Integrales múltiples III

Cambios de variable en integrales dobles

Transformaciones no lineales

A diferencia de las transformaciones lineales, este tipo de transformaciones trasladan una región de un sistema UV al sistema de coordenadas cartesianas XY siguiendo la relación

\[T\left ( \begin{bmatrix}u\\ v\end{bmatrix} \right )=\begin{bmatrix}x(u,v)\\ y(u,v)\end{bmatrix}\]

Si "T" es uno a uno tiene inversa, de manera que es posible pasar una región del sistema XY al sistema UV

Ejemplo: Transforme la región encerrada por las curvas $v=1,\, u=2,\, u=v$ en base a la transformación $T\left ( \begin{bmatrix}u \\v\end{bmatrix} \right )=\begin{bmatrix}5(u+v) \\ 5(v-u)\end{bmatrix}$

El diagrama de la región "S" descrita por las curvas del plano UV se obtiene como sigue

"T" define las ecuaciones de transformación: $x=5(u+v)$ y $y=5(v-u)$, de modo que:

Para $v=1$, reemplazando en las ecuaciones de transformación se tiene

\[\left\{\begin{matrix}x=5u+5 \\y=5-5u\end{matrix}\right.\rightarrow y=5-(x-5)\rightarrow y+x=10\]

Para $u=2$ se procede de forma semejante al caso anterior, obteniendo

\[\left\{\begin{matrix}x=10+5v \\y=5v-10\end{matrix}\right.\rightarrow x-y=20\]

Por último, para $u=v$, la sustitución no es tan evidente, pues si se reemplaza en "x" se obtendrá otra ecuación de transformación. No obstante, si se reemplaza en "y" se tiene que $y=0$.

Diagrama de la región transformada

Si esta transformación es uno a uno, es posible invertirla, de manera que la región del plano XY puede pasar al plano UV.
Resulta interesante deducir un método para medir el cambio que sufre una región luego de aplicarle una transformación no lineal. Pues, un análisis similar ya fue realizado con el determinante para transformaciones lineales. Ahora, si intentamos aplicar los mismos conceptos, podemos partir de la situación mostrada en la siguiente figura.

\[\mathit{\begin{matrix}\vec{a}=T(u_{0}+\Delta u,v_{0})-T(u_{0},v_{0})\\\vec{b}=T(u_{0},v_{0}+\Delta v)-T(u_{0},v_{0})\end{matrix}}\]

Note que se parte de un rectángulo debido a que es la región más simple posible a analizar. Asimismo, observe que si el sistema UV es el dominio y el sistema XY es el rango, "T" puede escribirse algebraicamente como $T(u,v)=\left<x(u,v),y(u,v)\right>$, de manera que para analizar el cambio de "T" respecto a "u" y "v" en el punto $(u_{0},v_{0})$ se puede derivar parcialmente mediante la definición como sigue:

\[T_{u}=\lim_{\Delta u \to 0 }\frac{T(u_{0}+\Delta u,v_{0})-T(u_{0},v_{0})}{\Delta u}\]\[T_{v}=\lim_{\Delta v \to 0 }\frac{T(u_{0},v_{0}+\Delta v)-T(u_{0},v_{0})}{\Delta v}\]

Es evidente que en el numerador se tienen exactamente los vectores $\vec{a}$ y $\vec{b}$, y si obviamos el límite, se tiene una aproximación de dichos vectores

\[T_{u}\approx \frac{\vec{a}}{\Delta u}\rightarrow \vec{a}\approx T_{u}\Delta u\]\[T_{v}\approx \frac{\vec{b}}{\Delta v}\rightarrow \vec{b}\approx T_{v}\Delta v\]

Debido a la aproximación, el paralelogramo se desfasa de la región del plano XY

El objetivo es encontrar una región que se aproxime a la del plano XY, pues calcular su área directamente no es sencillo. No obstante, a pesar que los cálculos se simplifiquen, solo se podrá obtener una aproximación. Por tanto, como se sabe que el área del paralelogramo formado por dos vectores es el módulo de su producto vectorial, tenemos

\[A\approx \left|T_{u}\Delta u\times T_{v}\Delta v \right|=\left\| \begin{vmatrix}\mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k} \\\frac{\partial x}{\partial u} & \frac{\partial y}{\partial u} & 0 \\\frac{\partial x}{\partial v} & \frac{\partial y}{\partial v} & 0 \\\end{vmatrix}\right\| \Delta u \Delta v\]

\[A\approx (\Delta u \Delta v)\left\| \begin{vmatrix}\frac{\partial x}{\partial u} & \frac{\partial y}{\partial u} \\\frac{\partial x}{\partial v} & \frac{\partial y}{\partial v} \\\end{vmatrix}\textbf{k} \right\|\]

o también resulta más cómodo escribir:

\[A\approx (\Delta u \Delta v)\begin{vmatrix}\frac{\partial x}{\partial u} & \frac{\partial x}{\partial v} \\\frac{\partial y}{\partial u} & \frac{\partial y}{\partial v} \\\end{vmatrix}\]

Esta entonces es la expresión que permite calcular el diferencial de área de una región bajo una transformación no lineal. No obstante, note la similitud con el cálculo del área de una región bajo una transformación lineal (ver figura).

Es evidente que el determinante de derivadas parciales obtenida también expresa el factor con el que el área de una región cambia, el cual se suele denotar por $\frac{\partial (x,y)}{\partial (u,v)}$. Así entonces, la expresión anterior puede reescribirse como:

\[\Delta A =\left|\frac{\partial (x,y)}{\partial (u,v)} \right|\Delta u \Delta v\]

El matemático alemán Carl Gustav Jacobi perfeccionó este tipo de determinantes especiales de derivadas parciales en un método para evaluar integrales múltiples. Pues si tomamos la definición de la integral doble se tiene

\[\iint_{R}f(x,y)\, dA=\lim_{(m,n) \to (\infty ,\infty )}\sum_{i=1}^{m}\sum_{j=1}^{n}f(x,y)\, \Delta A\]\[I=\lim_{(m,n) \to (\infty ,\infty )}\sum_{i=1}^{m}\sum_{j=1}^{n}f[x(u,v),y(u,v)]\, \left| \frac{\partial (x,y)}{\partial (u,v)}\right|\Delta u \, \Delta v\]\[\iint_{R}f(x,y)\, dA=\iint_{S}f[x(u,v),y(u,v)]\, \left| \frac{\partial (x,y)}{\partial (u,v)}\right|d u \, d v\]

Esta conclusión señala que la integral doble en un sistema XY es la misma en otro sistema UV, pues las regiones de ambos se relacionan bajo una transformación no lineal "T" uno a uno.

Cabe mencionar que este método corresponde al denominado teorema del cambio de variables, donde el determinante $\frac{\partial (x,y)}{\partial (u,v)}$ se lo llama Jacobiano.

Ejemplo del comportamiento geométrico de una transformación no lineal "T", donde el jacobiano indica el factor "c" con el que la región "S" se curva en el sistema XY

Ejemplos: Evalúe las siguientes integrales

• $\iint_{R} \frac{x}{y+x^{2}}\, dA$, donde R es la región en el primer cuadrante acotada por las curvas $x=1,\, y=x^{2},\, y=4-x^{2}$. Utilice la transformación $T\left ( \begin{bmatrix}u \\v\end{bmatrix} \right )=\begin{bmatrix}\sqrt{v-u} \\ v+u \end{bmatrix}$

Primero grafiquemos la región encerrada por las curvas dadas

Nótese que tanto la región como el integrando son complicados de operar, por lo que la transformación "T" resulta útil para simplificar "f" y R. Por ende, se procede a encontrar la nueva región de acuerdo a las ecuaciones de transformación $x=\sqrt{v-u}$ y $y=v+u$ como sigue:

\[1=\sqrt{v-u}\rightarrow v=u+1\]

\[\left\{\begin{matrix}x^{2}=v-u \\y=v+u\end{matrix}\right.,\, \textrm{Si}\, y=x^{2}\rightarrow v-u=v+u\Rightarrow u=0\]

\[\textrm{Si}\, y=4-x^{2}\rightarrow v+u=4-(v-u)\Rightarrow v=2\]

Observe que S tiene una forma más sencilla que R, y como ya se conocen las ecuaciones de transformación, el jacobiano en valor absoluto será:

\[\left | \frac{\partial (x,y)}{\partial (u,v)} \right |=\begin{vmatrix}-\frac{1}{2\sqrt{v-u}} & \frac{1}{2\sqrt{v-u}} \\1 & 1 \\\end{vmatrix}=\left |-\frac{1}{\sqrt{v-u}}\right |\]

Por tanto, aplicando el cambio de variable sobre la integral doble tomando los límites de integración más convenientes se tiene

\[\int_{0}^{1}\int_{u+1}^{2}\frac{\sqrt{v-u}}{v+u+(\sqrt{v-u})^{2}}\left ( \frac{1}{\sqrt{v-u}} \right )dv\, du\]

\[I=\int_{0}^{1}\int_{u+1}^{2}\frac{1}{2v}dv\, du=\frac{1}{2}\int_{0}^{1}\ln v\left.\begin{matrix} \\ \\\end{matrix}\right|_{u+1}^{2}du=\frac{1}{2}\int_{0}^{1}[\ln 2-\ln (u+1)]du\]

\[I=\frac{1}{2}[u\ln 2 -(u+1)\ln (u+1)+u+1]\left.\begin{matrix} \\ \\\end{matrix}\right|_{0}^{1}=\frac{1}{2}[\ln 2-\ln 4+1]=\frac{1}{2}(1-\ln 2)\]

• $\iint_{R} \frac{x-2y}{3x-y}\, dA$, donde R es el paralelogramo encerrado por las rectas $x-2y=0,\, x-2y=4,\, 3x-y=1$ y $3x-y=8$

Diagrama del paralelogramo descrito

En este caso no se tienen las ecuaciones de transformación, pero es posible deducirlas observando que el miembro izquierdo de las ecuaciones de las rectas que conforman los lados paralelos del paralelogramo, son iguales, de modo que $u=3x-y$ y $v=x-2y$ definiendo así una transformación $T^{-1} \left ( \begin{bmatrix}u \\v\end{bmatrix} \right )=\begin{bmatrix}u(x,y) \\ v(x,y)\end{bmatrix}$ del plano XY al plano UV. No obstante, el teorema del cambio de variable hace referencia a una transformación "T" del plano UV al plano XY, por lo que se procede a hallar las funciones $x(u,v)$ y $y(u,v)$ como sigue:

\[\left\{\begin{matrix}-2u=-6x+2y \\v=x-2y\end{matrix}\right.\rightarrow x=\frac{1}{5}(v-2u)\]

\[\left\{\begin{matrix}u=3x-y \\-3v=-3x+6y\end{matrix}\right.\rightarrow y=\frac{1}{5}(u-3v)\]

Así entonces, el jacobiano en valor absoluto es

\[\left |\frac{\partial (x,y)}{\partial (u,v)} \right |=\begin{vmatrix}-\frac{2}{5} & \frac{1}{5} \\\frac{1}{5} & -\frac{3}{5} \\\end{vmatrix}=\frac{1}{5}\]

Mediante el cambio de variable resulta sencillo decir que la nueva región se da por las rectas $u=1,\, u=8,\ v=0,\, v=4$.

de manera que aplicando el cambio de variable sobre la integral doble tenemos

\[\int_{1}^{8}\int_{0}^{4}\frac{v}{5u}dv\, du=\int_{1}^{8}\frac{8}{5u}du=\frac{8}{5}\ln 8\]

• $\iint_{R} e^{\frac{y-x}{y+x}}\, dA$, donde R está limitado por el triángulo de vértices (0,0), (0,1) y (1,0).

En este caso conviene realizar primero un diagrama de la región R

La región R se encierra entre las rectas $\mathit{x=0,\, y=0,\, y=-x+1}$

A diferencia del caso anterior, el cambio de variable depende del integrando, de manera que $u=y-x$ y $v=y+x$. Así entonces, las ecuaciones de transformación correspondientes se obtienen como sigue

\[\left\{\begin{matrix}u=y-x \\v=y+x\end{matrix}\right.\rightarrow y=\frac{1}{2}(u+v)\]

\[\left\{\begin{matrix}-u=-y+x \\v=y+x\end{matrix}\right.\rightarrow x=\frac{1}{2}(v-u)\]

y así el jacobiano en valor absoluto será:

\[\left | \frac{\partial (x,y)}{\partial (u,v)}\right |=\begin{vmatrix}-\frac{1}{2} & \frac{1}{2}\\\frac{1}{2} & \frac{1}{2} \\\end{vmatrix}=\left |-\frac{1}{2} \right |\]

Luego, deduciendo las ecuaciones de la nueva región se tiene

\[\begin{matrix}\textrm{Si}\, x=0\rightarrow v=u \\\textrm{Si}\, y=0\rightarrow v=-u \\\textrm{Si}\, x+y=1\rightarrow v=1\end{matrix}\]

Evaluando los puntos vértices de R en las ecuaciones de transformación, se obtienen los vértices de S

Por último, aplicando el cambio de variable sobre la integral doble, tomando los límites de integración más convenientes se tiene

\[\int_{0}^{1}\int_{-v}^{v}e^{\frac{u}{v}}\left ( \frac{1}{2} \right )du\, dv=\frac{1}{2}\int_{0}^{1}v\left ( e-\frac{1}{e} \right )dv=\frac{e^{2}-1}{4e}\]

Cabe mencionar que también se puede hacer el cambio de variable $u=y+x$ y $v=y-x$, tal que la región S cambie a un triángulo ubicado en el primer y cuarto cuadrante del plano UV, pero el resultado de la integral seguirá siendo el mismo. Esto significa que pueden existir más de una transformación "T" que pueden ayudar en la evaluación de una integral doble.

Matriz jacobiana

Hasta ahora todos los análisis del cálculo involucraron funciones de una variable de variable real, funciones vectoriales, sucesiones, transformaciones lineales y funciones multivariables. Las transformaciones no lineales se pueden catalogar como otro tipo de funciones, donde el dominio pertenece al espacio $R^{n}$ y el rango al espacio $R^{m}$, y se pueden denotar como

\[T\left (\begin{bmatrix}x_{1} \\x_{2} \\\vdots \\x_{n}\end{bmatrix} \right)=\begin{bmatrix}f_{1}\begin{pmatrix}x_{1} & \cdots & x_{n} \\\end{pmatrix} \\f_{2}\begin{pmatrix}x_{1} & \cdots & x_{n} \\\end{pmatrix} \\\vdots \\f_{m}\begin{pmatrix}x_{1} & \cdots & x_{n} \\\end{pmatrix}\end{bmatrix}\]

Evidentemente no son posibles de graficar ya que requieren un subespacio de dimensión $n\times m$, pero se puede analizar su comportamiento de acuerdo a como transforman los puntos de su espacio dominio.

La definición del jacobiano se puede extender a este tipo de funciones como la matriz:

\[J_{T}=\begin{bmatrix}\frac{\partial f_{1}}{\partial x_{1}} & \frac{\partial f_{1}}{\partial x_{2}} & \cdots & \frac{\partial f_{1}}{\partial x_{n}}\\\frac{\partial f_{2}}{\partial x_{1}} & \frac{\partial f_{2}}{\partial x_{2}} & \cdots & \frac{\partial f_{2}}{\partial x_{n}}\\\vdots & \cdots & \ddots & \vdots \\\frac{\partial f_{m}}{\partial x_{1}} & \frac{\partial f_{m}}{\partial x_{2}} & \cdots & \frac{\partial f_{m}}{\partial x_{n}} \\\end{bmatrix}\]

donde "m" es la dimensión del rango (cantidad de variables dependientes), y "n" es la del dominio (cantidad de variables independientes).

Esta matriz es conocida como matriz jacobiana, la cual es una herramienta muy utilizada en las matemáticas, la física y la ingeniería, pues compacta todas las primeras derivadas parciales de cualquier cantidad de funciones o fenómenos que dependen de varias variables. Asimismo, cada fila corresponde al vector gradiente de cada función componente $f_{i}$, compactando así todas las razones de cambio máximos de las "m" funciones.

Ejemplo 1: Calcule la matriz jacobiana para la transformación $T\left ( \begin{bmatrix}x \\y \\\end{bmatrix} \right )=\begin{bmatrix}x^{2}+2y^{2} \\3x^{2}+4y^{2}\\2x^{3}y^{3}\end{bmatrix}$

El dominio de la transformación pertenece a $\mathbb{R}^{2}$ y el rango a $\mathbb{R}^{3}$ de forma que la matriz jacobiana será de tamaño 3x2:

\[J_{T}=\begin{bmatrix}\frac{\partial f_{1}}{\partial x} & \frac{\partial f_{1}}{\partial y} \\\frac{\partial f_{2}}{\partial x} & \frac{\partial f_{2}}{\partial y} \\ \frac{\partial f_{3}}{\partial x} & \frac{\partial f_{3}}{\partial y} \\\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}2x & 4y \\6x & 8y \\6x^{2}y^{3} & 6x^{3}y^{2} \\\end{bmatrix}\]

Ejemplo 2: Halle el vector de la máxima razón de cambio de la trasformación $T\left ( \begin{bmatrix}u \\v \\w\end{bmatrix} \right )=\begin{bmatrix}u+v+e^{w} \\u+w+e^{2v} \\v+w+e^{3u}\end{bmatrix}$ en el punto (0,0,0)

Este tipo de transformaciones, donde la dimensión del dominio es el mismo que el de la imagen se denominan campos vectoriales y el jacobiano resulta ser una matriz cuadrada

\[J_{T}=\begin{bmatrix}x_{u} & x_{v} & x_{w} \\y_{u} & y_{v} & y_{w} \\z_{u} & z_{v} & z_{w} \\\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}1 & 1 & e^{w} \\1 & 2e^{2v} & 1 \\3e^{3u} & 1 & 1 \\\end{bmatrix}\]

Evaluando en el punto dado se tiene

\[J_{T}(0,0,0)=\begin{bmatrix}1 & 1 & 1 \\1 & 2 & 1 \\3 & 1 & 1 \\\end{bmatrix}\]

Se sabe que la máxima razón de cambio se da por el módulo del vector gradiente, de modo que agrupando en un vector se tiene:

\[\begin{Vmatrix}\nabla x \\\nabla y \\\nabla z\end{Vmatrix}=\begin{Vmatrix}\left<1,1,1 \right> \\\left<1,2,1 \right> \\\left<3,1,1 \right>\end{Vmatrix}=\begin{bmatrix}\sqrt{3} \\\sqrt{6} \\2\sqrt{3}\end{bmatrix}\]

Resulta curioso el hecho de que las derivadas parciales de una función se puedan compactar en una matriz, pues recuerde que ésta contiene los vectores base de un sistema luego de aplicar una transformación lineal. Esto le da mayor significado a la matriz jacobiana, ya que puede extender todos los conceptos del álgebra lineal a funciones multivariables para facilitar algunas operaciones. Por ejemplo, ya se sabe que el determinante de la matriz jacobiana se utiliza para la evaluación de integrales dobles, pero en algunas situaciones conviene utilizar el jacobiano inverso y para obtenerlo podemos utilizar la siguiente propiedad de los determinantes

\[\left|A^{-1} \right|=\frac{1}{\left|A \right|}\]

Si el determinante es distinto de 0, se puede decir que la transformación "T" tiene inversa, y por tanto el jacobiano inverso será

\[\left|J_{T^{-1}} \right|=\frac{1}{\left|J_{T} \right|}\]

Si $T^{-1} \left ( \begin{bmatrix}x \\y\end{bmatrix} \right )=\begin{bmatrix}u(x,y) \\ v(x,y)\end{bmatrix}$ entonces tiene sentido decir que

\[|J_{T^{-1}}|=\frac{\partial (u, v)}{\partial (x, y) }=\begin{vmatrix}\frac{\partial u}{\partial x} & \frac{\partial u}{\partial y} \\\frac{\partial v}{\partial x} & \frac{\partial v}{\partial y} \\\end{vmatrix}\]

Ejemplo: Evalúe la integral $\iint_{R} y^{4}\, dA$, donde R es la región en el primer cuadrante acotada por las curvas $xy=1,\, xy=4,\, y=x$ y $y=4x$

Dibujando la región se tiene

Si bien el integrando no es complicado, la región definida si lo es, pero así como en el segundo ejemplo, si obervamos la similitud entre las ecuaciones de las curvas correspondientes a los lados de R que son opuestos, las ecuaciones de transformación serán $u=xy$ y $v=y/x$.

Puede comprobar usted mismo que si aplica las ecuaciones de transformación correspondientes a "T": $y^{2}=uv,\, x^{2}=u/v$, la integral se complica mucho más debido al jacobiano, por lo que conviene hallar el de $T^{-1}$ como sigue:

\[\left|\frac{\partial (u,v)}{\partial (x,y)}\right|=\begin{vmatrix}\frac{\partial u}{\partial x} & \frac{\partial u}{\partial y} \\\frac{\partial v}{\partial x} & \frac{\partial v}{\partial y} \\\end{vmatrix}=\begin{vmatrix}y & x \\-\frac{y}{x^{2}} & \frac{1}{x} \\\end{vmatrix}=2\left|\frac{y}{x} \right|\]

No obstante, recuerde que el teorema del cambio de variable no considera al jacobiano inverso, pero de acuerdo a la propiedad mencionada anteriormente se puede decir que

\[\left|J_{T} \right|=\frac{1}{\left|J_{T^{-1}} \right|}=\frac{1}{\frac{\partial (u,v)}{\partial (x,y)}}=\frac{x}{2y}=\frac{1}{2v}\]

Luego, hallando la nueva región del plano UV se tiene

\[\begin{matrix}\textrm{Si}\, xy=4\wedge xy=1 \rightarrow u=4\wedge u=1 \\\textrm{Si}\, \frac{y}{x}=1\wedge \frac{y}{x}=4\rightarrow v=1\wedge v=4\end{matrix}\]

de manera que aplicando el cambio de variable en la integral doble se tiene

\[\int_{1}^{4}\int_{1}^{4}(uv)^{2}\left|\frac{1}{2v} \right|dv\, du=\frac{1}{2}\int_{1}^{4}\int_{1}^{4}u^{2}vdv\, du,\: v> 0\]

Note que debido al valor absoluto, solo se debe considerar los valores positivos de "v". Por ende, se debe tener cuidado en aplicar esta condición en los límites de integración

\[I=\frac{15}{4}\int_{1}^{4}u^{2}\, du=\frac{15}{4}\left ( \frac{63}{3} \right )=\frac{315}{4}\]

Ejercicios:

a) Evalúe las siguientes integrales dobles en la región especificada

1) $\iint_{R} \cos \left ( \frac{y-x}{y+x} \right) \, dA$, donde R es la región interna al trapezoide con vértices (1,0), (2,0), (0,2) y (0,1).

2) $\iint_{R} e^{x+y}\, dA$, donde R es la región dada por $|x|+|y|\leq 1$.

3) $\iint_{R} x^{2}\, dA$, donde R es la región limitada por la elipse $9x^{2}+4y^{2}=36$, utilice la transformación $T\left ( \begin{bmatrix}u \\v\end{bmatrix} \right )=\begin{bmatrix}2u \\3v\end{bmatrix}$.

4) $\iint_{R} e^{-xy/2}\, dA$, donde R es la región acotada por las curvas $y=\frac{1}{4}x,\, y=2x,\, y=\frac{1}{x},\, y=\frac{4}{x}$, utilice la transformación $T\left ( \begin{bmatrix}u \\v\end{bmatrix} \right )=\begin{bmatrix}\sqrt{\frac{v}{u}} \\ \sqrt{uv}\end{bmatrix}$.

b) Si es posible halle el jacobiano para las siguientes transformaciones, en caso que no lo sea, determine la matriz jacobiana

1) $T\left ( \begin{bmatrix}u \\v \\w\end{bmatrix} \right )=\begin{bmatrix}u(1-v) \\uv(1-w) \\uvw\end{bmatrix}$

2) $T\left ( \begin{bmatrix}u \\v \end{bmatrix} \right )=\begin{bmatrix}e^{u}\sin v \\e^{u}\cos v \end{bmatrix}$

3) $T\left ( \begin{bmatrix}x \\y \\z\end{bmatrix} \right )=\begin{bmatrix}e^{x-y+y^{2}}-z \\y^{6}-z^{2}\end{bmatrix}$

4) $T\left ( \begin{bmatrix}x \\y \\z\\t\end{bmatrix} \right )=\begin{bmatrix}x^{2}y+zt+x-1 \\x^{2}t+xz^{2}-y-1\end{bmatrix}$

c) Demuestre que la transformación a coordenadas polares $\small x=r\cos \theta,\, y=r\sin \theta$ es un caso especial del teorema del cambio de variable