [2(\theta+\pi )] }=\sqrt{\sin (2\theta+2\pi ) }\]
\[...=\sqrt{\sin (2\theta) }=f(\theta )\]
|
| La curva leminscata simétrica respecto al polo |
En general, la ecuación de esta curva se puede escribir como $r=a\sqrt{\sin (2\theta)}$
donde "a" es la longitud de cada aleta. Además, note que el eje de las
aletas presenta una inclinación de $\pi/4$
respecto al eje polar.
- $r=1+\sin \theta$
La ecuación cumple con el tercer caso de simetría, es decir:
\[f(\pi -\theta )=1+\sin (\pi -\theta) =1-\sin (\theta -\pi )\]
\[...=1+\sin \theta =f(\theta )\]
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| Cardioide, denominada así por su similitud a un corazón |
En general, la ecuación de esta curva se puede escribir como $r=a+a\sin \theta$ donde "a" es la intersección con el eje polar en ambos extremos y $r=a+a$
es la intersección con el eje de simetría. Además, note que la curva mira
por encima del eje polar. Si la ecuación cambia a $r=a-a\sin \theta$, entonces la curva mira por debajo del eje polar.
Por último, cabe mencionar que una curva polar puede cumplir con las 3
condiciones de simetría al mismo tiempo.
Ejercicios:
a) Para los puntos dados transformar a coordenadas polares o rectangulares según el caso y trazar su gráfica en el plano polar (no es necesario que todos los puntos se grafiquen en el mismo plano)
1) $P1(1,\pi /4);\,
P2(-2,3\pi /2)$ y $P3(3,-\pi /3)$
a coordenadas rectangulares
2) $P1(2,5\pi /6);\,
P2(1,-2\pi /3)$ y $P3(-1,5\pi /4)$
a coordenadas rectangulares
3) $P1(0,-7\pi /6);\,
P2(8,\pi /2)$ y $P3(-3,-1.57)$
a coordenadas rectangulares
4) $P1(-1,-\sqrt{3});\,
P2(0,-5)$ y $P3(2,2)$
a coordenadas polares
5) $P1(-6,0);\,
P2(-4,4)$ y $P3(0,-6)$
a coordenadas polares
6) El conjunto de puntos que obedece a la ecuación de la
recta
$x=12$
y el que obedece a la ecuación de la recta
$y=8$
b) Represente gráficamente e identifique la simetría de las curvas dadas por:
1) $r=4+4\cos \theta$
2) $r=8$
3) $r=-2\sin \theta$
4) $r=1-\cos \theta$
5) $r=2\sqrt{\cos (2\theta)
}$
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