Representación en serie de una función compleja
Sucesiones complejas
La noción de sucesión compleja es una adaptación directa del concepto de
sucesión real:
Una sucesión compleja $\left\{z_{n}\right\}$ es una asignación de un número complejo $z_{n}$ a cada número natural "n".
La convergencia de sucesiones complejas también está modelada a partir de
la convergencia de sucesiones reales.
La sucesión compleja $\left\{z_{n}\right\}$ converge a un número L si dado cualquier número positivo $\varepsilon$ existe un número positivo "N" tal que.
\[|z_{n}-L|<\varepsilon\:\textrm{Si}\:n\geq N\]
Esto significa que podemos hacer cada término $z_{n}$
tan cerca como queramos de "L" eligiendo "n" al menos tan grande como algún
número "N". Dicho de otra manera, se debe cumplir que
\[\displaystyle\lim_{n\to\infty}z_{n}=L\]
Debido a la
definición de límite de una función compleja, se puede decir que cada término de la sucesión se acerca a "L" en un
disco abierto o
vecindad
"D".
Cabe mencionar que si la sucesión no converge para ningún número,
entonces decimos que la sucesión diverge.
Ejemplo: Si la sucesión
$\left\{\frac{1+2n^{2}}{n^{2}}-\frac{n-1}{n}i\right\}$
converge, halle el límite
Calculando el límite como se conoce en números reales se tiene
\[\displaystyle\lim_{n\to\infty}\left(\frac{1+2n^{2}}{n^{2}}-\frac{n-1}{n}i\right)=\displaystyle\lim_{n\to\infty}\left(\frac{1}{n^{2}}+2-i+\frac{1}{n}i\right)=2-i\]
el límite existe y por ende la sucesión converge.
Serie de números complejos
Consideremos una serie compleja $\sum_{n=1}^{\infty}c_{n}$. La n-ésima suma parcial de la serie es la suma finita $S_{n}$
y la sucesión $\left\{S_{n}\right\}$ es la sucesión de sumas parciales de la serie compleja. Ahora si $c_{n}=a_{n}+ib_{n}$, entonces
\[S_{n}=\sum_{n=1}^{N}a_{n}+i\sum_{n=1}^{N}b_{n}\]
de manera que $\left\{S_{n}\right\}$
converge si, y solo si las sumas parciales reales $\sum_{n=1}^{N}a_{n}$ y $\sum_{n=1}^{N}b_{n}$ convergen conforme N tiende a infinito. En escencia si $\sum_{n=1}^{\infty}a_{n}=A$ y $\sum_{n=1}^{\infty}b_{n}=B$ entonces
\[\sum_{n=1}^{\infty}c_{n}=A+iB\]
Por tanto, es posible estudiar cualquier serie de números complejos
considerando dos series numéricas reales, para las cuales cualquiera
de los criterios de convergencia son válidos.
Ejemplo: Si converge, hallar la suma de la serie
\[\sum_{n=1}^{\infty}z^{n}\]
Evidentemente esta es la serie geométrica conocida en los números reales,
por lo que se procede a hallar la suma con la misma estrategia:
Sea
\[S_{n}=\sum_{n=1}^{N}z^{n}=z+z^{2}+z^{3}+...+z^{N-1}+z^{N}\]
entonces
\[zS_{n}=z^{2}+z^{3}+...+z^{N}+z^{N+1}\]
si se resta miembro a miembro, la mayoria de los términos se cancelan y
queda
\[S_{n}-zS_{n}=z-z^{N+1}\]
Entonces para $z\neq 1$
\[S_{n}=\frac{z}{1-z}-\frac{1}{1-z}z^{N+1}\]
Por último se tiene el límite
\[\displaystyle\lim_{N\to\infty}\sum_{n=1}^{N}z^{n}=\frac{z}{1-z}-\displaystyle\lim_{N\to\infty}\frac{z^{N+1}}{1-z}\]
No obstante "z" es un número complejo y no resulta sencillo determinar los
valores de "N" para los que el límite exista. Sin embargo, si se sabe que su
módulo es un número real entonces $\lim_{N\to \infty}|z|^{N+1}=0$ si $|z|<1$. Concluyendo así que la serie converge dentro de un disco abierto de radio
1 cuya suma es $S=\frac{1}{1-z}$.
En términos generales
\[\sum_{n=0}^{\infty}z^{n}=\frac{1}{1-z}\]
o también
\[\sum_{n=0}^{\infty}(-1)^{n}z^{n}=\frac{1}{1+z}\]
son válidas en el disco $|z|<1$
Series de potencias en $\mathbb{C}$
Una serie de potencias es una serie de la forma
\[\sum_{n=0}^{\infty}c_{n}(z-z_{0})^{n}\]
donde $z_{0}$ es el centro de la serie y cada $c_{n}$ es un coeficente, ambos números complejos dados.
Como es posible utilizar cualquiera de los criterios de convergencia
conocidos de los números reales, resulta conveniente aplicar el
criterio del cociente como sigue:
\[\displaystyle\lim_{n\to\infty}\left|\frac{c_{n+1}(z-z_{0})^{n+1}}{c_{n}(z-z_{0})^{n}}\right|=\displaystyle\lim_{n\to\infty}\left|\frac{c_{n+1}}{c_{n}}(z-z_{0})\right|\]
\[\displaystyle\lim_{n\to\infty}\left|\frac{c_{n+1}}{c_{n}}\right||z-z_{0}|\]
de manera que se puede decir que la serie converge si
\[\displaystyle\lim_{n\to\infty}\left|\frac{c_{n+1}}{c_{n}}\right||z-z_{0}|<1\]
o también
\[|z-z_{0}|<\frac{1}{L},\:\textrm{donde }\,
L=\displaystyle\lim_{n\to\infty}\left|\frac{c_{n+1}}{c_{n}}\right|\]
denominando así a $R=\frac{1}{L}$
como radio de convergencia
Ejemplo: Grafique el dominio de convergencia de la
serie
\[\sum_{n=0}^{\infty}\frac{(2n)!}{(n+2)(n!)^{2}}(z-i)^{2n}\]
Calculando el límite del criterio del cociente se tiene
\[\displaystyle\lim_{n\to\infty}\left|\frac{\frac{[2(n+1)]!}{(n+3)[(n+1)!]^{2}}}{\frac{(2n)!}{(n+2)(n!)^{2}}}\right|=\displaystyle\lim_{n\to\infty}\left|\frac{\frac{(2n+2)(2n)!}{(n+3)[(n+1)n!]^{2}}}{\frac{(2n)!}{(n+2)(n!)^{2}}}\right|=\displaystyle\lim_{n\to\infty}\left|\frac{2(n+2)}{(n+3)(n+1)}\right|\]
\[L=2\]
de modo que el radio de convergencia es $R=\frac{1}{2}$
y por tanto el disco donde converge la serie es $|z-i|<\frac{1}{2}$
Serie de Taylor y Maclaurin en $\mathbb{C}$
Considere una función compleja "f"
analítica
en un conjunto simplemente conexo $|z-z_{0}|<R$
y una circunferencia "C" contenida en ese conjunto. Evidentemente "f" será
analítica dentro y sobre "C" y si consideramos un complejo "w" como punto
frontera de C (ver figura), se puede expresar una
integral de Cauchy
de la forma:
\[f(z)=\frac{1}{2\pi i}\oint_{C} \frac{1}{w-z}f(w) \mathrm{d}z\]
Donde "z" es cualquier punto interior a "C".
Observe que una parte del integrando tiene la forma de la suma de una seria
geométrica, por lo que, en el dominio simplemente conexo
planteado se puede escribir:
\[\frac{1}{w-z}=\frac{1}{w-z-z_{0}+z_{0}}=\frac{1}{w-z_{0}-(z-z_{0})}=\frac{1}{w-z_{0}}\left(\frac{1}{1-\frac{z-z_{0}}{w-z_{0}}}\right)\]
\[\frac{1}{w-z}=\frac{1}{w-z_{0}}\sum_{n=0}^{\infty}\left(\frac{z-z_{0}}{w-z_{0}}\right)^{n},\:\left|\frac{z-z_{0}}{w-z_{0}}\right|<1\]
de modo que reemplazando en la integral e incorporando en la sumatoria se
tiene
\[f(z)=\frac{1}{2\pi i}\oint_{C}\frac{1}{w-z_{0}}
\sum_{n=0}^{\infty}\left(\frac{z-z_{0}}{w-z_{0}}\right)^{n} f(w)
\mathrm{d}z\]
\[f(z)=\sum_{n=0}^{\infty}\frac{1}{2\pi
i}\left(\oint_{C}\frac{f(w)}{(w-z_{0})^{n+1}}\mathrm{d} z\right)
(z-z_{0})^{n}\]
Note que se obtuvo la
segunda fórmula integral de Cauchy de modo que:
\[f(z)=\sum_{n=0}^{\infty}\frac{f^{(n)}(z_{0})}{n! }(z-z_{0})^{n}\]
siendo esta la serie de Taylor centrado en $z_{0}$
y convergente en el dominio $|z-z_{0}|<R$.
Algunos puntos a mencionar son:
- La serie de Taylor parte de la integral de Cauchy, por lo que "f" debe ser analítica en el dominio de convergencia.
- Si la serie de Taylor está centrada en $z_{0}=0$, esta se convierte en un caso especial denominado serie de Maclaurin.
- La similitud con la serie de Taylor y Maclaurin de los números reales es muy evidente, por lo que funciones enteras como la exponencial o las trigonométricas tienen la misma representación en serie de potencias y son convergentes para todo $\mathbb{C}$:
\[e^{z}=\sum_{n=0}^{\infty}\frac{z^{n}}{n!}\]
\[\sin z=\sum_{n=0}^{\infty}\frac{(-1)^{n}z^{2n+1}}{(2n+1)!}\]
\[\cos z=\sum_{n=0}^{\infty}\frac{(-1)^{n}z^{2n}}{(2n)!}\]
Ejemplos: Desarrollar en serie de Taylor:
- $f(z)=\frac{z-2i}{z+2i}$ alrededor de $z_{0}=2i$
Simplificando la función se tiene
\[ f(z)=\frac{z+2i-4i}{z+2i}=1-4i\left(\frac{1}{z+2i}\right)\]
de manera que la derivada n-ésima de la función racional restante se calcula como sigue
\[ g(z)=\frac{1}{z+2i}\]
\[ g'(z)=-\frac{1}{(z+2i)^{2}}\]
\[ g''(z)=\frac{2}{(z+2i)^{3}}\]
\[ g'''(z)=-\frac{6}{(z+2i)^{4}}\]
\[ g^{n}(z)=\frac{(-1)^{n}n!}{(z+2i)^{n+1}}\]
de modo que evaluando en 2i se obtiene
\[ g^{n}(2i)=\frac{(-1)^{n}n!}{(4i)^{n+1}}=a_{n}\]
Así entonces, por medio de la definición de la serie de Taylor, el desarrollo de "f" en serie de potencias es
\[f(z)=1-\sum_{n=0}^{\infty}\frac{(-1)^{n}}{(4i)^{n}}(z-2i)^{n}=\sum_{n=1}^{\infty}\left(\frac{z-2i}{4i}\right)^{n}(-1)^{n+1}\]
El dominio de convergencia se obtiene mediante el criterio del cociente como sigue
\[\displaystyle\lim_{n\to\infty}\left|\frac{\frac{(z-2i)^{n+1}}{(4i)^{n+1}}}{\frac{(z-2i)^{n}}{(4i)^{n}}}\right|=\displaystyle\lim_{n\to\infty}\left|\frac{z-2i}{4i}\right|<1\]
\[|z-2i|<4\]
|
| El polo de "f" resulta ser un punto frontera del dominio de convergencia. Esto es consecuencia de la integral de Cauchy el cual puede notarlo en la demostración de la serie de Taylor |
- $f(z)=\frac{3z-1}{2z+1}$ alrededor de $z_{0}=3-2i$
Otra forma de desarrollar en serie de Taylor, que puede ahorrar el trabajo de derivar "n" veces, es transformar "f" en la forma de la suma de una serie geométrica como sigue:
\[f(z)=\frac{3z-1}{2z+1}=\frac{3}{2}-\frac{5}{2}\left(\frac{1}{2z+1}\right)\]
\[f(z)=\frac{3}{2}-\frac{5}{4}\left[\frac{1}{z-(3-2i)+\frac{7}{2}-2i}\right]=\frac{3}{2}-\frac{5}{4\left(\frac{7}{2}-2i\right)}\left[\frac{1}{1+\frac{z-(3-2i)}{\frac{7}{2}-2i}}\right]\]
Así entonces, la serie de potencias para "f" se desarrolla de la siguiente manera
\[f(z)=\frac{3}{2}-\frac{5}{4}\sum_{n=0}^{\infty}\frac{(z-3+2i)^{n}}{\left(\frac{7}{2}-2i\right)^{n+1}}(-1)^{n}\]
cuyo dominio de convergencia viene dada de la serie geométrica
\[\left|\frac{z-3+2i}{\frac{7}{2}-2i}\right|<1\rightarrow|z-3+2i|<\frac{\sqrt{65}}{2}\]
- $f(z)=\frac{5z-14}{z^{2}-5z+4}$ alrededor de $z_{0}=-i$
En este caso resulta conveniente expandir la función en una suma de fracciones parciales como sigue
\[f(z)=\frac{5z-14}{(z-4)(z-1)}=\frac{2}{z-4}+\frac{3}{z-1}\]
De esta manera cada fracción se puede escribir como la suma de una serie geométrica en torno al punto dado
\[f(z)=\frac{2}{(z+i)-i-4}+\frac{3}{(z+i)-i-1}=-\frac{2}{4+i}\left[\frac{1}{1-\left(\frac{z+i}{4+i}\right)}\right]-\frac{3}{1+i}\left[\frac{1}{1-\left(\frac{z+i}{1+i}\right)}\right]\]
de modo que el desarrollo en serie de potencias es
\[f(z)=-\frac{2}{4+i}\sum_{n=0}^{\infty}\left(\frac{z+i}{4+i}\right)^{n}-\frac{3}{1+i}\sum_{n=0}^{\infty}\left(\frac{z+i}{1+i}\right)^{n}\]
\[f(z)=-\sum_{n=0}^{\infty}\left[\frac{2}{(4+i)^{n+1}}+\frac{3}{(1+i)^{n+1}}\right](z+i)^{n}\]
Así como en los números reales, el dominio de convergencia de una suma de series es la intersección de los dominios de las series individuales, de modo que
\[\left|\frac{z+i}{4+i}\right|<1\cap\left|\frac{z+i}{1+i}\right|<1\]
\[|z+i|<\sqrt{17}\cap|z+i|<\sqrt{2}\]
Evidentemente, la intersección es el dominio de radio mínimo por lo que la serie converge en $|z+i|<\sqrt{2}$
Ejemplo práctico: Desarrollar en serie de Taylor alrededor de $z_{0}=-2+i$
\[f(z)=\frac{1}{(z-1)^{2}}\]
La forma de esta función hace alusión a la serie binomial conocida
en los números reales. En los complejos su estructura es análoga, pues surge
de la serie de maclaurin de la función binomial $(1+z)^{p}$ similar al de los reales $(1+x)^{p}$
\[(1+z)^{p}=1+\sum_{n=1}^{\infty}\frac{p(p-1)(p-2)...(p-n+1)}{n!}z^{n},\:
|z|<1\]
En base a esta serie y haciendo el cambio de variable $u=z-(-2+i)$
para considerar el centro, "f" puede ser reescrita como
\[f(u)=\frac{1}{(u-2+i-1)^{2}}=\frac{1}{(i-3)^{2}\left(1+\frac{u}{i-3}\right)^{2}}\]
\[f(u)=\frac{1}{(i-3)^{2}}\left(1+\frac{u}{i-3}\right)^{-2}\]
de modo que se puede reconocer $p=-2$
y por tanto:
\[f(u)=\frac{1}{(i-3)^{2}}\left[1+\sum_{n=1}^{\infty}\frac{-2(-3)(-4)...[-(n+1)]}{n!}\right]\left(\frac{u}{i-3}\right)^{n}\]
\[f(u)=\frac{1}{(i-3)^{2}}+\sum_{n=1}^{\infty}\frac{(-1)^{n}(n+1)u^{n}}{(i-3)^{n+2}},\:
\left| \frac{u}{i-3}\right|<1\]
Así entonces, retornando a la variable original e incluyendo el primer
término de la sumatoria, se tiene el desarrollo de Taylor de "f" mediante la
serie binomial o serie "P".
\[f(z)=\sum_{n=0}^{\infty}\frac{(-1)^{n}(n+1)(z+2-i)^{n}}{(i-3)^{n+2}},\:|z-(2+i)|<\sqrt{10}\]
Ejercicios:
Para las siguientes funciones, encuentre la serie de Taylor o Maclaurin alrededor del punto dado. También grafique el dominio de convergencia de la serie
1) $f(z)=\cos (2z),\, z=0$
2) $f(z)=\frac{1}{1-z},\, z=4i$
3) $f(z)=\frac{1}{(1-z)^{2}},\, z=0$
4) $f(z)=z^{2}-3z+i,\, z=2-i$
5) $f(z)=(z-9)^{2},\, z=1+i$
6) $f(z)= \sin(z+i),\, z=-i$
7) $f(z)=\frac{z-1}{3-z},\, z=1$
8) $f(z)=\cos (z^{2})-\sin z,\, z=0$
9) $f(z)=\frac{i}{(z-i)(z-2i)},\, z=0$
10) $f(z)=e^{z}\cos z,\, z=0$
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