Diferenciabilidad y reglas de la cadena
Plano tangente a una superficie
En síntesis, un plano tangente a una superficie en un
punto $P_{0}$
es aquel que contiene a sus rectas tangentes en ese punto. Entonces,
si $P(x_{0},y_{0},z_{0})$
es el punto de tangencia y las rectas tangentes tienen vectores
directores $u_{r_{1}}=\left \langle 1, 0, f_{x}(x_{0},y_{0}) \right
\rangle$ y $u_{r_{2}}=\left \langle 0, 1, f_{y}(x_{0},y_{0}) \right \rangle$, el vector normal del plano tangente será el formado por el producto
cruz entre $u_{r_{1}}$ y $u_{r_{2}}$:
\[\begin{vmatrix}\textbf{i} & \textbf{j} & \textbf{k}\\ 1 & 0
& f_{x}(x_{0},y_{0})\\ 0 & 1 &
f_{y}(x_{0},y_{0})\end{vmatrix}=\left \langle
-f_{x}(x_{0},y_{0}),-f_{y}(x_{0},y_{0}),1 \right \rangle\]
Por último, mediante la
ecuación escalar del plano
se tiene
\[-f_{x}(x_{0},y_{0})(x-x_{0})-f_{y}(x_{0},y_{0})(y-y_{0})+1(z-z_{0})=0\]
\[z-z_{0}=f_{x}(x_{0},y_{0})(x-x_{0})+f_{y}(x_{0},y_{0})(y-y_{0})\]
Así entonces se obtiene la ecuación del plano tangente a la superficie
f(x,y).
Ejemplo: Encuentre la ecuación del plano tangente a la
superficie $f(x,y)=\sqrt{4-x^{2}-2y^{2}}$
en el punto (1,-1)
Las primeras derivadas parciales de f son
\[\begin{matrix}f_{x}=\frac{-x}{\sqrt{4-x^{2}-2y^{2}}} &
f_{y}=\frac{-2y}{\sqrt{4-x^{2}-2y^{2}}} \\\end{matrix}\]
Evaluando en (1,-1) tenemos
\[\begin{matrix}f_{x}(1,-1)=-1 & f_{y}(1,-1)=2
\\\end{matrix}\]
como $z_{0}=f(1,-1)=1$, la ecuación del plano tangente en el punto pedido será
\[z-1=-(x-1)+2(y+1)\]
\[x-2y+z=4\]
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| Utilizando una herramienta graficadora se puede visualizar el comportamiento geométrico del plano tangente a una superficie "f" |
Linealización
Así como la
linealización de curvas en funciones de una variable, es posible aproximar una función lineal
a una superficie dada por una función de dos variables en un punto P, a
diferencia que se obtendrá un plano en lugar de una recta.
Si se despeja "z" de la ecuación del plano tangente a la superficie "f",
obtenemos la expresión de la función de aproximación "L"
\[z=z_{0}+f_{x}(x_{0},y_{0})(x-x_{0})+f_{y}(x_{0},y_{0})(y-y_{0})\]
\[L(x,y)=f(x_{0},y_{0})+f_{x}(x_{0},y_{0})(x-x_{0})+f_{y}(x_{0},y_{0})(y-y_{0})\]
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Mientras la región R es más proxima a "P", "L" se aproxima con
mayor precisión a "f", de manera que $\mathit{L(x,y)\approx f(x,y)}$ |
Ejemplo 1: Encuentre la aproximación lineal de la
función $f(x,y)=e^{x}\cos xy$ en el origen de coordenadas
Las primeras derivadas parciales de "f" son:
\[\begin{matrix}f_{x}=e^{x}\cos xy-ye^{x}\sin xy & f_{y}=-xe^{x}\sin
xy\end{matrix}\]
evaluando el punto (0,0) en "f" y en sus derivadas se obtiene que el plano
tangente es
\[z-1=x\]
de modo que la aproximación lineal es
\[L(x,y)=x+1\]
Para comprobar la aproximación, se puede hacer una tabla de valores donde $x$ y $y$
varian dentro de un rectángulo que contenga al origen de coordendas
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| Los valores que toma "f" son parecidos a los de su plano tangente "L". No obstante, ambas superficies son exactamente iguales en el origen |
La linealización no se limita a la búsqueda de una recta o un plano de
aproximación, pues la existencia de funciones lineales de "n" variables
permite extender el concepto para funciones multivariables. No obstante, en
estos casos resulta mas cómodo interpretar a las aproximaciones lineales
como incrementos. Por ejemplo, para una función de 3 variables su
aproximación lineal se dará por
\[\small f(x,y,z)\approx
f(a,b,c)+f_{x}(a,b,c)(x-a)+f_{y}(a,b,c)(y-b)+f_{z}(a,b,c)(z-c)\]
pero si cada diferencia se interpreta como una pequeña variación entre la
superficie "f" y su aproximación lineal, se tiene que
\[\Delta f(x,y,z)=f_{x}(a,b,c)\Delta x+f_{y}(a,b,c)\Delta
y+f_{z}(a,b,c)\Delta z\]
En el mundo real, las cantidades físicas dependen de dos o más variables,
por lo que este método se convierte en una herramienta muy útil para
simplificar modelos matemáticos que representan dichas cantidades. Por
ejemplo, una de las aplicaciones que se puede mencionar es el análisis de sistemas no lineales, donde se desea aproximar un sistema complicado de analizar a uno más
simple y estudiar su comportamiento en torno a un punto de equilibrio, es
decir donde todo cambio respecto al tiempo es nulo.
Ejemplo 2: Linealizar en torno al punto de equilibrio $(\bar{q_{i}},\bar{h})$
el modelo matemático de un sistema de llenado de tanque como el que muestra
la figura, el cual obedece a $A\dot{h}=q_{i}-R\sqrt{h}$
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| "A" es el área del tanque y "R" es la resistencia de la válvula |
Evidentemente "A" y "R" son constantes, "h" puede variar de acuerdo a la
cantidad de líquido que sale y entra del tanque, $q_{i}$
puede variar de acuerdo a la intensidad con la que el líquido cae. No
obstante $\dot{h}$ es una notación alternativa de la velocidad con el que cambia la altura
"h", (primera derivada respecto al tiempo), muy utilizada en análisis de
sistemas dinámicos. Puesto que permite entender que la derivada puede ser
interpretada como una variable más ya que también puede cambiar por algún
otro factor externo.
Reescribiendo el modelo se tiene que
\[A\dot{h}-q_{i}+R\sqrt{h}=0\]
obteniendo así una función implícita de tres variables que puede denotarse
por $f(\bar{q_{i}},\bar{h},\dot{h})=0$, con el fin de ayudar a calcular sus primeras derivadas parciales
\[\begin{matrix} \frac{\partial f}{\partial \dot{h}}=A &
\frac{\partial f}{\partial q_{i}}=-1 & \frac{\partial f}{\partial
h}=\frac{R}{2\sqrt{h}} \\\end{matrix} \]
Evaluando en el punto de equilibrio se tiene
\[\begin{matrix} \frac{\partial f}{\partial
\dot{h}}(\bar{q_{i}},\bar{h},0)=A & \frac{\partial f}{\partial
q_{i}}(\bar{q_{i}},\bar{h},0)=-1 & \frac{\partial f}{\partial
h}(\bar{q_{i}},\bar{h},0)=\frac{R}{2\sqrt{\bar{h}}} \\\end{matrix}\]
de manera que la función "f" linealizada con incrementos de cada variable
es
\[\Delta f=A\Delta \dot{h}-\Delta q_{i}+\frac{R}{2\sqrt{\bar{h}}}\Delta
h\]
No obstante si $f(\bar{q_{i}},\bar{h},\dot{h})=0\to \Delta f=0$ de modo que el modelo lineal en el punto de equilibrio dado es:
\[A\Delta \dot{h}-\Delta q_{i}+\frac{R}{2\sqrt{\bar{h}}}\Delta
h=0\]
Reglas de la cadena
Diferenciabilidad de una función multivariable
Así como en funciones de una variable, no todas las funciones
multivariables son diferenciables en algún punto. Esto sucede cuando la
superficice es discontinua a pesar que las derivadas parciales existan. Por
ende, para dar una condición que asegure que una función multivariable sea
diferenciable, partiremos del siguiente ejemplo:
\[f(x,y)=\begin{cases}\frac{3x^{2}y}{x^{4}+y^{2}} & \text{ Si }
(x,y)\neq (0,0) \\0 & \text{ Si } (x,y)=(0,0)\end{cases}\]
En este caso no es posible hallar de forma directa las primeras derivadas
parciales ya que la expresión racional no está definida en el origen. Por
tanto se procede a utilizar la
definición de derivadas parciales
como sigue
\[f_{x}(0,0)=\lim_{\Delta x \to 0}\frac{\frac{3(x+\Delta
x)^{2}(0)}{(x+\Delta x)^{4}+0^{2}}-0}{\Delta x}=0\]
\[f_{y}(0,0)=\lim_{\Delta y \to 0}\frac{\frac{3(0)^{2}(y+\Delta
y)}{(0)^{4}+(y+\Delta y)^{2}}-0}{\Delta y}=0\]
Note que "f" está definida en el origen y es 0, pero cuando existe una
pequeña variación $\Delta$
en alguna de las variables, entonces pasa a ser la expresión racional. Así
pues, se concluye que las derivadas parciales existen en el origen y que su
aproximación lineal podría ser $f(x,y)\approx 0$. Pero a pesar de ello, "f" es discontinua ya que el límite no existe. Por
ejemplo, si tomamos la familia de funciones potencia $y=ax^{n}$
como trayectorias se tiene que:
\[\lim_{(x,y) \to (0,0)}\frac{3x^{2}y}{x^{4}+y^{2}}=\lim_{x \to
0}\frac{3x^{2}(ax^{n})}{x^{4}+(ax^{n})^{2}}=\lim_{x \to
0}\frac{3ax^{n-2}}{1+a^{2}x^{2n-4}}\]
Si "n=2" $\lim_{x \to 0}\frac{3ax^{0}}{1+a^{2}x^{0}}=\frac{3a}{1+a^{2}}$,
y si "a" es cualquier valor distinto de 0, evidentemente la
aproximación lineal ya no funciona.
|
| La función $\textit{f(x,y)}$ no es diferenciable en el origen |
Por tanto, para excluir este comportamiento, se puede enunciar la siguiente
definición:
Si $z=f(x,y)$, entonces $f$
es diferenciable en (a,b) si $\Delta z$
se puede expresar de la forma
\[\Delta z=f_{x}(a,b)\Delta x +f_{y}(a,b)\Delta y + \varepsilon
_{1}\Delta x + \varepsilon _{2}\Delta y\]
donde $\varepsilon_{1}$ y $\varepsilon_{2} \to 0$ cuando $(\Delta x, \Delta y) \to (0,0)$
Note que se agregaron dos términos a la aproximación lneal expresada por
incrementos. Esto con el fin de incluir el error que segura que el plano
tangente se aproxime "bien" a la superficie en el punto P. Pues mientras los
incrementos $\Delta$
son más pequeños, el error $\varepsilon_{1}\Delta x + \varepsilon_{2}\Delta y$ debe ser aún más pequeño para asegurar la aproximación.
Con la definición de diferenciabilidad, es posible proporcionar las bases
para la extensión de la regla de la cadena para funciones
multivariables, la cual tiene varias versiones para los diferentes casos de
composición.
Regla de la cadena: una variable independiente
Suponga que $z=f(x,y)$
es una función diferencial de $x$ y $y$, donde $x=g(t)$ y $y=h(t)$
son funciones diferenciales de $t$. Entonces $z$
es una función diferencial de $t$ y
\[\frac{\mathrm{d} z}{\mathrm{d} t}=\frac{\partial f}{\partial
x}\frac{\mathrm{d} x}{\mathrm{d} t}+\frac{\partial f}{\partial
y}\frac{\mathrm{d} y}{\mathrm{d} t}\]
Demostración:
Un cambio $\Delta t$
en "t" produce cambios de $\Delta x$ en "x" y $\Delta y$
en "y". Éstos, a su vez, producen cambios de $\Delta z$
en "z", y de la definición de diferenciabilidad tenemos
\[\Delta z= f_{x}\Delta x + f_{y}\Delta y +\varepsilon _{1}\Delta
x+\varepsilon _{2}\Delta y\]
Al dividir entre $\Delta t$, ambos miembros de esta ecuación, tenemos
\[\frac{\Delta z}{\Delta t}= f_{x}\frac{\Delta x}{\Delta t} +
f_{y}\frac{\Delta y}{\Delta t} +\varepsilon _{1}\frac{\Delta x}{\Delta
t}+\varepsilon _{2}\frac{\Delta y}{\Delta t}\]
Si ahora hacemos $\Delta t\to 0$, entonces debido a que $x=g(t)$
se tiene que $\Delta x=g(t+\Delta t)-g(t) \to 0$
ya que "g" es diferenciable. Del mismo modo, $\Delta y \to 0$
de manera que al aplicar el límite, la ecuación anterior se convierte en la
definición de derivada como razón de cambio:
\[\frac{\mathrm{d} z}{\mathrm{d} t}=\lim_{\Delta t \to 0}\frac{\Delta
z}{\Delta t}\]
\[\small \frac{\mathrm{d} z}{\mathrm{d} t}=\frac{\partial z}{\partial
x}\lim_{\Delta t \to 0}\frac{\Delta x}{\Delta t}+\frac{\partial
z}{\partial y}\lim_{\Delta t \to 0}\frac{\Delta y}{\Delta t}+\lim_{\Delta
t \to 0} \varepsilon _{1}\frac{\Delta x}{\Delta t}+\lim_{\Delta t \to 0}
\varepsilon _{2}\frac{\Delta y}{\Delta t}\]
\[\frac{\mathrm{d} z}{\mathrm{d} t}=\frac{\partial z}{\partial
x}\frac{\mathrm{d} x}{\mathrm{d} t}+\frac{\partial z}{\partial
y}\frac{\mathrm{d} y}{\mathrm{d} t}+(0)\frac{\mathrm{d} x}{\mathrm{d}
t}+(0)\frac{\mathrm{d} y}{\mathrm{d} t}\]
\[\frac{\mathrm{d} z}{\mathrm{d} t}=\frac{\partial z}{\partial
x}\frac{\mathrm{d} x}{\mathrm{d} t}+\frac{\partial z}{\partial
y}\frac{\mathrm{d} y}{\mathrm{d} t}\]
Recuerde que debido a la definición de diferenciabilidad, los errores $\varepsilon_{1}$ y $\varepsilon_{2}$
tienden a 0 ya que $(\Delta x, \Delta y) \to (0,0)$
Ejemplo 1: Utilice la regla de la cadena para hallar $dz/dt$
para la composición $z=f[x(t),y(t)]$ si
\[z=x^{2}y+xy^{2},\: x(t)=2+t^{4},\: y(t)=1-t^{3}\]
Las derivadas correspondientes son:
\[\begin{matrix}\frac{\partial z}{\partial x}=2xy+y^{2}
&\frac{\partial x}{\partial t}=4t^{3} \\\frac{\partial y}{\partial
x}=x^{2}+2xy & \frac{\mathrm{d} y}{\mathrm{d} t}=-3t^{2}
\end{matrix}\]
de modo que la regla de la cadena da
\[\frac{\mathrm{d} z}{\mathrm{d}
t}=(2xy+y^{2})4t^{3}+(x^{2}+2xy)(-3t^{2})\]
\[\frac{\mathrm{d} z}{\mathrm{d}
t}=4t^{3}(5+2t^{4}-t^{3})(1-t^{3})-3t^{2}(4+t^{4}-2t^{3})(2+t^{4})\]
Note que se reemplazaron los términos de $x(t)$ y $y(t)$ en "z" para expresar todo en función de "t".
Regla de la cadena: dos variables independientes
Suponga que $z=f(x,y)$ es una función diferencial de $x$ y $y$, donde $x=g(s,t)$ y $y=h(s,t)$ son funciones diferenciales de $s$ y $t$. Entonces
\[\frac{\partial f}{\partial s}=\frac{\partial f}{\partial
x}\frac{\partial x}{\partial s}+\frac{\partial f}{\partial
y}\frac{\partial y}{\partial s}\]
\[\frac{\partial f}{\partial t}=\frac{\partial f}{\partial
x}\frac{\partial x}{\partial t}+\frac{\partial f}{\partial
y}\frac{\partial y}{\partial t}\]
Demostración:
Recordemos que al calcular $\partial z/\partial t$
conservamos "s" fija y calculamos la dervada ordinaria de "z" con respecto
a "t". Por tanto, aplicando la regla de la cadena anterior se tiene
\[\frac{\partial z}{\partial t}=\frac{\partial z}{\partial
x}\frac{\partial x}{\partial t}+\frac{\partial z}{\partial
y}\frac{\partial y}{\partial t}\]
Para $\partial z/\partial s$ se cumple un argumento semejante.
Ejemplo 2: Utilice la regla de la cadena para hallar la expresión reducida
de $\partial z/\partial s$ y $\partial z/\partial t$ para la composición $z=f[x(s,t),y(s,t)]$ si
\[z=\ln \sqrt{x^{2}+y^{2}},\: x(s,t)=s\cos t,\: y(s,t)=s\sin t\]
Las derivadas correspondientes son:
\[\begin{matrix}\frac{\partial z}{\partial x}=\frac{x}{x^{2}+y^{2}}
&\frac{\partial x}{\partial s}=\cos t & \frac{\partial
x}{\partial t}=-s\sin t\\ \frac{\partial z}{\partial
y}=\frac{y}{x^{2}+y^{2}} & \frac{\partial y}{\partial s}=\sin t
& \frac{\partial y}{\partial t}=s\cos t\end{matrix}\]
de modo que la regla de la cadena da
\[\begin{matrix}\frac{\partial z}{\partial s}=\frac{x\cos
t}{x^{2}+y^{2}}+\frac{y\sin t}{x^{2}+y^{2}}\\ \frac{\partial z}{\partial
t}=-\frac{xs\sin t}{x^{2}+y^{2}}+\frac{ys\cos
t}{x^{2}+y^{2}}\end{matrix}\]
Por último, realizando operaciones algebraicas y reemplazando se
tiene
\[\begin{matrix}\frac{\partial z}{\partial s}=\frac{x\cos t+y\sin
t}{x^{2}+y^{2}}=\frac{s\cos^{2} t+s\sin^{2}
t}{s^{2}(\cos^{2}t+\sin^{2}t)}=\frac{1}{s}\\ \frac{\partial
z}{\partial t}=\frac{s(y\cos t-x\sin t)}{x^{2}+y^{2}}=\frac{s(s\sin
t\cos t-s\cos t\sin
t)}{s^{2}(\cos^{2}t+\sin^{2}t)}=0\end{matrix}\]
Regla de la cadena: "n" variables independientes
Suponga que $u$ es una función diferencial de $n$ variables $x_{1},x_{2},...,x_{n}$, y que cada $x_{j}$ es una función diferencial de las $m$ variables $t_{1},t_{2},...,t_{m}$ entonces $u$ es una función de $t_{1},t_{2},...,t_{m}$ y
\[\frac{\partial u}{\partial t_{i}}=\frac{\partial u}{\partial
x_{1}}\frac{\partial x_{1}}{\partial t_{i}}+\frac{\partial u}{\partial
x_{2}}\frac{\partial x_{2}}{\partial t_{i}}+...+\frac{\partial
u}{\partial x_{n}}\frac{\partial x_{n}}{\partial t_{i}}\]
Para cada $i=1,2,...,m$
Esta regla generaliza las dos anteriores, pero cuando se tienen muchas
variables resulta complicado aplicarla directamente. Por ejemplo, si
quisieramos deducir la expresión de todas las primeras derivadas parciales
para la composición de funciones $w[x(r,s,t),y(r,s,t),z(r,s,t,q)]$, resulta confuso saber por donde empezar. Por tanto, nos podemos ayudar
del siguiente diagrama
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Diagrama del árbol para las derivadas de "w" |
Para trazar este diagrama dibujamos ramas que conecten las variables que
se relacionan y luego en cada una se escribe la derivada parcial que va
desde la variable superior a la inferior. Para expresar la regla de la
cadena, se multiplican las derivadas parciales que van a lo largo de cada
trayectoria de la función "w" hacia la última variable independiente y se
suman estos productos:
\[\begin{matrix}\frac{\partial w}{\partial r}=\frac{\partial
w}{\partial x}\frac{\partial x}{\partial r}+\frac{\partial w}{\partial
y}\frac{\partial y}{\partial r}+\frac{\partial w}{\partial
z}\frac{\partial z}{\partial r} \\\frac{\partial w}{\partial s}=
\frac{\partial w}{\partial x}\frac{\partial x}{\partial
s}+\frac{\partial w}{\partial y}\frac{\partial y}{\partial
s}+\frac{\partial w}{\partial z}\frac{\partial z}{\partial
s}\\\frac{\partial w}{\partial t}=\frac{\partial w}{\partial
x}\frac{\partial x}{\partial t}+\frac{\partial w}{\partial
y}\frac{\partial y}{\partial t}+\frac{\partial w}{\partial
z}\frac{\partial z}{\partial t}\end{matrix}\]
Observe que para la derivada respecto a $q$ solo se tiene una trayectoria única en el diagrama de árbol, por lo
que siguiendo la misma lógica se tiene
\[\frac{\partial w}{\partial q}=\frac{\partial w}{\partial
z}\frac{\partial z}{\partial t}\frac{\partial t}{\partial q}\]
Ejemplo práctico: Para la función $z=x^{n}f\left (\frac{y}{x^{2}} \right )$ probar que se verifica: $xz_{x}+2yz_{y}=nz$
Note que "z" es función de $x$ y $y$, y
asimismo "f" es función de $x$ y $y$. Por tanto, para calcular $z_{x}$ se procede a aplicar la regla del producto como sigue:
\[z_{x}=nx^{n-1}f\left ( \frac{y}{x^{2}} \right )+x^{n}\frac{\partial
f}{\partial x}\]
para $z_{y}$ se tiene
\[z_{y}=x^{n}\frac{\partial f}{\partial y}\]
Luego, para obtener las derivadas de "f" se puede realizar el cambio de
variable $u=\frac{y}{x^{2}}$
para facilitar los cálculos. Así pues, se puede utilizar la regla de la
cadena de la siguiente manera
\[\begin{matrix}\frac{\partial f}{\partial x}=\frac{\partial
f}{\partial u}\frac{\partial u}{\partial x}=-\frac{2y}{x^{3}}f_{u}
\\\frac{\partial f}{\partial y}=\frac{\partial f}{\partial
u}\frac{\partial u}{\partial y}=\frac{1}{x^{2}}f_{u}\end{matrix}\]
Así entonces, operando el primer miembro de la ecuación que se
desea verificar se tiene
\[x\left [ nx^{n-1}f\left (\frac{y}{x^{2}} \right
)-x^{n}\frac{2y}{x^{3}}f_{u} \right ]+2y\left (
x^{n}\frac{1}{x^{2}}f_{u} \right )=...\]
\[...=nx^{n}f\left (\frac{y}{x^{2}} \right )-2yx^{n-2}f_{u} +
\frac{2yx^{n}}{x^{2}}f_{u}\]
de manera que se comprueba la veracidad de la ecuación dada:
\[nx^{n}f\left ( \frac{y}{x^{2}} \right )=nz\]
Derivación parcial implícita
Supóngase que $x$ y $y$ están relacionadas por la ecuación $F(x,y)=0$, donde se supone que $y=f(x)$
es función diferenciable de "x". En síntesis, se habla de una
función implícita de una variable
independiente. Sin embargo, si se la reescribe como $w=F(x,y)=F[x,f(x)]$
se puede aplicar la primera regla de la cadena para obtener
\[\frac{\mathrm{d} w}{\mathrm{d} x}=\frac{\partial F}{\partial
x}\frac{\mathrm{d} x}{\mathrm{d} x}+\frac{\partial F}{\partial
f}\frac{\mathrm{d} f}{\mathrm{d} x}\]
Como $w=F(x,y)=0$ para toda "x" en el dominio de $f$, y además $f(x)=y$, la derivada de $w=0$ será
\[\frac{\partial F}{\partial x}+\frac{\partial F}{\partial
y}\frac{\mathrm{d} y}{\mathrm{d} x}=0\]
Ahora, si $F_{y}(x,y)\neq 0$
se puede despejar $dy/dx$ obteniendo
\[\frac{\mathrm{d} y}{\mathrm{d} x}=-\frac{\frac{\partial F}{\partial
x}}{\frac{\partial F}{\partial y}}\]
Esta expresión se convierte en una forma alternativa de derivar funciones
implícitas de una variable.
Por otro lado, supongamos que $z=f(x,y)$ está dada implícitamente por una ecuación de la forma $F(x,y,z)=0$. Esto significa que $F[x,y,f(x,y)]=0$ para toda (x,y) en el dominio de "f". Si "F" y "f" son diferenciables,
entonces podemos usar la regla de la cadena general para derivar la
ecuación $F(x,y,z)=0$ como sigue:
\[\frac{\partial F}{\partial x}\frac{\partial x}{\partial
x}+\frac{\partial F}{\partial y}\frac{\partial y}{\partial
x}+\frac{\partial F}{\partial z}\frac{\partial z}{\partial x}=0\]
Como $\partial x/\partial x=1$ y $\partial y/\partial x=0$, además si $\partial F/\partial z\neq 0$. despejamos $\partial z/\partial x$ obteniendo
\[\frac{\partial z}{\partial x}=-\frac{\frac{\partial F}{\partial
x}}{\frac{\partial F}{\partial z}}\]
Para obtener $\partial z/\partial y$ se procede de un modo similar
\[\frac{\partial z}{\partial y}=-\frac{\frac{\partial F}{\partial
y}}{\frac{\partial F}{\partial z}}\]
Ejemplo: Por derivación implícita, calcular $z_{x},\, z_{y},\, z_{yy}$ para $x^{2}+2xz+z^{2}=2y-3$
Reescribiendo la función a $F(x,y,z)=x^{2}+2xz+z^{2}-2y+3=0$ y aplicando la derivación implícita tenemos
\[z_{x}=-\frac{F_{x}}{F_{z}}=-\frac{2x+2z}{2x+2z}=-1\]
\[z_{y}=-\frac{F_{y}}{F_{z}}=-\frac{-2}{2x+2z}=\frac{1}{x+z}\]
Para la segunda derivada respecto a "y", solo se deriva nuevamente $z_{y}$ sin olvidar que "z" es una función implícita de $y$, pues se encuentra en $F(x,y,z)$
\[z_{yy}=-\frac{z_{y}}{(x+z)^{2}}=-\frac{\frac{1}{x+z}}{(x+z)^{2}}=-\frac{1}{(x+z)^{3}}\]
Ejemplo práctico: Si $z=f[x(t),y(t)]$, donde $x(3)=2,\, x'(3)=5,\, y(3)=7,\, y'(3)=-4,\, f_{x}(2,7)=6$ y $f_{y}=(2,7)=-8$, encuentre $dz/dt$ cuando $t=3$.
Observando los datos dados, es evidente que en $t=3$ se tiene $f(2,7)$. Por tanto, aplicando la primera regla de la cadena se tiene
\[\frac{\mathrm{d} z}{\mathrm{d} t}\left.\begin{matrix} \\
\\\end{matrix}\right|_{t=3}=\frac{\partial z}{\partial
x}(2,7)x'(3)+\frac{\partial z}{\partial y}(2,7)y'(3)\]
\[\frac{\mathrm{d} z}{\mathrm{d} t}\left.\begin{matrix} \\
\\\end{matrix}\right|_{t=3}=6(5)+(-8)(-4)=62\]
Ejercicios:
a) Calcule y simplifique las derivadas pedidas para las siguientes funciones
1) $f(x,y)=x^{2}+y^{2},
\left\{\begin{matrix} x=e^{t} \\ y=e^{-t} \end{matrix}\right. :\:
\frac{\mathrm{d} f}{\mathrm{d} t}$
2) $f(x,y,z)=xe^{y/z}, \left\{\begin{matrix} x=t^{2} \\ y=1-t \\ z=1+2t
\end{matrix}\right. :\: \frac{\mathrm{d} f}{\mathrm{d} t}$
3) $f(x,y)=x^{2}-2xy+y^{2}, \left\{\begin{matrix} x=r+t \\ y=r-t
\end{matrix}\right. :\: \frac{\partial f}{\partial r},\, \frac{\partial
f}{\partial t}$
4) $f(x,y)=\arctan
(2x+y), \left\{\begin{matrix} x=s^{2}t \\ y=s\ln t \end{matrix}\right. :\:
\frac{\partial f}{\partial s},\, \frac{\partial f}{\partial t}$
5) $f(r,\theta)=e^{r}\cos \theta, \left\{\begin{matrix} r=st \\
\theta=\sqrt{s^{2}+t^{2}} \end{matrix}\right. :\: \frac{\partial f}{\partial
s},\, \frac{\partial f}{\partial t}$
6) $f(x,y,z)=xyz,
\left\{\begin{matrix} x=s+t \\ y=s-t \\ z=st^{2} \end{matrix}\right. :\:
\frac{\partial f}{\partial s},\, \frac{\partial f}{\partial t}$
b) Encuentre $\small dy/dx,\, \partial z/\partial x,\, \partial z/\partial y$ por derivación parcial implícita para las siguientes funciones según el caso
1)
$x^{2}-3xy+y^{2}-2x+y-5=0$
2) $\ln \sqrt{x^{2}+y^{2}}+xy=4$
3) $\ln(x+yz)=xy^{2}z^{3}$
4) $xy^{2}+yz^{2}+zx^{2}=3$
5) $xe^{y}+yz+ze^{x}=0$
c) Resuelve los siguientes enunciados
1) Linealizar el modelo de un sistema no lineal dado
por $y\dot{x}+x^{2}-y-7=0$ en el valor de equilibrio $x_{0}=1$
2) Linealizar el modelo de un sistema no lineal dado por $\ln x-\dot{y}\sqrt{x}-2\dot{y}=2$ en el valor de equilibrio $y_{0}=2$
3) Encuentre la ecuación del plano tangente a la superficie $z=e^{x}(\sin y +1)$ en el punto (0,π/2)
4) Encuentre la ecuación del plano tangente a la superficie $xy^{2}z=24$ en el punto (3,2)
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