Movimiento en una dimensión
Ahora ya se cuentan con las herramientas matemáticas necesarias para
deducir las ecuaciones que describen el movimiento de una partícula en una
dimensión. En esta sección se verán los temas de movimiento rectilíneo
uniforme, uniformemente acelerado y caída libre.
Movimiento rectilíneo uniforme (MRU)
Conocidos los conceptos de
velocidad media e instantánea, se sabe que en el MRU la velocidad instantánea es constante en todo
momento, de manera que se puede decir que:
\[v=\frac{\mathrm{d} x}{\mathrm{d} t}=cte\]
Para un observador, resulta más sencillo contar con el dato de la
velocidad de una partícula. Por lo que a partir de este dato, por medio de cálculo, es posible deducir su posición en cualquier instante $t_{0}$.
Supongamos que una partícula se mueve a
velocidad constante $v_{x}$, durante un tiempo $t$. Generando un
escenario donde la partícula se mueve a 2 (cm/s) durante 10 (s), resulta
fácil decir que el desplazamiento será de 20 (cm). Dando más escenarios similares, es claro que el desplazamiento se da por el producto de la velocidad con
el tiempo, de manera que
\[\Delta x=v_{x}t\]
Si utilizamos un gráfico velocidad-tiempo, es notable que esta relación
obedece al área bajo la curva
|
| Análisis dimensional: L=longitud, T=tiempo |
Entonces, interpretando a la velocidad instantánea como un
diferencial
de la distancia, se puede decir que
\[dx=v_{x}\, dt\]
Integrando ambos miembros de la ecuación, se tiene
\[\int_{x_{0}}^{x}dx=\int_{0}^{t}v_{x}\, dt\]
\[x\left.\begin{matrix} \\ \\
\end{matrix}\right|_{x_{0}}^{x}=v_{x}(t)\left.\begin{matrix} \\ \\
\end{matrix}\right|_{0}^{t}\]
\[x-x_{0}=v_{x}t\]
\[x(t)=x_{0}+v_{x}t\]
Los limites de la integral definida se dan por las condiciones donde se dice que en un tiempo $t=0$, la partícula se
encuentra en una posición $x_{0}$ y transcurrido un tiempo $t$, la
partícula se encuentra en una posición $x$. Así entonces, se obtiene la
expresión de la posición de una partícula en movimiento rectilíneo
uniforme conociendo su posición inicial y su velocidad
instantánea.
Ejemplo: En un instante $t=0$, un observador se encuentra en la misma
posición de un ciclista que se aleja a una velocidad constante de 2
(m/s). En ese mismo instante, el observador nota otro ciclista a 100
metros el cuál se acerca a una velocidad constante de 3 (m/s).
- Determine las ecuaciones de movimiento de los ciclistas respecto al observador
- ¿En qué instante de tiempo se cruzan?
- Determine el instante de tiempo cuando ambos ciclistas se encuentren a 50 (m) antes de cruzarse
\[x_{1}(t)=2t\]
\[x_{2}(t)=100-3t\]
Para el segundo punto, resulta sencillo decir que se busca la
intersección entre las curvas de movimiento de los ciclistas, por lo
que:
\[x_{1}=x_{2}\]
\[2t=100-3t\]
\[5t=100\]
\[t=20\, (s)\]
El tercer punto se refiere a la diferencia de posiciones entre los
ciclistas, de manera que:
\[x_{2}(t)-x_{1}(t)=50\]
\[100-3t-2t=50\]
\[5t=50\]
\[t=10\, (s)\]
Movimiento uniformemente variado (MUV)
En aceleración media e instantánea, se analizó el movimiento de un cuerpo con aceleración constante,
donde se dedujo que
\[a_{x}=\frac{\mathrm{d} v_{x}}{\mathrm{d} t}=cte\]
Análogo al MRU, la velocidad resulta del área bajo la curva de la
función aceleración, por lo que si la interpretamos como un diferencial
de la velocidad, se tiene:
\[dv_{x}=a_{x}\, dt\]
Integrando ambos miembros
\[\int_{v_{x0}}^{v_{x}}dv_{x}=\int_{0}^{t}a_{x}\, dt\]
\[v_{x}\left.\begin{matrix} \\ \\
\end{matrix}\right|_{v_{x0}}^{v_{x}}=a_{x}(t)\left.\begin{matrix} \\ \\
\end{matrix}\right|_{0}^{t}\]
\[v_{x}-v_{x0}=a_{x}t\]
\[v_{x}(t)=v_{x0}+a_{x}t\]
Note que los limites de la integral se dan por las condiciones donde en un tiempo $t=0$, la partícula presenta una velocidad
inicial $v_{x0}$, y en un tiempo $t$, la partícula presenta una
velocidad $v_{x}$. Así entonces se obtiene la expresión de la velocidad de una
partícula en movimiento uniformemente variado. Sin embargo, aún es
necesario saber la expresión de la posición en dicho movimiento, por lo
que partiendo de la velocidad como un diferencial con las condiciones análogas al MRU se tiene:
\[dx=v_{x}\, dt\]
\[dx=(v_{x0}+a_{x}t)\, dt\]
\[\int_{x_{0}}^{x}dx=\int_{0}^{t}(v_{x0}+a_{x}t)\, dt\]
\[x\left.\begin{matrix} \\ \\ \end{matrix}\right|_{x_{0}}^{x}=\left
(v_{x0}t+a_{x}\frac{t^{2}}{2} \right )\left.\begin{matrix} \\ \\
\end{matrix}\right|_{0}^{t}\]
\[x-x_{0}=v_{x0}t+\frac{1}{2}a_{x}t^{2}\]
\[x(t)=x_{0}+v_{x0}t+\frac{1}{2}a_{x}t^{2}\]
Asimismo, se puede determinar otra expresión útil en la resolución de
problemas de MUV mediante la regla de la cadena, donde la velocidad
depende de la distancia y a su vez, esta depende del tiempo de manera
que
\[a_{x}=\frac{dv_{x}}{dx}\frac{dx}{dt}=\frac{dv_{x}}{dx}v_{x}\]
Si se despejan los diferenciales e integrando con las respectivas
condiciones se tiene
\[\int_{x_{0}}^{x}a_{x}\, dx=\int_{v_{x0}}^{v_{x}}v_{x}\,
dv_{x}\]
\[a_{x}(x)\left.\begin{matrix} \\ \\
\end{matrix}\right|_{x_{0}}^{x}=\frac{v_{x}^{2}}{2}\left.\begin{matrix}
\\ \\ \end{matrix}\right|_{v_{x0}}^{v_{x}}\]
\[a_{x}(x-x_{0})=\frac{1}{2}(v_{x}^{2}-vx_{0}^{2})\]
Como se sabe que el desplazamiento se da por $\Delta x=x-x_{0}$, y despejando se
tiene que:
\[v_{x}^{2}=v_{x0}^{2}+2a_{x}\Delta x\]
Ejemplo: En el instante $t=0$ una partícula se encuentra a -50 (m) de
un observador, esta se mueve hacia él a una velocidad constante de 10
(m/s) durante 30 (s), e inmediatamente frena hasta llegar al reposo 20
(s) después. Calcúlese
- La aceleración de frenado
- El desplazamiento total de la partícula
- La posición de la partícula en el instante en que se detiene respecto al observador
- La velocidad de la partícula a los 40 segundos
Para responder al primer punto, se conoce el tiempo de frenado y la
velocidad después del frenado, por lo que
\[v_{x}=v_{x0}+a_{x}t\]
\[0=10+a_{x}(20)\]
\[a_{x}=-\frac{10}{20}=-0.5\, (m/s^{2})\]
Note que la aceleración es negativa, lo que indica que va en sentido contrario al movimiento confirmando así un frenado.
Para responder al segundo punto, la velocidad antes del frenado se da
por un movimiento rectilíneo uniforme, por lo que
\[x=x_{0}+v_{x}t=-50+(10)(30)=250\, (m)\]
Luego, para el tramo donde la partícula presenta movimiento uniformemente variado se tiene que:
\[v_{x}^{2}=vx_{0}^{2}+2a_{x}\Delta x\]
\[0=10^{2}+2(-0.5)\Delta x\]
\[\Delta x=100\, (m)\]
De esta manera, el desplazamiento total de la partícula será:
\[\Delta x_{T}=[350-(-50)]=400, (m)\]
Si se realiza un gráfico de la posición de la partícula, es mas
notorio el desplazamiento neto
Para responder al tercer punto, utilizando el gráfico, es notable que la posición de la partícula al detenerse es 350 (m) respecto al observador.
Por último, ya se sabe que a los 30 segundos se tiene un movimiento
rectilíneo uniforme y pasados esos segundos se tiene un movimiento
uniformemente variado, por lo que 10 segundos después de completar el tramo MRU se tiene que:
\[x=x_{0}+v_{x0}t+\frac{1}{2}a_{x}t^{2}=250+10(10)+\frac{1}{2}(-0.5)(10)^{2}\]
\[x=250+100-25=325\]
De esta manera, la velocidad a los 40 segundos será
\[v_{x}^{2}=(10)^{2}+2(-0.5)(325-250)=25\]
\[v_{x}=5\, (m/s)\]
Caída libre
El movimiento en caída libre sucede cuando los objetos generan su
movimiento únicamente con la aceleración de la gravedad sin incluir la
resistencia del aire u otros factores una vez que son libreados. A
diferencia de los movimientos anteriores, la trayectoria que siguen
los cuerpos en este caso es vertical donde hay que ser cuidadosos con los signos. Las situaciones que se podrían
presentar son: el objeto se deja caer, el objeto se lanza hacia abajo
o se lanza hacia arriba.
Las situaciones más sencillas de analizar son la primera y la segunda que muestra la figura, donde la interpretación matemática es análoga al movimiento uniformemente
variado donde la aceleración es debida a la gravedad cuyo valor en SI es:
\[g=\frac{\mathrm{d} v_{y}}{\mathrm{d} t}=9.8\, (m/s^{2})\]
Esta aceleración es un vector que apunta verticalmente hacia abajo
(hacia el centro de la tierra) por lo que la consideramos como
negativa. Luego, despejando los diferenciales e integrando con las
respectivas condiciones se tiene
\[\int_{0}^{t}(-g)\, dt=\int_{v_{y0}}^{v_{y}}\mathrm{d} v_{y}\]
\[-gt=v_{y}-v_{y0}\]
\[v_{y}(t)=v_{y0}-gt\]
Siendo esta la función de velocidad de un cuerpo en caída libre. Note
que es la misma expresión que el de la velocidad de un cuerpo con
movimiento uniformemente acelerado, salvo el signo de la aceleración.
Pues, el movimiento se realiza en el sentido negativo de un eje
vertical "y". Entonces, se pueden cambiar las funciones deducidas en
MUV para un movimiento vertical como sigue
\[y(t)=y_{0}+v_{y0}t-\frac{1}{2}gt^{2}\]
\[v_{y}^{2}=v_{y0}^{2}-2g\Delta y\]
Sin embargo, como el movimiento apunta hacia abajo, el vector de desplazamiento es negativo de manera que este se escribiría como $-\Delta y$. Por otro lado, para la tercera situación mostrada en la figura, como el movimiento es hacia arriba, el desplazamiento será positivo.
Ejemplo: Desde la azotea de un edificio de 30 (m) de alto se lanza verticalmente hacia arriba una piedra con una velocidad de 25 (m/s). Calcúlese:
- La máxima altura que alcanza la piedra respecto la azotea
- El tiempo que permanece en el aire
Bosquejando el problema para ayudar a visualizar el problema se tiene
Para responder al primer punto, suponiendo un observador en la azotea como lo menciona el problema, se puede obtener la función de posición como sigue:
\[y(t)=v_{0}t-\frac{1}{2}gt^{2}=25t-4.9t^{2}\]
Se pide hallar la altura máxima, por lo que se procede a hallar el valor máximo de la función.
\[y'(t)=25-9.8t\]
\[25-9.8t=0\]
\[t=\frac{125}{49}\]
\[y''(t)=-9.8\]
Como la función es cóncava hacia hacia abajo se asegura un máximo en $t=\frac{125}{49}=\approx 2.55$, por lo tanto
\[y=y\left ( \frac{125}{49} \right )=\frac{3125}{98}\approx 31.9\, (m)\]
Luego, para responder al segundo punto se puede partir de la altura máxima alcanzada por la piedra. Como el observador se encuentra en el lugar de lanzamiento, y la altura máxima sucede cuando la derivada de la posición, (velocidad), es 0 se puede hallar el instante donde la piedra vuelve al punto de partida como sigue:
\[0=31.9-4.9t^{2}\]
\[t\approx 2.55\]
Note que se obtuvo el mismo valor de tiempo que le tomó a la piedra llegar a la altura máxima, por lo que se puede decir que los tiempos de subida y bajada son iguales, de manera que el tiempo de vuelo sobre la azotea es
\[t_{1}=2(2.55)=5.1\, (s)\]
En consecuencia, la velocidad en el instante que la piedra regresa al punto de partida es la misma con la que se lanzó. Así, el tiempo restante puede obtenerse como sigue
\[y(t)-y_{0}=v_{y0}t-\frac{1}{2}gt^{2}\]
\[\Delta y=25t-\frac{1}{2}(9.8)t^{2}\]
\[-30=25t-4.9t^{2}\]
\[4.9t^{2}-25t-30=0\]
Tomando solo el resultado positivo de la ecuación cuadrática
\[t=\frac{25\pm \sqrt{(-25)^{2}-4(4.9)(-30)}}{2(4.9)}\approx 6.1\]
Por tanto el tiempo que la pierda permanece en el aire es
\[T=5.1+6.1=11.2\, (s)\]
Ejemplo práctico: Un globo aerostático asciende con una rapidez constante,
$v_{g}=10\, (m/s)$, en el instante que el globo se encuentra a una
altura h=100 (m) del suelo, se suelta una pelota. Calcúlese:
- El instante de tiempo en el que la pelota y el globo están separados una distancia de 80 (m)
- La rapidez con que choca la pelota en el suelo
- Estime el gráfico velocidad-tiempo y posición-tiempo que represente el movimiento de la pelota
\[H=80+y_{p}\]
donde $y_{p}$ es la altura de la pelota respecto al suelo.
Se sabe que el globo aerostático se mueve con velocidad constante,
por lo que su función de posición es
\[H(t)=h+v_{g}t=100+10t\]
La altura $y_{p}$ de la pelota en caída libre será
\[y_{p}(t)=h+vy_{0}-\frac{1}{2}gt^{2}=100+10t-\frac{1}{2}(9.8)t^{2}\]
Note que la velocidad inicial de la pelota es igual que la del
globo, de modo que
\[100+10t=80+(100+10t-4.9t^{2})\]
\[4.9t^{2}=80\]
Tomando solamente el resultado positivo se tiene que el instante en
el que el globo y la pelota están separados 80 (m) es
\[t=4.04\, (s)\]
Se conoce la velocidad inicial de la pelota y la altura donde se
lanza. También, se conoce el desplazamiento, el cuál es negativo ya
que el movimiento se realiza en el sentido negativo del eje "y", de
manera que:
\[v_{y}^{2}=vy_{0}^{2}-2g\Delta y\]
\[v_{y}^{2}=10^{2}-2(9.8)(-100)=2060\]
Tomando el resultado positivo se tiene que la rapidez de la pelota
al llegar al piso es
\[v_{y}=45.39\, (m/s)\]
Cabe mencionar que si tomamos el resultado negativo se obtendría el
vector de velocidad ya que el signo indica su dirección. Sin embargo, como se desea hallar la rapidez, se sabe que este es el módulo del vector velocidad, por lo que de todas formas se obtiene el resultado positivo.
Por último, la función de velocidad para la pelota se determina
como sigue
\[v_{y}(t)=vy_{0}-gt\]
\[v_{y}(t)=10-9.8t\]
Por otro lado, la función de posición ya se había determinado
previamente
\[y_{p}(t)=100+10t-4.9t^{2}\]
Graficando ambas funciones se obtienen los gráficos
velocidad-tiempo y posición-tiempo de la pelota
|
| Gráficos: (a) velocidad-tiempo, (b) posición-tiempo |
- En la curva velocidad-tiempo, se tiene que en $t=0$ la pelota posee una velocidad inicial de 10 (m/s) y después de aproximadamente 1 segundo, presenta una velocidad negativa. Es decir, la pelota comienza a descender después de 1 segundo, mientras que antes, todavía ascendía debido al globo.
- La curva posición-tiempo muestra que en $t=0$ la pelota parte de 100 (m) y asciende hasta una cierta altura máxima gracias al efecto de elevación del globo durante casi 1 segundo. Cuando la pelota llega a dicha altura se detiene y luego desciende durante un cierto tiempo hasta llegar al suelo.
- El tiempo transcurrido desde que se lanza la pelota hasta que llegue al suelo se puede ver que es de menos de 6 segundos.
Ejercicios:
Plantea y resuelve los siguientes problemas
1) Dos automóviles A y B se mueven en una carretera horizontal con
velocidades constantes de 60 y 45 (km/h) respectivamente. En un
instante $t=0$, el automóvil B está 500 (m) por delante de A.
¿Cuánto tiempo ha de transcurrir desde dicho instante para que el
automóvil A se coloque a 700 (m) por delante de B?
2) Un corredor A está inicialmente a 4 millas al Oeste de un asta
bandera, corre con una velocidad constante de 6 (mi/h) al Este. Un
corredor B está inicialmente 3 millas al Este del asta bandera y
corre con una velocidad constante de 5 (mi/h) al Oeste. ¿A qué
distancia están los corredores del asta bandera cuando se
reúnen?
3) Un electrón que tiene una velocidad inicial $v_{x0}=1\times
10^{4}\, (m/s)$ entra a una región en donde es acelerado
eléctricamente (ver figura). Sale al otro lado con una velocidad
$v_{x}=4\times 10^{6}\, (m/s)$ ¿Cuál fue la supuesta aceleración
constante del electrón?.
4) Un automóvil parte del reposo y viaja por 5 segundos con una
aceleración uniforme de $+1.5\, (m/s^{2})$. Entonces el conductor
aplica los frenos, ocasionando una aceleración uniforme
de $-2\, (m/s^{2})$. Si los frenos son aplicados por 3 segundos:
- ¿Qué tan rápido va el automóvil al final del periodo de frenado?
- ¿Qué tan lejos llega el automóvil?
5) ¿Con qué velocidad debe lanzarse verticalmente una pelota hacia
arriba para que llegue a una altura de 15.2 (m)?, ¿Cuánto tiempo
estará en el aire?
6) Cierto cuerpo en caída libre necesita 1.5 segundos para viajar
los últimos 30 (m) antes que golpee la superficie de la
tierra:
- Encuentre la velocidad del objeto cuando está a 30 (m) sobre la tierra
- Encuentre la distancia total que se desplaza el objeto durante la caída
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