Series numéricas
La serie telescópica
Este tipo de series es de la forma:
\[\sum_{k=1}^{n}(a_{k}-a_{k+1})=(a_{1}-a_{2})+(a_{2}-a_{3})+(a_{3}-a_{4})+...+(a_{n}-a_{n+1})\]
Note que los términos se simplifican de manera que se tiene:
\[\sum_{k=1}^{n}(a_{k}-a_{k+1})=a_{1}-a_{n+1}\]
Luego, por definición de la suma de una serie se tiene que
\[\lim_{n\rightarrow \infty }\sum_{k=1}^{n}(a_{k}-a_{k+1})=\lim_{n\rightarrow \infty }(a_{1}-a_{n+1})\]
\[\sum_{k=1}^{\infty }(a_{k}-a_{k+1})=a_{1}-\lim_{n\rightarrow \infty }a_{n+1}\]
Esta entonces es la expresión para hallar la suma de una serie telescópica. Sin embargo, note que la suma existe (converge) si el límite del término $a_{n+1}$ existe.
Ejemplos: Si converge, hallar la suma de las siguientes series
- $\sum_{k=1}^{\infty }\left (\frac{1}{k}-\frac{1}{k+1} \right )$
Reconociendo los términos de la serie telescópica se tiene
\[a_{k}=\frac{1}{k},\,\, \, \, \, \, a_{k+1}=\frac{1}{k+1}\]
Por tanto:
\[\sum_{k=1}^{\infty }\left (\frac{1}{k}-\frac{1}{k+1} \right )=1-\lim_{n\rightarrow \infty }\frac{1}{n+1}=1\]
Entonces, la serie converge y la suma es 1.
- $\sum_{k=1}^{\infty }\frac{4}{k(k+2)}$
En este caso es necesario expresar la serie en la forma estándar de la serie telescópica usando operaciones algebraicas. Utilizando la técnica de las fracciones parciales se tiene
\[\sum_{k=1}^{\infty }\left ( \frac{2}{k}+\frac{-2}{k+2} \right )=2\sum_{k=1}^{\infty }\left ( \frac{1}{k}-\frac{1}{k+2} \right )\]
Si $a_{k}=\frac{1}{k}$ el segundo término obedece a $a_{k+2}$. Esto indica que dicho término está "corrido" un lugar respecto a $a_{k+1}$. Por lo tanto, se puede hacer un corrimiento del primer término utilizando propiedades de sumatorias conocidas como sigue
\[2\left (\sum_{k=1}^{\infty } \frac{1}{k}-\sum_{k=1}^{\infty }\frac{1}{k+2} \right )=2\left (1+\sum_{k=2}^{\infty}\frac{1}{k}-\sum_{k=1}^{\infty }\frac{1}{k+2} \right )\]
Sin embargo, ahora las dos sumatorias inician en valores diferentes de "k", por lo que utilizando el cambio de índice en la segunda sumatoria se tiene
\[2\left (1+\sum_{k=2}^{\infty}\frac{1}{k}-\sum_{k=2}^{\infty }\frac{1}{(k-1)+2} \right )=2\left [1+\sum_{k=2}^{\infty}\left (\frac{1}{k}-\frac{1}{k+1} \right ) \right ]\]
Así la serie se escribió como una serie telescópica, de manera que la suma será
\[\sum_{k=1}^{\infty }\frac{4}{k(k+2)}=2\left (1+\frac{1}{2}-\lim_{n\rightarrow \infty }\frac{1}{n+1} \right )=3\]
Por tanto la serie converge y la suma es 3.
La serie geométrica
Note que si se resta $S_{n}$ con $rS_{n}$ se simplifican los términos obteniendo:
\[S_{n}-rS_{n}=a-ar^{n+1}\]
\[S_{n}=\frac{a(1-r^{n+1})}{1-r},\, r\neq 1\]
Por tanto
\[\lim_{n\rightarrow \infty }S_{n}=\lim_{n\rightarrow \infty }\frac{a(1-r^{n+1})}{1-r}\]
Note que se tiene una sucesión exponencial. No obstante, su convergencia ya fue analizada, de manera que la convergencia de la serie geométrica es:
\[\lim_{n\rightarrow \infty }\frac{a(1-r^{n+1})}{1-r}=\left\{\begin{matrix} si\, -1< r< 1\, converge\, a\, \frac{a}{1-r} \\ si\, r< -1\vee r> 1,\, diverge\\ \end{matrix}\right.\]
En resumen:
\[\sum_{k=0}^{\infty }ar^{k}=\frac{a}{1-r},\, \left | r \right |< 1\]
Cabe mencionar que $a$ es el primer término de la serie.
Ejemplos: Si converge, hallar la suma de las siguientes series
- $\sum_{k=0}^{\infty }\frac{4^{k+1}}{5^{k}}$
- $\sum_{k=1}^{\infty }\frac{3^{2k}}{2^{k}7^{k+2}}$
Criterios de convergencia
Criterio del término n-ésimo
Criterio de la integral
- La serie armónica $\sum_{k=1}^{\infty }\frac{1}{k}$
Para aplicar el criterio de la integral $f(x)$ debe ser decreciente en $x\geq 1$, por lo que la sucesión $f(n)$ debe ser monótona decreciente. Esta característica es análoga a la definición de función decreciente, por tanto se debe cumplir que
Resolviendo la inecuación
Se llegó a un resultado verdadero, el cuál indica que la inecuación es cierta para cualquier valor de $k$. Por ende, la sucesión es monótona decreciente. Por otro lado, $f(x)$ también debe ser positiva. No obstante se sabe que $f(x)=\frac{1}{x}$ cumple esta característica en todos los reales positivos, por lo que es posible aplicar el criterio de la integral como sigue:
La integral diverge por lo que la serie armónica también diverge.
- La serie p $\sum_{k=1}^{\infty }\frac{1}{k^{p}},\, p> 1$
Analizando si la sucesión es monótona decreciente se tiene
\[\frac{1}{k^{p}}> \frac{1}{(k+1)^{p}}\]
\[\frac{1}{k^{p}}-\frac{1}{(k+1)^{p}}> 0\]
\[\frac{(k+1)^{p}-k^{p}}{k^{p}(k+1)^{p}}> 0\]
\[(k+1)^{p}-k^{p}> 0\]
De esta manera, para cualquier valor de "p" positivo y $k\geq 1$, la igualdad se cumple por lo que la sucesión es monótona decreciente. Luego, como la función es positiva para todos los reales positivos, aplicando el criterio de la integral se tiene
\[\int_{1}^{\infty }\frac{1}{x^{p}}\, dx=\lim_{t\rightarrow \infty }\int_{1}^{t}\frac{1}{x^{p}}\, dx\]
Como $p>1$ la integral es
\[\lim_{t\rightarrow \infty }\frac{x^{-p+1}}{-p+1}\left.\begin{matrix} \\ \\ \end{matrix}\right|_{1}^{t}=\frac{1}{1-p}\lim_{t\rightarrow \infty }\left ( \frac{1}{t^{(p-1)}}-1 \right )=\frac{1}{p-1}\]
La integral converge, por lo que la serie p cuando "p" es mayor que 1 también converge. Note que si $p=1$ se tiene la serie armónica la cuál ya se concluyo que diverge. Por otro lado si $0<p<1$, la potencia $p-1$ obtenida en la antiderivada será negativa de manera que la integral diverge. Cabe mencionar que el resultado de la integral impropia no es la suma de la serie, solo es un indicador de su convergencia.
Criterio de comparación
- Si $\sum_{k=1}^{\infty }b_{n}$ converge, entonces $\sum_{k=1}^{\infty }a_{n}$ converge.
- Si $\sum_{k=1}^{\infty }a_{n}$ diverge, entonces $\sum_{k=1}^{\infty }b_{n}$ diverge.
Criterio del cociente
Sea $\sum_{k=1}^{\infty }a_{k}$ una serie con términos no nulos.
- La serie converge absolutamente cuando $\lim_{n\rightarrow \infty }\left | \frac{a_{n+1}}{a_{n}} \right |< 1$
- La serie diverge cuando $\lim_{n\rightarrow \infty }\left | \frac{a_{n+1}}{a_{n}} \right |> 1$ o $\lim_{n\rightarrow \infty }\left | \frac{a_{n+1}}{a_{n}} \right |= \infty$
- El criterio del cociente no es concluyente cuando $\lim_{n\rightarrow \infty }\left | \frac{a_{n+1}}{a_{n}} \right |= 1$
d'Alembert se dio cuenta que la razón de una serie geométrica puede ayudar a determinar la convergencia de otras series. Para demostrar el primer punto del criterio, se supone que $\lim_{n\rightarrow \infty }\left | \frac{a_{n+1}}{a_{n}} \right |=L< 1$. Entonces, para empezar, se elige un número cualquiera $q$ que se encuentre entre "L" y 1, cumpliendo que $\left | \frac{a_{n+1}}{a_{n}} \right |< q$ pero no para cualquier $n$. Existirá un subíndice $r$ donde la sucesión sea igual a $q$, por lo que resulta lógico pensar que para cualquier $n\geq r$ el cociente se cumplirá. Luego
\[\left | a_{n+1}\right |< q\left | a_{n} \right |\]
\[\left | a_{r+1}\right |< q\left | a_{r} \right |\]
Note que la desigualdad se cumple con $r$ debido a la condición mencionada. Asimismo, se cumple para cualquier término que cumpla dicha condición, de manera que:
$\left | a_{r+2}\right |< q\left | a_{r+1} \right |$
Note que el segundo miembro de la desigualdad es el mismo que el primer miembro de la anterior salvo que no se encuentra "q", de manera que si se la multiplica se tiene que
\[\left | a_{r+2}\right |< q\left | a_{r+1} \right |< q^{2}\left | a_{r} \right |\]
Repitiendo el procedimiento
\[\left | a_{r+3}\right |< q\left | a_{r+2} \right |< q^{3}\left | a_{r} \right |\]
\[\begin{matrix} .\\ .\\ . \end{matrix}\]
\[\left | a_{r+k}\right |< q^{k}\left | a_{r} \right |,\forall k,r\epsilon \mathbb{N}\]
Por el criterio de comparación se forma la serie $\sum_{k=1}^{\infty }q^{k}\left | a_{r} \right |$. Esta es una serie geométrica la cual se puede asegurar que converge ya que $q$ es menor que 1 y mayor que 0. Por otro lado, como la serie inicia en $k=1$, la sucesión generada por $\left | a_{r+k} \right |$ se puede escribir de la forma $\sum_{m=r+1}^{\infty }\left | a_{m} \right |$. Asimismo, esta serie se puede reescribir incluyendo los primeros términos, lo cuál no afecta la convergencia de la misma, por lo que se tiene $\sum_{m=1}^{\infty }\left | a_{m} \right |$. Entonces, por el criterio se puede asegurar que esta última serie también converge. Sin embargo, esta es la serie de una sucesión de términos positivos y la definición involucra una sucesión con términos tanto positivos como negativos. Por lo que se enuncia el siguiente teorema.
Teorema de la convergencia absoluta
Partiendo de la definición de valor absoluto se sabe que $\left | a_{k} \right |=\left | -a_{k} \right |=a_{k}$. Por lo que se puede formar la siguiente desigualdad
\[0\leq a_{k}+\left | a_{k} \right |\leq 2\left | a_{k} \right |\]
Es claro que se tiene la premisa del criterio de comparación por lo que se forman las series $\sum_{k=1}^{\infty }(a_{k}+\left | a_{k} \right |)$ y $\sum_{k=1}^{\infty }2\left | a_{k} \right |$. Suponiendo que $2\sum_{k=1}^{\infty }\left |a_{k} \right |$ converge, por el criterio de comparación $\sum_{k=1}^{\infty }(a_{k}+\left | a_{k} \right |)$ también converge. Luego, por medio de un artificio se puede decir que $a_{k}=(a_{k}+\left | a_{k} \right |)-\left | a_{k} \right |$ cuya serie resultante será
\[\sum_{k=1}^{\infty }a_{k}=\sum_{k=1}^{\infty }(a_{k}+\left | a_{k} \right |)-\sum_{k=1}^{\infty }\left | a_{k} \right |\]
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