Teorema fundamental del cálculo
Teorema del valor medio de Lagrange
Este teorema asegura que existe un número $c$ dentro un intervalo abierto $(a,b)$ tal que la recta tangente a una curva es paralela a su
secante.
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| Representación gráfica del teorema del valor medio de Lagrange |
Sea $f$ continua en $[a,b]$ y derivable en $(a,b)$, entonces existe un $c$ en $(a,b)$ tal que
\[f'(c)=\frac{f(b)-f(a)}{b-a}\]
Regla de Barrow
Suponga que se desea hallar una función que muestre el comportamiento del
área bajo la curva dada por
$f(t)=\left\{\begin{matrix} 3, &0\leq t\leq 3 \\ -t+6, &3\leq t\leq
6 \\ (t-8)^{2}-4, &6\leq t\leq 10 \end{matrix}\right.$.
Graficando la curva se tiene:
Entonces la integral dada se puede reescribir de la siguiente forma:
\[I=\int_{0}^{3}3\, dt+\int_{3}^{6}(-t+6)\, dt+\int_{6}^{10}[(t-8)^{2}-4]\,
dt\]
Luego, para el primer trozo, mediante
propiedades de la integral definida
se tiene
\[I_{1}=3(3-0)=9\]
Por otro lado, si el limite superior es cualquier valor dentro del
intervalo donde se define el primer trozo, se tiene
$I_{1}=\int_{0}^{x}3\, dt=3(x-0)=3x$,
donde $0\leq x< 3$.
Así entonces se forma una nueva función que depende del límite superior
de la integral respectiva.
Para el segundo trozo, aplicando la misma lógica, se tiene
\[I_{2}=\int_{3}^{x}(-t+6)\, dt=-\lim_{n\rightarrow \infty
}\sum_{i=1}^{n}\left ( 3+\frac{i(x-3)}{n} \right )\left ( \frac{x-3}{n}
\right )+6(x-3)\]
\[I_{2}=-\lim_{n\rightarrow \infty }\left ( \frac{x-3}{n} \right )\left [
3n+\frac{x-3}{n}\sum_{i=1}^{n}i \right ]+6x-18\]
\[I_{2}=-\lim_{n\rightarrow \infty }\left [\frac{(x-3)^{2}}{2}\left (
1+\frac{1}{n} \right ) \right ]+3x-9\]
\[I_{2}=-\frac{(x-3)^{2}}{2}+3x-9=-\frac{x^{2}}{2}+3x-\frac{9}{2}+3x-9\]
Así entonces, se obtiene la nueva función
$I_{2}=-\frac{x^{2}}{2}+6x-\frac{27}{2}$, donde $3< x< 6$.
Por último, para el tercer trozo se tiene
\[I_{3}=\int_{6}^{10}[(t-8)^{2}-4]\, dt=\lim_{n\rightarrow \infty
}\sum_{i=1}^{n}\left [\frac{i(x-6)}{n}-2 \right ]^{2}\left ( \frac{x-6}{n}
\right )-4x+24\]
Desarrollando el cuadrado de una diferencia y simplificando la sumatoria se
obtiene:
\[I_{3}=\frac{1}{3}\left [x^{3}-24x^{2}+192x-504 \right ]-4x+24\]
Luego, factorizando mediante el cubo de un binomio y sumando las
constantes, se tiene
$I_{3}=\frac{(x-8)^{3}}{3}-4x+\frac{80}{3}$,
donde $6< x\leq 10$.
Así entonces, se obtiene una función que permite obtener el área bajo la
curva dada para cualquier intervalo que se elija
\[g(x)=\left\{\begin{matrix} 3x, &0\leq x< 3 \\
-\frac{x^{2}}{2}+6x-\frac{27}{2}, &3< x< 6 \\
\frac{(x-8)^{3}}{3}-4x+\frac{80}{3}, &6< x\leq 10
\end{matrix}\right.\]
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| $\mathit{g(x)}$ no se define en 3 y 6 debido a que no cumple con la condición de continuidad de una función. |
Así, mediante $g(x)$
se puede describir como crece o decrece el área debajo de
$f(t)$ desde $t=0$.
Entonces, en general se puede decir que se puede obtener la función del
área bajo una curva mediante:
\[g(x)=\int_{a}^{x}f(t)\, dt\: \: \: \: \: \: \: \: a\leq x\leq
b\]
Ahora si derivamos $g(x)$
obtenido en el ejemplo, resultará la misma expresión de
$f(t)$ donde $x$
pasa a ser la variable independiente. Esta interesante situación nos
dice que si derivamos la integral de
$f(t)$ se obtiene $f(x)$,
es decir:
\[\frac{\mathrm{d} }{\mathrm{d} x}\int_{a}^{x}f(t)\, dt=f(x)\]
Newton y Leibnitz, (quienes desarrollaron el cálculo por su parte), se
dieron cuenta que esto se cumple para cualquier función. Sin embargo, Issac Barrow, (quien fue maestro de Newton), fue el primero en descubrir este hecho pero utilizando nociones puramente geométricas ya que en su tiempo, el concepto de derivada e integral no existía. Por ende, de acuerdo a los trabajos de Newton y Leibnitz pero en honor a Barrow, se enuncia que
\[\int_{a}^{b}f(x)\, dx=F(b)-F(a)\]
Donde $F$
es una antiderivada de $f$; es decir, $F'=f$
Demostración:
Si se divide el intervalo
$[a,b]$
como en la
suma de Riemann se puede realizar el siguiente artificio
\[F(x_{n})-F(x_{0})=F(x_{n})-F(x_{n-1})+F(x_{n-1})+...-F(x_{1})+F(x_{1})-F(x_{0})\]
\[F(x_{n})-F(x_{0})=\sum_{i=1}^{n}[F(x_{i})-F(x_{i-1})]\]
Esta resulta ser la expresión de la suma de las diferencias de los
subintervalos, si F es continua en
$[a,b]$
se puede aplicar el teorema del valor medio de Lagrange, asegurando así que existe un
$x_{i}^{*}$
contenido en $(x_{i-1},x_{i})$
tal que
\[F'(x_{i}^{*})=\frac{F(x_{i})-F(x_{i-1})}{x_{i}-x_{i-1}}\]
De manera que
\[F(x_{i})-F(x_{i-1})=F'(x_{i}^{*})(x_{i}-x_{i-1})=f(x_{i}^{*})\Delta
x\]
No olvide que $f(x)=F'(x)$
y debido a la subdivisión realizada se tiene que
$x_{i}-x_{i-1}=\Delta x$.
Luego, expresando la suma de las diferencias aplicando un limite se
tiene
\[F(b)-F(a)=\lim_{n\rightarrow \infty }\sum_{i=1}^{n}f(x_{i}^{*})\Delta
x\]
Note que el segundo miembro es la
definición de la integral definida, de manera que
\[\int_{a}^{b}f(x)\, dx=F(b)-F(a)\]
Así entonces, se enuncia el teorema fundamental del cálculo como
sigue:
Sea $f$
una función continua en
$[a,b]$
Si $g(x)=\int_{a}^{x}f(t)\,
dt$, entonces $g'(x)=f(x)$,
de manera que
$\int_{a}^{b}f(x)\, dx=F(b)-F(a)$
siendo F una antiderivada de f.
Antiderivadas y la integral indefinida
Una función $F$
recibe el nombre de antiderivada de
$f$ sobre un intervalo $I$
si $F'(x)=f(x)$
para todo $x$
en $I$.
Sin embargo, dicha función no es única. Por ejemplo, la figura muestra
algunas antiderivadas de
$f(x)=x$
Note que las antiderivadas difieren únicamente en una constante, si se
deriva cualquiera de ellas se obtiene la misma
$f$,
por lo que se puede denotar a la antiderivada general como
$F(x)+C$ donde $C$
es una constante arbitraria.
Gracias al teorema fundamental del cálculo se puede decir que
la integral indefinida es la antiderivada general
de una función, por lo que
\[\int f(x)\, dx=F(x)+C\]
De manera que
$(F(x)+C)'=f(x)$.
Cabe mencionar que una sola antiderivada también se la conoce como
función primitiva.
Para calcular antiderivadas, solo basta comparar la función dada con una
derivada conocida.
Ejemplo: Hallar la antiderivada general de $x^{n}$
Se sabe que
\[\frac{\mathrm{d} }{\mathrm{d} x}(x^{n})=nx^{n-1}\]
por lo que si suponemos la siguiente función, tomando en cuenta
que
$n\neq -1$
\[\frac{x^{n+1}}{n+1}\]
su derivada será
$\frac{\mathrm{d} }{\mathrm{d} x}\left (\frac{x^{n+1}}{n+1} \right
)=x^{n}$.
De este modo, la antiderivada general de $x^{n}$ es:
\[F(x)=\frac{x^{n+1}}{n+1}+C\]
Calcular integrales indefinidas basándose en búsqueda de antiderivadas no
es un proceso complicado, solo es cuestión de observar el integrando y
analizar si se parece a una derivada conocida. En la siguiente tabla se
resumen algunas derivadas conocidas de manera que se lean como
antiderivadas, donde u es una función de x.
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| Tabla de antiderivadas |
Note que se utilizaron las derivadas deducidas con la regla de la cadena.
Ejemplos: Determinar las siguientes integrales
- $\int 6(1+6x)^{4}\, dx$
Note que el integrando sigue la forma $u'u^{n}$, por lo que resulta fácil encontrar la antiderivada usando la tabla.
\[\int 6(1+6x)^{4}\, dx= \frac{(1+6x)^{5}}{5}+C\]
En muchos casos, encontrar la antiderivada no es inmediato, pero puede
utilizarse artificios algebraicos para buscarla.
- $\int x^{2}(x^{3}-1)^{4}\, dx$
Note que el integrando tiene una forma similar al del ejemplo anterior, donde hace falta el número 3 para formar la derivada de $x^{3}-1$, por lo que
\[\int \frac{3}{3}x^{2}(x^{3}-1)^{4}\, dx=\frac{1}{3}\int 3x^{2}(x^{3}-1)^{4}\, dx=\frac{1}{15}(x^{3}-1)^{5}+C\]
Comprobando por derivación:
\[\frac{\mathrm{d} }{\mathrm{d} x}\left [\frac{1}{15}(x^{3}-1)^{5}+C \right ]=\frac{1}{3}(x^{3}-1)^{4}(3x^{2})=x^{2}(x^{3}-1)^{4}\]
- $\int_{0}^{x}t\sqrt{t^{2}+2}\, dt$
Reescribiendo la integral como una potencia y aplicando la misma estrategia, se tiene
\[\int_{0}^{x}t\sqrt{t^{2}+2}\, dt=\frac{1}{2}\int_{0}^{x}2t(t^{2}+2)^{\frac{1}{2}}\, dt=\left [\frac{1}{2}\left ( \frac{(t^{2}+2)^{\frac{3}{2}}}{\frac{3}{2}} \right )+C \right]\left.\begin{matrix} \\ \\ \end{matrix}\right|_{0}^{x}\]
Evaluando la integral definida por medio del teorema fundamental del cálculo, la constante arbitraria $C$ se anula, por lo que no es necesario escribirla, obteniendo:
\[\frac{1}{3}(t^{2}+2)^{\frac{3}{2}}\left.\begin{matrix} \\ \\ \end{matrix}\right|_{0}^{x}=\frac{1}{3}(x^{2}+2)^{\frac{3}{2}}-\frac{1}{3}(2)^{\frac{3}{2}}=\frac{1}{3}[(x^{2}+2)\sqrt{x^{2}+2}-2\sqrt{2}]\]
Así, la solución, al no ser una familia de antiderivadas, se obtuvo una función primitiva.
- $\int \cos 8x\, dx$
Buscando la antiderivada con ayuda de la tabla, se puede notar que falta un 8 para obtener la derivada de $8x$, por lo que:
\[\frac{1}{8}\int 8\cos 8x\, dx=\frac{1}{8}\sin 8x+C\]
Comprobando por derivación:
\[\frac{\mathrm{d} }{\mathrm{d} x}\left (\frac{1}{8}\sin 8x+C \right )=\cos 8x\]
- $\int e^{\sin x}\cos x\, dx$
Note que se puede encontrar la antiderivada de forma inmediata usando la tabla.
\[\int e^{\sin x}\cos x\, dx=e^{\sin x}+C\]
- $\int_{0}^{\pi }\arccos (\sin x)\, dx$
Por traslaciones, el integrando puede ser reescrita de la forma:
\[\int_{0}^{\pi }\arccos \left [\cos \left (x-\frac{\pi }{2} \right ) \right ]\, dx\]
Así se tiene una composición de funciones inversas, de manera que se obtiene la recta $x-\frac{\pi }{2}$. Sin embargo, debido a que la función coseno es periódica, esta recta puede cambiar en diferentes intervalos. Por tanto, usando una tabla de valores se procede a graficar el integrando.
Note que en el intervalo $\left [-\frac{\pi}{2},\frac{3\pi}{2} \right ]$ la recta obtenida se convierte en $\left | x-\frac{\pi }{2} \right |$. Entonces, por definición de función de valor absoluto, cuidando los limites de integración respectivos, se tiene que:
\[\int_{0}^{\pi }\left | x-\frac{\pi }{2} \right |\,
dx=\int_{0}^{\frac{\pi }{2}}\left (\frac{\pi }{2}-x \right )\,
dx+\int_{\frac{\pi }{2}}^{\pi}\left (x-\frac{\pi }{2} \right )\,
dx\]
Así, la integral es más sencilla de determinar, pues resulta fácil decir que la antiderivada de una constante $c$ es $cx$ y el de $x$, usando la antiderivada de $x^{n}$, es $\frac{x^{2}}{2}$. Por lo tanto:
\[\int_{0}^{\pi }\arccos (\sin x)\, dx=\left (\frac{\pi
x}{2}-\frac{x^{2}}{2} \right )\left.\begin{matrix} \\ \\
\end{matrix}\right|_{0}^{\frac{\pi }{2}}+\left
(\frac{x^{2}}{2}-\frac{\pi x}{2} \right )\left.\begin{matrix} \\ \\
\end{matrix}\right|_{\frac{\pi }{2}}^{\pi}\]
\[I=\left (\frac{\pi^{2}}{4}-\frac{\pi ^{2}}{8} \right )+\left
(\frac{\pi ^{2}}{2}-\frac{\pi^{2}}{2} \right )-\left (\frac{\pi
^{2}}{8}-\frac{\pi^{2}}{4} \right )\]
\[I=\frac{2\pi^{2}}{4}-\frac{2\pi ^{2}}{8}=\frac{\pi ^{2}}{4}\]
Ejercicios:
a) Evalúe las siguientes integrales aplicando el teorema fundamental del cálculo
1) $I=\int_{1}^{x}\frac{1}{t}\,
dt$
2) $I=\int_{-1}^{1}(x^{3}-2x)\,
dx$
3) $I=\int_{-1}^{1}\left |
x^{2}-1 \right |\, dx$
4)
$I=\int_{1}^{x}\frac{t^{2}}{t^{2}+1}\, dt$
b) Determine las siguientes integrales indefinidas
1) $I=\int \frac{\cos (\ln
x)}{x}\, dx$
2) $I=\int
\frac{x+1}{\sqrt[3]{x^{2}+2x+7}}\, dx$
3) $I=\int \frac{\ln x}{x}\,
dx$
4) $I=\int
\frac{x}{\sqrt{1+2x^{2}}}\, dx$
5) $I=\int
\frac{x^{2}-1}{\sqrt[3]{x^{3}-3x+6}}\, dx$
6) $I=\int
\frac{(x-1)e^{x^{2}}}{e^{2x}}\, dx$
7) $I=\int
45x^{4}(1+x^{5})^{8}\, dx$
8) $I=\int
e^{x}\sqrt{1+e^{x}}\, dx$
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