Aplicaciones de la derivada de funciones vectoriales
Vectores tangentes, normales y binormales unitarios
Por definición de vector unitario y de la
derivada de funciones vectoriales, se define matemáticamente al vector tangente unitario como:
\[T(t)=\frac{r'(t)}{\left \| r'(t) \right \|},r'(t)\neq 0\]
Donde $r(t)$ es una
curva suave.
Para definir al vector normal unitario, se puede utilizar una
propiedad del producto escalar, el cual menciona que dos vectores son
ortogonales si dicho producto es igual a cero. Entonces, utilizando el
vector tangente unitario se puede decir que:
\[T(t)\cdot u(t)=0\]
Para encontrar al vector perpendicular $u(t)$ se puede partir de la
definición de un producto escalar:
\[r(t)\cdot r(t)=c\]
Donde $c$ es una constante y $r(t)$ es un vector cualquiera en un valor de
$t$ conocido. Por propiedades del producto escalar se puede cambiar la
expresión anterior por:
\[\left \| r(t) \right \|^{2}=c\]
\[x^{2}(t)+y^{2}(t)+z^{2}(t)=c\]
Derivando
\[2x(t)x'(t)+2y(t)y'(t)+2z(t)z'(t)=0\]
\[2[x(t)x'(t)+y(t)y'(t)+z(t)z'(t)]=0\]
\[r(t)\cdot r'(t)=0\]
Entonces, si $r(t)=T(t)$, se llega a la conclusión que $u(t)=r'(t)=T'(t)$,
pero este vector no es unitario. Entonces, se define matemáticamente al
vector normal unitario o simplemente vector normal como.
\[N(t)=\frac{T'(t)}{\left \| T'(t) \right \|}\]
Por último, el vector binormal es aquella que forma 90 grados tanto
con el vector tangente como con el vector normal. Por ende, se encuentra
fuera del plano, y esta característica se cumple al realizar un producto
vectorial. Así entonces, se define al vector binormal como:
\[B(t)=T(t)\times {N(t)}\]
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| El vector $T(t)$ señala la dirección de la curva, el vector $N(t)$ señala su giro y el vector $B(t)$ junto a los anteriores forman un sistema tridimensional que describe la dirección y orientación de la curva en cada valor de "t" |
Ejemplo 1: Hallar los vectores T, N y B para $r(t)=\left \langle
e^{t},e^{t}\sin t,e^{t}\cos t \right \rangle$ en el punto $(1,0,1)$
Derivando y calculando el módulo.
\[r'(t)=\left \langle e^{t},e^{t}\sin t+e^{t}\cos t,e^{t}\cos t-e^{t}\sin
t \right \rangle\]
Derivando y calculando el módulo.
\[\left \| r(t) \right \|=\sqrt{e^{2t}+(e^{t}\sin t+e^{t}\cos
t)^{2}+(e^{t}\cos t-e^{t}\sin t)^{2}}\]
\[\left \| r(t) \right \|=\sqrt{3}e^{t}\]
Entonces
\[T(t)=\frac{1}{\sqrt{3}}\left \langle 1,\sin t+\cos t,\cos t-\sin
t\right \rangle\]
Sabiendo que el punto dado se da en $t=0$, entonces el vector unitario
será:
\[T(0)=\left \langle
\frac{\sqrt{3}}{3},\frac{\sqrt{3}}{3},\frac{\sqrt{3}}{3}\right
\rangle\]
Luego, derivando la expresión del vector tangente, evaluando en el valor conocido de "t" y hallando el
módulo
\[T'(t) =\frac{1}{\sqrt{3}}\left \langle 0,\cos t-\sin t, -\sin
t-\cos t \right \rangle\]
\[T'(0) =\frac{1}{\sqrt{3}}\left \langle 0,1, -1 \right \rangle\]
\[\left \| T'(0) \right \|=\sqrt{\left ( \frac{1}{\sqrt{3}} \right )^{2}+\left (-\frac{1}{\sqrt{3}}
\right )^{2}}\]
\[\left \| T'(0) \right \|=\sqrt{\frac{2}{3}}\]
Entonces el vector normal será:
\[N(0)=\left \langle 0,\frac{\sqrt{2}}{2},-\frac{\sqrt{2}}{2}
\right \rangle\]
Por último, el vector binormal resulta del producto vectorial entre T y
N, por lo que
\[B(0)=T(0)\times N(0)=\left \langle
\frac{\sqrt{3}}{3},\frac{\sqrt{3}}{3},\frac{\sqrt{3}}{3}\right
\rangle\times \left \langle 0,\frac{\sqrt{2}}{2},-\frac{\sqrt{2}}{2}
\right \rangle\]
\[B(0)=\begin{vmatrix} i & j & k\\ \frac{\sqrt{3}}{3} &
\frac{\sqrt{3}}{3} & \frac{\sqrt{3}}{3}\\ 0 & \frac{\sqrt{2}}{2}
& -\frac{\sqrt{2}}{2} \end{vmatrix}=\left \langle
-\frac{\sqrt{6}}{3},\frac{\sqrt{6}}{6},\frac{\sqrt{6}}{6} \right
\rangle\]
Usando una graficadora se puede comprobar los resultados de forma
visual.
Movimiento complejo
Análogo al movimiento simple, se puede definir a la velocidad media de
una partícula en el espacio o en el plano como:
\[\vec{v}_{m}=\frac{\Delta r}{\Delta t}\]
Donde $\Delta r$ se la conoce como
vector desplazamiento desde un tiempo inicial a uno final
formando el intervalo $\Delta t$. Asimismo, partiendo de la velocidad
media y aplicando un limite donde el intervalo de tiempo tienda a 0 se
obtiene el vector de velocidad instantánea
\[v(t)=\lim_{\Delta t\rightarrow 0}\frac{\Delta r}{\Delta t}=r'(t)\]
Asimismo se puede definir a la rapidez como el modulo del vector
velocidad
\[v=\left \| v(t) \right \|=\left \| r'(t) \right \|\]
La definición de aceleración conocida también se puede aplicar al
movimiento en el espacio como sigue:
\[a(t)=v'(t)=r''(t)\]
Ejemplo 2: Una partícula sigue una trayectoria descrita por
$r(t)=\sqrt{2}t\textbf{i}+e^{t}\textbf{j}+e^{-t}\textbf{k}$ (unidades SI),
encuentre la velocidad, aceleración y rapidez en cualquier instante
$t$.
La velocidad será:
\[v(t)=\sqrt{2}\textbf{i}+e^{t}\textbf{j}-e^{-t}\textbf{k}\]
La rapidez es
\[\left \| v(t) \right
\|=\sqrt{2+e^{2t}+e^{-2t}}=\sqrt{\frac{e^{4t}+2e^{2t}+1}{e^{2t}}}\]
\[\left \| v(t) \right \|=e^{t}+e^{-t}\]
El vector aceleración es
\[a(t)=0\textbf{i}+e^{t}\textbf{j}+e^{-t}\textbf{k}\]
Cabe mencionar que si la rapidez resulta ser una función, se tiene un
movimiento variado. Por otro lado si es constante, entonces se
tiene un movimiento uniforme.
Ejemplo 3: Un cuerpo de masa m=2 se mueve siguiendo una trayectoria
descrita por $r(t)=\sin t\mathbf{i}+t\mathbf{j}+\cos t\mathbf{k}$
(unidades SI). Trace la trayectoria y los vectores de velocidad y
aceleración en el momento que el cuerpo inicia su movimiento. También
determine la fuerza que actúa sobre el cuerpo y su dirección en cualquier
instante $t$.
La función de velocidad es
\[v(t) =\cos t\mathbf{i}+\mathbf{j}-\sin t\mathbf{k}\]
El cuerpo inicia su movimiento en el tiempo $t=0 (s) $,
entonces
\[v(0)=\mathbf{i}+\mathbf{j}\]
Luego, de forma similar para el vector de aceleración
\[a(t)=-\sin t\mathbf{i}-\cos t\mathbf{k}\]
\[a(0)=-\mathbf{k}\]
Graficando
Luego, por segunda ley de Newton se tiene:
\[F(t)=ma(t)\]
\[F(t)=2(-\sin t\mathbf{i}-\cos t\mathbf{k})=-2\sin
t\mathbf{i}-2\cos t\mathbf{k}\]
Se puede notar que la fuerza presenta la misma dirección del vector
de aceleración y dado que no presenta componente "j", se puede decir
que la fuerza apunta hacia ese eje. Utilizando una graficadora se
puede corroborar la respuesta visualmente:
Ejemplo 4: Considere una partícula que se mueve a lo largo de
una trayectoria circular de radio $b$ descrita por $r(t)=b\cos
\omega t\mathbf{i}+b\sin \omega t\mathbf{j}$, donde $\omega=\frac{d\theta}{dt}$ es la velocidad angular constante.
- Encuentre el vector velocidad y determine el ángulo que forma con el vector posición.
- Encuentre la rapidez de la partícula
- Determine la ecuación rectangular de la trayectoria de la partícula
El vector velocidad es
\[v(t)=-b\omega \sin \omega t\mathbf{i}+b\omega \cos \omega t\mathbf{j}\]
Luego para determinar el ángulo que forman el vector posición y velocidad, se puede utilizar el producto escalar:
\[v(t)\cdot r(t)=(-b\omega \sin \omega t\mathbf{i}+b\omega \cos \omega t\mathbf{j})\cdot (b\cos \omega t\mathbf{i}+b\sin \omega t\mathbf{j})\]
\[v(t)\cdot r(t)=-b^{2}\omega \sin \omega t\ \cos \omega t+b^{2}\omega \cos \omega t\ b\sin \omega t=0\]
Como el producto es cero, se dice que el vector velocidad es ortogonal al vector posición. Por ultimo la rapidez es:
\[\left \| v(t) \right \|=\sqrt{(b\omega)^{2} \sin^{2} \omega t+(b\omega)^{2} \cos^{2} \omega t}=b\omega\]
Así entonces se deduce la expresión de la velocidad lineal o tangencial de una partícula en movimiento circular uniforme.
Por último, la ecuación rectangular de la trayectoria se da eliminando el parámetro "t" de las ecuaciones parámetricas:
\[x=b\cos \omega t\rightarrow \cos \omega t=\frac{x}{b}\]
\[y=b\sin \omega t\rightarrow \sin \omega t=\frac{y}{b}\]
\[\cos ^{2}\omega t+\sin ^{2}\omega t=1\]
\[\left ( \frac{x}{b} \right )^{2}+\left ( \frac{y}{b} \right )
^{2}=1\]
\[x^{2}+y^{2}=b^{2}\]
Así entonces, se tiene la ecuación rectangular de la trayectoria circular
de la partícula el cual es la ecuación ordinaria de una circunferencia con
centro en el origen.
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| Representación gráfica del problema |
Ejercicios:
a) Halle las expresiones de los vectores T, N y B para las funciones dadas
1) $r(t)=2\sin (\pi t)\mathbf{i}+2\cos (\pi t)\mathbf{j}$
2) $r(t)=\left \langle \cos t+t\sin t,\sin t-t\cos t \right
\rangle$
3) $r(t)=2\cos (2t)\mathbf{i}+2\sin
(2t)\mathbf{j}+3t\mathbf{k}$
4) $r(t)=\left \langle 1+t,2+t,3+t \right \rangle$
b) Resuelve los siguientes problemas
1) La curva dada por $r(t)=0.15\cos (6t)\mathbf{i}+0.15\sin
(6t)\mathbf{j}$ (unidades SI) describe la trayectoria que sigue un
dado girando con una tornamesa horizontal.
- ¿Qué puede decir acerca del movimiento del dado?
- Si existe, encuentre el vector de aceleración en cualquier instante "t" y su dirección respecto al vector posición
2) Una partícula se mueve de acuerdo a la función de posición
$r(t)=\left \langle t-2,t^{2},\frac{t}{2} \right \rangle$ medida
en metros con "t" cronometrado en segundos. Determine:
- El instante en que la partícula alcanza su rapidez mínima
- La posición inicial de la partícula
- La rapidez media en los primeros cuatro segundos
- ¿Cuánto tiempo tarda el dron en alcanzar la altura deseada considerando que este se desvía de su punto de partida?
- Halle la distancia total recorrida
- Trace en el plano XY el vector de dirección del recorrido del dron.
4) Trace la trayectoria de una partícula dada por $r(t)=\left
\langle 3\cos t,3\sin t,4t \right \rangle$ (unidades SI). También
trace el vector de velocidad y de aceleración en el instante $t=2
(s)$.
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