Álgebra lineal IV

Determinantes

El determinante se define como el factor con el que una transformación lineal alarga o estrecha el subespacio del dominio. Para medir dicho factor se utiliza una proporción de crecimiento o decrecimiento del área de una región sobre dicho subespacio. Por ejemplo, observe como cambia el cuadrado formado por los vectores base del dominio para la transformación mostrada en la siguiente figura.

S es el área del cuadrado formado por $\textbf{i}$ y $\textbf{j}$ y "c" es el factor con el que cambia S

El cuadrado crece de tal forma que el área aumenta "c" veces. Por tanto, se puede decir que el área del nuevo rectángulo es $ab=cS$, de manera que el determinante de la transformación lineal $A=\begin{bmatrix} a & 0\\ 0 & b \end{bmatrix}$ es $\textrm{det}(A)=c=\frac{ab}{S}$. Note que el área "S" es 1 debido a que los lados del cuadrado son los vectores unitarios de $\mathbb{R}^{2}$ y por tanto:

\[\textrm{det}\left ( \begin{bmatrix} a & 0\\ 0 & b \end{bmatrix} \right )=\begin{vmatrix} a & 0\\ 0 & b \end{vmatrix}=ab\]

siendo esta la forma de hallar el determinante de una matriz diagonal 2x2. Por otro lado, para una matriz de la forma $\begin{bmatrix} a & c\\ b & d \end{bmatrix}$ se tiene la situación que muestra la siguiente figura

El área del paralelogramo formado por los vectores columna de A corresponde a la diferencia de áreas entre el rectángulo de lados a+c y b+d con el total de las regiones internas al mismo pero externas a dicho paralelogramo.

De esta manera se puede decir que:

\[\begin{vmatrix} a & c\\ b & d \end{vmatrix}=(a+c)(b+d)-\left ( cb+\frac{cd}{2}+\frac{ab}{2}+cb+\frac{cd}{2}+\frac{ab}{2} \right )\]

\[\begin{vmatrix} a & c\\ b & d \end{vmatrix}=ab+ad+cb+cd-2cb-cd-ab=ad-cb\]

siendo esta la expresión para hallar el determinante de cualquier matriz 2x2. La idea es análoga en el espacio tridimensional, donde el determinante es interpretado como el factor con el cambia el volumen de un cuerpo sobre el subespacio del dominio. En otras palabras, la proporción de crecimiento o decrecimiento del volumen de un paralelepipedo formado por los vectores base de dicho subespacio.

Dado que el cubo formado por los vectores unitarios de $\mathbb{R^{3}}$ tiene volumen V=1, se puede decir que el determinante es el volumen "c" del paralelepípedo en el que se convierte dicho cubo.

Se sabe que para hallar el volumen de un paralelepípedo cuyas aristas adyacentes se expresan mediante tres vectores, se utiliza el triple producto escalar:

\[c=\left | i'\cdot (j'\times k') \right |\]

Por definición conocida del producto vectorial se tiene:

\[c=\left | \begin{bmatrix} a\\ b\\ c \end{bmatrix}\cdot [ei-fh,fg-di,dh-eg]\right |\]

Note que cada componente del producto vectorial obedece al desarrollo del determinante de una matriz 2x2. Por tanto, reescribiendo como determinantes y operando el producto escalar se tiene:

\[c=\left | a\begin{vmatrix} e & f\\ h & i \end{vmatrix}- b\begin{vmatrix} d & f\\ g & i \end{vmatrix}+c\begin{vmatrix} d & e\\ g & h \end{vmatrix} \right |\]

Siendo esta la expresión para hallar el determinante de cualquier matriz 3x3. Sin embargo, note que la fórmula lleva valor absoluto, ya que hasta ahora se interpretó al determinante como volumen o área. No obstante, este puede tomar valores negativos debido a que la transformación lineal al que se asocia puede invertir la posición de los vectores base.

Existe una forma más habitual para calcular el determinante de una matriz 3x3 y para deducirla es necesario mencionar la siguiente propiedad:

Los determinantes de una matriz y su transpuesta son iguales: $\left | A \right |=\left | A^{T} \right |$

Para saber de donde viene esta propiedad veamos el caso para un determinante 2x2:

\[\begin{vmatrix} a & b\\ c & d \end{vmatrix}=\begin{vmatrix} a & c\\ b & d \end{vmatrix}\]

\[ad-bc=ad-cb\]

Ahora para el caso de un determinante 3x3:

\[\begin{vmatrix} a & d & g\\ b & e & h\\ c & f & i \end{vmatrix}=\begin{vmatrix} a & b & c\\ d & e & f\\ g & h & i \end{vmatrix}\]

\[a\begin{vmatrix} e & f\\ h & i \end{vmatrix}-b\begin{vmatrix} d & f\\ g & i \end{vmatrix}+c\begin{vmatrix} d & e\\ g & h \end{vmatrix}=a\begin{vmatrix} e & h\\ f & i \end{vmatrix}-d\begin{vmatrix} b & h\\ c & i \end{vmatrix}+g\begin{vmatrix} b & e\\ c & f \end{vmatrix}\]

\[\small a(ei-fh)-b(di-fg)+c(dh-eg)=a(ei-hf)-d(bi-hc)+g(bf-ec)\]

\[\small aei-afh-bdi+bfg+cdh-ceg=aei-ahf-dbi+dhc+gbf-gec\]

Por tanto, la propiedad se cumple para matrices 2x2 y 3x3, y de esta manera se puede decir que:

\[\begin{vmatrix} a & b & c\\ d & e & f\\ g & h & i \end{vmatrix}=a\begin{vmatrix} e & f\\ h & i \end{vmatrix}- b\begin{vmatrix} d & f\\ g & i \end{vmatrix}+c\begin{vmatrix} d & e\\ g & h \end{vmatrix}\]

Siendo esta la fórmula más habitual para calcular determinantes de matrices 3x3. Sin embargo, ya no resulta sencillo deducir una formula para calcular el determinante de una matriz 4x4, 5x5 o nxn. Por ende, el siguiente punto indica una alternativa que permita calcular determinantes de cualquier orden.

Desarrollo por cofactores

Considere la fórmula deducida anteriormente para el determinante de matrices 3x3. Los determinantes 2x2 que se pueden observar corresponden a las matrices:

\[M_{11}=\begin{bmatrix} e & f\\ h & i \end{bmatrix},M_{12}=\begin{bmatrix} d & f\\ g & i \end{bmatrix},M_{13}=\begin{bmatrix} d & e\\ g & h \end{bmatrix}\]

las cuales se denominan submatrices complementarias. Note que estas se pueden obtener eliminando la fila y la columna alineadas a los elementos $a_{11}, a_{12}, a_{13}$ respectivamente. Asimismo, se puede notar que los signos se alternan en la forma $(-1)^{i+j}$. Por tanto, se define al cofactor como:

\[A_{ij}=(-1)^{i+j}\left | M_{ij} \right |\]

Así,  se puede reescribir a la fórmula para el determinante de una matriz 3x3 en términos de cofactores como:

\[\begin{vmatrix} a_{11} & a_{12} & a_{13}\\ a_{21} & a_{22} & a_{23}\\ a_{31} & a_{32} & a_{33} \end{vmatrix}=a_{11}\left | M_{11} \right |-a_{12}\left | M_{12} \right |+a_{13}\left | M_{13} \right |\]

donde:

\[M_{11}=\begin{bmatrix} a_{22} & a_{23}\\ a_{32} & a_{33} \end{bmatrix},M_{12}=\begin{bmatrix} a_{21} & a_{23}\\ a_{31} & a_{33} \end{bmatrix},M_{13}=\begin{bmatrix} a_{21} & a_{22}\\ a_{31} & a_{32} \end{bmatrix}\]

No obstante, de acuerdo con la definición, existe un cofactor por cada elemento de una matriz. Por tanto, esta fórmula funciona desde cualquier elemento. Por ejemplo, calculemos el determinante de la matriz

\[A=\begin{bmatrix} 1 & 2 & 3\\ -1 & 5 & 2\\ 3 & 2 & 0 \end{bmatrix}\]

por fórmula y por desarrollo de cofactores.

Por fórmula se tiene:

\[\left | A \right |=-4-2(-6)+3(-2-15)=-43\]

Si desarrollamos los cofactores desde el elemento $a_{22}$ y el resto de la columna correspondiente se tiene:

\[\left | A \right |=(-1)^{2+2}(5)\begin{vmatrix} 1 & 3\\ 3 & 0 \end{vmatrix}+(-1)^{1+2}(2)\begin{vmatrix} -1 & 2\\ 3 & 0 \end{vmatrix}+(-1)^{3+2}(2)\begin{vmatrix} 1 & 3\\ -1 & 2 \end{vmatrix}\]

\[\left | A \right |=(5)(-9)-2(-6)-2(2+3)=-43\]

El desarrollo es el msmo para matrices 2x2, de manera que por inducción se valida al desarrollo por cofactores como un método para calcular determinantes de matrices de orden n.

Propiedades de los determinantes

Hasta ahora se pudieron encontrar fórmulas para calcular determinantes de matrices 2x2 y 3x3 y una alternativa que ayude a calcular determinantes de matrices de orden superior. Sin embargo, aún esta alternativa se complica si se desea hallar determinantes 5x5 o de orden mayor. Por ende, aprovechando las propiedades de algunas matrices, se pueden deducir propiedades para los determinantes que simplifiquen su cálculo.

• Si la matriz B se obtiene de la matriz A al intercambiar dos de sus filas, entonces $\left | B \right |=-\left | A \right |$

La propiedad menciona el determinante de dos matrices equivalentes por filas cuando se intercambian sus filas. Es evidente que al realizar este cambio, la posición de los vectores columna se invierte como muestra la figura.

El área de la región formada por los vectores columna de la matriz es el mismo

Ya se mencionó que si los vectores base se invierten, entonces el determinante es negativo debido a la orientación. En la figura puede notarse esa misma situación, y al ser matrices equivalentes donde ninguno de los vectores fila cambia de tamaño, el área del paralelogramo que forman es el mismo. Este comportamiento es análogo en el caso de 3 dimensiones respecto al volumen, por lo que geométricamente hablando, la propiedad se cumple para cualquier dimensión.

• Si dos filas de una matriz son iguales, entonces su determinante es cero. 

Si dos filas de una matriz son iguales, es evidente que el subespacio que generan los vectores columna es de una dimensión menor al del dominio como se puede observar en la figura

El volumen de la región formada por los vectores u, v y w es 0

La idea es análoga para matrices de orden 2, de manera que la propiedad se cumple para orden superior.

• Si una fila del determinante es nula, entonces este es cero. 

Esta propiedad es similar a la anterior, ya que el vector nulo elimina una de las componentes del vector columna de la matriz. Reduciendo así una dimensión al subespacio del dominio. Por otro lado, utilicemos una demostración simbólica para comprobar este hecho anotando únicamente la fila nula de un determinante de orden n como sigue:

\[\textrm{det}(A)=\begin{vmatrix} & & & \\ & & & \\0 & 0 & ... & 0\\ & & &\\ & & & \end{vmatrix}\]

Como el desarrollo por cofactores es válido para determinantes de cualquier orden, se tiene:

\[\textrm{det}(A)=0M_{i1}+0M_{i2}+...+0M_{in}=0\]

Así entonces, la propiedad queda demostrada.

• Si dos matrices A y B son equivalentes por filas de manera que B se obtuvo de multiplicar una fila de A por un escalar no nulo $k$, entonces $\left | B \right |=k\left | A \right |$

Multiplicar una fila involucra escalar una componente de cada vector columna de la matriz en una cierta proporción. Evidentemente esto aumenta el área de la región formada en esa misma proporción.

Demostremos este hecho de forma simbólica.

Sean los determinantes de orden n

\[\small \textrm{det}(A)=\begin{vmatrix} & & & \\ & & & \\a_{i1} & a_{i2} & ... & a_{in}\\ & & &\\ & & & \end{vmatrix},\, det(B)=\begin{vmatrix} & & & \\ & & & \\ka_{i1} & ka_{i2} & ... & ka_{in}\\ & & &\\ & & & \end{vmatrix}\]

Desarrollando los cofactores se tiene:

\[\small \textrm{det}(A)=...+(-1)^{i+j}a_{ij}\left | M_{ij} \right |+...,\, det(B)=..+(-1)^{i+j}ka_{ij}\left | N_{ij} \right |+...\]

Como las matrices A y B solo difieren esta fila, se puede decir que $\left | M_{ij} \right |=\left | N_{ij} \right |$ y consecuentemente $\left | A \right |=k\left | B \right |$. No obstante, a partir de esta propiedad se puede decir que $\left | kA \right |=k^{n} \left | A \right |$, ya que al multiplicar "k" a toda la matriz, los "n" cofactores también contendrán a "k", de manera que esta se aplica "n" veces.

• Si dos columnas de un determinante son proporcionales, este es cero. 

Para demostrar esta propiedad utilicemos la siguiente figura.

Si la transformación comprime el plano a una línea, evidentemente el área de la región formada por los vectores base se reduce a 0. Asimismo, si la transformación comprime el espacio a un plano, el volumen de la región se reduce a 0.

Este caso es similar a la segunda propiedad descrita anteriormente, a diferencia que en esta situación se puede reducir en más de una dimensión al dominio.

Partiendo de esta propiedad es posible definir a una matriz singular como aquella cuyo determinante es 0. En otras palabras, aquella que reduce la dimensión del dominio. Esta definición resulta útil para determinar si un conjunto de vectores es linealmente dependiente. Pues, se dedujo que una matriz singular contiene vectores que pertenecen a un mismo subespacio. Por otro lado, se puede decir que un conjunto de vectores es linealmente independiente si la matriz que forman es no singular. Es decir, si su determinante es distinta de 0.

• Si A y B son matrices equivalentes por filas donde B se obtiene de sumar una fila de A con otra multiplicada por un escalar $k$, entonces $\textrm{det}(A)=\textrm{det}(B)$

En este caso, el orden de las operaciones es importante. Puesto que si primero se multiplica el escalar "k", evidentemente la propiedad 4 descrita anteriormente tiene prioridad.

En términos geométricos, esta propiedad es similar a la primera descrita, donde el volumen o área que forman los vectores base no cambia. Pues se cumple la propiedad de simetría de las matrices equivalentes. No obstante, en este caso el signo también no cambia ya que el orden de las componentes de los vectores columna sigue siendo el mismo.

• El determinante de una matriz triangular superior es el producto de los elementos de la diagonal principal.

Para probar esta propiedad primero demostremos que se cumple para determinantes 2x2 como sigue:

\[\begin{vmatrix} a & c\\ 0 & d \end{vmatrix}=ad\]

Por inducción completa, si la propiedad se cumple para determinantes de orden $n-1$, entonces también se cumple para orden $n>2$. Por tanto, sea el determinante:

\[\begin{vmatrix} a_{11} & a_{12} & a_{13} & ... & a_{1n}\\ 0 & a_{22} & a_{23} & ... & a_{2n}\\0 & 0 & a_{33} &...& a_{3n} \\ \vdots & \vdots & \vdots & ... & \vdots \\ 0 & 0 & 0 & ... & a_{nn} \end{vmatrix}\]

El desarrollo de los cofactores desde el elemento $a_{11}$ hasta todos los elementos de la columna respectiva es

\[...=a_{11}\begin{vmatrix} a_{22} & a_{23} & ... & a_{2n}\\ 0 & a_{33} & ... & a_{3n} \\ \vdots & \vdots & ... & \vdots \\ 0 & 0 & ... & a_{nn} \end{vmatrix}\]

Si suponemos $n=3$, la submatriz recae a dimensión $n-1=2$, y como se probó que la propiedad es cierta para un determinante de esta dimensión, se puede decir que:

\[...=a_{11}\cdot (a_{22}\cdot a_{33}...a_{nn})\]

Cumpliéndose así la propiedad para un determinante de dimensión n. 

Mediante las interpretaciones geométricas de estas propiedades, se puede intuir que también funcionan para columnas. Sin embargo, es costumbre utilizar las filas para conservar el comportamiento del espacio columna.

Ejemplo: Calcular el determinante

\[\small \left | A \right |=\begin{vmatrix} 2 & 0 & 1 & 4\\ 3 & 2 & -4 & -2\\ 2 & 3 & -1 & 0\\ 11 & 8 & -4 & 6 \end{vmatrix}\]

Aplicando las propiedades se tiene:

\[\small \begin{vmatrix} 2 & 0 & 1 & 4\\ 3 & 2 & -4 & -2\\ 2 & 3 & -1 & 0\\ 11 & 8 & -4 & 6 \end{vmatrix}_{F3-F1}=\begin{vmatrix} 2 & 0 & 1 & 4\\ 3 & 2 & -4 & -2\\ 0 & 3 & -2 & -4\\ 11 & 8 & -4 & 6 \end{vmatrix}_{2F2}=\frac{1}{2}\begin{vmatrix} 2 & 0 & 1 & 4\\ 6 & 4 & -8 & -4\\ 0 & 3 & -2 & -4\\ 11 & 8 & -4 & 6 \end{vmatrix}_{F2-3F2}\]

\[\small \frac{1}{2}\begin{vmatrix} 2 & 0 & 1 & 4\\ 0 & 4 & -11 & -16\\ 0 & 3 & -2 & -4\\ 11 & 8 & -4 & 6 \end{vmatrix}_{2F4}=\frac{1}{4}\begin{vmatrix} 2 & 0 & 1 & 4\\ 0 & 4 & -11 & -16\\ 0 & 3 & -2 & -4\\ 22 & 16 & -8 & 12 \end{vmatrix}_{F4-11F1}=\frac{1}{4}\begin{vmatrix} 2 & 0 & 1 & 4\\ 0 & 4 & -11 & -16\\ 0 & 3 & -2 & -4\\ 0 & 16 & -19 & -32 \end{vmatrix}_{F4-4F2}\]

\[\small \frac{1}{4}\begin{vmatrix} 2 & 0 & 1 & 4\\ 0 & 4 & -11 & -16\\ 0 & 3 & -2 & -4\\ 0 & 0 & 25 & 32 \end{vmatrix}_{4F3}=\frac{1}{16}\begin{vmatrix} 2 & 0 & 1 & 4\\ 0 & 4 & -11 & -16\\ 0 & 12 & -8 & -16\\ 0 & 0 & 25 & 32 \end{vmatrix}_{F3-3F2}=\frac{1}{16}\begin{vmatrix} 2 & 0 & 1 & 4\\ 0 & 4 & -11 & -16\\ 0 & 0 & 25 & 32\\ 0 & 0 & 25 & 32 \end{vmatrix}\]

Se sabe que al aplicar la propiedad 4 el determinante se altera, por lo que para evitar esto se realiza el despeje:

\[\left | A \right |=\frac{1}{k}\left | B \right |\]

Otra manera de verlo es como si se factorizara el valor "1/k" a toda la fila. Asimismo, note que al final se obtuvieron dos filas iguales y por tanto $\textrm{det}(A)=0$.

Inversa de una matriz no singular

Se mencionó que una matriz es no singular si su determinante es distinto de 0, cuyo significado geométrico se entiende como aquella matriz que conserva la dimensión del dominio. Con este enunciado se puede determinar con mayor facilidad si una matriz es invertible. Pues se dice que una matriz A tiene inversa si $\textrm{det}(A)\neq 0$.

Esta relación del determinante y una matriz invertible tiene mucho sentido si observa la imagen mostrada en la propiedad 5 de los determinantes. Pues, es evidente que desde una línea recta no es posible volver a un plano mediante los vectores base de esa línea, o desde un plano no es posible volver al espacio mediante los vectores base de ese plano. Debido a esta relación, el determinante puede ser una herramienta alternativa para hallar la inversa de una matriz.

Matriz adjunta

Se sabe que se puede obtener un cofactor por cada elemento de una matriz y si armamos una nueva matriz con dichos cofactores obtenemos lo que se conoce como matriz de cofactores:

\[\textrm{Cof}(A)=\begin{bmatrix} \left | M_{11} \right | & -\left | M_{12} \right | & ... & (-1)^{1+n}\left | M_{1n}\right |\\ -\left | M_{21} \right | & \left | M_{22} \right | & ... & (-1)^{2+n}\left | M_{2n} \right |\\ \vdots & \vdots & ... & \vdots \\ (-1)^{n+1}\left | M_{n1} \right | & (-1)^{n+2}\left | M_{n2} \right | & ... & (-1)^{m+n}\left | M_{mn} \right | \end{bmatrix}\]

Ejemplo: calcular la matriz de cofactores de:

\[A=\begin{bmatrix} 1 & 0 & -2\\ 3 & 1 & 4\\ 5 & 2 & -3 \end{bmatrix}\]

Los cofactores son:

\[\small M_{11}=\begin{vmatrix} 1 & 4\\ 2 & -3 \end{vmatrix}=-11,\, M_{12}=-\begin{vmatrix} 3 & 4\\ 5 & -3 \end{vmatrix}=29,\, M_{13}=\begin{vmatrix} 3 & 1\\ 5 & 2 \end{vmatrix}=1\]

\[\small M_{21}=-\begin{vmatrix} 0 & -2\\ 2 & -3 \end{vmatrix}=-4,\, M_{22}=\begin{vmatrix} 1 & -2\\ 5 & -3 \end{vmatrix}=7,\, M_{23}=-\begin{vmatrix} 1 & 0\\ 5 & 2 \end{vmatrix}=-2\]

\[\small M_{31}=\begin{vmatrix} 0 & -2\\ 1 & 4 \end{vmatrix}=2,\, M_{32}=-\begin{vmatrix} 1 & -2\\ 3 & 4 \end{vmatrix}=-10,\, M_{33}=\begin{vmatrix} 1 & 0\\ 3 & 1 \end{vmatrix}=1\]

Por tanto, la matriz de cofactores es:

\[\textrm{Cof}(A)=\begin{bmatrix} -11 & 29 & 1\\ -4 & 7 & -2\\ 2 & -10 & 1 \end{bmatrix}\]

Recuerde la fórmula para el determinante de orden 3 deducida en términos de los cofactores. Se puede notar que es similar a multiplicar la fila de $A$ con la fila de $\textrm{Cof}(A)$ y como es posible calcular el determinante desde cualquier elemento de $A$ por cofactores, se puede realizar la siguiente operación:

\[A[\textrm{Cof} (A)]^{T}=\begin{bmatrix} 1 & 0 & -2\\ 3 & 1 & 4\\ 5 & 2 & -3 \end{bmatrix}\begin{bmatrix} -11 & -4 & 2\\ 29 & 7 & -10\\ 1 & -2 & 1 \end{bmatrix}\]

\[...=\begin{bmatrix} -13 & 0 & 0\\ 0 & -13 & 0\\ 0 & 0 & -13 \end{bmatrix}=-13\begin{bmatrix} 1 & 0 & 0\\ 0 & 1 & 0\\ 0 & 0 & 1 \end{bmatrix}\]

Evidentemente el valor de -13 es el determinante de A. Por tanto, si esto se cumple para cualquier matriz se tiene:

\[A[\textrm{Cof(A)}]^{T}=\left | A \right |I\]

Si se despeja "A", se obtiene una nueva relación que permite calcular la inversa de una matriz

\[I[\textrm{Cof(A)}]^{T}=\left | A \right |A^{-1}I\]

\[\frac{1}{\left | A \right |}[\textrm{Cof(A)}]^{T}=A^{-1}\]

Donde a la transpuesta de la matriz de cofactores se la conoce como matriz adjunta. Por tanto, esta última expresión se la escribe como:

\[A^{-1}=\frac{1}{\textrm{det}(A) }\textrm{Adj}(A)\]

Ejemplo: Calcular mediante la adjunta, la matriz inversa de

\[A=\begin{bmatrix} a & c\\ b & d \end{bmatrix}\]

La matriz de cofactores es:

\[\textrm{Cof}(A)=\begin{bmatrix} d & -b\\ -c & a \end{bmatrix}\]

La adjunta es:

\[\textrm{Adj}(A)=\begin{bmatrix} d & -c\\ -b & a \end{bmatrix}\]

Por tanto la inversa de A es:

\[A^{-1}=\frac{1}{ad-cb}\begin{bmatrix} d & -c\\ -b & a \end{bmatrix}\]

Si bien este método se convierte en un trabajo tedioso para matrices 3x3 o superior, permite deducir lo que se conoce como la regla de cramer para resolver sistemas de ecuaciones lineales. Asimismo, nos permitió deducir una fórmula para hallar la inversa de una matriz 2x2. No obstante, para hallar la inversa de matrices de orden mayor que 3, conviene utilizar el método de Gauss-Jordan.

Ejemplo práctico 1: ¿Para qué valores de "c" son los vectores fila [-1,0,-1], [2,1,2] y [1,1,c] en $\mathbb{R}^{3}$ linealmente dependientes?

Armando la matriz que contiene a los vectores fila, se tiene:

\[A=\begin{bmatrix} -1 & 0 & -1\\ 2 & 1 & 2\\ 1 & 1 & c \end{bmatrix}\]

Para que los vectores sean linealmente dependientes la matriz debe ser singular y por tanto

\[\begin{vmatrix} -1 & 0 & -1\\ 2 & 1 & 2\\ 1 & 1 & c \end{vmatrix}=0\]

\[-\begin{vmatrix} 1 & 2\\ 1 & c \end{vmatrix}-\begin{vmatrix} 2 & 1\\ 1 & 1 \end{vmatrix}=0\]

\[-(c-2)-1=0\]

Despejando "c" se puede decir que los vectores dados son L.D. para $c=1$.

Ejemplo práctico 2: Calcular el determinante para la siguiente matriz de orden n:

\[A=\begin{bmatrix}3 & 2 & 2 & \cdots & 2 \\2 & 3 & 2 & \cdots & 2 \\2 & 2 & 3 & \cdots & 2 \\\vdots & \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\2 & 2 & 2 & \cdots & 3 \\\end{bmatrix}\]

Mediante propiedades se pueden realizar reducciones como sigue:

\[\small \begin{vmatrix}3 & 2 & 2 & \cdots & 2 \\2 & 3 & 2 & \cdots & 2 \\2 & 2 & 3 & \cdots & 2 \\\vdots & \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\2 & 2 & 2 & \cdots & 3 \\\end{vmatrix}_{f1+...+fn}=\begin{vmatrix}3+2(n-1) & 3+2(n-1) & 3+2(n-1) & \cdots & 3+2(n-1) \\2 & 3 & 2 & \cdots & 2 \\2 & 2 & 3 & \cdots & 2 \\\vdots & \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\2 & 2 & 2 & \cdots & 3 \\\end{vmatrix}_{\frac{f1}{3+2(n-1)}}\]

\[\small [3+2(n-1)]\begin{vmatrix}1 & 1 & 1 & \cdots & 1 \\2 & 3 & 2 & \cdots & 2 \\2 & 2 & 3 & \cdots & 2 \\\vdots & \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\2 & 2 & 2 & \cdots & 3 \\\end{vmatrix}_{(fn,fn-1,...,f2)-2f1}=[3+2(n-1)]\begin{vmatrix}1 & 1 & 1 & \cdots & 1 \\0 & 1 & 0 & \cdots & 0 \\0 & 0 & 1 & \cdots & 0 \\\vdots & \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\0 & 0 & 0 & \cdots & 1 \\\end{vmatrix}\]

Así se obtuvo una matriz triangular de manera que el determinante es:

\[A=3+2n-2=2n+1\]

Ejercicios:

a) Calcule los siguientes determinantes aplicando el método más conveniente.

1) $\begin{vmatrix} 2 & 2 & -3 & 1\\ 0 & 1 & 2 & -1\\ 3 & -1 & 4 & 1\\ 2 & 3 & 0 & 0 \end{vmatrix}$

2) $\begin{vmatrix} 2 & 1 & -3\\ 0 & 1 & 2\\ -4 & 2 & 1 \end{vmatrix}$

3) $\begin{vmatrix} 4 & 2 & 0\\ 1 & 1 & 2\\ -1 & 3 & 4 \end{vmatrix}$

4) $\begin{vmatrix} 0 & 0 & -1 & 3\\ 0 & 1 & 2 & 1\\ 2 & -2 & 5 & 2\\ 3 & 3 & 0 & 0 \end{vmatrix}$

b) Utilizando la matriz adjunta, calcule si es posible la inversa de las siguientes matrices

1) $A=\begin{bmatrix} 3 & 2\\ -3 & 4 \end{bmatrix}$

2) $A=\begin{bmatrix} 2 & 3\\ -1 & 2 \end{bmatrix}$

3) $A=\begin{bmatrix} 5 & -1\\ 2 & -1 \end{bmatrix}$

4) $A=\begin{bmatrix} -3 & 1\\ 2 & 0 \end{bmatrix}$

5) $B=\begin{bmatrix} 2 & 0 & 1\\ 3 & 2 & -1\\ 1 & 0 & 1 \end{bmatrix}$

6) $B=\begin{bmatrix} 6 & 2 & 8\\ -3 & 4 & 1\\ 4 & -4 & 5 \end{bmatrix}$

c) Con ayuda de gráficas en $\small \mathbb{R}^{2}$ demuestre la propiedad $\small \textrm{det}(AB)=\textrm{det(A)}\textrm{det}(B)$ y aplicando esta propiedad pruebe la veracidad de la siguiente afirmación: Si C es una matriz cuadrada de orden n invertible, entonces $\small \textrm{det}(C^{-1})=\frac{1}{\textrm{det}(C)}$