Funciones de varias variables III

Limite de funciones de dos variables

Para funciones de una variable, cuando se permite que "x" se aproxime a un número "a", solo hay dos direcciones posibles de aproximación, desde la izquierda o desde la derecha (limites laterales). Para funciones de dos variables no es tan sencillo porque (x,y) puede aproximarse al punto (a,b) desde un número infinito de direcciones en cualquier trayectoria como muestra la siguiente figura:

Todas las trayectorias deben permanecer en el dominio de f(x,y) 

No obstante, independientemente de la trayectoria, la diferencia $\varepsilon=L-f(x,y)$, debe hacerse arbitrariamente pequeña si la distancia entre (x,y) a (a,b) es suficientemente pequeña pero no 0 (ver figura)

Para saber si la aproximación es suficiente, dicha diferencia tendrá que ser menor a un valor de referencia que se le dé a $\varepsilon$. Consecuentemente la distancia entre (x,y) a (a,b) denotada por $D_{\delta}$ será la que permita asegurar que para cualquier $(x_{\delta},y_{\delta})$ dentro el radio entre dichos puntos, los valores $f(x_{\delta},y_{\delta})$ estarán cada vez más cerca del límite. De esta manera se dice que si el límite existe, entonces se encuentra una relación entre $\delta$ y $\varepsilon$.

Sea f una función de dos variables cuyo dominio D incluye puntos arbitrariamente cerca de (a,b). Se dice entonces que

\[\lim_{(x, y) \to (a, b)} f(x,y)=L\]

si para cada número $\varepsilon>0$ hay un correspondiente número $\delta>0$ tal que si $(x,y)\in D$ y $0<\sqrt{(x-a)^{2}+(y-b)^{2}}<\delta$ entonces $\left|f(x,y)-L \right|< \varepsilon $

Así como en funciones de una variable, la definición permite demostrar la existencia del límite. Por ejemplo, probaremos que:

\[\lim_{(x, y) \to (2,1)}2x^{2}+y=9\]

De acuerdo con la definición se tiene que

\[(I)\: 0< \sqrt{(x-2)^{2}+(y-1)^{2}}< \delta\]

\[(II)\: \left|2x^{2}+y-9 \right|< \varepsilon \]

Si la expresión (I) se escribe como el módulo de un vector se tiene

\[0< \left\|(x,y)-(2,1) \right\|< \delta \]

de manera que obligatoriamente se cumple que

\[\left\| x-2 \right\|< \delta \rightarrow \left|x-2 \right|< \delta \]

\[\left\| y-1 \right\|< \delta \rightarrow \left|y-1 \right|< \delta \]

La idea es encontrar una relación entre $\delta$ con $\varepsilon$. En este caso, si a partir de la expresión (II) se puede obtener los factores (x-2) y (y-1) mediante artificios algebraicos se tiene que

\[\small \left|2(x^{2}-4+4)+(y-1)-8 \right|=\left|2(x^{2}-4)+(y-1) \right|=\left|2(x-2)(x+2)+(y-1) \right|\]

aplicando la propiedad de la desigualdad triangular y el producto del valor absoluto

\[\left|2(x-2)(x+2)+(y-1) \right|\leq 2\left|x-2 \right|\left|x+2 \right|+\left|y-1 \right|\]

El término que no forma parte de la expresión (I) puede ser acotado suponiendo un valor tan pequeño como se desee de $\delta$ como sigue

\[\textrm{Si}\: \delta =1\rightarrow \left|x-2 \right|< 1\]

\[-1< x-2< 1 \: //(+4)\]

\[3< x+2< 5\rightarrow \left|x+2 \right|< 5\]

de modo que evidentemente se cumple

\[2\left|x-2 \right|\left|x+2 \right|+\left|y-1 \right|< 2\delta (5)+\delta \]

\[\left|2x^{2}+y-9 \right|< 11\delta \]

concluyendo que $\delta=\frac{\varepsilon}{11}$ asegurando la relación $\left |f(x,y)-L \right |< \varepsilon$ si $\delta=\textrm{min} \left\{1,\frac{\varepsilon }{11} \right\}$

SI $\varepsilon=0.01$ entonces el radio del disco de aproximación será $\delta=0.00\overline{09}$ de modo que f evaluado en cualquier punto (x,y) dentro del disco estará cerca de L a menos de 0.01 de distancia en z

Cálculo de límites de funciones de dos variables

Los limites de funciones de dos variables tienen las mismas propiedades respecto a la suma, diferencia, producto y cociente que los limites de funciones de una variable. Esto significa que, si el limite existe, entonces es posible aplicar sustitución directa o técnicas de levantamiento de indeterminaciones.

Ejemplo 1: Calcular el límite

\[\lim_{(x, y) \to (2,4)}\frac{x+y}{x-y}\]

Aplicando leyes de los limtes y sustitución directa se tiene:

\[\underset{(x,y)\rightarrow (2,4)}{\lim }\frac{x+y}{x-y}=\frac{\underset{(x,y)\rightarrow (2,4)}{\lim }(x+y)}{\underset{(x,y)\rightarrow (2,4)}{\lim }{(x-y)}}=\frac{6}{-2}=-3\]

Ejemplo 2: Calcular el límite

\[\lim_{(x, y) \to (1,1)}\frac{x^{2}+2xy-3y^{2}}{x^{2}-y^{2}}\]

Aplicando leyes de los limtes y sustitución directa se otendrá la indeterminación 0/0, de manera que se procede a factorizar como sigue

\[\underset{(x,y)\rightarrow (1,1)}{\lim }\frac{(x-y)(x+3y)}{(x-y)(x+y)}=\underset{(x,y)\rightarrow (1,1)}{\lim } \frac{x+3y}{x+y}=\frac{4}{2}=2\]

Verificación de limites

Existen muchos casos en los que no es posible levantar indeterminaciones utilizando las técnicas algebraicas para resolución de limites de funciones de una variable, siendo imposible asegurar la existencia del límite. Por otro lado, se pueden implementar otras técnicas de verificación pero para analizar su no existencia.

• Limites iterados: Sea $\underset{(x,y)\rightarrow (a,b)}{\lim }f(x,y)$, los limites iterados, si existen se definen como $\displaystyle \lim_{x \to a}\left [\displaystyle \lim_{y \to b} f(x,y) \right ]\wedge \displaystyle \lim_{y \to b}\left [\displaystyle \lim_{x \to a} f(x,y) \right ]$ y si no coinciden, entonces el limite de f(x,y) no existe.

Geométricamente la definción tiene sentido ya que al acercanos por cada eje de forma individual, creamos diferentes trayectorias las cuales si no coinciden en el punto (a, b), entonces no se asegura el valor del límite de f(x,y)

Ejemplo: Si existe, calcule el siguiente límite

\[\lim_{(x,y) \to (0,0)}\frac{2x^{2}+3xy+4y^{2}}{3x^{2}+5y^{2}}\]

Verificando los límites iterados se tiene que

\[\lim_{x\to 0}\left ( \lim_{y \to 0}\frac{2x^{2}+3xy+4y^{2}}{3x^{2}+5y^{2}} \right )=\frac{2}{3}\]

\[\lim_{y\to 0}\left ( \lim_{x \to 0}\frac{2x^{2}+3xy+4y^{2}}{3x^{2}+5y^{2}} \right )=\frac{4}{5}\]

Como no coinciden, se puede decir que el límite de f(x,y) no existe y no es posible calcularlo.

• Análisis de trayectorias: Si $\lim_{(x, y) \to (a, b) }f(x,y)=L_{1}$ a lo largo de una trayectoria C1 y $\lim_{(x, y) \to (a, b) }f(x,y)=L_{2}$ a lo largo de una trayectoria C2, donde $L_{1}\neq L_{2}$ entonces $\lim_{(x, y) \to (a, b) }f(x,y)$ no existe.

En algunos casos puede ocurrir que los limites iterados coincidan dando un valor posible del límite. Sin embargo, eso no asegura su existencia. Por ejemplo, probemos que el siguiente límite no existe

\[\lim_{(x,y)\to (0,0)}\frac{xy}{x^{2}+y^{2}}\]

Si analizamos los limites iterados se tiene

\[\lim_{x\to 0}\left (\lim_{y\to 0}\frac{xy}{x^{2}+ y^{2}} \right)=0\]

\[\lim_{y\to 0}\left (\lim_{x\to 0}\frac{xy}{x^{2}+y^{2}} \right)=0\]

No obstante, si utilizamos una curva cualquiera que pase por el origen, como la familia de rectas $y=mx$, es evidente que si $x\rightarrow 0$ entonces $y\rightarrow 0$. Así pues, se mantiene la aproximación $(x,y) \rightarrow (0,0)$, y se puede realizar el cambio de variable como sigue

\[\lim_{x\to 0}\frac{x(mx)}{x^{2}+(mx)^{2}}\]

El límite se redujo al de una función de una variable, por lo que puede resolverse por técnicas conocidas

\[\lim_{x\to 0}\frac{mx^{2}}{x^{2}+m^{2}x^{2}}=\lim_{x\to 0}\frac{mx^{2}}{x^{2}(1+m^{2})}=\lim_{x\to 0}\frac{m}{1+m^{2}}\]

Note que el resultado depende de la pendiente de la familia de rectas propuestas como trayectorias. Por tanto, si suponemos que $m_{1}=1$ y $m_{2}=2$ se tiene que $L_{1}=\frac{1}{2}$ y $L_{2}=\frac{2}{5}$ respectivamente, concluyendo así que el límite cambia de acuerdo a la trayectoria tomada y en definitiva se puede decir que no existe.

De esta forma se comprueba que a pesar que los limites iterados sean iguales, no es posible asegurar el valor del límite de f(x,y).

Cambios de variable

En los ejemplos anteriores se analizaron límites indeterminados que tienden al origen. Por el contrario, existen casos en los que estos pueden aproximarse a un punto $(x_{0},y_{0})$. Tanto los límites iterados como el análisis de trayectorias son aplicables para estos casos. Sin embargo, es mucho más cómodo que el límite tienda al origen por lo que se puede utilizar una técnica de cambios de variable para convertir los puntos de aproximación.

Ejemplo 1: Calcule si es posible el límite

\[\lim_{(x,y)\to (1,0)}\frac{xy-y}{x^{2}+y^{2}-2x+1}\]

Al hallar los limites iterados se concluirá que coinciden en 0, pero como eso no asegura la existencia del límite se procede a aplicar el análisis de trayectorias. Para ello se necesitan hallar curvas que pasen por (1,0) como por ejemplo la familia de rectas $x=my+1$. No obstante, si se hace un cambio de variable tal que el punto de aproximación sea el origen se obtiene un límite más cómodo de verificar.

Para "x" se puede hacer el cambio $u=x-1$ debido a que si $x \to 1$, entonces $u\to 0$ y para $y$ no será necesario puesto que ya tiende a 0, obteniendo

\[\lim_{(x, y) \to (1,0)}\frac{y(x-1)}{(x-1)^{2}+y^{2}}=\lim_{(u,y)\to (0,0)}\frac{uy}{u^{2}+y^{2}}\]

de manera que ahora es posible tomar la familia de rectas que pasan por el origen $u=my$

\[\lim_{y\to 0}\frac{(my)y}{(my)^{2}+y^{2}}=\lim_{y\to 0}\frac{my^{2}}{y^{2}(m^{2}+1)}=\lim_{y\to 0}\frac{m}{m^{2}+1}\]

el límite depende de la pendiente de las trayectorias por lo que se concluye que no existe.

Ejemplo 2: Calcule si es posible el límite

\[\lim_{(x,y)\to (0,0)}\frac{e^{-x^{2}-y^{2}}-1}{x^{2}+y^{2}}\]

Los límites iterados serán:

\[\lim_{x\to 0 }\left ( \lim_{y\to 0} \frac{e^{-x^{2}-y^ {2}}-1}{x^{2}+y^ {2}}\right)=\lim_{x\to 0}\frac{e^{-x^{2}}-1}{x ^{2}}=-1\]

\[\lim_{y\to 0 }\left ( \lim_{x\to 0} \frac{e^{-x^{2}-y^ {2}}-1}{x^{2}+y^ {2}}\right)=\lim_{y\to 0}\frac{e^{-y^{2}}-1}{y ^{2}}=-1\]

Como no es posible asegurar el valor del límite procedemos a usar la familia de rectas $C1:y=mx$ y la de funciones potencia $C2:y=ax^{n}$ para el análisis de trayectorias como sigue:

\[C1:\lim_{(x,y)\to (0,0)}\frac{e^{-x^{2}-(mx)^{2}}-1}{x^{2}+(mx)^{2}}=\lim_{x\to 0}\frac{e^{-x^{2}(1+m^{2})}-1}{x^{2}(1+m^{2})}=-1\]

\[C2:\lim_{(x,y)\to (0,0)}\frac{e^{-x^{2}-a^{2}x^{2n}}-1}{x^{2}+a^{2}x^{2n}}=\lim_{x\to 0}\frac{e^{-x^{2}(1+a^{2}x^{2n-2})}-1}{x^{2}(1+a^{2}x^{2n-2})}\]

Si a=1 y n=2 es posble aplicar la regla de L'hôpital como sigue

\[\lim_{x\to 0}\frac{e^{-x^{2}(1+x^{2})}-1}{x^{2}(1+x^{2})}=\lim_{x\to 0}\frac{[-2x(1+x^{2})-2x^{3}]e^{-x^{2}(1+x^{2})}}{2x(1+x^{2})+2x^{3}}=-1\]

Note que independientemente de los valores de "m", "a" y "n" todo apunta que el límite será -1. Sin embargo, existe una infinidad de trayectorias que faltan por analizar, por lo que no es posible asegurar todavia el valor del límite. No obstante, una alternativa para verificar la existencia o no existencia del límite es la transformación a coordenadas polares como sigue

\[\textrm{Si}\: (x,y)\rightarrow (0,0)\: \textrm{entonces}\: r\rightarrow 0\: \textrm{puesto que} \: r=\sqrt{x^{2}+y^{2}}\]

de modo que

\[\lim_{(x,y)\to (0,0)}\frac{e^{-(x^{2}+y^{2})}-1}{x^{2}+y^{2}}=\lim_{r\to 0}\frac{e^{-r^{2}}-1}{r^{2}}=-1\]

Este resultado ya es confiable debido a que el límite formado por las coordenadas polares solo depende de "r" y es posible hallarlo con las técnicas de funciones de una variable. Por tanto, el límite existe y es

\[\lim_{(x,y)\to (0,0)}\frac{e^{-x^{2}-y^{2}}-1}{x^{2}+y^{2}}=-1\]

Ejemplo práctico: Calcule si es posible el límite

\[\lim_{(x,y)\to (0,0)}\frac{xy}{\sqrt{x^{2}+y^{2}}}\]

Los límites iterados serán:

\[\lim_{x\to 0 }\left ( \lim_{y\to 0} \frac{xy}{\sqrt{x^{2}+y^ {2}}}\right)=0\]

\[\lim_{y\to 0 }\left ( \lim_{x\to 0} \frac{xy}{\sqrt{x^{2}+y^ {2}}}\right)=0\]

No es posible asegurar el valor del límite, por lo que se aplica el análisis de trayectorias. En este caso utilizaremos la familia de rectas $C1:x=my$ y la de funciones potencia $C2:y=x^{n}$ como sigue

\[C1:\lim_{y\to 0}\frac{(my) y}{\sqrt{(my) ^{2}+y^{2}}}=\lim_{y\to 0}\frac{my^{2}}{y\sqrt{m^{2}+1}}=0\]

\[C2:\lim_{x\to 0}\frac{x(x)^{n}}{\sqrt{x^{2}+x^{2n}}}=\lim_{x\to 0}\frac{x^{n+1}}{x\sqrt{1+x^{2n-2}}}\]

Si n=-2 se tiene que

\[\lim_{x\to 0}\frac{x^{-1}}{x\sqrt{1+x^{-6}}}=\lim_{x\to 0}\frac{\frac{1}{x}}{x\sqrt{1+\frac{1}{x^{6}}}}=\lim_{x\to 0}\frac{x}{\sqrt{x^{6}+1}}=0\]

si se prueba para cualquier otro valor de "n" el límite seguirá siendo 0, pero aún así no es posible asegurar su existencia, por lo que se procede a utilizar la transformación a coordenadas polares.

\[\lim_{(x,y)\to (0,0)}\frac{xy}{\sqrt{x^{2}+y^{2}}}=\lim_{r\to 0}\frac{r^{2}\cos \theta \sin \theta}{\sqrt{r^{2}}}=\lim_{r\to 0}r\cos \theta \sin \theta\]

A comparación del ejemplo anterior, el límite obtenido depende tanto de "r" como de $\theta$, el cuál puede cambiar de acuerdo a las trayectorias que se tomen. Entonces, para analizarlo se debe optar por técnicas como: el teorema de la compresión, trayectorias o demostración por definición. En este caso resulta más sencillo usar el teorema de la compresión como sigue:

\[|\sin \theta |\leq 1\]

\[|\cos \theta |\leq 1\]

Multiplicando miembro a miembro

\[|\sin \theta \cos \theta |\leq 1\]

\[-1\leq \sin \theta \cos \theta \leq 1 \: //(\times r)\]

\[-r\leq r\sin \theta \cos \theta \leq r\]

\[\lim_{r\to 0}(-r)\leq \lim_{r\to 0}r\sin \theta \cos \theta \leq \lim_{r\to 0}r\]

\[0\leq \lim_{r\to 0}r\sin \theta \cos \theta \leq 0\]

De esta manera es evidente que el límite es 0 y por tanto ya se puede decir que

\[\lim_{(x,y)\to (0,0)}\frac{xy}{\sqrt{x^{2}+y^{2}}}=0\]

Ejercicios:

Hallar los limites, si existen, o demuestre que no existen

1) $\lim_{(x,y)\to (3,2)} (x^{2}y^{3}-4y^{2})$

2) $\lim_{(x,y)\to (\pi ,\pi /2)} y\sin (x-y)$

3) $\lim_{(x,y)\to (0,1)}\frac{\arcsin xy}{1-xy}$

4) $\lim_{(x,y)\to (0,0)} \frac{xy^{2}\cos y}{x^{2}+y^{4}}$

5) $\lim_{(x,y)\to (0,0)}\frac{xy\cos y}{3x^{2}+y^{2}}$

6) $\lim_{(x, y)\to (0,0)} \frac{x^{2}ye^{y}}{x^{4}+4y^{2}}$

7) $\lim_{(x, y)\to (0,0)} \frac{x-y}{\sqrt{x}-\sqrt{y}}$

8) $\lim_{(x, y)\to (2,1)} \frac{x-y-1}{\sqrt{x-y}-1}$

9) $\lim_{(x, y)\to (0,0)} \frac{\sin \sqrt{x^{2}+y^{2}}}{\sqrt{x^{2}+y^{2}}}$

10) $\lim_{(x, y) \to (0,0)} \frac{x^{3}+y^{3}}{x^{2}+y^{2}}$