Álgebra lineal I

 Espacios vectoriales

Vectores en $\small{\mathbb{R}^{n}}$

Se sabe que para reconocer al conjunto de números reales se utiliza el símbolo $\mathbb{R}$. Así se puede denotar al conjunto de todos los pares ordenados de números reales por $\mathbb{R}^{2}$, bautizandolo como 2-espacio. Consecuentemente, el conjunto de todos los puntos en el espacio tridimensional se denotará por $\mathbb{R}^{3}$, (3-espacio). No obstante, también es posible hablar de un conjunto $\mathbb{R}^{4}$, $\mathbb{R}^{5}$, hasta $\mathbb{R}^{n}$, pero su entendimiento es mucho más abstracto. Sin embargo, es posible analizar su comportamiento geométrico y algebraico gracias a las operaciones vectoriales. Pues, sus propiedades básicas son las mismas en la geometría analítica del conjunto $\mathbb{R}^{2}$ y $\mathbb{R}^{3}$, y por inducción se puede decir que funcionan para $\mathbb{R}^{n}$ (también denominado n-espacio).

De este modo, presentamos a un n-vector como un arreglo:

\[\textbf{u}=\begin{bmatrix} u_{1}\\ u_{2}\\ ...\\ u_{n}\\ \end{bmatrix}\]

donde $u_{1},u_{2},...,u_{n}$ son números reales llamados componentes de u.

Las operaciones básicas: suma y producto por un escalar se cumplen de igual manera que como la conocemos. Por ejemplo, sean los vectores $\textbf{u}=\begin{bmatrix} 4\\ 5\\ -2\\ 3 \end{bmatrix}$, $\textbf{v}=\begin{bmatrix} 3\\ -2\\ 0\\ 1 \end{bmatrix}$ y $\textbf{w}=\begin{bmatrix} -3\\ 2\\ -5\\ 3 \end{bmatrix}$ y los escalares c=2 y d=3:

1. Demostrar que $\textbf{u}+(\textbf{v}+\textbf{w})=(\textbf{u}+\textbf{v})+\textbf{w}$
2. Demostrar que $(c+d)\textbf{u}=c\textbf{u}+d\textbf{u}$

Para el punto 1 se opera cada miembro de la igualdad por su parte

\[\begin{bmatrix} 4\\ 5\\ -2\\ 3 \end{bmatrix}+\left ( \begin{bmatrix} 3\\ -2\\ 0\\ 1 \end{bmatrix} +\begin{bmatrix} -3\\ 2\\ -5\\ 3 \end{bmatrix}\right )=\left ( \begin{bmatrix} 4\\ 5\\ -2\\ 3 \end{bmatrix}+ \begin{bmatrix} 3\\ -2\\ 0\\ 1 \end{bmatrix}\right )+\begin{bmatrix} -3\\ 2\\ -5\\ 3 \end{bmatrix}\]

\[\begin{bmatrix} 4\\ 5\\ -2\\ 3 \end{bmatrix}+ \begin{bmatrix} 0\\ 0\\ -5\\ 4 \end{bmatrix}= \begin{bmatrix} 7\\ 3\\ -2\\ 4 \end{bmatrix}+\begin{bmatrix} -3\\ 2\\ -5\\ 3 \end{bmatrix}\]

\[\begin{bmatrix} 4\\ 5\\ -7\\ 7 \end{bmatrix}= \begin{bmatrix} 4\\ 5\\ -7\\ 7 \end{bmatrix}\]

La igualdad se cumple. por lo que el primer punto queda demostrado.

Para el punto 2 se procede de forma similar al punto anterior.

\[(2+3)\begin{bmatrix} 4\\ 5\\ -2\\ 3 \end{bmatrix}=2\begin{bmatrix} 4\\ 5\\ -2\\ 3 \end{bmatrix}+3\begin{bmatrix} 4\\ 5\\ -2\\ 3 \end{bmatrix}\]

\[5\begin{bmatrix} 4\\ 5\\ -2\\ 3 \end{bmatrix}=\begin{bmatrix} 8\\ 10\\ -4\\ 6 \end{bmatrix}+\begin{bmatrix} 12\\ 15\\ -6\\ 9 \end{bmatrix}\]

\[\begin{bmatrix} 20\\ 25\\ -10\\ 15 \end{bmatrix}=\begin{bmatrix} 20\\ 25\\ -10\\ 15 \end{bmatrix}\]

Si esta propiedad se aplica al resto de vectores, la igualdad siempre se cumple, de manera que este punto queda demostrado.

Espacios vectoriales reales

Siendo rigurosos, es notable que las funciones, los polinomios o la derivada cumplen con las propiedades de la suma y la multiplicación por un escalar de los vectores. Observando esta similitud, es posible presentar a los espacios vectoriales como un conjunto de "vectores" $V$ que cumplen los axiomas:

1. Si $\textbf{u}$ y $\textbf{v}$ son elementos cualesquiera del conjunto $V$, entonces $\textbf{u}\oplus \textbf{v}$ pertenece a $V$ (el conjunto de vectores es cerrada bajo la suma)
2. Si $\textbf{u}$ es cualquier elemento del conjunto $V$ y $c$ es cualquier número real, entonces $c\odot \textbf{u}$ pertenece a $V$ (el conjunto de vectores es cerrada bajo la multiplicación por un escalar)

Así, un vector no solo es una "flecha" con magnitud y módulo, sino un concepto abstracto que engloba a las funciones, polinomios, derivadas, integrales, etc, en un conjunto (al que podemos llamarlo espacio), que forma parte de los números reales. Los axiomas señalados obedecen a la ley de composición interna y externa respectivamente. En otras palabras, definen a la suma y al producto por un escalar como operaciones básicas de un espacio vectorial, cuyo resultado estrictamente debe pertenecer al mismo $V$. Pues al existir una infinidad de espacios vectoriales, estos axiomas los validan junto con las siguientes propiedades que surgen a partir de los mismos:

• $\textbf{u}\oplus \textbf{v}=\textbf{v}\oplus \textbf{u}\, \forall \textbf{u}\wedge \textbf{v}\epsilon V$ (Propiedad conmutativa de la suma cerrada)
• $\textbf{u}\oplus (\textbf{v}\oplus \textbf{w})=(\textbf{u}\oplus \textbf{v})\oplus \textbf{w}\, \forall \textbf{u}, \textbf{v}\wedge \textbf{w}\epsilon V$ (Propiedad asociativa de la suma cerrada)
• Existe un elemento $\emptyset$ en $V$ tal que $\textbf{u}\oplus \emptyset =\emptyset \oplus \textbf{u}=\textbf{u}\, \forall \textbf{u}\epsilon V$ ($\emptyset$ es el vector nulo )
• Para cada $\textbf{u}$ en $V$ existe un elemento $-\textbf{u}$ en $V$ tal que $\textbf{u}\oplus -\textbf{u} =\emptyset$ (Propiedad del inverso aditivo)
• $c\odot (\textbf{u}\oplus \textbf{v}) =c\odot \textbf{u}\oplus c\odot \textbf{v}\, \forall c\epsilon \mathbb{R}$ y $\forall \textbf{u}\wedge \textbf{v}\epsilon V$ (Propiedad distributiva 1)
• $(c+d)\odot \textbf{u}=c\odot \textbf{u}\oplus d\odot \textbf{u}\, \forall c\wedge d\epsilon \mathbb{R}$ y $\forall \textbf{u}\epsilon V$ (Propiedad distributiva 2)
• $c\odot (d\odot \textbf{u})=(cd)\odot \textbf{u} \, \forall c\wedge d\epsilon \mathbb{R}$ y $\forall \textbf{u}\epsilon V$ (Propiedad asociativa de la multiplicación)
• $1\odot \textbf{u}=\textbf{u}\, \forall \textbf{u}\epsilon V$

Por ejemplo: Sea el conjunto de tercias ordenadas de números reales de la forma $(0,0,z)$ cuyas operaciones básicas se definen por:

\[1. \, (0,0,z)\oplus (0,0,z')=(0,0,z+z')\]

\[2. \, c\odot (0,0,z)=(0,0,cz)\]

Determinar si es un espacio vectorial.

Note que el problema ya define dos operaciones básicas para el espacio dado, por lo que podriamos considerarlos como los axiomas 1 y 2, así solo queda verificar las propiedades restantes.

• Conmutatividad de la suma

\[(0,0,z')\oplus (0,0,z)=(0,0,z'+z)\]

Observando unicamente la tercer componente de los vectores y comparando con la suma defnida en el problema, se tiene que $z+z'=z'+z$. Concluyendo que la propiedad se cumple.

• Asociatividad de la suma

\[(0,0,z)\oplus [(0,0,z')\oplus (0,0,z'')]=[(0,0,z)\oplus (0,0,z')]\oplus (0,0,z'')\]

\[(0,0,z)\oplus (0,0,z'+z'')=(0,0,z+z')\oplus (0,0,z'')\]

\[(0,0,z+z'+z'')=(0,0,z+z'+z'')\]

La propiedad se cumple.

• Adición neutra

\[(0,0,z)\oplus (0,0,0)=(0,0,z)\]

De esta forma es evidente que la propiedad se cumple.

• Existencia del vector nulo

\[(0,0,z)\oplus (0,0,-z)=\emptyset\]

Al igual que el caso anterior, es evidente que la propiedad se cumple.

• Primera propiedad distributiva de la multiplicación por un escalar

\[c\odot [(0,0,z)\oplus (0,0,z')]=c\odot (0,0,z)\oplus c\odot (0,0,z')\]

\[c\odot (0,0,z+z')=(0,0,cz)\oplus (0,0,cz')\]

\[[0,0,c(z+z')]=(0,0,cz+cz')\]

Evidentemente la propiedad se cumple.

• Segunda propiedad distributiva de la multiplicación por un escalar:

\[(c+d)\odot (0,0,z)=c\odot (0,0,z)\oplus d\odot (0,0,z)\]

\[[0,0,(c+d)z]=(0,0,cz)\oplus (0,0,dz)\]

\[(0,0,cz+dz)=(0,0,cz+dz)\]

La propiedad se cumple.

• Propiedad asociativa de la multiplicación por un escalar

\[c\odot [d\odot (0,0,z)]=(cd)\odot (0,0,z)\]

\[c\odot (0,0,dz)=(0,0,cdz)\]

Operando el primer miembro de la igualdad es evidente que la propiedad se cumple.

• Propiedad del elemento neutro de la multiplicación por un escalar

\[1\odot (0,0,z)= (0,0,z)\]

Así se cumplen todos los axiomas y propiedades, por lo que el conjunto $V$ es un espacio vectorial.

Ejemplo 2: Determine si el conjunto de todos los pares ordenados de números reales (x,y), donde $x\leq 0$ es un espacio vectorial.

En este caso comenzaremos en probar los primeros axiomas ya que el prolema no define las operaciones básicas. Sin embargo, considere que existe una condición que siempre se debe cumplir, por lo que se enuncia lo siguiente:

Sean $P_{1}(x_{1},y_{1})$ y $P_{2}(x_{2},y_{2})$ que pertenecen a $\mathbb{R}^{2}$ tal que $x_{1},x_{2}\leq 0$; entonces por el primer axioma se tiene:

\[(x_{1},y_{1})\oplus (x_{2},y_{2})=(x_{1}+x_{2},y_{1}+y_{2})\]

Se sabe que la suma de dos números negativos da otro número negativo, de manera que $x_{1}+x_{2}\leq 0$ se cumple. Asimismo, note que la suma de los pares ordenados da otro par ordenado, asegurando así el primer axioma.

Para el segundo axioma se tiene que:

\[c\odot (x_{1},y_{1})=(cx_{1},cy_{1})\]

La multiplicación de un escalar con un par ordenado da otro par ordenado. Sin embargo, si $c<0$ existe un problema ya que si $x_{1}\leq 0$ se obtiene una multiplicación de dos números negativos, el cual da un número positivo. Esto hace que la condición $cx_{1}\leq 0$ no se cumpla, de manera que el segundo axioma no se cumple. Entonces, el conjunto dado no es un espacio vectorial y no es necesario probar las propiedades restantes.

Ejecutar estas demostraciones significa saber qué elementos matemáticos pueden considerarse "vectores". Es decir, si un conjunto de elementos bajo ciertas condciones cumple con los axiomas, entonces se puede decir que esos elementos son "vectores"; caso contrario, no lo son.

Subespacios

Sea $V$ un espacio vectorial y $W$ un subconjunto no vacío de $V$. Si $W$ es un espacio vectorial con respecto a las operaciones en $V$, entonces $W$ es un subespacio de $V$

Esta definición da nombre a un subconjunto de un espacio vectorial, que a su vez también es un espacio vectorial. Dicho subconjunto cumple todas las propiedades anteriormente mencionadas si y solo si se cumplen los primeros dos axiomas.

1. Si $\textbf{u}$ y $\textbf{v}$ son elementos cualesquiera del subconjunto $W$, entonces $\textbf{u}\oplus \textbf{v}$ pertenece a $W$
2. Si $\textbf{u}$ es cualquier elemento del subconjunto $W$ y $c$ es cualquier número real, entonces $c\odot \textbf{u}$ pertenece a $W$

Esto resulta razonable ya que si $W$ cumple los axiomas y además está en $V$ (recuerde que $V$ cumple todos los axiomas y propiedades ya que es un espacio vectorial), entonces $W$ hereda todas las propiedades de $V$.

Ejemplo 1: Determine si el subconjunto $S=\left \{ (x,y,z)\epsilon \mathbb{R}^{3}/(x,y,2) \right \}$ es un subespacio de $\mathbb{R}^{3}$.

Probando el primer axioma:

\[(x_{1},y_{1},2)\oplus (x_{2},y_{2},2)=(x_{1}+x_{2},y_{1}+y_{2},4)\]

La suma de dos puntos en el espacio tridimensional da otro punto en ese espacio, pero el tercer componente es 4, lo que cambia la condición del subconjunto. Por tanto, el axioma no se cumple y $S$ no es subespacio de $R^{3}$.

Ejemplo 2: Determine si el subconjunto $S=\left \{ \begin{bmatrix} a\\ b\\ c\\ d \end{bmatrix}\epsilon \mathbb{R}^{4}/a-d=0,2a+b=0 \right \}$ es un subespacio de $\mathbb{R}^{4}$.

Note que se tienen dos condiciones que se deben cumplir, por lo que se enuncia lo siguiente:

Sean $\textbf {v}_{1}=\begin{bmatrix} a_{1}\\ b_{1}\\ c_{1}\\ d_{1} \end{bmatrix}\Rightarrow a_{1}-d_{1}=0,2a_{1}+b_{1}=0$ y $\textbf{v}_{2}=\begin{bmatrix} a_{2}\\ b_{2}\\ c_{2}\\ d_{2} \end{bmatrix}\Rightarrow a_{2}-d_{2}=0,2a_{2}+b_{2}=0$, por el primer axioma se tiene:

\[\begin{bmatrix} a_{1}\\ b_{1}\\ c_{1}\\ d_{1} \end{bmatrix}\oplus \begin{bmatrix} a_{2}\\ b_{2}\\ c_{2}\\ d_{2} \end{bmatrix}=\begin{bmatrix} a_{1}+a_{2}\\ b_{1}+b_{2}\\ c_{1}+c_{2}\\ d_{1}+d_{2} \end{bmatrix}\]

tal que

\[(a_{1}+a_{2})-(d_{1}+d_{2})=0,2(a_{1}+a_{2})+(b_{1}+b_{2})=0\]

reordenado las ecuaciones se tiene

\[(a_{1}-d_{1})+(a_{2}-d_{2})=0,(2a_{1}+b_{1})+(2a_{2}+b_{2})=0\]

Note que los términos entre paréntesis corresponden a las condiciones que cumplen los vectores $\textbf{v}_{1}$ y $\textbf{v}_{2}$ y reemplazando su valores en las euaciones anteriores, es evidente que la condición obtenida en el vector suma también se cumple, lo que prueba el primer axioma.

Luego, si $m$ es un escalar, para el segundo axioma se tiene:

\[m\odot \begin{bmatrix} a_{1}\\ b_{1}\\ c_{1}\\ d_{1} \end{bmatrix}=\begin{bmatrix} ma_{1}\\ mb_{1}\\ mc_{1}\\ md_{1} \end{bmatrix}\]

tal que

\[ma_{1}-md_{1}=0,2ma_{1}+mb_{1}=0\]

factorizando se tiene

\[m(a_{1}-d_{1})=0,m(2a_{1}+b_{1})=0\]

Así, los términos entre paréntesis corresponden a las condiciones que cumplen los vectores $\textbf{v}_{1}$ y $\textbf{v}_{2}$, y reemplazando sus valores es evidente que las igualdades se cumplen, lo que prueba el segundo axioma y de esta forma el subconjunto $S$ es subespacio de $\mathbb{R}^{4}$.

Independencia lineal

Sean $\textbf{v}_{1},\textbf{v}_{2},...,\textbf{v}_{k}$ vectores en un espacio vectorial $V$ y sean $c_{1},c_{2},...,c_{k}$ números reales. El vector

\[\textbf{v}=c_{1}\textbf{v}_{1}+c_{2}\textbf{v}_{2},...,+c_{k}\textbf{v}_{k}\]

pertenece a $V$ y es una combinación lineal de $\textbf{v}_{1},\textbf{v}_{2},...,\textbf{v}_{k}$.

Esta definición generaliza los 2 primeros axiomas en una sola expresión que se la nombró como "combinación lineal", el cual explica como puede surgir un vector a partir de otros. Con este concepto es posible definir otros nuevos como el subespacio generado, el cual se dice que es la combinación lineal de un subconjunto de vectores $S=\left \{ \textbf{v}_{1},\textbf{v}_{2},...,\textbf{v}_{k} \right \}$, que pertenecen al espacio vectorial $V$. 

Esta definición resulta complicada de entender, pero define con alta rigurosidad el plano cartesiano o el espacio tridimensional. Por ejemplo:

El plano se define como el subespacio generado por todos los puntos de $\mathbb{R}^{2}$ denotados por el conjunto $\mathit{gen\left \{ (x_{1},y_{1}),(x_{2},y_{2}),...,(x_{k},y_{k}) \right \}}$

Ejemplo práctico: Determine si el conjunto de vectores $S=\left \{ \begin{bmatrix} 1\\ 2\\ \end{bmatrix}, \begin{bmatrix} -1\\ 1\\ \end{bmatrix} \right \}$ generan a $\mathbb{R}^{2}$.

De acuerdo con la definición de subespacio generado, debe ser posible obtener un conjunto de vectores que sea combinación lineal de los dados, de manera que:

\[c_{1} \begin{bmatrix} 1\\ 2 \end{bmatrix}+c_{2} \begin{bmatrix} -1\\ 1 \end{bmatrix}=\begin{bmatrix} x\\ y \end{bmatrix}\]

\[\begin{bmatrix} c_{1} -c_{2} \\ 2c_{1} +c_{2} \end{bmatrix}=\begin{bmatrix} x\\ y \end{bmatrix}\]

Igualando las componentes de los vectores, se forma el sistema de ecuaciones lineales:

\[\left\{\begin{matrix} c_{1} -c_{2}=x\\ 2c_{1} +c_{2}=y \end{matrix}\right.\]

De esta manera debe existir una relación de los escalares $c_{1}$ y $c_{2}$ con las componentes "x" e "y" para asegurar que es posible expresar los vectores dados como una combinación lineal. Entonces, por método de reducción se tiene

\[c_{1} =\frac{x+y}{3},\, c_{2} =\frac{y-2x}{3}\]

Como $c_{1}$ y $c_{2}$ cumplen con lo mencionado, el conjunto $S$ genera a $\mathbb{R}^{2}$.

En la figura siguiente se representa geométricamente la combinación lineal de dos vectores "v1" y "v2". Si esto se aplica para cualquier cantidad de vectores, se obtienen otros nuevos y si estos se combinan con los anteriores, se obtienen muchos más "generando" así al plano mostrado.

La combinación lineal de los vectores "v1" y "v2" generan un plano (subespacio en $\mathbb{R}^{2}$) los cuales son linealmente dependientes. Puesto que todos los vectores "v" que resultan de dicha combinación lineal dependen de "v1" y "v2".

Geométricamente se puede decir que todos los vectores se contienen en el plano sin salir del mismo. Por otro lado, puede haber casos como el que muestra la siguiente figura:

El vector "n" se escapa del plano, el cual es evidente que es independiente de los que se encuentran en el mismo. Así se genera el espacio tridimensional, donde se puede decir que los vectores "v1", "v2" y "n" son linealmente independientes

Con estas ideas se puede enunciar la siguiente definición:

Los vectores $\textbf{v}_{1},\textbf{v}_{2},...,\textbf{v}_{k}$ de un espacio vectorial son linealmente dependientes si existen constantes $c_{1},c_{2},...,c_{k}$ no todas iguales a 0, tales que

\[c_{1}\textbf{v}_{1}+c_{2}\textbf{v}_{2}+...+c_{k}\textbf{v}_{k}=\emptyset\]

Esto resulta razonable, ya que con la idea de la primera figura, si todos los vectores pertenecen al mismo plano, existirá una combinación lineal que los anulen obteniendo únicamente el vector nulo.

Caso contrario, se dice que $\textbf{v}_{1},\textbf{v}_{2},...,\textbf{v}_{k}$ son linealmente independientes si

\[c_{1}\textbf{v}_{1}+c_{2}\textbf{v}_{2}+...+c_{k}\textbf{v}_{k}=\phi\]

se cumple únicamente cuando $c_{1},c_{2},...,c_{k}=0$.

Esto suena igual de razonable, ya que con la idea de la segunda figura, si algunos vectores pertenecen al plano pero otros no, entonces la única forma de obtener el vector nulo es que todos los escalares sean 0.

Ejemplo 1: Analizar si el conjunto de puntos en $\mathbb{R}^{4}$ es linealmente dependiente o linealmente independiente

\[S=\left \{ (1,1,2,1),(1,0,0,2),(4,6,8,6),(0,3,2,1) \right \}\]

Expresando la combinación lineal que se debe cumplir se tiene:

\[c_{1}(1,1,2,1)+c_{2}(1,0,0,2)+c_{3}(4,6,8,6)+c_{4}(0,3,2,1) =(0,0,0,0)\]

\[\left\{\begin{matrix} c_{1}+c_{2}+4c_{3}=0\\ c_{1}+6c_{3}+3c_{4}=0\\ 2c_{1}+8c_{3}+2c_{4}=0\\ c_{1}+2c_{2}+6c_{3}+c_{4}=0 \end{matrix}\right.\]

Resolviendo el sistema con el método de reducción

\[\left\{\begin{matrix} c_{2}-2c_{3}-3c_{4}=0\\ c_{3}+c_{2}=0 \end{matrix}\right.\Rightarrow c_{3}=-c_{2}\]

\[c_{4}=c_{2},\: c_{1}=3c_{2}\]

Note que todas las variables encontradas dependen de $c_{2}$, y si toma cualquier valor se infiere que el sistema tiene infinitas soluciones. Así, existen escalares diferentes de 0 que permitan obtener el punto (0,0,0,0), lo que indica que el conjunto dado es linealmente dependiente.

Ejemplo 2: Analizar si el conjunto de polinomios $P_{2}$ dado por $S=\left \{ t^{2},5t+2t^{2} \right \}$ es L.I. (linealmente independiente) o L.D. (linealmente dependiente).

Expresando la combinación lineal que se debe cumplir e igualando componentes se tiene:

\[c_{1}t^{2}+c_{2}(5t+2t^{2})=0t^{2}+0t+0\]

\[(c_{1}+2c_{2})t^{2}+5c_{2}t=0t^{2}+0t+0\]

\[\left\{\begin{matrix} c_{1}+2c_{2}=0\\ 5c_{2}=0 \end{matrix}\right.\]

Es evidente que la única solución a la ecuación es la llamada solución trivial. Es decir, el único valor para todas las variables que satisface al sistema es 0. Entonces, el conjunto dado es L.I.

Base y dimensión

La base de un espacio vectorial $V$ es un conjunto de vectores linealmente independientes cuyo subespacio generado es $V$.

Para entender esta definición observe la siguiente figura

Todos los vectores en el plano son combinaciones lineales de los vectores unitarios $\textbf{i}$ y $\textbf{j}$ dados por $\textbf{i}=\begin{bmatrix} 1\\ 0 \end{bmatrix}$ y $\textbf{j}=\begin{bmatrix} 0\\ 1 \end{bmatrix}$

Así podemos decir intuitivamente que la base de este plano está conformado por dos "vectores base" $\textbf{i}$ y $\textbf{j}$. Estos evidentemente son linealmente independientes, ya que el vector $\textbf{i}$ se escapa de la recta vertical y el vector $\textbf{j}$ se escapa de la recta horizontal.

Ejemplo: Determine si el siguiente conjunto de polinomios es base para $P_{3}$

\[S=\left \{ t^{3}+t^{2}+t+1,t^{3}+2t^{2}+t+3,2t^{3}+t^{2}+3t+2,t^{3}+t^{2}+2t+2 \right \}\]

De acuerdo con la definición de base, los polinomios deben ser L.I. por lo que:

\[\small c_{1}(t^{3}+t^{2}+t+1)+c_{2}(t^{3}+2t^{2}+t+3)+c_{3}(2t^{3}+t^{2}+3t+2)+c_{4}(t^{3}+t^{2}+2t+2)=0\]

\[\left\{\begin{matrix} c_{1}+c_{2}+2c_{3}+c_{4}=0\\ c_{1}+2c_{2}+c_{3}+c_{4}=0\\ c_{1}+c_{2}+3c_{3}+2c_{4}=0\\ c_{1}+3c_{2}+2c_{3}+2c_{4}=0 \end{matrix}\right.\]

Resolviendo el sistema:

\[\left\{\begin{matrix} -c_{2}+c_{3}=0\\ -2c_{2}+c_{3}=0\\ \end{matrix}\right.\Rightarrow \left\{\begin{matrix} c_{3}=c_{2}\\ c_{3}=0\\ \end{matrix}\right.\]

\[\left\{\begin{matrix} c_{1}+c_{4}=0\\ c_{1}+2c_{4}=0\\ \end{matrix}\right.\Rightarrow \left\{\begin{matrix} c_{1}=-c_{4}\\ c_{4}=0\\ \end{matrix}\right.\]

La solución única es la trivial, de manera que el conjunto es L.I. Luego, para que el conjunto genere a $P_{3}$ se tiene que:

\[\left\{\begin{matrix} c_{1}+c_{2}+2c_{3}+c_{4}=x\\ c_{1}+2c_{2}+c_{3}+c_{4}=y\\ c_{1}+c_{2}+3c_{3}+2c_{4}=z\\ c_{1}+3c_{2}+2c_{3}+2c_{4}=w \end{matrix}\right.\]

Resolviendo el sistema de manera que los escalares dependan de "x,y,z,w"

\[\left\{\begin{matrix} -c_{2}+c_{3}=x-y\\ -2c_{2}+c_{3}=z-w\\ \end{matrix}\right.\Rightarrow \left\{\begin{matrix} c_{2}=x-y+w-z\\ c_{3}=2x-2y+w-z \end{matrix}\right.\]

\[\left\{\begin{matrix} c_{1}+4x-4y+3w-3z+c_{4}=y\\ c_{1}+7x-7y+4w-4z+2c_{4}=z\\ \end{matrix}\right.\Rightarrow c_{4}=-3x+2y-w+2z\]

\[c_{1}=-x+3y-2w+z\]

Las soluciones obtenidas satisfacen todas las ecuaciones del sistema para cualquier polinomio de coeficientes (x, y, z, w), de manera el conjunto "S" genera a $P_{3}$. Así se cumplen las condiciones que afirman que el conjunto dado de polinomios son base de $P_{3}$.

La dimensión de un espacio vectorial $V$ no nulo es el número de vectores en una base para $V$.

Se mencionó que la base, también denominada canónica, de $\mathbb{R}^{2}$ está conformada por los vectores $\begin{bmatrix} 1\\ 0 \end{bmatrix},\begin{bmatrix} 0\\ 1 \end{bmatrix}$. Entonces, mediante la definición de dimensión, se puede decir que $\mathbb{R}^{2}$ tiene 2 dimensiones ya que se tienen dos vectores en su base. Debido a este concepto se sabe que el plano es bidimensional y además es posible saber en que tipo de espacio se encuentra un conjunto de puntos, polinomios o incluso funciones.

Ejemplo: Calcule una base para el subespacio $W=\left \{(x,y,z)/x+y+z=0 \right \}$ y su dimensión en $\mathbb{R}^{3}$.

Una base para el subespacio puede ser cualquiera de los puntos que satisface la condición dada, por lo que si suponemos un valor cualquiera para "x" y para "y" se puede decir que $x=t,y=r$ donde "t" y "r" son cualquier número real no necesariamente iguales y luego despejando "z" se tiene:

\[z=-t-r\]

Así, el punto (x,y,z) se puede escribir como $(t,r,-t-r)$ y como la base debe generar al subespacio se debe expresar al punto obtenido como una combinación lineal de la siguiente manera:

\[(t,r,-t-r)=(t,0,-t)+(0,r,-r)=t(1,0,-1)+r(0,1,-1)\]

Así, una base para el subespacio dado es

\[B=\left \{ (1,0,-1),(0,1,-1) \right \}\]

se tienen dos puntos por lo que la dimensión es 2, que también podemos escribirlo como $dim(W)=2$.

En $\mathbb{R}^{3}$ es posible graficar el subespacio con la información de la base y dimensión como sigue:

Los vectores base forman dos ejes obteniendo un plano en el espacio.

Cabe mencionar que las bases canónicas son únicas para cada espacio vectorial, pues la cantidad de vectores, que a la vez son unitarios, contenidos en dichas bases define la dimensión del propio espacio. A continuación se muestran algunos ejemplos a parte de la base canónica de $\mathbb{R}^{2}$ ya vista anteriormente:

\[\mathbb{R}^{3}\rightarrow B=\left \{\begin{bmatrix}1\\ 0\\ 0\end{bmatrix},\begin{bmatrix}0\\ 1\\ 0\end{bmatrix},\begin{bmatrix}0\\ 0\\ 1\end{bmatrix} \right \}\]

\[P_{1}\rightarrow B=\left\{ 1,x\right\}\]

\[P_{2}\rightarrow B=\left\{ 1,x,x^{2}\right\}\]

\[P_{3}\rightarrow B=\left\{ 1,x,x^{2},x^{3}\right\}\]

Ejercicios:

a) Determine si el conjunto dado sujeto a las condiciones señaladas es un espacio vectorial.

1) $V=\left \{ \begin{bmatrix} x\\ y\\ z \end{bmatrix}\epsilon R^{3}/x=y=0 \right \}$

2) $V=\left \{ \begin{bmatrix} x\\ y\\ z \end{bmatrix}\epsilon R^{3}/\begin{bmatrix} x\\ y\\ z \end{bmatrix}\oplus \begin{bmatrix} x'\\ y'\\ z' \end{bmatrix}=\begin{bmatrix} x'\\ y+y'\\ z' \end{bmatrix} \right \}$

3) $V=\left \{ \begin{bmatrix} x\\ y\end{bmatrix}\epsilon R^{2}/x> 0,y> 0 \right \}$

4) $V=\left \{ (at^{2}+bt+c)\epsilon P_{2}/b=a+1 \right \}$

b) Determine si los subconjuntos dados son subespacios del espacio V señalado

1) $W=\left \{ \begin{bmatrix} x\\ y\\ z\\ w \end{bmatrix}/x=0,y=-w \right \}$, Para $V:R^{4}$

2) $W=\left \{ a_{2}t^{2}+a_{1}t+a_{0}/a_{0}=0 \right \}$, Para $V:P_{2}$

3) $W=\left \{ \begin{bmatrix} x\\ y\\ z \end{bmatrix}/z> 0 \right \}$, Para $V:R^{3}$

4) $W=\left \{ \begin{bmatrix} x\\ y \end{bmatrix}/y=-mx \right \}$, Para $V:R^{2}$

c) Resuelva los siguientes enunciados

1) Determine si el conjunto de vectores $S=\left \{ \begin{bmatrix} 1\\ 0\\ 0\\ 1 \end{bmatrix},\begin{bmatrix} 0\\ 1\\ 0\\ 0 \end{bmatrix},\begin{bmatrix} 1\\ 1\\ 1\\ 1 \end{bmatrix},\begin{bmatrix} 1\\ 1\\ 1\\ 0 \end{bmatrix} \right \}$ generan a $R^{4}$

2) Determine si el punto $(1,1,0,0)$ pertenece al subespacio generado por $S=\left \{(1,2,-1,1),(0,0,1,1),(2,1,2,1) \right \}$

3) Determine si el conjunto de vectores $S=\left \{ \begin{bmatrix} 1\\ 2\\ 3\end{bmatrix},\begin{bmatrix} 2\\ 1\\ 3\end{bmatrix},\begin{bmatrix} 0\\ 0\\ 0 \end{bmatrix} \right \}$ es una base de $R^{3}$

4) Determine una base para el subespacio $W=\left \{ \begin{bmatrix} x\\ y\\ z\end{bmatrix}/2x+y-z=0 \right \}$, calcule su dimensión y grafique el subespacio.