Funciones inversas
Es posible obtener una función que describa el proceso inverso de otra con
el objetivo de encontrar un elemento del dominio que le corresponde a uno
conocido del rango. Por ejemplo en la figura se ilustra la gráfica de la
función exponencial
$f(x)=e^{x+2}$, donde se desea saber para qué valor de a se obtiene que
$f(a)=\sqrt{e}$.
La inversa nos brinda una fórmula explicita de manera que al operar f(a)
podamos obtener el valor de a. En este caso se utilizará la
función logarítmica para despejar la variable que se desea conocer reemplazando a f(x)
con "y" para mayor comodidad.
\[y=e^{x+2}\]
\[\ln y=\ln e^{x+2}\]
\[\ln y=x+2\]
\[x=\ln y-2\]
Esta fórmula explícita se puede expresar como:
\[f^{-1}(x)=\ln x-2\]
Interpretando el valor de f(a) como $x=\sqrt{e}$, se tiene:
\[f^{-1}(\sqrt{e})=\ln \sqrt{e}-2=\frac{1}{2}-2=-\frac{3}{2}\]
Entonces a=-3/2, y si comprobamos sobre la función original obtenemos:
\[f\left ( -\frac{3}{2} \right
)=e^{-\frac{3}{2}+2}=e^{\frac{1}{2}}\]
Note que el valor conocido f(a) forma parte del rango de la función
exponencial y esta pasó a ser un valor del dominio de la logarítmica y en
la comprobación, el resultado de la logarítmica pasó al dominio de la exponencial. Esto es válido para cualquier punto como
puede observar en la curva de la función inversa calculada.
Entonces se puede decir que
dada una función con dominio A y rango B, su inversa se define como
aquella que tiene dominio B y rango A.
Otras características que se pueden mencionar de la función inversa
son:
- Se refleja con la original a través de la recta $y=x$
- La operación de composición es conmutativa obteniendo la cancelación:
$(f\circ f^{-1})=(f^{-1}\circ f)=x$ si "x" es la variable
independiente
- El reciproco no es igual a la inversa $f^{-1}(x)\neq
\frac{1}{f(x)}$
Por ejemplo, comprobaremos estos hechos usando la inversa de la
función:
\[f(x)=(x-1)^{3}\]
Realizando un proceso de despeje como en el primer ejemplo se tiene:
\[f^{-1}(x)=\sqrt[3]{x}+1\]
Graficando las funciones en un mismo plano usando
transformaciones para mayor facilidad se tiene:
Aquí comprobamos el primer hecho ya que ambas curvas se reflejan respecto a
la recta $y=x$. Luego si procedemos con la composición se tiene que:
\[(f\circ f^{-1})=((\sqrt[3]{x}+1)-1)^{3}=(\sqrt[3]{x})^{3}=x\]
\[(f^{-1}\circ f)=\sqrt[3]{(x-1)^{3}}+1=(x-1)+1=x\]
Las operaciones de composición cancelan a ambas funciones por lo que se
comprueba el segundo hecho. Por último respecto al reciproco se tiene:
\[f^{-1}(x)\neq \frac{1}{f(x)}\]
\[\sqrt[3]{x}+1\neq \frac{1}{(x-1)^{3}}\]
No todas las funciones presentan inversa por ejemplo:
\[f(x)=x^{2}\]
Si intentamos calcular su inversa se obtiene:
\[f^{-1}=\sqrt{x}\]
Ahora si evaluamos los valores de -4 y 4 en la función original obtenemos
como resultado a 16. Luego, si evaluamos 16 en la función inversa solo se obtendrá 4 y no así también el -4. Por tanto, no es posible obtener todos los
valores del dominio de la función original partiendo de su inversa.
Una solución puede ser seccionar a "f" en dos diferentes intervalos
de manera que no se obtenga una misma imagen
para dos diferentes elementos del dominio como se muestra en la siguiente figura.
Note que en el intervalo de valores positivos de "x", la inversa corresponde a la función raíz de signo positivo. Del mismo modo, en el intervalo de valores negativos de "x", la inversa corresponde a la función raíz de signo negativo. Entonces, dada esta situación se menciona la siguiente condición:
Una función f posee inversa si nunca adopta el mismo valor más de una
vez. En otras palabras, "f" debe ser estrictamente creciente o
decreciente en todo su dominio, denominandose así función uno a uno. Por ende, resulta lógico decir que su inversa también es uno a uno.
Ejemplo: Estudiar el dominio y el rango para:
\[f(x)=\sqrt{\frac{1+e^{x}}{1-e^{x}}}\]
Primero hallaremos la función inversa:
\[y^{2}=\frac{1+e^{x}}{1-e^{x}}\]
\[f^{-1}=\ln \left ( \frac{x^{2}-1}{x^{2}+1} \right )\]
De acuerdo con la definición de la función inversa, si calculamos su
dominio obtendremos el rango de la función original. Entonces hallando el
dominio que se pide de f y el de su inversa, recordando resolución de
inecuaciones racionales, se tiene:
\[Df(x)=\mathbb{R}^{-}\]
\[Df^{-1}(x)=(-\infty ,-1)\cup (1,\infty )\]
Sin embargo, note que se parte de una función con raíz de índice par por lo
que la inversa debe ser seccionada y considerando que el signo fuera de la
raíz es positivo se escoge el intervalo de los valores positivos para x,
obteniendo:
\[f^{-1}(x)=\ln \left ( \frac{x^{2}-1}{x^{2}+1} \right ), (1,\infty
)\]
Por lo que el rango de la función original es:
\[Rf(x)=(1,\infty )\]
Se puede usar una graficadora para corroborar la respuesta:
Observe que la gráfica de la inversa sin seccionar no obedece a una función
uno a uno, pues se puede ver que adopta el mismo valor dos veces en todo su
dominio. También se puede comprobar visualmente si la curva corta mas de una vez a una recta
horizontal trazada sobre cualquier parte de ella. Asimismo note que el rango
de la función original tiene que coincidir con el dominio de la inversa
según la definición.
Puede ocurrir que una función sea uno a uno pero no sea posible calcular la
inversa, por ejemplo:
\[f(x)=x^{3}+x\]
Si intentamos despejar x se tiene que:
\[y=x(x^{2}+1)\]
En este punto se puede ver que no es posible realizar el despeje. No
obstante si graficamos la función se tiene que:
Se puede notar que la función es uno a uno ya que si trazamos una recta
horizontal en cualquier parte de la curva, esta solo la cortará una
vez.
Funciones trigonométricas inversas
Las
funciones trigonométricas
son periódicas, es decir que se repiten en todo su dominio sobre un
intervalo T, por lo que no son funciones uno a uno y para obtener su inversa
estas se seccionan de manera que si cumplan la condición. Por ejemplo:
\[f(x)=\sin x\]
\[x=\sin^{-1}y\]
\[f^{-1}(x)=\sin^{-1}x\]
Para que la función original tenga inversa resulta sencillo seccionarla de
la manera que muestra el gráfico siguiente
|
| \[f(x)=sin x, \left [ -\frac{\pi }{2},\frac{\pi }{2} \right ]\] |
 |
| \[f^{-1}(x)=\sin^{-1}x=\arcsin x\] |
Note que la función inversa solo permite obtener ángulos de $-\frac{\pi
}{2}$ a $\frac{\pi }{2}$, por lo que si se desea calcular ángulos fuera
del rango, es necesario realizar otras operaciones, por ejemplo:
¿A qué ángulo le corresponde el punto $P:\left ( -\frac{\sqrt{2}}{2},-\frac{\sqrt{2}}{2} \right )$?
Utilizando el primer cuadrante de la circunferencia trigonométrica podemos
conocer algunos datos útiles.
Es evidente que el punto se encuentra en el tercer cuadrante debido a
sus signos. Entonces si lo representamos en la circunferencia se
obtiene:
Entonces al punto $P:\left ( -\frac{\sqrt{2}}{2},-\frac{\sqrt{2}}{2}
\right )$ le corresponde el ángulo $\theta =\frac{5\pi }{4}$. Recordando
que
el seno es la ordenada de un punto coordenado y el coseno es la
abscisa, si utiliza la calculadora para calcular el "arcsen" de la
ordenada del punto P, esta lo confundirá con un ángulo de cuarto
cuadrante, ya que el rango de esta función solo se define en el
intervalo $\left [ -\frac{\pi }{2},\frac{\pi }{2} \right ]$. Asimismo si
calcula el "arccos" de la abscisa del punto P, lo confundirá con un
ángulo se segundo cuadrante debido a que su rango se define
en $\left [0,\pi \right ]$. Esta última función mencionada se muestra en el siguiente
gráfico seguido de la función inversa de la tangente.
 |
| \[g(x)=\cos^{-1}x=\arccos x\] \[Dg(x)=[-1,1]\] |
 | |
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Ejemplo aplicativo: Calcular el dominio y rango de la función en donde
presenta inversa:
\[f(x)=3\sin (2x+1)\]
Hallando la expresión de la inversa se tiene:
\[f^{-1}(x)=\frac{1}{2}\left [\sin^{-1}\left ( \frac{x}{3} \right )-1
\right ]\]
Basándose en el dominio de la inversa del seno se tiene:
\[-1\leq \frac{x}{3} \leq 1\]
\[-3\leq x \leq 3\]
Obteniendo así el rango de la función. Luego, para obtener el dominio
donde se define la inversa solo se debe evaluar los extremos del rango
obtenido sobre la misma.
\[f^{-1}(-3)=-\left ( \frac{\pi }{4}+\frac{1}{2} \right )\]
\[f^{-1}(3)=\frac{\pi }{4}-\frac{1}{2}\]
Entonces:
\[Df(x)=\left [ -\left ( \frac{\pi }{4}+\frac{1}{2} \right ),\left (
\frac{\pi }{4}-\frac{1}{2} \right )\right ]\]
\[Rf(x)=[-3,3]\]
Resolución de ecuaciones trigonométricas
Recordando un poco de ecuaciones trigonométricas, se sabe que presentan infinitas soluciones. Esto resulta aún más lógico después de analizar las funciones trigonométricas. Asimismo, se sabe que el conjunto de soluciones de una ecuación que compone de senos y cosenos va acompañado de $2n\pi$ y en el caso de tangentes, $n\pi$. Esto ya se puede justificar claramente con el conocimiento que las funciones seno y coseno se repiten cada $2n\pi$ y que la función tangente se repite cada $n\pi$.
Ejemplos:
- Resolver $2\sin x-1=0$
\[\sin x=\frac{1}{2}\]
\[x=\arcsin \left (\frac{1}{2} \right )\]
\[x=\frac{\pi }{6}\]
Si se observa la circunferencia trigonométrica es notable que $\sin x$ es $1/2$ en el primer y segundo cuadrante. La solución obtenida por la función $\arcsin x$ se encuentra en el primer cuadrante, por lo que para hallar la del segundo cuadrante se puede operar como muestra la figura
 |
| La solución del segundo cuadrante es $x=\frac{5\pi }{6}$ |
No obstante recuerde que una ecuación trigonométrica tiene infinitas soluciones, por lo que dichas soluciones se anotan en el siguiente conjunto solución
\[x=\left \{ \frac{\pi }{6}+2n\pi ,\: \frac{5\pi }{6}+2n\pi \right \},\: n\epsilon \mathbb{Z}\]
- Resolver $2\cos x-1=0$
\[\cos x=\frac{1}{2}\]
\[x=\arccos \left ( \frac{1}{2} \right )\]
\[x=\frac{\pi }{3}\]
Si se observa la circunferencia trigonométrica es notable que $\cos x$ es $1/2$ en el primer y cuarto cuadrante. La solución obtenida por la función $\arccos x$ se encuentra en el primer cuadrante, por lo que para hallar la del cuarto cuadrante se puede operar como muestra la figura
 |
| La solución del cuarto cuadrante es $x=\frac{5\pi }{3}$ |
Luego el conjunto solución es
\[x=\left \{ \frac{\pi }{3}+2n\pi ,\: \frac{5\pi }{3}+2n\pi \right \},\: n\epsilon \mathbb{Z}\]
- Resolver $2\sin x=-1$
\[\sin x=-\frac{1}{2}\]
\[x=\arcsin \left ( -\frac{1}{2}\right )\]
\[x=-\frac{\pi }{6}\]
Es mucho más cómodo que las primeras soluciones de una ecuación trigonométrica se encuentren dentro del intervalo $[0,2\pi]$ (en una ecuación que comprende senos y cosenos) o $[0,\pi]$ (en una ecuación que comprende tangentes), por lo que en lugar de tomar el valor negativo se usará el equivalente. Entonces, note que la solución obtenida por la función $\arcsin x$ se encuentra en el cuarto cuadrante, por lo que el valor equivalente es $x=2\pi-\frac{\pi}{6}=\frac{11\pi}{6}$. Luego, la segunda solución se encuentra en el tercer cuadrante, por lo que se puede operar como muestra la siguiente figura
 |
| Reflejando a $-\pi/6$ de manera que sea positivo, la solución del tercer cuadrante es $x=\frac{7\pi }{6}$ |
Luego, el conjunto solución es
\[x:\left \{ \frac{7\pi }{6}+2n\pi ,\: \frac{11\pi }{6}+2n\pi \right \},\: n\epsilon \mathbb{Z}\]
Ecuación vectorial de funciones inversas
Sea una función f(x) estrictamente creciente o decreciente en todo su
dominio cuya ecuación vectorial se da por:
\[r(t)=t\mathbf{i}+f(t)\mathbf{j}\]
Se puede decir que u(t), dado por:
\[u(t)=f(t)\mathbf{i}+t\mathbf{j}\]
Es la
ecuación vectorial que representa la función inversa de f(x).
Por ejemplo. Usando funciones vectoriales, graficar la función dada
con su inversa, y compruebe utilizando la recta y=x.
\[f(x)=x^{3}\]
Parametrizando
la variable independiente se tiene:
\[r(t)=t\mathbf{i}+t^{3}\mathbf{j}\]
Luego, de acuerdo con el enunciado de la
ecuación vectorial
para la inversa se tiene que:
\[u(t)=t^{3}\mathbf{i}+t\mathbf{j}\]
Expresando la ecuación vectorial de la recta y=x se tiene:
\[v(t)=t\mathbf{i}+t\mathbf{j}\]
Por último, el gráfico siguiente muestra las curvas que describen las
funciones vectoriales obtenidas.
Resulta sencillo determinar la dirección sin utilizar vectores ya que el
parámetro "t" representa a uno de los ejes dependiendo de la curva. Para
r(t), la dirección se da a medida que aumenta los valores sobre el eje "i"
y para u(t), la dirección se da a medida que aumenta los valores sobre el
eje "j". Así ambas funciones van en el mismo sentido. Sin embargo en otros
casos pueden ir en sentidos contrarios. Asimismo, note que r(t) se refleja
con u(t) respecto a la recta v(t). Comprobando así gráficamente que las
curvas son inversas. Esto resulta útil para las funciones uno a uno donde
la inversa no es posible calcularla despejando la variable
independiente.
Ejercicios:
a) Para las siguientes funciones: (1) pruebe que f es uno a uno usando su gráfica, (2) calcule la inversa si f es uno a uno, (3) compruebe algebraicamente y gráficamente su respuesta
1) $f(x)=\frac{1}{x^{2}+1}$
2) $f(x)=3^{-x}+2$
3) $f(x)=\ln (x+2)$
4) $f(x)=\left | (x+2)^{3} \right |$
5) $f(x)=\left\{\begin{matrix} \sqrt{x-1}, &x\geq 1 \\ x-1,&x<
1 \end{matrix}\right.$
b) Utilice ecuaciones vectoriales para representar gráficamente la función dada con su inversa
1) $f(x)=\ln (x-2)+x$
2) $f(x)=e^{-x}-x$
3) $f(x)=x+\sqrt{x}$
c) Calcule el conjunto solución de las siguientes ecuaciones trigonométricas
1) $3\cos x+3=2\sin ^{2}x$
2) $\cos x+1=\sin ^{2}x$
3) $\cos (3x)=\frac{1}{2}$
4) $\sin x-2\sin x\cos x=0$
5) $2\cos x\sin x+\cos x=0$
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