Cálculo vectorial II

Teorema fundamental de la integral de línea

Consideremos al vector gradiente $\bigtriangledown f$ de una función $f$ de dos variables como un campo vectorial:

\[\textbf{F}=\bigtriangledown f=\left<\frac{\partial f}{\partial x_{1}},\frac{\partial f}{\partial x_{2}} \right>\]

Este campo tiene propiedades interesantes, pues si derivamos cada componente respecto a la otra variable se tiene que:

\[\frac{\partial^{2} f}{\partial x_{1}\partial x_{2}}=\frac{\partial^{2} f}{\partial x_{2}\partial x_{1}}\]

por consecuencia del teorema de Clairaut. No obstante, recuerde que este teorema se cumple solo si el dominio no presenta restricciones, de forma que podemos distinguir dos tipos de regiones cerradas en el espacio dominio.

Tipos de regiones cerradas simples

Por simple inspección se puede decir que el teorema de Clairaut se cumple en regiones simplemente conexas. Pues si se presentan huecos, no es posible asegurar que las derivadas parciales mixtas sean continuas en cualquier punto dentro de la región.

Otra de las propiedades de este campo vectorial surge de la idea de hallar su integral de línea alrededor de una curva suave.

La curva C se describe por $\mathit{\textbf{r}(t)=x(t)\textbf{i}+y(t)\textbf{j}}$, donde el punto A se da en $t=t_{1}$ y B en $t=t_{2}$ 

Entonces:

\[\int_{C}\bigtriangledown f\cdot d\textbf{r}=\int_{C}\left< \frac{\partial f}{\partial x_{1}},\frac{\partial f}{\partial x_{2}}\right>\cdot \left< x_{1}'(t),x_{2}'(t) \right>\mathrm{d} t\]

Luego, operando el producto escalar y por regla de la cadena se tiene que:

\[\int_{C}\left ( \frac{\partial f}{\partial x_{1}}\frac{\mathrm{d} x_{1}}{\mathrm{d} t}+\frac{\partial f}{\partial x_{2}}\frac{\mathrm{d} x_{2}}{\mathrm{d} t} \right )\mathrm{d} t=\int_{t_{1}}^{t_{2}}\frac{\mathrm{d} f[\textbf{r}(t)]}{\mathrm{d} t}\mathrm{d} t\]

Por último, por la regla de Barrow se concluye que:

\[I=f[\textbf{r}(t)]\left.\begin{matrix} \\ \\\end{matrix}\right|_{t_{1}}^{t_{2}}=f[\textbf{r}(t_{2})]-f[\textbf{r}(t_{1})]=f(B)-f(A)\]

Así entonces, se puede decir que la integral es independiente de la trayectoria. Pues solo requiere de los puntos inicial y final para evaluarla.

Estas propiedades, junto con su utilidad en física, llevan a denominar a este tipo de campos vectoriales como campos conservativos y están relacionadas con la deducción del teorema fundamental de las integrales de línea, el cual dice que:

Sea C una curva suave dada por la función vectorial $\textbf{r}(t), a\leq t \leq b$. Sea $f$ una función derivable de dos o tres variables cuyo vector gradiente $\bigtriangledown f$ es continuo en C. Entonces

\[\int _{C}\bigtriangledown f\cdot d\mathbf{r}=f[\mathbf{r}(b)]-f[\mathbf{r}(a)]\]

Asimismo, se puede enunciar el siguiente teorema:

Sea $\mathbf{F}=P\textbf{i} + Q\textbf{j}$ un campo vectorial en una región simplemente conexa D. Suponga que P y Q tienen derivadas parciales continuas de primer orden y que

\[\frac{\partial P}{\partial y}=\frac{\partial Q}{\partial x}\]

a todo lo largo de D, entonces $\textbf{F}$ es conservativo.

Incluso, si tomamos una región cerrada con el mismo punto inicial y final y calculamos la integral de línea se obtiene lo siguiente:

Dado que en campos conservativos la integral de línea no depende de la trayectoria se puede decir que $\mathit{\int_{C_{1}} \mathbf{F} \cdot d\textbf{r}=\int_{C_{2}} \mathbf{F} \cdot d\textbf{r}}$

Así entonces

\[\int_{C_{1}}\textbf{F}\cdot \mathrm{d} \textbf{r}-\int_{C_{2}}\textbf{F}\cdot \mathrm{d} \textbf{r}=0\]

Por cierto, si cambiamos el sentido a cualquiera de las dos curvas, se puede decir que el recorrido de la trayectoria es de B hacia A, de modo que:

\[I_{-C}=\int_{t_{2}}^{t_{1}}\frac{\mathrm{d} f[\textbf{r}(t)]}{\mathrm{d} t}\mathrm{d} t\]

y por la propiedad del intercambio de los limites de integración para integrales definidas, se puede decir que

\[I_{-C}=-\int_{t_{1}}^{t_{2}}\frac{\mathrm{d} f[\textbf{r}(t)]}{\mathrm{d} t}\mathrm{d} t=-\int_{-C} \textbf{F} \cdot d\textbf{r}\]

De manera que la diferencia de integrales de línea deducida anteriormente se convierte en:

\[\int_{C_{1}}\textbf{F}\cdot \mathrm{d} \textbf{r}+\int_{-C_{2}}\textbf{F}\cdot \mathrm{d} \textbf{r}=\int_{C}\textbf{F}\cdot \mathrm{d} \textbf{r}=0\]

Nótese que a partir de este análisis es posible escribir la propiedad:

\[\int_{C}\textbf{F}\cdot d\textbf{r}=-\int_{-C}\textbf{F}\cdot d\textbf{r}\]

donde C es una curva simple orientada y -C denota a esa misma curva pero dirigida en sentido contrario. Cabe mencionar que, esta propiedad no solo se cumple para campos vectoriales conservativos sino también para cualquier campo en una curva simple C.

Así entonces, se enuncia el siguiente teorema.

$\int_{C} \mathbf{F} \cdot d\textbf{r}$ es independiente de la trayectoria en una región cerrada D si y solo si $\int_{C} \mathbf{F} \cdot d\textbf{r}=0$ para cada trayectoria cerrada C en D.

Todos estos teoremas permiten estudiar a los campos vectoriales conservativos en $\mathbb{R}^{n}$, y son la base de conceptos de física como conservación de la energía mecánica.

Ejemplo 1: Analice si $\textbf{F}(x, y) =e^{x}(\sin y \textbf{i} + \cos y\textbf{j})$ es un campo vectorial conservativo.

Por el teorema del campo vectorial conservativo se tiene que

\[\frac{\partial}{\partial{y}}e^{x}\sin y=\frac{\partial }{\partial x}e^{x}\cos y\]

\[e^{x}\cos y=e^{x}\cos y\]

como la igualdad se cumple, se puede decir que el campo vectorial dado es conservativo.

Ejemplo 2: Demuestre que el valor de la integral de línea de $\textbf{F}(x, y) =2xy\textbf{i} + x^{2}\textbf{j}$ es el mismo para las curvas (a) $\textbf{r}(t) =t\textbf{i} + t^{2}\textbf{j}, 0\leq t \leq 1$ y (b) $\textbf{r}(t)=t \textbf{i} + t^{3} \textbf{j}, 0\leq t \leq 1$

Utilizando una herramienta graficadora es posible observar el comportamiento del campo vectorial sobre las curvas dadas

Ambas curvas tienen el mismo punto inicial y final

Para la curva (a):

\[\int_{a}\mathbf{F}\cdot d\textbf{r}=\int_{0}^{1}\left<2(t)(t^{2}),t^{2} \right>\cdot \left<1,2t \right>dt\]

\[I_{a}=\int_{0}^{1}(2t^{3}+2t^{3})dt=t^{4}\left.\begin{matrix} \\ \\\end{matrix}\right|_{0}^{1}=1\]

Para la curva (b):

\[\int_{b}\mathbf{F}\cdot d\textbf{r}=\int_{0}^{1}\left<2(t)(t^{3}),t^{2} \right>\cdot \left<1,3t^{2} \right>dt\]

\[I_{b}=\int_{0}^{1}(2t^{4}+3t^{4})dt=t^{5}\left.\begin{matrix} \\ \\\end{matrix}\right|_{0}^{1}=1\]

Así entonces, se demuestra que el valor de las integrales de línea es la misma en ambas curvas.

Ejemplo 3: Evalúe la integral de línea para $\textbf{F}(x, y) =x^{2}y^{3}\textbf{i} + x^{3}y^{2}\textbf{j}$ alrededor de la curva $C:\textbf{r}(t)=\left<t^{3}-2t,t^{3}+2t\right>, 0\leq t\leq 1$ mediante el teorema fundamental de las integrales de línea.

Si el campo vectorial dado es conservativo se sabe que existe una función "f" tal que su gradiente es "F", de modo que

\[\textbf{F}=\bigtriangledown f=x^{2}y^{3}\textbf{i}+x^{3}y^{2}\textbf{j}\]

\[f_{x}=x^{2}y^{3},\, f_{y}=x^{3}y^{2}\]

y para hallar la función "f" resulta evidente que es necesario integrar una de las componentes, por ejemplo:

\[f(x,y)=\int f_{x}\mathrm{d} x=\frac{1}{3}x^{3}y^{3}+g(y)\]

note que la constante de integración es una función de "y", pues debido a que se integró respecto a "x" resulta intuitivo decir que cualquier función de "y" es constante.

Como la segunda componente del campo vectorial es la derivada de "f" respecto a "y", se puede derivar el resultado obtenido anteriormente con respecto a "y" e igualarlos:

\[f_{y}=x^{3}y^{2}\]

\[f_{y}(x,y)=x^{3}y^{2}+g'(y)\]

\[g'(y)=0\]

Integrando "g" se tiene que $f(x,y)=\frac{x^{3}y^{3}}{3}+K$ siendo K una constante. Así se puede decir que existe una infinita cantidad de funciones cuyo gradiente es el campo vectorial dado. Por tanto, aplicando el teorema fundamental de las integrales de línea, con el punto inicial $\textbf{r}(0)=(0,0)$ y el punto final $\textbf{r}(1)=(-1,3)$ se tiene

\[\int_{C}\bigtriangledown \left ( \frac{x^{3}y^{3}}{3}+K \right )\mathrm{d} \textbf{r}=\frac{1}{3}(-1)^{3}(3)^{3}-\frac{1}{3}(0)^{3}(0)^{3}=-9\]

Ejercicios:

a) Determine si el campo vectorial dado es conservativo o no. Si lo es, halle la función cuyo gradiente es dicho campo.

1) $\textbf{F}(x,y)=(xy+y^{2})\textbf{i} +(x^{2}+2xy)\textbf{j}$

2) $\textbf{F}(x,y)=y^{2}e^{xy}\textbf{i} +(1+xy)e^{xy}\textbf{j}$

3) $\textbf{F}(x,y)=(ye^{x} +\sin y)\textbf{i} +(e^{x} +x\cos y)\textbf{j}$

4) $\textbf{F}(x,y)=(y^{2}\cos x +\cos y)\textbf{i} +(2y\sin x -x\sin y)\textbf{j}$

b) Evaluar las siguientes integrales de línea mediante el teorema fundamental de las integrales de línea

1) $\int_{C} (3y\textbf{i} +3x\textbf{j}) \cdot d\textbf{r}$, C: curva suave desde (0,0) hasta (3,8).

2) $\int_{C}[yz\textbf{i} +xz\textbf{j} +(xy+2z)\textbf{k}] \cdot d\textbf{r}$, C: segmento de recta de (1,0,-2) a (4,6,3).

3) $\int_{C}\cos x \sin y dx + \sin x \cos y dy$, C: segmento de recta de $(0,-\pi)$ a $(3\pi /2,\pi /2)$.

4) $\int_{C}e^{x} \sin y dx +e^{x} \cos y dy$, C: cicloide $x=\theta -\sin \theta , y=1-\cos \theta$ desde (0,0) hasta $(2\pi ,0)$

5) $\int_{C}(x^{3}\textbf{i} +y^{3}\textbf{j})\, d\textbf{r}$, C: curva suave desde (1,0) hasta (2,2)