Integrales múltiples IV

Integrales triples

Definición de integral triple

Análogo a las definiciones de integral simple y doble, la definición de integral triple parte de la idea de una suma de varios cubos $B_{ijk}$ en una región encerrada por una caja B. Cada cubo tiene volumen $\Delta V= \Delta x \Delta y \Delta z$ de manera que si los sumamos obtenemos:

\[\sum_{i=1}^{l}\sum_{j=1}^{m}\sum_{k=1}^{n}f(x_{ijk}^{*},y_{ijk}^{*},z_{ijk}^{*})\Delta V\]

Si "l", "m" y "n" tienden a infinito se obtendrá la suma triple de Rieman y por ende la definición de integral triple será:

\[\lim_{(l,m,n) \to \infty}\sum_{i=1}^{l}\sum_{j=1}^{m}\sum_{k=1}^{n}f(x_{ijk}^{*},y_{ijk}^{*},z_{ijk}^{*})\Delta V=\iiint_{B}f(x,y,z)dV\]

Geométricamente se sabe que la integral simple es una operación que permite calcular el área de cualquier figura plana y que la integral doble permite calcular el volumen de superficies en el espacio. Sin embargo, la integral triple es un concepto mucho más abstracto, pues representa una cantidad de 4 dimensiones denominada hipervolumen. No obstante, puede ayudar en el cálculo de volúmenes entre superficies o incluso para extender ciertas definiciones de la física para cuerpos sólidos en el espacio.

Teorema de Fubini para integrles triples

Si una función de 3 variables $f$ es continua en la caja rectangular $B=[a,b]\times [c,d]\times [e,f]$, entonces

\[\iiint_{B}f(x,y,z)dV=\int_{e}^{f}\int_{c}^{d}\int_{a}^{b}f(x,y,z)dx\, dy\, dz\]

Este resultado es una extensión del teorema de Fubini para integrales dobles, donde se establece que la integral tiene el mismo valor independientemente del orden en el que se cambien los límites de integración. En el caso de las integrales triples, existen cinco posibilidades adicionales para intercambiar los límites, una de las cuales se expresa de la siguiente manera:

\[\iiint_{B}f(x,y,z)dV=\int_{a}^{b}\int_{e}^{f}\int_{c}^{d}f(x,y,z)dy\, dz\, dx\]

Ejemplo: Evalúe la integral $\iiint_{B} (x+y+z)\, dA$ donde B es la caja rectangular dada por

\[B=\left\{(x,y,z)\in \mathbb{R}^{3}/0\leq x\leq 1,\, 0\leq y\leq 2,\, 0\leq z\leq 3 \right\}\]

Podríamos usar cualquiera de los seis posibles órdenes de integración. Si elegimos integrar primero con respecto a "z", luego con respecto a "y", y finalmente con respecto a "x", obtenemos.

\[\iiint_{B}(x+y+z)\, dV=\int_{0}^{1}\int_{0}^{2}\int_{0}^{3}(x+y+z)dz\, dy\, dx\]

\[I=3\int_{0}^{1}\int_{0}^{2}\left ( x+y+\frac{3}{2} \right )\, dy\, dx=3\int_{0}^{1}(2x+5)dx\]

\[I=3(x^{2}+5x)\left.\begin{matrix} \\ \\\end{matrix}\right|_{0}^{1}=18\]

Integrales triples sobre regiones generales

La proyección de la región E de tipo I se da por $D\left \{(x,y)\in \mathbb{R}^{2}/a\leq x\leq b, g_{1}(x)\leq y\leq g_{2}(x)\right \}$ y la de tipo II por $D\left \{(x,y)\in \mathbb{R}^{2}/c\leq y\leq d, h_{1}(y)\leq x\leq h_{2}(y)\right \}$

De acuerdo con esta figura, se definen las evaluaciones:

\[I)\: \iiint_{E}f(x,y,z)\, dV=\int_{a}^{b}\int_{g_{1}(x)}^{g_{2}(x)}\int_{u_{1}(x,y)}^{u_{2}(x,y)}f(x,y,z)dz\, dy\, dx\]

\[II)\: \iiint_{E}f(x,y,z)\, dV=\int_{c}^{d}\int_{h_{1}(y)}^{h_{2}(y)}\int_{u_{1}(x,y)}^{u_{2}(x,y)}f(x,y,z)dz\, dx\, dy\]

Nótese que estas expresiones son una extensión del cálculo de integrales dobles sobre regiones generales. No obstante, estos casos no solo se pueden presentar sobre el plano XY, sino también sobre el plano YZ o XZ, a los que podríamos llamar regiones tipo III.

Ejemplo 1: Evalúe la integral $\iiint_{E} 6xy\, dV$ donde E es el sólido por debajo del plano $z=1+x+y$ y arriba de la región sobre el plano XY limitado por las curvas $y=\sqrt{x},\, y=0$ y $x=1$

Cuando planteamos una integral triple, es conviente trazar dos diagramas: uno de la región sólida E y uno de su proyección D sobre el plano correspondiente.

De acuerdo con los diagramas, el sólido E se da por $\mathit{E\left \{(x,y,z)\in \mathbb{R}^{3}/0\leq x\leq 1, 0\leq y\leq \sqrt{x}, 0\leq z\leq 1+x+y \right \}}$

Esta descripción de E como región de tipo I permite evaluar la integral dada como sigue:

\[\int_{0}^{1}\int_{0}^{\sqrt{x}}\int_{0}^{1+x+y}6xy\, dz\, dy\, dx=6\int_{0}^{1}\int_{0}^{\sqrt{x}}(xy+x^{2}y+xy^{2})dy\, dx\]

\[I=6\int_{0}^{1}\left ( \frac{x^{2}}{2}+\frac{x^{3}}{2}+\frac{x^{5/2}}{3} \right )\, dx=6\left ( \frac{x^{3}}{6}+\frac{x^{4}}{8}+\frac{2}{21}x^{7/2} \right )\left.\begin{matrix} \\ \\\end{matrix}\right|_{0}^{1}\]

\[I=6\left ( \frac{1}{6}+\frac{1}{8}+\frac{2}{21} \right )=\frac{65}{28}\]

Ejemplo 2: Evalúe la integral $\iiint_{E} x\, dV$ donde E es el sólido limitado por las superficies $x=4y^{2}+4z^{2}$ y $x=4$

Graficando la región se tiene

La superficie se proyecta sobre el plano ZY hasta x=4, de manera que E se da por $\mathit{E\left \{(x,y,z)\in \mathbb{R}^{3}/ (4y^{2}+4z^{2})\leq x\leq 4, -1\leq y\leq 1, -\sqrt{1-y^{2}}\leq z\leq \sqrt{1-y^{2}} \right \}}$

Esta descripción de E como región de tipo III sobre el plano ZY permite escribir a la integral triple como

\[\int_{-1}^{1}\int_{-\sqrt{1-y^{2}}}^{\sqrt{1-y^{2}}}\int_{4y^{2}+4z^{2}}^{4}x\, dx\, dz\, dy=8\int_{-1}^{1}\int_{-\sqrt{1-y^{2}}}^{\sqrt{1-y^{2}}}[1-(y^{2}+z^{2})^{2}]dz\, dy\]

No obstante, evaluar la integral doble resultante es muy complicado, por lo que conviene usar la transformación a coordenadas polares

\[I=8\int_{0}^{2\pi }\int_{0}^{1}[1-(r^{2})^{2}]rdr\, d\theta =\frac{8}{3}\int_{0}^{2\pi } d\theta=\frac{16\pi }{3}\]

Ejemplo 3: Evalúe la integral $\iiint_{E} z\, dV$ donde E es el sólido limitado por los planos coordenados y las superficies $y+z=1,\, x+z=1$

Para hallar el gráfico se pueden usar los puntos de intersección entre todas las superficies que comprende el sólido:

\[\begin{matrix}\textrm{Si}\, z=0\rightarrow (1,0,0)\wedge (0,1,0) \\\textrm{Si}\, y=x=0\rightarrow (0,0,1) \\\end{matrix} \]

\[\left\{\begin{matrix}y+z=1 \\x+z=1\end{matrix}\right.\rightarrow L:\left\{\begin{matrix}x=1+t \\y=1+t \\z=-t\end{matrix}\right.\rightarrow (1,1,0)\]

De acuerdo con la forma de la región, resulta complicado deducir los límites de integración en el eje "z", por lo que conviene partirla en 2 como se muestra en la siguiente figura

D1 y D2 son simétricas por lo que basta integrar sobre una de las regiones y luego duplicarla

Si tomamos D2 se obtiene que la región E2 será descrita por $E\left \{(x,y,z)\in \mathbb{R}^{3}/ 0\leq x\leq 1, 0\leq y\leq x, 0\leq z\leq 1-x \right \}$. Así entonces, con esta descripción, se evalúa la integral triple como sigue

\[2\int_{0}^{1}\int_{0}^{x}\int_{0}^{1-x}z\, dz\, dy\, dx=\int_{0}^{1}\int_{0}^{x}(1-x)^{2}dy\, dx=\int_{0}^{1}x(1-x)^{2}\, dx\]

\[I=\int_{0}^{1}(x-2x^{2}+x^{3})\, dx=\left ( \frac{x^{2}}{2}-\frac{2}{3}x^{3}+\frac{x^{4}}{4} \right )\left.\begin{matrix} \\ \\\end{matrix}\right|_{0}^{1}=\frac{1}{12}\]

Se mencionó que las integrales triples pueden ayudar en el cálculo de volúmenes entre superficies, pues análogo a la interpretación de la integral doble como el área de una región limitada por 2 o más curvas, se puede decir que

\[V=\iiint_{E}dV\]

Esta expresión proporciona una forma alternativa de calcular el volumen bajo una superficie sobre un cuadrado y, al mismo tiempo, facilita el cálculo del volumen de un sólido limitado por múltiples superficies.

Ejemplo 1: Calcule el volumen del sólido que se encuentra en el primer octante, limitado por el cilindro $z=9-y^{2}$ y el plano $x=2$

El sólido formado por las superficies dadas se muestra en la siguiente figura

El sólido puede describirse por $\mathit{E\left \{(x,y,z)\in \mathbb{R}^{3}/ 0\leq x\leq 2, 0\leq y\leq 3, 0\leq z\leq 9-y^{2} \right \}}$

De acuerdo con el diagrama, el volumen del sólido será

\[V=\int_{0}^{2}\int_{0}^{3}\int_{0}^{9-y^{2}}dz\, dy\, dx=\int_{0}^{2}\int_{0}^{3}(9-y^{2})dy\, dx\]

Note que esta integral doble es la misma que obtendríamos si planteamos el volumen bajo la superficie.

\[V=\int_{0}^{2}\left ( 9y-\frac{y^{3}}{3} \right )\left.\begin{matrix} \\ \\\end{matrix}\right|_{0}^{3}\, dx=18\int_{0}^{2}x\, dx=36\]

Ejemplo 2: Calcule el volumen del sólido limitado por el cilindro $x=y^{2}$ y los planos $z=0,\, x+z=1$

Los diagramas del sólido se muestra en la siguiente figura

El sólido puede describirse por $\mathit{E\left \{(x,y,z)\in \mathbb{R}^{3}/ y^{2}\leq x\leq 1, -1\leq y\leq 1, 0\leq z\leq 1-x \right \}}$

Así entonces, debido a la descripción del sólido como región de tipo II, el volúmen será:

\[V=\int_{-1}^{1}\int_{y^{2}}^{1}\int_{0}^{1-x}dz\, dx\, dy=\int_{-1}^{1}\int_{y^{2}}^{1}(1-x)dx\, dy\]

\[V=\frac{1}{2}\int_{-1}^{1}(1-y^{2})^{2}\, dy=\frac{1}{2}\int_{-1}^{1}(1-2y^{2}+y^{4})dy\]

\[V=\frac{1}{2}\left ( y-\frac{2y^{3}}{3}+\frac{y^{5}}{5} \right )\left.\begin{matrix} \\ \\\end{matrix}\right|_{-1}^{1}=\frac{8}{15}\]

Cambios de variable en integrales triples

Coordenadas cilíndricas

Figura A: Las coordenadas cilíndricas extienden las coordenadas polares a 3 dimensiones, pues observe que se utilizan los mismos parámetros $r,\theta$ agregando la altura "z". Por tanto, si quisieramos convertir un punto en coordenadas rectangulares a cilíndricas o viceversa, se pueden utilizar las mismas expresiones de conversión utilizadas en coordenadas polares agregando la altura "z" como tercer componente.

Las coordenadas cilíndricas se utilizan frecuentemente en matemáticas para reescribir superficies cilíndricas con el objetivo de simplificar la ecuación que los describe. Por ejemplo, la ecuación rectangular del cilindro circular es $x^{2}+y^{2}=1$, pero al convertirlo a coordenadas cilíndricas se obtendrá $r=1$, simplficando así la complejidad de la primera ecuación. Por otro lado, es interesante notar la similitud con la ecuación polar de una circunferencia en el plano, con la diferencia de que esta se extiende a lo largo del eje "z".

Figura B: Observe que la región proyectada en el plano XY puede escribirse en coordenadas polares como $D\left \{(x,y)\in \mathbb{R}^{2}/ \alpha\leq \theta\leq \beta, g_{1}(\theta)\leq r\leq g_{2}(\theta) \right \}$. Luego si tomamos la región sólida formada entre las dos superficies "h" se puede decir que la integral triple es

\[\iiint_{E}f(x,y,z)dV=\iint_{D}\left [ \int_{h_{1}(x,y)}^{h_{2}(x,y)}f(x,y,z)dz \right ]dA\]

La integral iterada conforma una integral doble que puede expresarse en coordenadas polares como sigue:

\[\iiint_{E}f(x,y,z)dV=\int_{\alpha}^{\beta} \int_{g_{1}(\theta)}^{g_{2}(\theta)} \int_{h_{1}(r,\theta)}^{h_{2}(r,\theta)}f(r\cos \theta,r\sin \theta,z)rdz\, dr\, d\theta\]

Note que "f" está en coordenadas cilíndricas, por lo que esta expresión es la que permite evaluar una integral triple en dichas coordenadas.

Ejemplo: Calcule el volumen de la región sólida limitada por los paraboloides $z=x^{2}+y^{2}$ y $z=36-3x^{2}-3y^{2}$

El sólido se describe en coordenadas cilíndricas como $\mathit{E\left \{(x,y,z)\in \mathbb{R}^{3}/ 0\leq \theta \leq 2\pi, 0\leq r\leq 3, r^{2}\leq z\leq 36-3r^{2} \right \}}$

Así entonces el volumen del sólido será:

\[V=\int_{0}^{2\pi }\int_{0}^{3}\int_{r^{2}}^{36-3r^{2}}r\, dz\, dr\, d\theta =4\int_{0}^{2\pi }\int_{0}^{3}(9r-r^{3})r\, dr\, d\theta \]

\[V=4\int_{0}^{2\pi }\left ( \frac{9r^{2}}{2}-\frac{r^{4}}{4} \right )\left.\begin{matrix} \\ \\\end{matrix}\right|_{0}^{3}\, d\theta=4\int_{0}^{2\pi }\frac{81}{4}d\theta =162\pi \]

Coordenadas esféricas

Figura A: Este tipo de coordenadas es otra extensión de las coordenadas polares en 3 dimensiones. Sin embargo, a diferencia del caso anterior, la tercera componente es el ángulo que forma el rayo con el eje "z". Ahora, para deducir las ecuaciones de conversión, se pueden utilizar razones trigonométricas conocidas de manera que $\cos \phi=z/ \rho \rightarrow z=\rho \cos \phi$, para las componentes restantes se puede utilizar la conversión a coordenadas polares, pero "r" no forma parte de las esféricas, por lo que según la figura se puede decir que $\sin \phi=r/ \rho \rightarrow r=\rho \sin \phi$, y por tanto $x=\rho \sin  \phi \cos \theta,\, y=\rho \sin \phi \sin \theta$. Así entonces, la conversión de un punto en coordenadas rectangulares a esféricas es

\[\left\{\begin{matrix}x=\rho \cos \theta \sin \phi \\y=\rho \sin \theta \sin \phi \\z=\rho \cos \phi \end{matrix}\right. ,\: x^{2}+y^{2}+z^{2}=\rho ^{2}\]

Cabe mencionar que si $0\leq \theta \leq 2\pi$ y $0\leq \phi \leq \pi$ las ecuaciones de transformación de las componentes x, y, z forman una esfera completa de radio $\rho$.

Figura B: El bloque esférico mostrado puede considerarse como un prisma rectangular, donde $\Delta \rho$ representa el espesor en la dirección radial, $\rho_{i} \Delta \phi$ representa la longitud en la dirección azimutal, y $\rho_{i} \sin \phi_{k} \Delta \theta$ representa la longitud en la dirección polar, de manera que el volumen del prisma será: $\Delta V_{ijk}= (\Delta \rho)(\rho_{i}\Delta \phi)(\rho_{i} \sin \phi_{k} \Delta \theta)$. Luego, tomando la definición de integral triple en coordenadas rectangulares y reemplazando con el volumen del bloque esférico se tiene

\[\lim_{(l, m, n) \to \infty}\sum_{i=1}^{l}\sum_{j=1}^{m}\sum_{k=1}^{n}F(\tilde{\rho}_{i},\tilde {\theta_{j}},\tilde {\phi}_{k})\tilde{\rho}_{i}^{2} \sin \tilde {\phi}_{k}\Delta \tilde{\rho}_{i}\Delta \tilde{\theta_{j}}\Delta \tilde{\phi}_{k}\]

donde $F(\tilde{\rho}_{i},\tilde{\theta_{j}}, \tilde{\phi}_{k})=f(\tilde{\rho}_{i} \sin \tilde{\phi}_{k} \cos \tilde{\theta_{j}}, \tilde{\rho}_{i} \sin \tilde{\phi}_{k} \sin \tilde{\theta_{j}}, \tilde{\rho}_{i} \cos \tilde{\phi}_{k})$

De esta manera llegamos a la siguiente fórmula de integración triple en coordenadas esféricas

\[I_{E}=\int_{c}^{d}\int_{\alpha }^{\beta }\int_{a}^{b}f(\rho \sin \phi \cos \theta, \rho \sin \phi \sin \theta, \rho \cos \phi)\rho^{2} \sin \phi\, d\rho \, d\theta \, d\phi \]

donde E es una cuña esférica dada por $E\left \{(\rho, \theta ,\phi)/ a\leq \rho \leq b, \alpha\leq \theta \leq \beta, c\leq \phi \leq d \right \}$

Ejemplo: Calcule el volumen de la región sólida limitada por las superficies $z^{2}=3x^{2}+3y^{2},\, z=2$ y el primer octante

Convirtiendo las ecuaciones rectangulares de las superficies mediante las ecuaciones de transformación de coordenadas esféricas, se podrá describir al sólido por $\mathit{E\left \{(\rho,\theta,\phi)/ 0\leq \rho \leq 2\sec \phi, 0\leq \theta \leq \pi/2, 0\leq \phi\leq \pi/6 \right \}}$

Así entonces el volumen del sólido será:

\[V=\int_{0}^{\pi/6}\int_{0}^{\pi /2}\int_{0}^{2\sec \phi}\rho^{2} \sin \phi \, d\rho \, d\theta \, d\phi =\frac{8}{3}\int_{0}^{\pi /6}\int_{0}^{\pi /2}\sec^{2} \phi \tan \phi\, d\theta \, d\phi \]

\[V=\frac{4\pi}{3}\int_{0}^{\pi /6}\sec \phi (\sec \phi \tan \phi)\, d\phi =\frac{2\pi}{3}(\sec^{2} \phi)\left.\begin{matrix} \\ \\\end{matrix}\right|_{0}^{\pi /6}=\frac{2\pi}{9}\]

Ejercicios:

a) Evalúe las siguientes integrales triples

1) $\int_{0}^{1/2} \int_{\sqrt{3}x}^{\sqrt{1-x^{2}}} \int_{0}^{\sqrt{1-x^{2}-y^{2}}} \cos \sqrt{(x^{2}+y^{2}+z^{2})^{3}} \, dz\, dy\, dx$

2) $\int_{1}^{4} \int_{0}^{1} \int_{0}^{x} 2ze^{-x^{2}}\, dy\, dx\, dz$

3) $\iiint_{R} e^{x^{2}+y^{2}}\, dV$, donde R es la región sólida por encima del plano XY, dentro el cilindro $x^{2}+y^{2}=9$ y debajo del plano $z=5$.

4) $\int_{0}^{\pi/4} \int_{0}^{3} \int_{0}^{9-r^{2}} zr\, dz\, dr\, d\theta$

b) Calcule el volumen de los sólidos encerrados por las superficies indicadas

1) $x=y^{2},\, 4-x=y^{2},\, z=0,\, z=3$

2) $z=5x^{2}+5y^{2},\, z=9-4x^{2}-4y^{2}$

3) $\textrm{Interior a:}\, x^{2}+y^{2}+z^{2}=16,\, \textrm{exterior a:}\, x^{2}+y^{2}=4$